辽宁省兴城市第二初级中学等校2024-2025学年八年级上学期阶段检测数学试卷

第 1页（共 8页） 期中质量检测八年级数学学科试题 一．选择题（共 10 小题,每小题 3分） 1．在以下节水、绿色食品、质量安全、可回收物等四个标志中，轴对称图形是（ ） A． B． C． D． 2．如图（ ），BE 是△ABC 的高． A． B． C． D． 3．如果△ABC≌△DEF，△DEF 的周长为 12，AB＝3，BC＝4，则 AC 的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ） A．75° B．95° C．105° D．125° 5．如图，在△ABC 中，∠B＝30°，∠C＝50°，请观察尺规作图的痕迹（D，E，F 分 别是连线与△ABC 边的交点），则∠DAE 的度数是（ ） A．25° B．30° C．35° D．40° 6．如图，将三角形纸片 ABC 沿 DE 折叠，当点 A落在四边形 BCED 的外部时，测量得∠ 1＝70°，∠2＝132°，则∠A 为（ ） A．40° B．22° C．30° D．52° 第 2页（共 8页） 7．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BD 与∠ACB 的外角平分线 CD 相交于点 D，∠D ＝30°，则∠A等于（ ） A．50° B．60° C．70° D．80° 8．如图，七边形 ABCDEFG 中，AB、ED 的延长线交于点 O，着∠1、∠2、∠3、∠4 对应 的邻补角和等于 215°，则∠BOD 的度数为（ ） A．30° B．35° C．40° D．45° 9．如图，在 Rt△ABC 中，CM 平分∠ACB 交 AB 于点 M，过点 M作 MN∥BC 交 AC 于点 N， 且 MN 平分∠AMC，若 AN＝1，则 BC 的长为（ ） A．4 B．6 C． D．8 10．如图，点 A，C，B在同一直线上，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，AE 与 BD 交于 点 O，AE，BD 分别与 CD，CE 交于点 M，N，有如下结论： ①AE＝BD；②△ACM≌△DCN；③EM＝BN；④MN∥BC；⑤∠DOA＝60°．其中正确的结 论个数是（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 第 3页（共 8页） 二．填空题（共 5 小题，每小题 3 分） 11．点 P（﹣1，3）关于 x轴对称的点的坐标是 ． 12．如图，已知 AE 是△ABC 的边 BC 上的中线，若 AB＝8cm，△ACE 的周长比△AEB 的 周长多 2cm，则 AC＝ cm． 13．如图，在△ABC 中，AD、CE 是△ABC 的两条高，BC＝5cm，AD＝3cm，CE＝4cm，则 AB 的长等于 cm． 14．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若 PC＝4，则 PD 的长为 ． 15．如图，AB＝5cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，点 P在线段 AB 上以 1cm/s 的速度 由点 A向点 B运动，同时，点 Q在线段 BD 上由点 B向点 D运动．设运动时间为 t（s）， 则当点 Q的运动速度为 cm/s 时，△ACP 与△BPQ 有可能全等． 第 4页（共 8页） 三．解答题（共 8 小题，第 16 题 8 分；第 17 题 8 分；第 18 题 9 分；第 19 题 8 分； 第 20 题 9 分；第 21题 10 分；第 22题 10 分；第 23 题 12 分） 16．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是 A（2，﹣1），B （1，﹣2），C（3，﹣3） （1）将△ABC 向上平移 4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）请画出与△ABC 关于 y轴对称的△A2B2C2； （3）请写出 A1、A2的坐标． 17．已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 平分∠BAC，CE⊥AB 于 E，交 AD 于 F，AF ＝2CD 求：∠ACE 的度数． 第 5页（共 8页） 18．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点 D在 AC 边上，∠1＝∠2，AE，BD 相交于点 O． （1）求证：△AEC ≌△BED． （2）若∠1＝42°，求∠BDE 的度数． 19．如图，在△ADC 中，AD＝DC，且 AB∥DC，CB⊥AB 于点 B．CE⊥AD 交 AD 的延长线于 点 E． （1）求证：CE＝CB． （2）连接 BE，求证：AC 垂直平分 BE． 20．如图，在等腰△ABC 中，AB＝AC，点 D 为直线 BC 上一点，连接 AD，以 AD 为腰在 AD 的右侧作等腰△ADE，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝a，连接 CE． （1）如图 1，当点 D在线段 BC 上时，求证：△ABD≌△ACE； （2）当 a＝60°， ①如图 2，求证：CE∥AB； ②探究线段 CE、AB、CD 之间的数量关系，请直接写出结论． 第 6页（共 8页） A AB B C C D D 图 1 图 2 21.【学习概念】规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角， 那么称这两个三角形互为“等角三角形”。 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与 交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一 个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个 三角形的“等角分割线”。 【理解概念】（1）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请根据规定①， 写出图中所有的“等角三角形”； （2）如图 2，在△ABC 中，CD 为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，请根据规定②， 求证：CD 为△ABC 的等角分割线； 【应用概念】（3）在△ABC 中，∠A=42°,CD 是△ABC 的等角分割线，直接写出∠ ACB 的度数。 第 7页（共 8页） A B P l A B l A A BB CC 图 2图 1 图 4图 3 22. “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李欣《古从军行》里的一句 诗。由此引申出一系列有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 问题 1 ：如图 1，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的 A 点出发，走到河旁边的点 P 饮马后再到点 B宿营。请问怎样走才能使总的路程最短？ 某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型： 直线 l同旁有两个定点 A,B，在直线 l上存在点 P,使得 PA+PB 的值最小。 解法：如图 2，作点 B关于直线 l的对称点 B’，连接 AB’,则 AB’与直线 l的交点即 为 P,且 PA+PB 的最小值为 AB’的长。 【数学思考】有很多问题都可用类似的方法去思考解决。 （1）如图 3，在等边三角形 ABC 中，AD 是 BC 边上的高，E 为 AB 的中点，P 为 AD 上一 动点，若 AD=12, AB= 38 ，求△PBE 周长的最小值； （2）如图 4，在△ABC 中，AB=AC=4,AD 是中线，点 E是 AB 上一动点，P为 AD 上一动点， △ABC 的面积等于 6，则 PB+PE 的最小值为_____________. 'B P PE E 第 8页（共 8页） 23．[问题情境]如图 1，AB＝AC，∠BAC＝90°，直线 AE 是经过点 A 的直线，BD⊥AE 于 D，CE⊥AE 于 E，则△ADB ≌△CEA． （1）[类比训练]如图 2，Rt△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直线 AE 是经过点 A 的任一直线，BD⊥AE 于 D，CE⊥AE 于 E，证明：BD＝DE+CE． （2）[问题创设]如图 3，在△ABC 中，AB＝AC，若顶点 A在直线 m上，点 D，E 也在 直线 m 上，如果∠BAC＝∠ADB＝∠AEC，那么（1）中结论还成立吗？若成立，请证 明；若不成立，BD，DE，CE 三条线段之间有怎样的数量关系？直接写出结论． （3）[情境更换]如图 4，把等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内， 已知直角顶点 H在 y轴正半轴上，顶点 G在第一象限且使其横、纵坐标始终相等， ①若另一顶点 K（a，﹣3a+10）落在第四象限，求 a的值； ②直接写出顶点 K的横、纵坐标的关系． 图 2图 1 图 3 图 4 第 1页（共 6页） 期中质量检测八年级数学学科试题参考答案 一．选择题（共 10 小题） 1---5题 BCDCC 6----10题 BBBBA 二．填空题（共 5 小题） 11． （﹣1，﹣3） ． 12．10 13. 3.75 14. 2 15. 1或 ． 三．解答题（共 8 小题） 16．解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求； 3分 （2）如图所示：△A2B2C2，即为所求； 6分 （3）A1（2，3），A2（﹣2，﹣1）． 8分 17． 解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴BD＝DC，AD⊥BC， 1分 即 BC＝2CD， 2分 ∵AF＝2CD， ∴AF＝BC， 3分 ∵CE⊥AB，AD⊥BC， ∴∠AEF＝∠BEC＝∠ADC＝90°， 4分 第 2页（共 6页） ∵∠AFE＝∠DFC，∠AEF+∠AFE+∠EAF＝180°，∠DFC+∠FDC+∠FCD＝180°， ∴∠EAF＝∠FCD， 5分 在△AEF和△CEB中 ∵ ， ∴△AEF≌△CEB（AAS）， 6分 ∴AE＝CE， 7分 ∵∠AEC＝90°， ∴∠ACE＝∠EAC＝45°． 8分 18． （1）证明：∵∠A＝∠B， ∴∠1＝∠AOB﹣∠A＝∠AOB﹣∠B＝∠AEB， 2分 ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠AEB， 3分 ∴∠2+∠AED＝∠AEB+∠AED， ∴∠AEC＝∠BED， 4分 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（ASA）． 6分 （2）解：∵△AEC≌△BED， ∴CE＝DE， 7分 ∵∠1＝∠2＝42°， ∴∠C＝∠CDE＝ ＝69°， 8分 ∴∠BDE＝∠C＝69°， 第 3页（共 6页） ∴∠BDE的度数是 69°． 9分 19． 证明：（1）∵AD＝CD， ∴∠DAC＝∠DCA， 1分 ∵AB∥CD， ∴∠DCA＝∠CAB， 2分 ∴∠DAC＝∠CAB， 3分 ∴AC是∠EAB的平分线， ∵CE⊥AE，CB⊥AB， ∴CE＝CB； 4分 （2）由（1）知，CE＝CB， ∵CE⊥AE，CB⊥AB， ∴∠CEA＝∠CBA＝90°， 5分 在 Rt△CEA和 Rt△CBA中， ， ∴Rt△CEA≌Rt△CBA（HL）， 6分 ∴AE＝AB，CE＝CB， 7分 ∴点 A、点 C在线段 BE的垂直平分线上， ∴AC垂直平分 BE． 8分 20． 第 4页（共 6页） 证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝a， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）； 3分 （2）①∵∠BAC＝∠DAE＝a， ∴∠BAD＝∠CAE， 由（1）同理可证△BAD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵α＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠ABC+∠BCE＝60°+120°＝180°， ∴CE∥AB； 7分 ②当点 D在 BC延长线上时，CE＝AB+CD； 当点 D在 BC上时，CE＝AB﹣CD； 当点 D在线段 CB的延长线上时，CE＝CD﹣AB． 10分 21．（1）△ABC与△ACD, △ABC与△BCD, △ACD与 △BCD是“等角三角形” 3分 （2）通过导角易推导出△ACD是等腰三角形，△BCD与△ABC是“等角三角形”，故 CD 为△ABC的的等角分割线.过程略. 6分 (3)111°或 84°或 106°或 92° 10分 22．解：（1）连接 CE,与 AD交于点 P，此时 PE+PB最小， 1分 第 5页（共 6页） ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴PC=PB, 2分 ∴PE+PB=PC+PE=CE， 3分 即 CE就是 PE+PB的最小值， ∵AD=12,AB=8 ，点 E是边 AB的中点 ∴AD=CE=12,BE= 5分 ∴PE+PB+BE的最小值是 12+ ， 即△PBE周长的最小值是 12+ 7分 （2）3 10分 23. 解：（1）证明：∵BD⊥AE ∴∠BAC＝∠ADB＝90° ∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠ABD+∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAD， 1分 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， 2分 ∴BD＝AE，AD＝CE， 3分 ∵AE＝AD+DE， ∴BD＝DE+CE； 4分 （2）结论不成立，DE＝CE+BD， 6分 第 6页（共 6页） （3）①如图 4，过点 G作 GN⊥y轴于 N，过点 K作 KP⊥y轴于 P， 7分 设 OH＝b， ∴∠GNH＝∠KPH＝∠GHK＝90°， ∴∠HGN+∠GHN＝∠GHN+∠KHP＝90°， ∴∠NGH＝∠KHP， 又∵HG＝HK， ∴△GHN≌△HKP（AAS）， ∴NG＝HP，NH＝PK， ∵顶点 G在第一象限且使其横、纵坐标始终相等，顶点 K（a，﹣3a+10）落在第四象限， ∴GN＝NO，PK＝a，OP＝3a﹣10， ∴NH＝PK＝a，HP＝3a﹣10+b＝NG， ∴a+b＝3a﹣10+b， ∴a＝5． 11分 ②横纵坐标互为相反数． 12分