4.1数列的概念课件（1）-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1 数列的概念(1) 章前导读 在生活中,常有按顺序记录数据来研究事物变化规律的事例.例如:一棵树在某一时刻的高度是2米,如果在每年同一时刻都记录下这棵树的高度,并按先后顺序排列起来,就得到一列数,通过对这列数分析,可以研究树的生长规律. 事实上,数列古已有之,20世纪50年代在扎伊尔发掘出公元前9000到6500年的骨具被认为是人类原始数学活动的一种证据.如果骨具上每一组刻痕代表一个数字,那么三行刻痕分别代表三个数列:11,21,19,9; 11,13,17,19;3,6,48,10,5,5,7. 旧石器时代的人刻下这三列数的动机尽管已无从考证,但这告诉我们当人类祖先需要用一组数有序地表达一类事物,记录某个变化过程时,数列也就应运而生了. 什么是数列？ 本章我们将学习数列的概念和表示方法,并研究两类特殊数列—等差数列和等比数列,探索其取值规律,建立通项公式、前n项和公式,并应用其解决一些问题. 我们将把数列看成一类特殊函数，并用函数的思想方法研究数列. 实例引入 实例1:王芳从1岁到17岁,每年生日那天测量的身高,依次排成一列数: 75, 87, 96, 103, 110, 116, 120, 128, 138, 145, 153, 158, 160, 162, 163, 165, 168． 问题:(1)这列数中的第4位、第8位数的实际意义分别是什么？ (2)它们的位置能交换吗？ (5)能否用与顺序相关的符号来表示这列数？ 不能 王芳4岁生日那天测得的身高103,8岁生日那天测得的身高128 这一列数具有确定顺序 (3)其它数据的位置呢？ (4)说明什么呢？ 也不能 hi (i=1,2,···,17) (6)hi中的i反映的是什么？ 身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置. 具有确定顺序的一列数 实例引入 实例2:在两河流域发掘的一块泥版(编号K90,约产生于公元前7世纪) 上,有一列依次表示15天中从第1天到第15天每天月亮可见部分 的数： 问题:(1)这列数中的第10位数表示什么？ (2)这列数中的数据能交换位置吗？ (4)能否用与顺序相关的符号来表示这列数？ 不能 第10天月亮可见部分的数 这一列数具有确定顺序 (3)说明什么呢？ si (i=1,2,···,15) (5)si中的i反映的是什么？ 反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置. 具有确定顺序的一列数 5 , 10 , 20 , 40 , 80 , 96 , 112 , 128, 144 , 160 , 176 , 192 , 208 , 224 , 240 . 把满月分成240份,则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示. 实例引入 实例3:将2的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列 数： 问题:你能仿照实例1、2的叙述,说明这也是具有确定顺序的一列数吗？ 具有确定顺序的一列数 2 , 4 , 8 , 16 , … . 实例归纳 ① 75, 87, 96, 103, 110, 116, 120, 128, 138, 145, 153, 158, 160, 162, 163, 165, 168． ② 5 , 10 , 20 , 40 , 80 , 96 , 112 , 128 , 144 , 160 , 176 , 192 , 208 , 224 , 240 . ③ 2 , 4 , 8 , 16 , … . 由以上三个实例得到了三列数： 问题:上述三列数的共同特征是什么？ 按照确定顺序排列 概念生成 数列—— 按照确定的顺序排列的一列数. 数列中的每一个数 项: 首项(第1项): 简记为： {an} 思考：{an}与an所有什么区别与联系？ ② an表示数列{an}中的第 n 项. ① {an}表示数列 a1，a2，a3，… ，an ，… . 排在第一位的数 第n项: 排在第n位的数 数列的一般形式: a1，a2，a3，… ，an ，… . n∈N+ 项 an ：a1 ，a2 ，a3 ，a4 , … ，an ，… . 数列是特殊的函数 问题:数列中的各项an与各项序号n之间有什么对应关系？ 序号n ：1 , 2 , 3 , 4 , … , n , … . 数列也是函数 定义域是： 函数值是： 深入探究 列表法： 图象法： 解析法： 追问:数列的图象有什么特点？ 追问:从表和图中,你发现数列 随序号的变化呈现出什么 特点吗？ 深入探究 问题:你还记得函数有哪几种表示法吗？ 既然数列是特殊的函数，你能用以上方法表示数列吗？ an=2n 概念生成 数列的单调性 数列的分类： 递减数列:从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列. 递增数列:从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列. 摆动数列: 常 数 列:各项相等的数列. 对任意n∈N*，an+1>an (或an+1-an>0) 对任意n∈N*，an+1<an (或an+1-an<0) 对任意n∈N*，an+1=an (或an+1-an=0) 按项的多少 有穷数列：个数有限的的数列 无穷数列：个数无限的的数列 按项与项的大小 概念生成 数列的通项公式: 如果数列{an}的第 n 项an与与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫做这个数列的通项公式. 追问:数列75, 87, 96, 103, 110, 116, 120, 128, 138, 145, 153, 158, 160, 162, 163, 165, 168有通项公式吗？ 追问:数列通项公式的作用是什么？ 根据通项公式可以写出数列的任意一项. 并不是每个数列都能写出通项公式. 问题:你能用一个式子表示数列中各项an与序号n之间的对应关系吗？ ② 2 , 4 , 8 , 16 , … . ① 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …． 例题精讲 例1.根据下列数列的通项公式,写出数列的前5项,并画出它们的图象. 例题精讲 例2.根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式. 思考：你还能写出其他的解析式吗？ 注:(-1)n+1或常用来表示正 负相间的变化规律 课堂练习 1.写出下列数列的前10项，并作出它们的图象: (1)所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列; (2)当自变量x依次取1, 2, 3, ‧‧‧时,函数f(x) =2x+1的值构成的数列; (3)数列的通项公式为 课堂练习 2.根据数列{an }的通项公式填表: n 1 2 ‧‧‧ 5 ‧‧‧ ‧‧‧ ‧‧‧ n an ‧‧‧ ‧‧‧ 153 ‧‧‧ 273 ‧‧‧ 3(3+4n) 3.除数函数(divisor function) y=d(n)(n∈N*)的函数值等于n的正因数的 个数,例如, d(1)=1, d(4)=3. 写出数列d(1), d(2) , ‧‧‧, d(n), ‧‧‧的前10项. 4.根据下列数列的前5项,写出数列的一个通项公式: 探究:你认为由数列的前几项,该如何求数列的通项公式? 巩固提升 由数列的前几项求通项公式 例2.写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数: (3) 9,99,999,9999. (4) 7,77,777,7 777. (6) 1 , 31, 52 , 73 , ... 变式探究1: 数列{an}的通项公式为an=n2-7n-8. (1)数列中有多少项为负数? (2)数列{an}中是否有最小项?若有,求出最小项;若没有,请说明理由. 巩固提升 数列的单调性的应用 变式探究2: 已知数列{an}的通项公式为an=n2+λn,且数列{an}为递增数列, 求实数λ的取值范围. 巩固提升 数列的单调性的应用 学海拾贝 数列单调性的判断 数列是一类特殊的函数,因此研究数列的单调性问题可借助函数的方法,但应注意自变量n为正整数这一限制条件. 解决数列的单调性可用以下三种方法. (1)作差法:根据an+1-an与0的大小关系进行判断. (2)作商法:根据 (an>0或an<0)与1的大小关系进行判断. 这三种方法体现了逻辑推理、数学运算与直观想象的核心素养. (3)结合相应函数的图象直观判断. 典例探究: 数列{an}的通项公式为an满足log2(an+n)=n,试判断数列{an}的单调性. 巩固提升 课堂小结 本节课,你学习了什么知识?用了哪些思想方法? $$