精品解析：福建省厦门外国语中学瑞景分校2024-2025学年上学期八年级数学期中质量检测卷

厦外瑞景分校2024-2025学年（上）八年级期中考试数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡． 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 3．答题卷使用0.5mm黑色水笔作答，作图题使用2B铅笔或0.5mm黑色水笔作答． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 榫卯拼接木艺是中国建筑的智慧结晶，仅靠木头之间的相互作用力就可以让建筑或家具牢固、美观．下列榫卯拼接截面示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是的外角，若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若，，则c的长可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 下列式子中，不能用平方差公式运算的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某人从点出发，前进后向右转，再前进后又向右转，按照这样的方式一直走下去，当他第一次回到出发点时，共走了（ ） A. B. C. D. 8. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．勾股定理描述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如左图，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按右图的方式放置在最大正方形内．则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，，三角形的高与高所在直线交于点H，点H在的外部，以下对的描述正确的是（ ） A. 是锐角 B. 是直角 C. 是钝角 D. 是锐角或钝角 10. 如图，已知等边三角形ABC，点D为线段BC上一点，以线段DB为边向右侧作△DEB，使DE＝CD，若∠ADB＝m°，∠BDE＝（180﹣2m）°，则∠DBE的度数是（　　） A. （m﹣60）° B. （180﹣2m）° C. （2m﹣90）° D. （120﹣m）° 二、填空题（本大题共6小题，11题6分，其余每小题4分，共26分） 11. 计算： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______； （6）______． 12. 我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是_______． 13. 陶瓷市场现有边长相等的正三角形，正方形，正五边形，正六边形的地板砖出售，某客想买其中的一种镶嵌着铺地板，则他不可以选择的是______． 14. 若是完全平方式，则_____________________ ． 15. 三条公路两两相交，要在该平面内修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离都相等，则满足条件的加油站可以建 _______处． 16. 已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图（m为正整数），甲、乙的面积分别为，．若满足条件的整数n有且只有4个，则m的值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共84分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 如图，在中，，，求证： 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点C； （2）测量教学楼顶点A视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部E视线与地面夹角； （6）测量的长度． 测量数据 ，，，． 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 21. 如图，在中，． （1）在边上找一点，使得点到边的距离与到边的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）在（1）的条件下，若，，求的面积． 22. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“连偶数”．如：因此4，12，20都是“连偶数”． （1）请判断：52______“连偶数”；（填“是”或“不是”） （2）下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由． ①明明发现：两个连续偶数和2k（其中k是正整数）构造的“连偶数”也是4的倍数． ②心心发现：2032是“连偶数”． 23. 如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若，判断，的位置关系，并说明理由． 24. 综合实践课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同工具画角的平分线的方法． （1）小轩选用了一把刻度尺画的角平分线，具体作法如下： ①如图，利用刻度尺在的两边上，分别取点，，使； ②连接，利用刻度尺画出的中点； ③画射线．则射线为的角平分线． 小轩的画法正确吗？请说明理由． （2）小彬也想画的平分线，这时小彬发现身边只有两种工具可供选用（如图）：一种是两块完全相同长方形小木板（长，宽）；另一种是一支带刻度的直角角尺．请你帮小彬选择其中一种工具设计画平分线的方案，要求：在图中画出示意图，简要叙述操作步骤，并说明方案可行的理由． 25. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．、两点的坐标分别为，，且，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． （1）求点、坐标； （2）连接，若存在，且的面积不大于时，求的取值范围； （3）过作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，在点运动的过程中，是否存在这样的点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦外瑞景分校2024-2025学年（上）八年级期中考试数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡． 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 3．答题卷使用0.5mm黑色水笔作答，作图题使用2B铅笔或0.5mm黑色水笔作答． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 榫卯拼接木艺是中国建筑的智慧结晶，仅靠木头之间的相互作用力就可以让建筑或家具牢固、美观．下列榫卯拼接截面示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A中不是轴对称图形，故不符合要求； B中不是轴对称图形，故不符合要求； C中是轴对称图形，故符合要求； D中不是轴对称图形，故不符合要求； 故选：C． 2. 如图，是的外角，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记定理是解题的关键．根据三角形外角的性质解答． 【详解】∵是的外角，， ∴， 故选：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算及合并同类项；根据同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D 4. 如图，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴． 故选． 5. 线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若，，则c的长可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用．熟练掌握三角形三边关系的应用是解题的关键． 根据三角形三边关系求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，即， ∴c的长可以是4， 故选：B． 6. 下列式子中，不能用平方差公式运算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键：． 【详解】解：A、不能用平方差公式运算，符合题意； B、能用平方差公式运算，不符合题意； C、能用平方差公式运算，不符合题意； D、能用平方差公式运算，不符合题意； 故选：A． 7. 如图，某人从点出发，前进后向右转，再前进后又向右转，按照这样的方式一直走下去，当他第一次回到出发点时，共走了（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和，正多边形的判定与性质．关键是根据每一个外角判断多边形的边数．从点出发，前进后向右转，再前进后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点时，所走路径为正多边形，根据正多边形的外角和为，判断多边形的边数，再求路程． 【详解】解：依题意可知，某人所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为， 则，解得， 故他第一次回到出发点时，共走了：（）． 故选． 8. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．勾股定理描述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如左图，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按右图的方式放置在最大正方形内．则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题关键是树立数形结合思想，知道大正方形面积等于两个小正方形面积和，通过面积和差得出阴影部分面积等于重叠部分面积．根据勾股定理可知，大正方形面积等于两个小正方形面积和，再利用面积和差可以得出阴影部分面积等于重叠部分面积． 【详解】解：由图可知，阴影部分面积大正方形面积两个小正方形面积重叠部分面积，根据勾股定理可知，大正方形面积等于两个小正方形面积和，右图中，重叠部分为一个长方形， ∴阴影部分面积重叠部分面积， ∵重叠部分的长为，宽为， ∴阴影部分面积重叠部分面积， 故选：． 9. 在中，，，三角形的高与高所在直线交于点H，点H在的外部，以下对的描述正确的是（ ） A. 是锐角 B. 是直角 C. 是钝角 D. 是锐角或钝角 【答案】D 【解析】 【分析】根据锐角三角形的三条高交点在三角形内部，直角三角形的三条高交点为直角顶点，钝角三角形的三条高所在直线交点在三角形外部，判断即可． 【详解】解：∵三角形的高与高所在直线交于点H，点H在的外部， ∴是钝角三角形， ∵， ∴与一个锐角一个钝角，具体谁是钝角无法确定， 故选：D． 10. 如图，已知等边三角形ABC，点D为线段BC上一点，以线段DB为边向右侧作△DEB，使DE＝CD，若∠ADB＝m°，∠BDE＝（180﹣2m）°，则∠DBE的度数是（　　） A. （m﹣60）° B. （180﹣2m）° C. （2m﹣90）° D. （120﹣m）° 【答案】A 【解析】 【分析】如图连接AE．证明△ADC≌△ADE（SAS），推出A，D，E，B四点共圆，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接AE． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝∠ABC＝60°， ∵∠ADB＝m°，∠BDE＝（180﹣2m）°， ∴∠ADC＝180°﹣m°，∠ADE＝180°﹣m°， ∴∠ADC＝∠ADE， ∵AD＝AD，DC＝DE， ∴△ADC≌△ADE（SAS）， ∴∠C＝∠AED＝60°，∠DAC＝∠DAE， ∴∠DEA＝∠DBA， ∴A，D，E，B四点共圆， ∴∠DBE＝∠DAE＝∠DAC＝（m﹣60）°， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，四点共圆等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题. 二、填空题（本大题共6小题，11题6分，其余每小题4分，共26分） 11. 计算： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______； （6）______． 【答案】 ①. ②. ③. ④. 1 ⑤. ## ⑥. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、零次幂、单项式除以单项式、熟练掌握积的乘方、零次幂、单项式除以单项式等运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）根据幂的乘方法则计算即可； （3）根据积的乘方法则计算即可； （4）根据零次幂法则计算即可； （5）根据单项式乘单项式法则计算即可； （6）根据单项式除以单项式法则计算即可 【详解】解：（1）， （2）， （3）， （4）1， （5）， （6）． 12. 我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是_______． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，正确把握其性质是解题的关键，根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，及三角形的稳定性． 【详解】解：可以推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 13. 陶瓷市场现有边长相等的正三角形，正方形，正五边形，正六边形的地板砖出售，某客想买其中的一种镶嵌着铺地板，则他不可以选择的是______． 【答案】正五边形 【解析】 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，分别求出各个正多边形每个内角的度数，结合镶嵌的条件是正多边形的一个内角的度数能整除360度进行求解即可． 【详解】解：正三角形的一个内角度数为60度，能整除360度，可以进行平面镶嵌； 正方形的一个内角度数为90度，能整除360度，可以进行平面镶嵌； 正五边形形的一个内角度数为，不能整除360度，不可以进行平面镶嵌； 正六边形形的一个内角度数为，能整除360度，可以进行平面镶嵌； 故答案为：正五边形。 14. 若是完全平方式，则_____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可得到a的值． 【详解】解：是完全平方式， ， ， 故答案为：． 15. 三条公路两两相交，要在该平面内修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离都相等，则满足条件的加油站可以建 _______处． 【答案】4##四 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． 根据角平分的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论． 【详解】解：∵三条公路两两相交，要求加油站到这三条公路的距离都相等， ∴加油站在角平分线的交点处，画出加油站位置如图所示，共4处． 故答案为：4． 16. 已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图（m为正整数），甲、乙的面积分别为，．若满足条件的整数n有且只有4个，则m的值为______． 【答案】1011 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的乘法法则、解不等式组，先表示出，，从而得出，结合满足的整数n有且只有4个得出，解不等式组即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：，， ， 为正整数， ， 满足的整数n有且只有4个，， 整数的值为，，，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共84分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是结合提取公因式与公式法进行因式分解． （1）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方和公式进行因式分解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 如图，在中，，，求证： 【答案】 证明：∵，， ∴， 在中，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据角的和差关系得到，三角形的内角和定理，得到即可． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算的代入求值， 先根据整式的乘法公式计算，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 20. 八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点C； （2）测量教学楼顶点A视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部E视线与地面夹角； （6）测量的长度． 测量数据 ，，，． 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 答：教学楼高度为． 21. 如图，在中，． （1）在边上找一点，使得点到边的距离与到边的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）在（1）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1） 的平分线如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的作法，画出图形即可； （2）作于．只要证明，根据三角形的面积公式即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于． ∵ ∴， ∵平分，， ∴， ∴的面积 ． 22. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“连偶数”．如：因此4，12，20都是“连偶数”． （1）请判断：52______“连偶数”；（填“是”或“不是”） （2）下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由． ①明明发现：两个连续偶数和2k（其中k是正整数）构造的“连偶数”也是4的倍数． ②心心发现：2032是“连偶数”． 【答案】（1）是 （2） ①明明的发现正确，理由如下： ， ∵k是正整数， ∴是正整数， ∴是4的倍数， ∴两个连续偶数和2k（其中k是正整数）构造的“连偶数”也是4的倍数； ②心心的发现不正确，理由如下： 由（1）可知“连偶数”是4的倍数， 那么当2032是“连偶数”时，一定存在一个正整数k满足， 解得，这与k是正整数矛盾， ∴2032不是“连偶数” ∴心心的发现不正确． 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，新定义： （1）看52能否可以用两个连续偶数的平方差表示即可得到结论； （2）①利用平方差公式求出，据此可得结论；②令，解方程看方程是否有正整数解即可得到结论． 【小问1详解】 解：， ∴52是“连偶数”； 故答案为：是； 【小问2详解】 略 23. 如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若，判断，的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2） ．理由： 如图，过点作， ∴， ∴， 由（）知， ∵， ∴， 又∵、分别平分和， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用四边形的内角和和角平分线的定义推导即可； （2）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答． 【小问1详解】 解：∵四边形的内角和为， ∴， ∵和是四边形的外角， ∴，， ∴ ， β ， ∵、分别平分和， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】此题主要考查了平行线的性质及其判定、平角的定义，四边形的内角和，角平分线的定义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练． 24. 综合实践课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同工具画角的平分线的方法． （1）小轩选用了一把刻度尺画的角平分线，具体作法如下： ①如图，利用刻度尺在的两边上，分别取点，，使； ②连接，利用刻度尺画出的中点； ③画射线．则射线为的角平分线． 小轩的画法正确吗？请说明理由． （2）小彬也想画的平分线，这时小彬发现身边只有两种工具可供选用（如图）：一种是两块完全相同长方形小木板（长，宽）；另一种是一支带刻度的直角角尺．请你帮小彬选择其中一种工具设计画平分线的方案，要求：在图中画出示意图，简要叙述操作步骤，并说明方案可行的理由． 【答案】（1） 解：小轩的画法正确，理由如下： 由作图可知，，， ∴射线为的角平分线（三线合一）； （2） 解：如图，用刻度的直角角尺在，上分别取，，连接、，交于，作射线，则射线就是的角平分线． 理由如下： 在和中 ∴， ∴， ∵，， ∴即， 在和中， ， ∴ ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的三线合一即可判定得解； （2）用刻度的直角角尺在，上分别取，，连接、，交于，作射线，则根据全等三角形的判定及及性质可判断射线就是的角平分线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．、两点的坐标分别为，，且，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． （1）求点、坐标； （2）连接，若存在，且的面积不大于时，求的取值范围； （3）过作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，在点运动的过程中，是否存在这样的点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）的范围是且； （3）存在这样的点，使，的值是或． 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的非负性求出、的值，即可得出答案； （2）分两种情况进行讨论，用表示出三角形的面积，然后分别求出的取值范围即可； （3）根据时，一定要使，然后分两种情况：在线段上时或在线段的延长线上进行讨论，求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，； 【小问2详解】 解：分为两种情况：①当在线段上时，如图所示： ，， ∴的面积， ∵若的面积不小于， ∴， 解得：； ②当在线段的延长线上时，如图所示： ∵，， ∴的面积， ∵若的面积不小于， ∴， 解得：； 综上所述：的范围是且； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 分两种情况：①当在线段上时，如图所示： ∵， ∴； ②当在线段的延长线上时，如图所示： ∵， ∴； 即存在这样的点，使，的值是或． 【点睛】本题主要考查了绝对值及二次根式的非负性，三角形面积的计算，三角形全等的性质，解不等式组，注意进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $