专题6.5 用一次函数解决问题（5种方法7类题型）（知识点梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题6.5 用一次函数解决问题（5种方法7类题型）（知识点梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点1】利用一次函数解决实际问题的步骤 审—仔细审题理解题意； 找—找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系； 列—建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围； 解—根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程； 验—检验结果，得出符合实际的结论. 【知识点2】一次函数模型的应用方法 函数应用题是以贴近现实生活的话题为背景运用函数知识来解决的一类问题这类问题也是中考的热点，要求能依据问题的特点建立函数模型，收集信息，并加以解决. 【知识点3】选取合适的一次函数解决方案问题 方案的选取就是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，同时也是利用一次函数解决实际问题的典型题目，它的实质是将比较函数值大小的问题转化为解方程或解不等式的问题. 【知识点4】利用一次函数最值解决最优化问题的方法 最值问题是中考的热点与难点问题我们知道，一次函数()中的自变量的取值范围是全体实数,其图象是一条直线所以函数既没有最大值，也没有最小值，但由于在实际问题中，所列函数表达式中自变量的取值范围往往有一定的限制，所以函数图象为线段或射线，故函数就有了最值在求函数的最值时，我们应先求出函数的表达式，并确定其增减性，再根据题目条件确定出自变量的取值范围，然后结合增减性确定出最大值或最小值. 【知识点5】构造一次函数模型解决动态几何问题的方法 在图形运动变化过程中，往往伴随着图形位置关系及数量关系的变化，有些能够用一次函数来反映图形运动的变化规律解决动态几何问题，要动中有静、动静结合，在运动变化中提高学生的想象能力、综合分析能力. 题型目录 【题型1】利用一次函数解决方案分配问题.......................................2; 【题型2】利用一次函数求最大利润问题.........................................4； 【题型3】一次函数与几何问题.................................................7； 【题型4】一次函数与行程问题................................................12； 【题型5】利用一次函数解决其他问题..........................................15； 【题型6】直通中考..........................................................18； 【题型7】拓展延伸..........................................................21. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用一次函数解决方案分配问题 【例1】（24-25八年级上·全国·期末）某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． (1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ (2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【答案】(1)电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元；(2)当时，方案一更省钱；当时，两种方案花费一样；当时，方案二更省钱． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答的关键是根据题意找出等量关系列出方程组或一次函数表达式，用分类讨论的方法确定优惠方案． （1）根据题意，列出相应的二元一次方程组，从而可以求得电子白板和平板电脑的单价各是多少万元； （2）根据题意，分别写出两种方案下，关于的函数关系式，再利用分类讨论的方法可以得到该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 解：（1）设购买电子白板的单价为x万元，平板电脑的单价是y万元， ， 解得： ， 答：电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； （2）由题意可得，方案一∶关于的函数表达式为∶， 方案二∶关于a的函数表达式为∶， 当时，得，即当时，选择方案一； 当时，得，即当时，方案一和方案二花费一样多； 当，得，即当时，选择方案二； 综上所述，当时，方案一更省钱，当时，两种方案花费一样，当时，方案二更省钱． 【变式1】某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为时两种消费卡所需费用分别为，元，，与的函数图象如图所示，当游泳次数为30次时选择哪种消费卡更合算（    ） A．甲种更合算 B．乙种更合算 C．两种一样合算 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象，哪个函数图象在上面，哪个就大，直接得出答案即可． 解：利用图象，当游泳次数大于10次时， 在上面，即＞， ∴当游泳次数为30次时，选择乙种方式省钱． 故选：B． 【点拨】此题主要考查了一次函数的应用以及利用函数图象比较函数大小，利用数形结合得出是解题关键． 【变式2】．（2021·浙江杭州·二模）A城有种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，则W关于x的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机，就可以得到关系式． 解：由题意得：因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机 W＝250x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240[40﹣（34﹣x）] ＝140x+12540， 故答案为：W＝140x+12540． 【点拨】本题考查一次函数的应用，属于一般的应用题，解答本题的关键是根据题意得出y与x的函数关系式． 【题型2】利用一次函数求最大利润问题 【例2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ (2)设购进甲种剪纸装饰套，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费元，求与之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套．该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)甲种剪纸装饰套装单价为50元，乙种剪纸装饰套装单价为40元；(2) (3) 购进甲种剪纸40套，乙种剪纸20套时，所获利润最大，最大利润为800元 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键． （1）设则甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元，根据购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元，列方程组，解方程组即可； （2）购进甲种剪纸套，则购进乙种剪纸套，总费用y元为甲乙种剪纸装饰套装费用的和列出一次函数即可； （3）设甲、乙两种剪纸装饰获得的利润为元，甲种剪纸装饰套装利润为元，乙种剪纸装饰套装利润为元，则，即，根据一次函数的性质求解即可． 解：（1）设则甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：甲种剪纸装饰套装单价为50元，乙种剪纸装饰套装单价为40元． （2）由题可知，购进甲种剪纸套，则购进乙种剪纸套， 根据题意，得， 即， ∴与之间的函数关系式为． （3）设甲、乙两种剪纸装饰获得的利润为元，根据题意，得 ，即， ∵， ∴随的增大而增大， ∵该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元， ∴，即， 解得， ∴， ∵为非负整数， ∴当时，取最大值，（元）， 此时套， 答：购进甲种剪纸40套，乙种剪纸20套时，所获利润最大，最大利润为800元． 【变式1】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）在期中考试总结会议上，学校决定购买A，B两种奖品共120件，对表现优异的学生进行奖励．已知A种奖品的价格为32元/件，B种奖品的价格为15元/件． （1）请直接写出购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式； （2）当购买了30件A种奖品时，总费用是多少元？ （3）若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是多少元？ 【答案】(1)；(2)2310元；(3)总费用最多是2650元． 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意，确定函数关系式是解本题的关键； （1）由总费用等于购买两种奖品的费用之和建立函数关系式即可； （2）把代入（1）中的解析式计算即可； （3）利用一次函数的性质解答即可； 解：（1）根据题意，得： ， 即购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式为； （2）当时，， 答：当购买了30件A种奖品时，总费用是2310元； （3）由题意，得， 由（1）可知为， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值为， 答：若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是2650元． 【变式2】（23-24八年级下·河北唐山·期末）某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价元/件；乙种服装进价元/件，售价160元/件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则的值为 ．(其中) 【答案】9 【分析】本题考查一次函数的实际应用，设商场获得的利润为，根据总利润等于两种服装的利润之和，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，结合商场获利最大利润为4950元，进行求解即可． 解：设商场获得的利润为，由题意，得： ， 整理，得：， ∵， 当，即：时，随的增大而减小， ∴当时，商场获得最大利润， 即：，解得：（舍去）； 当时，即：时，随的增大而增大， ∴当时，商场获得最大利润， 即：，解得：； 故答案为：9． 【题型3】一次函数与几何问题 【例3】（23-24八年级上·四川成都·期中）如图1，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点、与直线交于点． (1)求直线与的解析式； (2)若点在射线上运动，连接，是否存在和的面积比为，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，若为直线上一动点，以为直角作等腰直角三角形，其中，．连接，，当周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为：，直线的表达式为：；(2)存在，或； (3) 【分析】本题考查了一次函数的性质，涉及到三角形的全等，点的对称，面积的确定，解题的关键一次函数的综合运用，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）由待定系数法即可求解； （2）当点P在线段上时，当和的面积比为，则即可求解；当点P在点C的上方时，则点C是的中点，即可求解； （3）设点，求出点N的坐标为，进而求解； 解：（1）将点B的坐标代入直线的表达式为：， 即直线的表达式为：， 当时，，即点， 将点的坐标代入直线的表达式得：，则， 故直线的表达式为：； （2）存在，理由： 当点线段在上时， 当和的面积比为，则， 则， 当， 解得：， 则点的坐标为：； 当点在点的上方时， 则点是的中点， 由中点坐标公式得：点； 综上，点的坐标为：或； （3）设点， 过点作轴于点，过点作轴于点， ，则， ， ， ，， ， 则，， 则点的坐标为：， 则点在直线①上，设该直线分别交轴于点，以为边向右作正方形，由直线的表达式轴， 其和轴负半轴的夹角为，则点落在直线上，点关于直线的对称点为点， 由直线知，点，则，则点， 连接交直线于点，则此时，周长最小， 理由：周长为最小， 由点、的坐标得，直线的表达式为：②， 联立①②得：， 解得：， 解得：， 则点的坐标为：． 【变式1】（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）如图，从光源发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值为（　　） A． B． C．1 D．﹣1 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定与性质，延长，交轴于点，过点作轴，证明，得出，从而得出点的坐标为，再代入一次函数解析式即可得出答案． 解：延长，交轴于点，过点作轴，如图所示： ∵轴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 将坐标代入得，， 解得， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）一次函数的图象交轴、轴分别于点，，点，分别是，的中点，若是上一动点．当周长最小时，的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及轴对称最短路线问题，由点，的坐标及点，分别是，的中点，可得出点，的坐标，作点关于轴的对称点，连接交于点，此时周长最小，由点的坐标可得出点的坐标，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出当周长最小时点的坐标． 解：点的坐标为，点的坐标为，点是的中点，点为的中点， 点的坐标为，点的坐标为． 作点关于轴的对称点，连接交于点，此时周长最小，如图所示． 点的坐标为， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为． 当时，， 此时点的坐标为．故答案为： ． 【题型4】一次函数与行程问题 【例4】（2024·吉林长春·模拟预测）小明和小亮兄弟两人一起去上学，家到学校的路程为1500米，两人先一起匀速走了10分钟后，小明发现有重要物品遗落在家，立即匀速跑步回家，取到物品后立即以返回家的速度跑回学校（取物品的时间忽略不计），恰好与步行的小亮同时到达学校，两人距家的路程y（米）与两人离家的时间x（分）之间的函数关系如图所示． (1) ______，______； (2)求小明返回家后，再次返回学校时y与x之间的函数关系式； (3)直接写出两人相距600米时x的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)和. 【分析】本题考查了从函数图像获取信息，路程问题，求函数解析式，一次函数的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据图像信息，以及路程、速度、时间的关系，可求得小亮的速度，从而求得的值，也可求得小明与小亮分离后的速度，从而求得小明跑回家所用时间，从而求得的值； （2）根据（1）可得小明到家时，y与的值，小明到学校时，y与的值，设小明返回家后，再次返回学校时y与x之间的函数关系式为，代入数据求得，的值即可解题； （3）由题可知，两人相距600米时有种情况，分别讨论两人分离时和小明返回家后，开始追击小亮时这两种情况的路程、速度、时间关系，根据“两人相距600米”建立等式求解，即可解题． 解：（1）由题可知，小亮的行走速度为：（）， 小亮行走到学校的时间为：（），即， 又两人先一起匀速走了10分钟后，小明跑回家又跑回学校时与小亮同时到达， 小明与小亮分离后的速度为：（）， 小明跑回家所用时间为：（）， ， 故答案为：，； （2）由（1）可知：小明回到家时，距家的路程米，离家的时间为分钟，小明返回学校时，距家的路程米，离家的时间为分钟，设小明返回家后，再次返回学校时y与x之间的函数关系式为：， 可得：，解得：， 小明返回家后，再次返回学校时y与x之间的函数关系式为：； （3）由题可知，两人相距600米时有种情况： ①两人分离后，且小明未到家时，设两人相距600米所用时间为， 可得：，解得：， 此时； ②小明返回家后，开始追击小亮时，设两人相距600米所用时间为， 此时两人相距（），可得： ，解得：， 此时； 出两人相距600米时x的值为和． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内400米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点．所跑的路程s（米）与所用的时间t（秒）之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第（    ） A．80秒 B．105秒 C．120秒 D．150秒 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的运用，一次函数的图象的意义的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用．解答时认真分析求出一次函数图象的数据意义是关键． 解：设直线的解析式为， 把点代入中，得， 解得， 故直线的解析式为， 设线段的解析式为， 由题意得， 解得， 线段的解析式为， 当时，， 解得， 则她们第一次相遇的时间是起跑后的第120秒． 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）摩托车甲、汽车乙从相距的A、B两地相向而行，图中 、分别表示甲、乙两车离A地的距离与行驶时间 之间的函数关系．当时，汽车乙离A地的距离不小于摩托车甲离A地的距离的时间范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解答此题的关键．先利用待定系数法求出两直线解析式，最后根据汽车乙离A地的距离不小于摩托车甲离A地的距离，列出一元一次不等式解不等式即可得到答案． 解：设的解析式为，将代入得：，解得， 解析式为， 同理可得的解析式为， 根据题意得：， 解得：， 又∵． ∴汽车乙离A地的距离不小于摩托车甲离A地的距离的时间范围是： 【题型5】利用一次函数解决其他问题 【例5】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）五月是圣女果与羊角蜜成熟的季节，这两种水果深受人们的喜爱．水果经销商小明每次从两种水果的产地购进两种水果进行销售，圣女果的批发价为5元/千克，羊角蜜每千克的批发价根据购买量给予优惠．设小明购进羊角蜜x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． (1)直接写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若小明计划一次性购进圣女果、羊角蜜共100千克，且圣女果不少于45千克，但又不超过60千克，如何分配圣女果与羊角蜜的购进量，才能使小明付款总金额元最少？ (3)在（2）的结论下，小明将圣女果与羊角蜜的销售价格分别定为7元/千克和10元/千克，当全部销售完两种水果时，小明决定将总利润的为正整数捐赠给儿童福利院，捐赠后使总利润不低于256元，求m的最大值． 【答案】(1)；(2)购进圣女果为千克，则购进羊角蜜千克，才能使小明付款总金额(元)最少； (3)8. 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用中的最优解问题及一元一次不等式的应用． （1）由图已知与的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可； （2）设购进圣女果为千克，则购进羊角蜜千克，根据实际意义可以确定的范围，结合付款总金额(元)与两种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用； （3）根据题意求出羊角蜜此时的进价，再根据题意列出一元一次不等式求解即可． 解：（1）当时, 设, 根据题意得， 解得， ∴； 当时，， 当时, 设， 根据题意得解得 ， ∴， ； （2）设购进圣女果为千克，则购进羊角蜜千克， ∴， 当时，则， ， 当时. 元； 当时,则， ， 当时, 元， ， 答：购进圣女果为千克，则购进羊角蜜千克，才能使小明付款总金额(元)最少； （3）由（2）知购进圣女果为千克，则购进羊角蜜千克， 此时，羊角蜜的进价为6元， 根据题意得：，即， 解得， ， ∴m的最大值为． 【变式1】（24-25九年级上·北京·开学考试）小明同学在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，下表给出与的一些对应值：根据小明的数据，可以得出该品牌38码鞋子的长度为（    ） 码数x 26 30 34 42 长度y 18 20 22 26 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的应用．根据待定系数求出一次函数解析式，然后再将代入函数解析式，求出y的值即可． 解：设与的一次函数解析式为， 点，在该函数图象上， ∴， 解得， 即与的函数解析式为， 当时，， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·湖南长沙·期末）某医院研究所开发了一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化情况如图所示，如果每毫升血液中的含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么这个最有效的时间共有 小时． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，求出时，与之间的函数关系式，时，与之间的函数关系式，把代入所得的两个函数解析式，看得到的相应时间，较大的数减较小的数即为有效时间． 解：设时，正比例函数解析式为，把代入得，， 当时，与之间的函数关系式是； 设时，一次函数解析式为， ，，在函数解析式上， ， 解得， 当时，与之间的函数关系式是； 把代入得，； 把代入得，， 有效时间为， 如果每毫升血液中的含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么这个最有效的时间共有4小时． 故答案为：4． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型6】直通中考 【例1】（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，先求出a的取值范围，再得出每天分拣快递的件数当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多． 解：（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台， ∴， ∴， ∵每天分拣快递的件数， ∴当时，每天分拣快递的件数最多为万件， ∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台． 【例2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示： 水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲 22 乙 25 该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元． （1）求的值； （2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元）与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润． 【答案】(1)，；(2)，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是∶ （1）根据“购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元”列方程求解即可； （2）分，两种情况讨论，根据总利润等于甲的利润与乙的利润列出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可． 解：（1）根据题意，得， 解得； （2）当时， 根据题意，得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为， 即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元； 当时， 根据题意，得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴时，有最大值，最大值为， 即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元； 综上，，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元． 【题型7】拓展延伸 【例1】．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】直线直线可知，点坐标为，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的序号之间的规律是解题的关键． 解：∵直线l：与x轴负半轴交于点， ∴点坐标为， ∴， 过，，作轴交x轴于点M，轴交于点D，交x轴于点N，    ∵为等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∴， 当时，，解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，解得：， ∴； 而， 同理可得：的横坐标为， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键. 【例2】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，直线，垂足为点为线段上一点（不与端点重合），过点作直线轴，交直线于点，交直线点． (1)求线段的长； (2)当时，求点的坐标； (3)若直线过点，点为线段上一点，为直线上的点，已知，连接，，求线段的最小值． 【答案】(1); (2); (3) 【分析】（1）先求出点坐标，得出，再根据等面积法建立等式，计算即可作答． （2）设点D的坐标为，结合，表达出的值，再结合（1）求出的解析式，表达出点F的坐标，根据建立等式，计算即可作答． （3）在上取点，，连接，运用勾股定理求出，然后得到，根据全等性质，得，，点，，三点共线时，则有最小值，根据勾股定理列式计算，即可作答． 解：（1）∵直线分别交轴，轴于点， ∴当，则，故； 当，则，故； ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； （2）依题意，设点D的坐标为， ∵过点作直线轴，交直线于点，交直线点．且， ∴当，则， 解得 ∴，即； 过点C作 由（1）知，， ∴， 根据等面积法， 得， ∴， 则， 设直线的解析式为， 把代入， 解得， ∴直线的解析式为， 则点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）如图：在取，连接，作关于的对称点，连接，， ，，， ，， ，，， ， ， 由对称的性质可知， ， 则点，，三点共线时，则有最小值， 此时最小值． 【点拨】本题考查了一次函数的几何综合：求一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，勾股定理，综合性强，难度大，运算量大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.5 用一次函数解决问题（5种方法7类题型）（知识点梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点1】利用一次函数解决实际问题的步骤 审—仔细审题理解题意； 找—找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系； 列—建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围； 解—根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程； 验—检验结果，得出符合实际的结论. 【知识点2】一次函数模型的应用方法 函数应用题是以贴近现实生活的话题为背景运用函数知识来解决的一类问题这类问题也是中考的热点，要求能依据问题的特点建立函数模型，收集信息，并加以解决. 【知识点3】选取合适的一次函数解决方案问题 方案的选取就是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，同时也是利用一次函数解决实际问题的典型题目，它的实质是将比较函数值大小的问题转化为解方程或解不等式的问题. 【知识点4】利用一次函数最值解决最优化问题的方法 最值问题是中考的热点与难点问题我们知道，一次函数()中的自变量的取值范围是全体实数,其图象是一条直线所以函数既没有最大值，也没有最小值，但由于在实际问题中，所列函数表达式中自变量的取值范围往往有一定的限制，所以函数图象为线段或射线，故函数就有了最值在求函数的最值时，我们应先求出函数的表达式，并确定其增减性，再根据题目条件确定出自变量的取值范围，然后结合增减性确定出最大值或最小值. 【知识点5】构造一次函数模型解决动态几何问题的方法 在图形运动变化过程中，往往伴随着图形位置关系及数量关系的变化，有些能够用一次函数来反映图形运动的变化规律解决动态几何问题，要动中有静、动静结合，在运动变化中提高学生的想象能力、综合分析能力. 题型目录 【题型1】利用一次函数解决方案分配问题.....................................2; 【题型2】利用一次函数求最大利润问题.......................................3； 【题型3】一次函数与几何问题...............................................3； 【题型4】一次函数与行程问题...............................................4； 【题型5】利用一次函数解决其他问题.........................................5； 【题型6】直通中考.........................................................7； 【题型7】拓展延伸.........................................................8. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用一次函数解决方案分配问题 【例1】（24-25八年级上·全国·期末）某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． (1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ (2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【变式1】某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为时两种消费卡所需费用分别为，元，，与的函数图象如图所示，当游泳次数为30次时选择哪种消费卡更合算（    ） A．甲种更合算 B．乙种更合算 C．两种一样合算 D．无法确定 【变式2】．（2021·浙江杭州·二模）A城有种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，则W关于x的函数关系式为 ． 【题型2】利用一次函数求最大利润问题 【例2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ (2)设购进甲种剪纸装饰套，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费元，求与之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套．该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【变式1】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）在期中考试总结会议上，学校决定购买A，B两种奖品共120件，对表现优异的学生进行奖励．已知A种奖品的价格为32元/件，B种奖品的价格为15元/件． （1）请直接写出购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式； （2）当购买了30件A种奖品时，总费用是多少元？ （3）若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是多少元？ 【变式2】（23-24八年级下·河北唐山·期末）某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价元/件；乙种服装进价元/件，售价160元/件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则的值为 ．(其中) 【题型3】一次函数与几何问题 【例3】（23-24八年级上·四川成都·期中）如图1，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点、与直线交于点． (1)求直线与的解析式； (2)若点在射线上运动，连接，是否存在和的面积比为，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，若为直线上一动点，以为直角作等腰直角三角形，其中，．连接，，当周长最小时，求点的坐标． 【变式1】（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）如图，从光源发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值为（　　） A． B． C．1 D．﹣1 【变式2】（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）一次函数的图象交轴、轴分别于点，，点，分别是，的中点，若是上一动点．当周长最小时，的坐标是 ． 【题型4】一次函数与行程问题 【例4】（2024·吉林长春·模拟预测）小明和小亮兄弟两人一起去上学，家到学校的路程为1500米，两人先一起匀速走了10分钟后，小明发现有重要物品遗落在家，立即匀速跑步回家，取到物品后立即以返回家的速度跑回学校（取物品的时间忽略不计），恰好与步行的小亮同时到达学校，两人距家的路程y（米）与两人离家的时间x（分）之间的函数关系如图所示． (1) ______，______； (2)求小明返回家后，再次返回学校时y与x之间的函数关系式； (3)直接写出两人相距600米时x的值． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内400米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点．所跑的路程s（米）与所用的时间t（秒）之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第（    ） A．80秒 B．105秒 C．120秒 D．150秒 【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）摩托车甲、汽车乙从相距的A、B两地相向而行，图中 、分别表示甲、乙两车离A地的距离与行驶时间 之间的函数关系．当时，汽车乙离A地的距离不小于摩托车甲离A地的距离的时间范围是 ． 【题型5】利用一次函数解决其他问题 【例5】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）五月是圣女果与羊角蜜成熟的季节，这两种水果深受人们的喜爱．水果经销商小明每次从两种水果的产地购进两种水果进行销售，圣女果的批发价为5元/千克，羊角蜜每千克的批发价根据购买量给予优惠．设小明购进羊角蜜x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． (1)直接写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若小明计划一次性购进圣女果、羊角蜜共100千克，且圣女果不少于45千克，但又不超过60千克，如何分配圣女果与羊角蜜的购进量，才能使小明付款总金额元最少？ (3)在（2）的结论下，小明将圣女果与羊角蜜的销售价格分别定为7元/千克和10元/千克，当全部销售完两种水果时，小明决定将总利润的为正整数捐赠给儿童福利院，捐赠后使总利润不低于256元，求m的最大值． 【变式1】（24-25九年级上·北京·开学考试）小明同学在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，下表给出与的一些对应值：根据小明的数据，可以得出该品牌38码鞋子的长度为（    ） 码数x 26 30 34 42 长度y 18 20 22 26 A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·湖南长沙·期末）某医院研究所开发了一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化情况如图所示，如果每毫升血液中的含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么这个最有效的时间共有 小时． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型6】直通中考 【例1】（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 【例2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示： 水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲 22 乙 25 该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元． （1）求的值； （2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元）与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润． 【题型7】拓展延伸 【例1】．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ． 【例2】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，直线，垂足为点为线段上一点（不与端点重合），过点作直线轴，交直线于点，交直线点． (1)求线段的长； (2)当时，求点的坐标； (3)若直线过点，点为线段上一点，为直线上的点，已知，连接，，求线段的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$