第2周-【拔尖特训】2024-2025学年六年级上册数学（苏教版）江苏专用

第2周 教材思考题 变化中的体积问题 (教材P22思考题)一个长方体,如果高 增加2厘米,就变成一个正方体。这时表面 积比原来增加56平方厘米。原来长方体的 体积是多少立方厘米? [解析] 长方体的高增加2厘米后变成了正 方体,说明原来长方体的底面是一个正方 形,长等于宽且等于正方体的棱长,由此可 知原来长方体的高比长和宽均少2厘米。 再看表面积的变化,原来长方体的上面平移 到正方体的上面,所以增加的表面积就是上 面的小长方体前、后、左、右4个面的面积 和。这4个面完全相同,可以先求出1个面 的面积,然后用1个面的面积除以宽(即高 增加的2厘米)得到原来长方体的长或宽, 再求出原来长方体的高,从而求出原来长方 体的体积。 [答案] 56÷4=14(平方厘米) 14÷2=7(厘米) 7-2=5(厘米) 7×7×5=245(立方厘米) 答:原来长方体的体积是245立方厘米。 点评:一个长方体的高增加或减少后,上面和下 面的面积不变,增加或减少的表面积等于增加或 减少部分前、后、左、右4个面的面积和。利用已 知条件求出原来长方体的长、宽、高即可求解。 1. 李师傅加工一根长方体木料,如果将高减 少2分米,就得到一个棱长为6分米的正 方体。你知道李师傅加工的这根长方体 木料原来的体积是多少立方分米吗? 2. 一根长方体木料的长截去5分米后,就变 成一个正方体,其表面积比原来长方体的 表面积减少80平方分米。原来这根长方 体木料的体积是多少立方分米? 3. 如下图,有一个长方体钢块,从上下两端 分别锯掉一个高2厘米和一个高6厘米 的长方体钢块后,得到一个正方体钢块, 这个正方体钢块比原来长方体钢块的表 面积减少了160平方厘米。原来长方体 钢块的体积是多少立方厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 一　长方体和正方体 讲 解 视 频 错 题 本 思维创新题 等积变换问题 枫枫放学回家,看见桌上放着两个玻璃 鱼缸,爸爸对他说:“枫枫,我现在把A鱼缸 的水倒到B鱼缸中,使两个鱼缸中的水深 一样。”爸爸倒水后,这两个鱼缸现在的水深 是多少厘米? [解析] 不管怎么倒水,水的体积不变。可以将 两个鱼缸并排放在一起,将有水的部分看成是 一个底面长60cm、宽50cm的长方体(如下图)。 由“长方体的体积=底面积×高”,可知“长 方体的高=体积÷底面积”,从而计算出现 在的水深。本题中两个鱼缸的宽相等,且 B鱼缸的长是A鱼缸的2倍,所以B鱼缸的 底面积是A鱼缸底面积的2倍。根据题意, 可以将原来 A 鱼缸中的水分成2+1= 3(份),A鱼缸中的水占其中的1份,因此现 在的水深是24÷3=8(cm)。 [答案] 20×50×24÷[(20+40)×50]= 8(cm)或24÷[(40÷20)+1]=8(cm) 答:这两个鱼缸现在的水深是8cm。 点评:解决此类问题的关键是抓住不变量,如本 题中,鱼缸中的水无论怎么倒,水的体积是不变 的。根据水的体积不变,结合长方体的体积计算 公式即可求出水深。 1. 某航天员在太空中演示乒乓球浮力消失 的实验时,将一个乒乓球浸没在水中(如 图)。这个乒乓球的体积大约是33.5cm3, 浸没后,水面上升了多少分米? (得数保 留两位小数) 2. 如下图,有一块长方形地,甲处比乙处高 50厘米。现在要把这块地推平整,使得 两处一样高,要从甲处推下多少厘米厚的 土填在乙处? 3. 一个长10厘米、宽8厘米的长方体水槽, 水深6厘米。现将一根底面积为30平方 厘米的长方体铁棒竖直放入水中,其底面 与水槽底面完全接触,水没有溢出,仍有 部分铁棒露出水面,现在水深多少厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 数学(苏教版·江苏专用)六年级上 讲 解 视 频 错 题 本 附：答案与解析 一　长方体和正方体 第1周 综合拓展题 长方体包装带长度问题 1. (34.5+22.5+47.5)×4=418(厘米) 2. 50×4+40×4+30×8+20=620(cm) 3. 40×2+35×2+15×2×4+18=288(厘米) 288厘米=2.88米 教材思考题 不规则物体的表面积问题 1. (1) 3×3×(6+9+6)×2=378(平方厘米) (2) 3×3=9(厘米) 9×9×6=486(平方厘米) 3×3×3-1-4-9=13(个) 2. (10×8+10×4+6×6+3×3+8×4+6×6+ 3×3)×2=484(平方厘米) 解析:本题中的不规 则物体可看作上面面积是10×8=80(平方厘米)、 前面面积是10×4+6×6+3×3=85(平方厘米)、 右面面积是8×4+6×6+3×3=77(平方厘米)的 长方体,再利用公式求出表面积。 第2周 教材思考题 变化中的体积问题 1. 6×6×(6+2)=288(立方分米) 2. 80÷4÷5=4(分米) 4×4×(4+5)=144(立方分米) 3. 160÷4=40(平方厘米) 40÷(2+6)=5(厘米) 5×5×(2+6+5)=325(立方厘米) 思维创新题 等积变换问题 1. 33.5cm3=0.0335dm3 0.0335÷(4×0.8)≈0.01(dm) 2. 50厘米=0.5米 (100-40)×30×0.5÷(100×30)=0.3(米) 0.5-0.3=0.2(米) 0.2米=20厘米 3. 10×8×6÷(10×8-30)=9.6(厘米) 解析:水槽中水的体积在放入铁棒前 后没有发生变化。由于放入的铁棒 占据了部分底面积,故形成了一个 “回”字形的底面(如图)。这时水的形状变成了一个 中间被抽去一个长方体的中空的长方体,且仍可以 根据“体积=底面积×高”计算它的体积,因此可以 用“水的体积÷‘回’字形底面积”求水深。 第3周 综合拓展题 切割中的表面积问题 1. 表面积:8×8×6-4×4×2=352(平方分米) 体积:8×8×8-4×4×8=384(立方分米) 2. ① 当从正方体的顶点处挖时,如图①,表面积 是4×4×6=96(平方厘米),表面积不变;② 当从 正方体的棱的中间处挖时,如图②,表面积是4× 4×6+1×1×2=98(平方厘米),表面积增加2平 方厘米;③ 当从正方体的面的中间处挖时,如图③, 表面积是4×4×6+1×1×4=100(平方厘米),表 面积增加4平方厘米 3. 5×5×5-1×1×5×2+1×1×1=116(立方厘 米) 5×5×6-1×1×4+1×(5-1)×4×2= 178(平方厘米) 解析:打孔后橡皮泥的体积等于 棱长为5厘米的正方体的体积减去2个横截面是 边长为1厘米的正方形、高为5厘米的长方体的体 积,再加上正方体中间被多减一次(棱长为1厘米) 的小正方体的体积。打孔后橡皮泥的表面积等于 原正方体的表面积减去4个边长为1厘米的正方 形的面积和,再加上2个高为(5-1)厘米、长和宽 都为1厘米的长方体的侧面积。 思维创新题 露出水面的长度问题 1. 10×10×30=3000(cm3) 40×40-10×10= 1500(cm2) 3000÷1500+30=32(cm) 2. 25×8×14=2800(立方厘米) 60×50-25× 8=2800(平方厘米) 2800÷2800+14=15(厘米) 3. 20×20×10÷(60×40-20×20)=2(厘米) 30-2=28(厘米) 解析:铁棒部分浸在水中,当轻 轻向上提起铁棒时,水的体积不变,则提起的那部 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 33 附：答案与解析