一 长方体和正方体-【拔尖特训】2024-2025学年六年级上册数学（苏教版）江苏专用

[注:标“★”题目配有解读类板块,详见“答案与解析”。] 一 长方体和正方体 第1课时 长方体和正方体的认识 1. (南通海安)如图所示为一个长 方体物体长、宽、高的数据,这个 物体可能是( )。 A. 橡皮 B. 手机 C. 六年级《数学》书 D. 文具盒 2. 填一填。 (1) 薇薇用棱长1厘米的小正方体拼成下图 所示的长方体。 这个长方体的长是( )厘米,宽是( ) 厘米,高是( )厘米,它的( )面和 ( )面是正方形,面积都是( )平方厘 米,其余( )个面是完全相同的长方形,每 个面的面积是( )平方厘米。由此推想, 在一个长方体中(不包括正方体),最多有 ( )个面是完全相同的长方形,最多有 ( )条棱的长度相等。 (2) 王师傅准备焊一个棱长3dm的正方体 框架,至少需要( )dm的铁丝。 (3) (几何直观)如图所示为蓓 蓓用橡皮泥团和长度相等的小 木棒搭成的立体图形。如果要 把它变成正方体,那么还需要( )个这样 的橡皮泥团和( )根这样的小木棒。 (4) 下面四种长方形硬纸板(单位:厘米)各 有若干张,从中选三种围成一个长方体,应选 ( )种、( )种和( )种硬纸板。 3. 下图中的礼品盒是长10厘米、宽6厘米、高 2厘米的长方体,丝带的打结部分长15厘 米。捆扎这个礼品盒需要多长的丝带? 4. (生活应用)萱萱用两根同样长的铁丝分别制 作了一个花灯框架(如图),正方体花灯框架 的棱长是多少厘米? 5. (1) 爷爷找来一些铁棒,长度是5分米的铁 棒有5根,长度是6分米的铁棒有8根,长度 是7分米的铁棒有3根,长度是8分米的铁 棒有7根。爷爷准备用这些铁棒焊长方体框 架,他有( )种焊法。(每条棱上只用1根 铁棒) (2) 将一个棱长6厘米的正方体切成两个相 同的长方体,每个长方体中有( )条棱的 长度是6厘米。 6. ★一个长方体木块正好可以切成两个完全相 同的正方体木块,已知长方体木块的棱长总 和是80厘米,求切成的每个正方体木块的棱 长总和。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1 讲 解 视 频 错 题 本 第2课时 长方体和正方体的展开图 1. 填一填。 (1) 下面的纸板中,沿虚线折叠后能围成正 方体的有( )张,是( )(填序号)。 (2) 迪迪从一个长方体纸盒上撕下两个相邻 的面(不完整)后将其展开铺平(如左下图), 这个纸盒的底面积是( )cm2。 (3) 一个长方体的展开图如右上图所示,如 果前面是F面,从左面看是B面,那么上面 是( )面。(字母在长方体的外侧) 2. (数形结合)将一个长方体沿着棱剪开,得到 如左下图所示的展开图(单位:厘米)。涂色 部分的面积是( )平方厘米。 3. 右上图是轩轩画的长方体展开图,若有缺少 部分,则直接在图中补全;若有多余部分,则 把图中多余部分画上阴影以表示去掉,并在 图中标出“下面”“左面”“前面”“右面”和“后 面”。(标出的字在长方体的外侧) 4. 选一选。 (1) 沙包是用碎布缝制而成的正方体口袋, 内用细沙、豆类或大米填满。萱萱用如图所 示的6块碎布缝了一个沙包,成品是( )。 A. B. C. D. (2) (模型意识)将一个正方体纸盒沿如图所 示的裁剪线剪开,并展成平面图,其形状为 ( )。 A. B. C. D. 5. (思维过程)浩浩在一张长方形纸上画了一个 棱长3厘米的正方体的展开图,这张长方形 纸的面积至少是多少平方厘米? 6. ★一个正方体的六个面分别写着数字1~6, 如下图所示为三种不同的摆法,其中数字1 的对面是数字( )。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 数学(苏教版·江苏专用)六年级上 讲 解 视 频 错 题 本 第3课时 长方体和正方体的表面积(1) 1. 求下面立体图形的表面积。 2. 填一填。 (1) (南京玄武区)一个正方体的底面积是120平 方分米,它的表面积是( )平方分米。 (2) 一个长方体中相交于同一顶点的三个面 的面积分别是16平方米、10平方米、40平方 米,这个长方体的表面积是( )平方米。 (3) 萱萱用60厘米长的铁丝正好焊了一个 正方体框架,给这个框架的表面糊纸,至少需 要( )平方厘米的纸。 3. (生活应用)如图,轩轩网购了一 套《百科全书》。 (1) 有下图中三种尺寸的纸箱(从 里面量,单位:dm),能装下这套 书的纸箱有( )。 (2) 在能装下这套书的纸箱中,哪种最节约 纸板? 制作一个这种纸箱,至少需要多少平 方分米的纸板? 4. 用三个棱长为a 米的正方体拼成一个长方 体,这个长方体的表面积比原来三个正方体 的表面积之和减少了( )平方米。 5. (几何直观)体育课上,将一个垫子折叠成长 方体(如图)。制作一个这样的垫子至少需要 多少平方米的帆布? (接头处忽略不计) 6. 用一根长120厘米的铁丝正好围成一个长 15厘米、宽9厘米的长方体框架。如果在长 方体框架的各个面都贴上彩纸,那么至少需 要多少平方厘米的彩纸? 7. ★把一个表面积是150平方厘米的正方体切 成两个完全相同的长方体,每个长方体的表 面积是多少平方厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 一　长方体和正方体 讲 解 视 频 错 题 本 第4课时 长方体和正方体的表面积(2) 1. 填一填。 (1) 一节长方体通风管的长是1.2m,宽和高 都是2dm。制作20节这样的通风管,需要 铁皮( )dm2。(损耗忽略不计) (2) 一个长8dm、宽5dm、高4dm的长方体 玻璃缸里装有3dm高的水,跟水接触的玻璃 的面积是( )dm2。 2. (生活应用)围棋社对活动室的四面墙壁(如 下图,单位:米)进行粉刷(不包括上面),社长 了解到某品牌涂料的信息如下表所示。这次 粉刷至少要准备多少钱? 规 格 可粉刷面积 价 格 30千克/桶 35平方米 378元/桶 3. 萱萱发现一本书(如图)的书皮坏了,她想用 家里一张B4的卡纸给这本书包书皮,包得住 吗? (B4的卡纸尺寸为25.7cm×36.4cm) 4. 妈妈买了一个三层书架(如图),书架外包装 标明“50cm×30cm×150cm”。做这个书 架,至少需要多少平方分米的木板? (木板材 质相同,厚度忽略不计,左面、右面、后面、上 面、底面及中间隔板均为木板) 5. 有一个装饼干的长方体铁盒(如下图),高是 30厘米,底面是周长为80厘米的正方形,在 这个铁盒的侧面贴满一圈包装纸,接头处有 4厘米宽。包装纸的面积是多少平方厘米? 6. (生活体验)菲菲和小伙伴们一起制作了一个 抽屉,拉手所在的面比抽屉的后面高5厘米, 制作这个抽屉至少需要多少平方分米的木 板? (木板的厚度忽略不计) 7. (思维过程)一个长方体的长是5分米,宽是 2分米,高是3分米。如果要使这个长方体 的表面积增加20平方分米,宽和高都不变, 那么长应增加多少分米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 数学(苏教版·江苏专用)六年级上 讲 解 视 频 错 题 本 第5课时 练 习 课 1. 填一填。 (1) (生活应用)王伯伯准备在墙角处搭一个 正方体形状的鸡舍(两面靠墙),搭鸡舍框架 用的3根钢筋一共长12米(如图)。如果露 在外面的面用塑料网包裹,那么至少需要 ( )平方米的塑料网。 (2) 一个底面是正方形,且底面面积是16平 方厘米、高是15厘米的长方体,它的表面积 是( )平方厘米。 2. (数形结合)下面两个立体图形都是由棱长 1厘米的正方体搭成的。 立体图形①的表面积=(4+7+6)×2= 34(平方厘米),其中4平方厘米、7平方厘 米、6平方厘米分别是从上面、前面和右面看 到的图形的面积。 (1) 用求立体图形①的表面积的方法,求立 体图形②的表面积,列式并计算为( )。 (2) 如果添加同样大的正方体,把立体图形 ②补成一个长方体,那么这个长方体的表面 积至少是( )平方厘米。 3. 选一选。 (1) 贝贝用棱长为1厘米的小正方体摆成一个 物体,从前面、右面和上面分别观察这个物 体,看到的形状如图所示,这个物体的表面积 是( )平方厘米。 A. 13 B. 16 C. 28 D. 26 (2) 一个长方体的展开图如图所示(单位:cm), 涂色部分的面积之和为56cm2。下面关于这 个长方体的表面积的说法,正确的是( )。 A. 这个长方体的表面积为71cm2 B. 这个长方体的表面积为142cm2 C. 这个长方体的表面积为127cm2 D. 以上都不正确 (3) (连云港灌云)一个长方体的长、宽、高分 别是a厘米、b厘米、c厘米。若高增加4厘 米,则它的表面积增加( )平方厘米。 A. 4ab B. 64 C. 8a+8b D. 2ab+2bc 4. 一个长方体的长、宽、高的数值(单位:厘米) 都是质数。已知它的上面、前面这两个面的 面积之和是209平方厘米,则这个长方体的 表面积是多少平方厘米? 5. 一个长方体(如图)的长为8厘米,上面与前 面的面积之和为72平方厘米,右面的面积是 上面的一半,求这个长方体的表面积。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 一　长方体和正方体 讲 解 视 频 错 题 本 第6课时 体积和容积的意义 1. 填一填。 (1) 在冰箱、茶叶盒、草莓三种物体中,( ) 的体积最大,( )的体积最小。 (2) (地域美食)镇江香醋具有“色、香、酸、醇、 浓”的特点。满满一瓶镇江香醋,( ) 的体积就是( )的容积。(填“镇江香 醋瓶”或“镇江香醋”) (3) 把同样多的水分别倒入3个不同的杯子 中,情况如下:①号杯正好能倒满3杯;②号 杯未倒满3杯;③号杯倒满3杯后还剩一些 水。这3个杯子相比,( )号杯的容积最 大,( )号杯的容积最小。 2. 选一选。 (1) 冷藏冰柜的容积( )它的体积。 A. 大于 B. 等于 C. 小于 D. 无法比较 (2) 把一块橡皮泥先捏成长方体,再捏成正 方体,它们的( )不变。 A. 形状 B. 表面积 C. 体积 D. 棱长总和 (3) 有以下说法:① 空气虽然看不见、摸不 着,但它也有体积;② 所有的物体都有容积; ③ 将一块石头浸没在装满水的杯子中,石头 的体积就是溢出的水的体积;④ 在甲、乙两个 水壶中装满水,甲水壶能倒满5杯水,乙水壶 能倒满同样的7杯水,甲水壶的容积比乙水 壶的容积小。其中,正确的有( )个。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 下面( )号长方体盒子的容积大一些。 (填序号,每个小正方体完全相同) 4. 认真观察水面的变化情况(单位:cm),发现小 球和长方体相比,( )的体积大一些。 5. 有甲、乙两个厚度均匀的无盖长方体泡沫箱 (如下图),从外面量,两个泡沫箱的长、宽、高 都相等。它们的体积相等吗? 容积呢? 为什 么? (底部厚度与各自的箱壁厚度相同) 6. (操作探究)给你一个正方体铁块和一个铁 球,请你设计一个实验:比一比哪个物体的体 积更大一些。 7. (探索规律)用12个棱长1厘米的小正方体 摆成一个长方体,一共能摆成几种不同形状 的长方体? 它们的体积相等吗? 为什么? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 数学(苏教版·江苏专用)六年级上 讲 解 视 频 错 题 本 第7课时 体积单位 1. 在括号里填合适的单位。 (1) 一瓶墨水约有50( )。 (2) 一颗奶糖的体积约是2( )。 (3) 一个饮用水桶的容积约是19( ), 倒出一杯水,大约是300( )。 (4) 一台冰箱的体积大约是1.2( ), 容积大约是650( )。 2. 选一选。 (1) (生活体验)将一个成年人的拳头浸没在 装满水的盆中,溢出来的水的体积( )。 A. 小于1毫升 B. 大于1毫升,小于1升 C. 大于1立方米 D. 大于1升,小于1立方米 (2) 要盛2L水,用容器( )最合适。 A. B. C. D. (3) 一个果汁瓶的外包装纸上标有“净含量 500mL”的字样,那么该果汁瓶的体积可能 是( )cm3。 A. 460 B. 480 C. 500 D. 520 (4) (模型意识)用一些1立方厘米的小正方 体摆成一个大正方体,大正方体的体积可能 是( )立方厘米。 A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 3. (1) 右面的立体图形是用体积为 1立方厘米的小正方体摆成的, 它的体积是( )立方厘米。 (2) 如果用这些小正方体摆出其他形状的物 体,那么它们的体积( )。(填“相等”或 “不相等”) 4. (推理意识)下面的立体图形都是用体积为 1立方厘米的小正方体拼成的,有一部分被 遮住了,它们的体积各是多少? ( )立方厘米 ( )立方厘米 5. 下图中每个小球的体积是( )立方厘米, 每个大球的体积是( )立方厘米。 6. (1) 如下图,钢块的体积是( )cm3。 (2) 如右图,左边小 正方体的体积是1立 方厘米,右边物体的 体积大约是( ) 立方厘米。 7. (1) ★华华用若干个1cm3 的小正方体木块 摆了一个物体,下面是从不同方向观察到的 图形。这个物体的体积是( )cm3。 (2) 用几个体积是1立方厘米的小正方体摆 成一个物体,下面是从不同方向看到的物体 的形状,这个物体的体积最小是( )立方 厘米,最大是( )立方厘米。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 一　长方体和正方体 讲 解 视 频 错 题 本 第8课时 长方体和正方体的体积(1) 1. 计算下面长方体和正方体的体积。 2. 一个长方体铁块长12分米,宽6分米,高 3分米。如果每立方分米铁块重7.8千克, 那么这个长方体铁块重多少千克? 3. (生活应用)一个长方体水箱,从里面量,长 2.5米,宽0.8米,深1.2米。水箱的壁上有 一个洞(如下图),这个水箱最多能盛水多少 立方米? 4. (镇江丹徒区)从外面量长方体酸奶盒,长 5厘米,宽4厘米,高10厘米。浩浩喝了一半 后,盒中可能还剩( )毫升酸奶。 A. 95 B. 100 C. 190 D. 200 5. (1) 正方体的底面周长是16厘米,它的体积 是( )立方厘米。 (2) 一个长方体容器,从里面 量,长6dm,宽4dm,深5dm。 一天,容器的一个面被打碎了, 需要把容器倾斜一定角度来盛水(如右图)。 用这个被打破的容器,最多能盛水( )L。 6. 从前面、右面分别观察一个长方体盒子,看到 的形状如图所示。 (1) 这个长方体盒子的体积是( )立方 厘米。 (2) 若在它里面放棱长2厘米的正方体,则 最多可以放( )个。 (3) 若将这个长方体盒子的高增加h 厘米, 则表面积比原来增加( )平方厘米,体积 增加( )立方厘米。(不考虑盒身厚度) 7. 一个长方体的高截去2分米后就变成一个棱 长是4分米的正方体,原来长方体的体积是 多少立方分米? 8. (思维过程)如图,把一张边长是12厘米的正 方形纸剪成一个“十”字形图案,并将其折成 一个无盖的正方体纸盒。这个正方体纸盒的 体积是多少立方厘米? 9. 一个长方体,长14分米,高6分米。如果把 它切成两个小长方体(如下图),那么表面积 增加108平方分米。求原来长方体的体积。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 数学(苏教版·江苏专用)六年级上 讲 解 视 频 错 题 本 第9课时 长方体和正方体的体积(2) 1. 计算下面长方体或沿虚线折叠的长方体的 体积。 2. (生活应用)李叔叔很喜欢养鱼,为了装饰鱼 缸,他把一个体积是8立方分米的假山石放 入长方体鱼缸中(假山石浸没在水中,水未溢 出),水面上升了5厘米,这个长方体鱼缸的 底面积是多少平方分米? 3. 填一填。 (1) 一根长方体钢材,长1.2米,横截面是边 长1分米的正方形。将长切掉6分米后,它 的体积减少( )立方分米。 (2) 一个底面长20米、宽5米的长方体水 池,深2.5米,向其中注入120立方米水后, 水深( )米。 (3) (南通崇川区)一个无盖的长方体容器, 长10厘米,宽8厘米,高12厘米。明明先往 容器里注入一些水,使水面距离容器口4厘 米;再往水里放一些鹅卵石,有部分水溢出; 最后把这些鹅卵石取出,这时水面下降了 6厘米。一共溢出( )毫升水。(水的损 耗忽略不计) 4. 一个长方体形状的冰箱的容积是200升,如 果从外面量这个冰箱的底面是一个面积为 25平方分米的正方形,那么这个冰箱的高最 有可能是( )分米。 A. 6 B. 8 C. 10 D. 32 5. 一个封闭的长方体容器(如下图),里面装着 水,它的长、宽、高分别是20厘米、20厘米、 30厘米。萱萱不小心把容器碰倒了,则现在 水深多少厘米? 6. 如下图,一根2.5米长的长方体木料锯成 3段后,表面积比原来增加48平方分米。原 来这根木料的体积是多少立方分米? 7. (生活体验)星期天,贝贝和明明来找丽丽玩, 丽丽拿出一瓶646mL的果汁,将其倒入以下 两个杯子(单位:cm)中。你能算出这两个杯 子中各有多少毫升果汁吗? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 一　长方体和正方体 讲 解 视 频 错 题 本 第10课时 体积单位间的进率 1. 填一填。 (1) 在括号里填合适的数。 0.75立方分米=( )立方厘米 2060立方分米=( )立方米 400立方厘米=( )毫升=( )升 8立方米40立方分米=( )立方米 5.09升=( )升( )毫升 (2) 在 里填“>”“<”或“=”。 9.07m3 9m3700dm3 7.2平方米 72平方分米 900毫升 900立方厘米 456立方厘米 4.56立方分米 (3) 把0.08立方米、0.8升、80立方厘米、 8立方分米、8毫升按从小到大的顺序排列: ( )。 (4) 一根长方体木料,长9米,宽0.3米,高 0.2米。将它锯成若干个棱长1分米的正方 体木块,最多可以锯成( )个,将这些正方 体木块排成一排,长( )米。 2. (生活体验)用规格是10厘米×6厘米×20厘 米的纸质包装盒装( )升的饮料比较合适。 A. 1.1 B. 1.2 C. 1.3 D. 1.4 3. 一个长方体油箱,从里面量,长90厘米,宽 60厘米,高50厘米。制作这样一个油箱最 少需要多少平方分米铁皮? 若每升汽油重 0.72千克,则这个油箱最多能装多少千克汽 油? (铁皮的厚度忽略不计) 4. 一个装满水的长方体容器,长 0.6dm,宽0.4dm,高1.2dm。 枫枫倒出( )mL水后,容器 中空出的部分如右图所示。 5. (生活应用)航空公司规定:体积超过20厘 米×40厘米×55厘米或质量超过10千克的 行李需要托运。李叔叔带了一个长38厘米、 宽15厘米的礼盒,体积是34.2立方分米,质 量为9.8千克,这个礼盒需要托运吗? 6. 如下图,一个无水观赏鱼缸中放有一块高为 28厘米、体积为3500立方厘米的假山石。若 以每分钟7升的速度向鱼缸中注水,则至少 多长时间后才能将假山石浸没在水中? 7. ★一个正方体容器的棱长是40厘米,容器内 的水面高35厘米。现将一根长50厘米、横 截面积是400平方厘米的长方体铁棒竖直插 入水底,会溢出多少升水? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 数学(苏教版·江苏专用)六年级上 讲 解 视 频 错 题 本 第11课时 练 习 课 1. (1) 一个长方体游泳池,长80米,宽40米,深 1.8米。 ① 这个游泳池的占地面积是( )平方米。 ② 沿着池周往下0.6米处有一条水位线,这 条水位线的总长是( )米。 ③ 游泳池中的水正好到这条水位线处,游泳 池中有( )吨水。(1立方米水重1吨) (2) (南通海安)一个长8分米、宽5分米、高 3分米的长方体,它的表面积是( )平方 分米。如果高减少2分米,那么表面积减少 ( )平方分米。 (3) 妈妈买的微波炉的容积是( )L。 2. (生活应用)一个无盖的空长方体玻璃鱼缸, 它的底面是边长为5分米的正方形。向鱼缸 里注入50升水后,鱼缸的高度正好是水面高 度的3倍。(玻璃的厚度忽略不计) (1) 这个玻璃鱼缸一共可以盛多少升水? (2) 做这样一个玻璃鱼缸,至少需要多少平 方分米的玻璃? 3. 如图,长方体的长是12米,涂色面的周长是 5.4米,面积是1.8平方米。这个长方体的 表面积是多少平方米? 4. 在长10厘米、宽7厘米、高5厘米的长方体 的8个顶点处分别截下一个棱长1厘米的小 正方体,则剩下物体的表面积是多少平方厘 米? 体积是多少立方厘米? 5. 如下图,一个长方体的长是12厘米,高是8厘 米,涂色部分的两个面的面积和是200平方 厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米? 6. (思维过程)一个长方体的表面积是108平方 分米,其中一个面的长是4分米,宽是3分 米,这个长方体的体积是多少立方分米? 7. 如下图,将一根长方体木料从左、右两端分别 锯掉4厘米和1厘米长的两段,得到一个正 方体,这时正方体的表面积比原来长方体木 料的表面积减少了60平方厘米。原来长方 体木料的体积是多少立方厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 一　长方体和正方体 讲 解 视 频 错 题 本 整理与练习(1) 1. 填一填。 (1) 在括号里填合适的单位。 一台洗衣机的体积约是400( )。 一间仓库的容积约是1000( )。 学校食堂的占地面积约是8000( )。 (2) 在括号里填合适的数。 350mL=( )L 4.08m3=( )dm3 3.78L=( )dm3=( )cm3 (3) 两个完全相同的长方体,长6cm,宽5cm, 高3cm,用它们拼成一个表面积最小的长方 体,拼成的长方体的表面积是( )cm2,体 积是( )cm3。 (4) 用4个棱长3dm的正方体拼成一个长 方体,长方体的表面积可能是( )dm2,也 可能是( )dm2,体积都是( )dm3。 (5) 一个长方体饼干盒,长20cm,宽15cm, 高30cm。若在饼干盒的四周贴商标纸,商 标纸离上、下面的边缘分别相距1cm,接头 处长2cm,则商标纸的面积是( )cm2。 (6) (生活应用)在一个底面是边长8cm的正 方形、高是18cm的长方体容器中倒入一定 量的水,水面距离容器口2cm。把一块鹅卵 石放入容器中,有部分水溢出,当把鹅卵石取 出后,水面下降5cm。一共溢出( )mL 水。(水的损耗忽略不计) 2. 沿下图中的虚线折叠,可以围成一个长方体, 这个长方体的表面积和体积各是多少? 3. (推理意识)一个长方体,若将长增加2厘米, 则体积增加48立方厘米;若将宽增加2厘 米,则体积增加80立方厘米;若将高增加 2厘米,则体积增加120立方厘米。原来长 方体的表面积是( )平方厘米。 4. 用一张长40cm、宽20cm的长方形铁皮做 一个深5cm的无盖长方体容器(焊接处和铁 皮厚度忽略不计)。下面三种焊接方法中,哪 种焊接后做成的长方体容器的容积最大? 5. 下图是在长8厘米、宽4厘米的长方形纸上 剪出来的图形,它能折叠成一个高1厘米的 长方体,在图中画出折叠成长方体的折痕,并 计算出长方体的体积。(纸的厚度忽略不计) 6. (思维过程)把一个大长方体分割成一个表面 积是150平方厘米的正方体和一个表面积是 110平方厘米的长方体,那么原来大长方体 的体积是多少立方厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 数学(苏教版·江苏专用)六年级上 讲 解 视 频 错 题 本 整理与练习(2) 1. 填一填。 (1) 有6根4厘米长的小棒、9根5厘米长的 小棒和3根6厘米长的小棒,用其中的12根 与橡皮泥团搭成一个长方体框架,这个长方 体框架的棱长总和是( )厘米。(接口处 忽略不计) (2) (生活应用)紫石公园里有一个长方体花 坛,从花坛的外面量,高1m,底面是边长 1.6m的正方形,四周用厚度为0.2m的砖石 砌成,这个花坛占地( )m2。若给花坛内 填满泥土,则一共需要泥土( )m3;若给花 坛的四周贴瓷砖,则一共要贴( )m2。 (3) 一个长方体容器,从里面量,长12cm,宽 10cm,高16cm。萱萱向这个容器里倒了一些 水,正好出现两个面是正方形的情形,这时放 入一些石子,正好又出现两个面是正方形的 情形,这些石子的体积是( )cm3。 (4) 妈妈做了一个表面积是24dm2 的正方 体蛋糕,把它切成4个完全相同的长方体,每 个长方体的表面积可能是( )dm2,也可 能是( )dm2。 2. (操作探究)下图是一个由棱长1厘米的小正 方体摆成的物体。 (1) 画出从前面、上面和右面看到的图形。 (2) 这个物体的表面积是( )平方厘米, 体积是( )立方厘米。 (3) 不移动原有的小正方体,至少再添 ( )个同样的小正方体,就可以得到一个 大正方体。这个大正方体的表面积是( ) 平方厘米,体积是( )立方厘米。 3. 如下图,用混凝土浇筑一个无盖的长方体水 槽(底面也浇筑),从外面量,长14分米,宽 7分米,高5分米,混凝土厚1分米。 (1) 这个水槽能盛水多少升? (2) 浇筑这个水槽一共要用多少立方分米的 混凝土? 4. (思维过程)一个长方体按以下三种方法分割 成了两个长方体,表面积分别增加了30cm2、 40cm2 和24cm2。原来长方体的表面积是 多少? 5. 一个长方体纸箱的底面周长是2米,底面积 是24平方分米,表面积是108平方分米。这 个长方体纸箱的体积是多少立方分米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 一　长方体和正方体 讲 解 视 频 错 题 本 表面涂色的正方体 1. (南通如东)右图是用若干个棱 长1dm的小正方体拼成的大正 方体。 (1) 将拼成的大正方体表面全部涂色后,再 将其分成棱长1dm的小正方体,其中两面涂 色的小正方体有( )个,所有面没有涂色 的小正方体有( )个。 (2) 把这些小正方体排成一排,共长( )m。 2. 根据图形合理推断。 如果用n 表示把大正方体的棱平均分的份 数,用a、b、c、d 分别表示3面涂色、2面涂 色、1面涂色和6面都没有涂色的小正方体 的个数,那么a=( ),b=( ), c=( ),d=( )。 3. 某蛋糕店的店员把一个沾满椰蓉的正方体蛋 糕切成若干个同样大的小正方体,2面沾椰 蓉的有36个,这个正方体蛋糕被切成了 ( )个小正方体,1面沾椰蓉的小正方体 有( )个。 4. 有一个表面涂色的大正方体(包括底面),用 激光把它全部切割成棱长为1厘米的小正 方体,已知6面都没有涂色的小正方体有 27个,则这个涂色的大正方体的体积是多少 立方厘米? 5. (模型意识)用若干个棱长a厘米的小正方体 堆成如图所示的物体,然后在其表面涂上红 色(不包括底面),其中3面涂色的小正方体 和4面涂色的小正方体各有几个? 6. (探索规律)把一个表面涂色的大正方体分成 若干个相同的小正方体,在所有小正方体中, 3面涂色的有a个,2面涂色的有b个,1面 涂色的有c个,6面都不涂色的有d个。 (1) 在a、b、c、d 中,( )是固定不变的, ( )一定是12的倍数。 A. a B. b C. c D. d (2) ( )一定是6的倍数。 A. a+b B. b+c C. c+d D. a+c (3) 当将大正方体的棱平均分成( )份 时,b、c、d相等;当将大正方体的棱平均分成 ( )份时,b<c能成立;当将大正方体的 棱平均分成( )份时,b<d能成立。 A. 2 B. 4 C. 6 D. 以上答案都不对 7. ★数学课上,洪老师先把一个长6厘米、宽5厘 米、高4厘米的长方体的6面都涂上黄色,再 把它全部切成棱长1厘米的小正方体。3面、 2面、1面涂黄色的小正方体分别有多少个? 8. 将一个长方体的表面涂上蓝色,然后把它切 成若干个相同的小正方体。如果6面都没有 涂色的小正方体有4个,那么2面涂色的小 正方体有( )个或( )个。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 数学(苏教版·江苏专用)六年级上 讲 解 视 频 错 题 本 提分真题集训 1. 填一填。 (1) (南通海安)如图,把长1.5m的长方体木 料平均锯成3段,表面积比原来增加2.4dm2, 原来这根木料的体积是( )dm3。 (2) (南通如东)看图回答问题。(左下图是 用棱长1cm的小正方体拼成的) ① 拼成这个物体共用了( )个小正方体。 ② 拼成的物体的表面积是( )cm2。 ③ 不移动原有的小正方体,至少要添加 ( )个这样的小正方体,才能拼成一个大 正方体。 (3) (南京玄武区)一个长方体(如右上图), 如果它的高增加1厘米,它就变成了一个正 方体,表面积会比原来增加12平方厘米。这 个长方体的长是( )厘米,体积是( ) 立方厘米。 2. 选一选。 (1) (南京玄武区)一盒果汁的包装盒上标有 “净含量600mL”,从外面量,长方体包装盒 的长是10cm,宽是4cm,高是15cm,包装盒 上的这个标注( )。 A. 准确 B. 不准确 C. 可能准确 D. 无法确定 (2) (南通如东)用4个棱长acm的小正方 体拼成一个大长方体(如图),拼成的大长方 体的表面积是( )cm2。 A. 24a2 B. 20a2 C. 18a2 D. 16a2 (3) (南通海安)观察图中数字1、2、3所在的 位置,挖掉( )处的一个小正方体后,剩下 部分的表面积最大。 A. 数字1 B. 数字2 C. 数字3 D. 无法确定 3. (连云港)一个正方体的上半部分涂有颜色, 请在展开图上将涂色部分补充完整。 4. (南京秦淮区)同学们都知道“乌鸦喝水”的故 事,一个正方体水槽里装了一些水(如图),乌 鸦只能够到水槽最上沿,在水槽的旁边有大 小不一的三块石头,你能选择其中的两块石 头,帮助乌鸦喝到水吗? 请说说你的做法,并 用计算加以说明。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 一　长方体和正方体 讲 解 视 频 错 题 本 第一单元整合提升 类型一 选择合适的长方形围长方体 考虑到长方体的长、宽、高,能围成长方体的不同长方 形,通常长、宽的数据有3种或2种。 1. (推理意识)有下面三种规格的纸板各四张, 从中选六张做成一个长方体,这个长方体的 体积是多少立方厘米? (接头处忽略不计) 2. 现有四种不同规格的长方形(或正方形)铁皮 各若干张:① 长6分米,宽5分米;② 长5分 米,宽4分米;③ 长6分米,宽4分米;④ 边长 4分米。请你从中选五张铁皮,焊接一个无盖 的长方体(或正方体)水箱,一共可以焊接成多 少种不同的水箱? 每种规格的铁皮各要选几 张? (接头处与铁皮的厚度忽略不计) 类型二 切拼中表面积的变化 切拼长方体或正方体时,其表面积会增加或减少,计 算切拼后长方体或正方体的表面积,需要弄清增加或 减少的面积。 3. 如图,把一个表面积是150平方厘米的正方 体切成8个完全相同的小正方体,这8个小 正方体的表面积之和是多少平方厘米? 4. 用彩纸把4个长8分米、宽5分米、高3分米 的长方体礼盒包装成一个大长方体礼盒,最 少需要多少平方分米的彩纸? 类型三 借助体积不变解决问题 解决有关浸没、熔铸或锻造等实际问题时,关键是要 抓住体积不变的特征。 5. 一个容器的内底面是长90厘米、宽40厘米 的长方形,容器里斜放着一根高1米的长方 体铁棒(浸没),铁棒底面是边长为18厘米的 正方形,这时容器里的水深0.5米。如果把 铁棒取出,那么容器里的水深多少厘米? (水 的损耗忽略不计) 6. (思维过程)如下图,一个长15分米、宽12分 米的长方体水箱中有10分米深的水。如果在 水中浸没一个棱长30厘米的正方体铁块(水 未溢出),那么现在水箱中的水深多少分米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61 数学(苏教版·江苏专用)六年级上 讲 解 视 频 错 题 本 易错点一 对表面积的意义理解不透彻 求立体图形几个面的面积总和时,要先确定是哪几个 面,再解答。 7. ★丁丁的书桌抽屉是一个长4.5dm、宽 3.5dm、高1.6dm的长方体,做这样一个抽 屉至少需要多少平方分米的木板? 易错点二 审题不清,导致错误 解决有两问的题目时,容易错把第一问的答案作为第 二问的条件直接拿来使用,要注意审题,思考问题与 哪些信息相关。 8. 一个长方体铁皮油箱,从里面量,底面是周长 为16分米的正方形,高是5分米。制作这个 油箱至少需要多少平方分米的铁皮? 按每升 汽油0.75千克计算,这个油箱能装多少千克 汽油? (铁皮厚度忽略不计) 易错点三 解决问题时未联系实际情况 解决实际问题时,要联系实际情况,具体问题具体 分析。 9. (生活体验)在一个棱长40厘米的盛满水的 正方体容器中,垂直放入一根底面是边长 20厘米的正方形、高是60厘米的长方体铁 棒,会溢出多少升的水? 素养点一 利用等积变换巧解物体部分浸入水 中的问题 10. 数学实践课上,萱萱先向一个从里面量棱长 为6分米的正方体玻璃容器里倒了2分米 深的水,再将一个棱长为4分米的正方体铁 块浸入水中,此时水深多少分米? 思路提示:解决此类物体部分浸入水中的问题 时,可使用如下公式:水的深度=水的体积÷水 的底面积(容器的底面积-物体的底面积)。 素养点二 包装中的数学问题 11. (生活应用)林叔叔要把6个长17cm、宽 7cm、高3cm的长方体包装成一个大长方 体,怎样包装最省包装纸? 表面积最小时包 装纸的面积是多少平方厘米? (重叠处忽略 不计) 思路提示:想一想,把6个相同的长方体包装成 一个大长方体,有几种包装方法? 每一种包装方 法需要的包装纸的面积分别是多少? 再选出需 要包装纸最少的那种方法,最后思考,按这种包 装方法包装的大长方体的长、宽、高有什么特点? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 一　长方体和正方体 一　长方体和正方体 第1课时 长方体和正方体的 认识 讲 解 视 频 错 题 本 1. B 2. (1) 4 3 3 左 右 9 4 12 4 8 (2) 36 (3) 3 4 (4) 甲 乙 丁 3. 10×2+6×2+2×4+15=55(厘米) 4. (8+4+3)×4÷12=5(cm) 5. (1) 3 解析:根据长方体的特征,可以用列表 法解答。 5分米 6分米 7分米 8分米 4根 8根 8根 4根 4根 4根 4根 (2) 8 解析:切成的每个长方体有12条棱,其中 4条棱的长度是6÷2=3(厘米),其余8条棱的长 度都是6厘米。 6. 80÷(8+8)×12=60(厘米) 解析:根据题意,可画出示意图。从图 中可以看出,原来长方体木块的棱长总 和相当于正方体木块(8+8)条棱长的和,由此可以 先求出正方体木块的棱长,进而求出切成的每个正 方体木块的棱长总和。 方法归纳 运用转化思想解决求棱长总和的问题 把长方体的棱长总和转化为正方体几条 棱的长度和,就可以求出正方体的棱长,进而 求出正方体的棱长总和。 第2课时 长方体和正方体的 展开图 讲 解 视 频 错 题 本 1. (1) 3 ④⑤⑥ (2) 18 (3) C 2. 21 3. 4. (1) C (2) B 5. (5×3)×(2×3)=90(平方厘米) 解析:当长 方形纸的面积最小时,能画出的正方体的展开图如 图所示。此时这 张 长 方 形 纸 的 长 是5×3= 15(厘米),宽是2×3=6(厘米),面积是15×6= 90(平方厘米)。 6. 5 解析:根据②③两种摆法可以看出,与数字5 相邻的数字有2、3、4、6,所以数字5的对面是数字 1,即数字1的对面是数字5。 方法归纳 运用推理法确定正方体相对面上的数字 先找出正方体中与某一个面相邻的四个 面上的数字,再推出它相对面上的数字。 第3课时 长方体和正方体的 表面积(1) 讲 解 视 频 错 题 本 1. 0.4×1.2×4+0.4×0.4×2=2.24(m2) (15×8+15×22+8×22)×2=1252(cm2) 2. (1) 720 (2) 132 (3) 150 3. (1) ①③ (2) 2<2.5 纸箱③最节约纸板 (2.5×1.6+2.5×2+1.6×2)×2=24.4(dm2) 4. 4a2 解析:三个棱长为a米的正方体拼成的长 方体,长3a米,宽a米,高a米。如图: , 每拼一次,其表面积就减少两个边长是a 米的正 方形的面积之和,一共拼了2次,就减少了2a2× 2=4a2(平方米)。 5. 5分米=0.5米 20厘米=0.2米 0.2÷2= 0.1(米) (0.5×0.5+0.5×0.1+0.5×0.1)× 2=0.7(平方米) 0.7×2=1.4(平方米) 解析:仔细观察可以发现,帆布的面积就是两个长 是5分米、宽是5分米、高是(20÷2)厘米的长方体 的表面积之和。 6. 120÷4-15-9=6(厘米) (15×9+15×6+ 9×6)×2=558(平方厘米) 解析:先求出长方体 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1 框架的高,再求出长方体框架的表面积,即至少需 要彩纸的面积。 7. (6+2)÷2=4(个) 150÷6×4=100(平方厘米) 解析:正方体的表面积是6个正方形的面积之和, 把它切成两个完全相同的长方体,增加了2个面 (正方形),这时两个长方体的表面积之和相当于正 方体6+2=8(个)面的面积之和,因此每个长方体 的表面积相当于正方体8÷2=4(个)面的面积 之和。 方法归纳 厘清关系巧求长方体的表面积 解决此类问题时,不一定要求出长方体的 长、宽、高,只要厘清每个长方体的表面积相当 于原来正方体几个面的面积之和即可解题。 第4课时 长方体和正方体的 表面积(2) 讲 解 视 频 错 题 本 1. (1) 1920 (2) 118 2. 10×3.5×2+8×3.5×2=126(平方米) 1.5×1.2×2+1.5×2=6.6(平方米) 126-6.6=119.4(平方米) 119.4÷35≈4(桶) 378×4=1512(元) 3. 13.8×2+2.5=30.1(cm) 36.4>30.1 25.7>19.2 包得住 4. 50×30×4+30×150×2+50×150=22500(cm2) 22500cm2=225dm2 5. (80+4)×30=2520(平方厘米) 解析:接头处 有4厘米宽,说明包装纸的实际面积比铁盒侧面积 多了“4厘米×高”。若把包装纸展开,则它的长是 长方体铁盒的底面周长与4厘米的和,宽是长方体 铁盒的高。 6. 80×15×2+80×60+60×15+60×(15+5)= 9300(平方厘米) 9300平方厘米=93平方分米 解析:制作抽屉的木板包括一块长60厘米、宽15厘 米的长方形木板(后面),两块长80厘米、宽15厘米 的长方形木板(左、右面),一块长80厘米、宽60厘米 的长方形木板(底面),一块长60厘米、宽(15+5)厘米 的长方形木板(拉手所在的面)。 7. 解:设长应增加x分米。 2x×2+3x×2=20 x=2 检验略 解析:增加的表面积就是增加的 小长方体上、下、前、后四个面的面积和,可设长应 增加x分米,根据“上、下两个面的面积和+前、后 两个面的面积和=20平方分米”这一数量关系列 方程解答。 第5课时 练 习 课 讲 解 视 频 错 题 本 1. (1) 48 (2) 272 2. (1) (9+7+7)×2=46(平方厘米) (2) 66 3. (1) D (2) B 解析:将这个长方体的长用acm表示,观 察题图中的涂色部分,一个是长为acm、宽为5cm 的长方形,一个是长为acm、宽为3cm的长方形, 则它们的面积之和是5a+3a=8a(cm2),所以a= 56÷8=7。所以这个长方体的表面积为(7×5+ 7×3+5×3)×2=142(cm2)。 (3) C 解析:高增加4厘米,表面积就增加了长是 a厘米、宽是b厘米、高是4厘米的长方体的侧面 面积。 4. 209=11×19 19=2+17 (17×11+17×2+ 11×2)×2=486(平方厘米) 解析:已知上面、前面这 两个面的面积之和是209平方厘米,上面的面积= 长×宽,前面的面积=长×高,则长×(宽+高)= 209平方厘米。把209分解质因数,209=11×19, 而11无法转换成两个质数的和,19可以转换成 2+17,所以这个长方体的长、宽、高的数值(单位: 厘米)分别是11、2、17或11、17、2,再将其代入长 方体表面积计算公式,计算出结果即可。 5. 72÷8=9(厘米) 高:8÷2=4(厘米) 宽:9- 4=5(厘米) 表面积:8×5×2+8×4×2+5×4× 2=184(平方厘米) 解析:已知上面的面积+前 面的面积=72平方厘米,则宽与高的和为72÷8= 9(厘米)。因为右面的面积是上面的一半,所以高 是长的一半,即高为8÷2=4(厘米)。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 第6课时 体积和容积的意义 讲 解 视 频 错 题 本 1. (1) 冰箱 草莓 (2) 镇江香醋 镇江香醋瓶 (3) ② ③ 2. (1) C (2) C (3) C 3. ① 4. 长方体 解析:由前两幅图可知,小球放入水 中,水面升高9.5-8=1.5(cm)。由后两幅图可知, 长方体放入水中,水面升高12-9.5=2.5(cm),放 入长方体后水面升高的高度大于放入小球后水面 升高的高度,所以长方体的体积大于小球的体积。 5. 体积相等,因为从外面量,两个泡沫箱的长、宽、 高都相等 乙泡沫箱的容积大一些,因为甲泡沫箱 的箱壁厚一些,所以从里面量,甲泡沫箱的长、宽、 高都比乙泡沫箱短一些,因此乙泡沫箱的容积要比 甲泡沫箱大一些 6. 答案不唯一,如将铁块和铁球分别浸没在完全 相同的两个盛满水的桶中,收集溢出的水,溢出的 水较多的,对应桶中浸没的物体的体积就更大一些 7. 4种 体积相等 因为都是由12个棱长1厘米 的小正方体摆成的 解析:可以摆成4种不同形状 的长方体:① 摆成的长方体长1厘米,宽1厘米, 高12厘米;② 摆成的长方体长2厘米,宽1厘米, 高6厘米;③ 摆成的长方体长3厘米,宽1厘米, 高4厘米;④ 摆成的长方体长2厘米,宽2厘米, 高3厘米。 第7课时 体积单位 讲 解 视 频 错 题 本 1. (1) 毫升 (2) 立方厘米 (3) 升 毫升 (4) 立方米 升 2. (1) B (2) C (3) D (4) B 3. (1) 10 (2) 相等 4. 36 64 5. 1 12 6. (1) 12 解析:如图,通过分一分,画一画,可知 钢块共由12个小正方体钢锭组成。 (2) 15 解析:以1立方厘米的小正方体为标准, 将物体进行分割(如图)。 7. (1) 7 解析:根据从上面观察到的图形可知, 下面一层摆了5个小正方体木块,再结合从前面和 右面观察到的图形可知,上面一层摆了2个小正方 体木块。由于每个小正方体木块的体积都是 1cm3,因此这个物体的体积是7cm3。 方法归纳 运用观察法确定小正方体的个数 根据从不同方向观察到的图形确定小正 方体的个数,可以先由从上面观察到的图形摆 出基本形状,再根据从前面和右面观察到的图 形进行调整。 (2) 5 7 解析:根据从上面和左面观察到的形状 可知,这个物体有2排、2层。最少可能是摆放成 或 或 ,共5个这样 的小正方体;最多是摆放成 ,共7个这样 的小正方体。 第8课时 长方体和正方体的 体积(1) 讲 解 视 频 错 题 本 1. 长方体:6×5×3.5=105(cm3) 正方体:20×20×20=8000(dm3) 2. 12×6×3=216(立方分米) 216×7.8=1684.8(千克) 3. 2.5×0.8×(1.2-0.2)=2(立方米) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 4. A 5. (1) 64 (2) 60 6. (1) 210 解析:该长方体盒子长7厘米,宽6厘 米,高5厘米。 (2) 18 解析:本题中“长”可放7÷2≈3(个),“宽” 可放6÷2=3(排),“高”可放5÷2≈2(层),最多可 放3×3×2=18(个)。 (3) 26h 42h 解析:表面积增加的是长7厘米、 宽6厘米、高h厘米的长方体的侧面积;体积增加 的是长7厘米、宽6厘米、高h 厘米的长方体的 体积。 7. 4×4×(4+2)=96(立方分米) 解析:根据题 意可知,原来长方体的长和宽都是4分米,高是 4+2=6(分米),据此解答。 8. 12÷3=4(厘米) 4×4×4=64(立方厘米) 9. 108÷2÷6=9(分米) 14×9×6=756(立方分米) 解析:表面积增加的是2个横截面的面积的和,先 求出一个横截面的面积,再用横截面的面积除以高 求得长方体的宽,最后利用长方体的体积计算公式 即可求得原来长方体的体积。 第9课时 长方体和正方体的 体积(2) 讲 解 视 频 错 题 本 1. 20×45=900(dm3) 16×6=96(cm3) 2. 5厘米=0.5分米 8÷0.5=16(平方分米) 3. (1) 6 (2) 1.2 (3) 160 解析:溢出的水的体积=鹅卵石的体 积-空着的高4厘米的空间的体积。 4. C 5. 20×20×15÷(30×20)=10(厘米) 解析:容 器被碰倒后,水的体积不变,但底面积变了。 6. 2.5米=25分米 48÷[(3-1)×2]=12(平方 分米) 12×25=300(立方分米) 解析:长方体木 料锯成3段就锯了3-1=2(次),锯一次增加两个 横截面,故增加了2×2=4(个)横截面,对应的面 积是增加的48平方分米,则每个横截面的面积是 48÷4=12(平方分米),再用横截面面积乘长求出 木料的体积。 7. 646mL=646cm3 646÷(8×5+6×6)=8.5(cm) 贝贝的杯子:8×5×8.5=340(cm3) 340cm3= 340mL 明明的杯子:6×6×8.5=306(cm3) 306cm3=306mL 解析:因为倒好后两个杯子中 果汁的高度相等,所以可以先求出此时两个杯子中 的果汁的总底面积是8×5+6×6=76(cm2),再用 “果汁的总体积÷总底面积”求出倒好后果汁的高 度,进而求出各自的果汁体积。 第10课时 体积单位间的进率 讲 解 视 频 错 题 本 1. (1) 750 2.06 400 0.4 8.04 5 90 (2) < > = < (3) 8毫升<80立方厘米< 0.8升<8立方分米<0.08立方米 (4) 540 54 2. A 3. (90×60+90×50+60×50)×2=25800(平方 厘米) 25800平方厘米=258平方分米 90× 60×50=270000(立方厘米) 270000立方厘米= 270立方分米=270升 0.72×270=194.4(千克) 4. 72 解析:由题图可知,枫枫倒出的水的体积就 是长0.6dm、宽0.4dm、高0.6dm的长方体体积 的一半。注意单位换算。 5. 34.2立方分米=34200立方厘米 34200÷ 38÷15=60(厘米) 60>55 这个礼盒需要托运 解析:此题中,质量没有超过规定质量,那么只要将 礼盒的长、宽、高与规定的行李尺寸进行比较即可, 通过计算,发现高超过规定的高,故需要托运。 6. 45×25×28-3500=28000(立方厘米) 28000立方厘米=28立方分米=28升 28÷7= 4(分) 解析:要将假山石浸没在水中,水面的高度 至少是28厘米。因为假山石占据了鱼缸内的一部 分空间,所以注入的水的体积等于没有假山石时水 面高28厘米的水的体积减去假山石的体积。用注 入的水的体积除以注水的速度,就可以求出注水的 时间,注意单位换算。 7. 400×40-40×40×(40-35)=8000(立方 厘米) 8000立方厘米=8立方分米=8升 解析:正方体容器内的水面高35厘米,还有40- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 35=5(厘米)高的空间没有水。铁棒竖直插入水底 后,容器内的水面应先上升直至填满这部分空间, 然后才会溢出。正方体容器的棱长是40厘米,铁 棒浸没在水中的长度最多只能是40厘米,用40厘 米长的铁棒的体积减去原来正方体容器中没有水 的部分的体积,即可求出会溢出的水的体积。 方法归纳 根据体积之差求溢出的水的体积 由于容器内水面以上有空余部分,因此溢 出的水的体积等于浸没在水中的铁棒的体积 减去容器内水面以上空余部分的体积。需要 注意浸没在水中的铁棒的高度是40厘米,不 是50厘米。 第11课时 练 习 课 讲 解 视 频 错 题 本 1. (1) ① 3200 ② 240 ③ 3840 (2) 158 52 (3) 23.12 解析:选择内腔尺寸进行计算。 2. (1) 50×3=150(升) (2) 150升=150立方分米 150÷(5×5)=6(分米) 5×5+5×6×4=145(平方分米) 3. 5.4×12+1.8×2=68.4(平方米) 4. 10×7×2+10×5×2+7×5×2=310(平方厘米) 10×7×5-1×1×1×8=342(立方厘米) 解析:从顶点处截下小正方体,长方体的表面积不 变,体积减少,即剩下物体的表面积=长方体的表 面积,剩下物体的体积=长方体的体积-截下的所 有小正方体的体积和。 5. 解:设长方体的宽是x厘米。 12x+8x=200 x=10 检验略 12×10×8=960(立方厘米) 6. 108÷2-3×4=42(平方分米) 42÷(4+3)=6(分米) 4×3×6=72(立方分米) 解析:根据题意可知,这个长方体一个顶点处三个相 邻面的面积和为108÷2=54(平方分米),其中一个 面的面积为3×4=12(平方分米),另两个面展开就 是长为(4+3)分米、宽为长方体高的长方形,由此可 求出长方体的高,进而求出长方体的体积。 7. 60÷4÷(4+1)=3(厘米) 4+1+3=8(厘米) 8×3×3=72(立方厘米) 解析:减少的表面积是 长为4+1=5(厘米)的长方体木料前、后、上、下四个 面的面积和,且这四个面的面积相等,据此先求出 长方体木料的宽和高均是60÷4÷5=3(厘米),再 求出原来长方体木料的长是5+3=8(厘米),最后 求出原来长方体木料的体积。 整理与练习(1) 讲 解 视 频 错 题 本 1. (1) 立方分米 立方米 平方米 (2) 0.35 4080 3.78 3780 (3) 192 180 (4) 162 144 108 (5) 2016 (6) 192 解析:根据“当把鹅卵石取出后,水面下 降5cm”可知,鹅卵石的体积相当于5cm高的水 的体积。假如长方体容器足够高,则把鹅卵石放入 容器后,水面应上升5cm,而现在容器中的水面距 离容器口只有2cm,所以水面上升2cm后,必然 会溢出(5-2)cm高的水,即溢出的水的体积相当 于容器中3cm高的水的体积。 2. 8-5=3(cm) 7-3=4(cm) 表面积:(3×4+4×5+3×5)×2=94(cm2) 体积:3×4×5=60(cm3) 3. 248 解析:根据长方体的体积计算公式得到增 加的体积÷增加的长度=某个面的面积,据此求出 长方体的右面、前面和上面的面积分别为48÷2= 24(平方厘米)、80÷2=40(平方厘米)、120÷2= 60(平方厘米),然后根据长方体的表面积计算公式 即可求出原来长方体的表面积,是(24+40+60)× 2=248(平方厘米)。 4. ①:(40-2×5)×(20-2×5)×5=1500(cm3) ②:(40-5)×(20-2×5)×5=1750(cm3) ③:40÷2=20(cm) 20×20×5=2000(cm3) 1500<1750<2000 第③种方法焊接后做成的长 方体容器的容积最大 解析:由题图①可以看出长 方体容器的长比长方形铁皮的长短2个5cm,是 40-2×5=30(cm),长方体容器的宽比长方形铁 皮的宽短2个5cm,是20-2×5=10(cm),高是 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 5cm;由题图②可以看出长方体容器的长比长方 形铁皮的长短1个5cm,是40-5=35(cm),长方 体容器的宽比长方形铁皮的宽短2个5cm,是 20-2×5=10(cm),高是5cm;由题图③可以看出 长方体的底面边长是长方形铁皮的宽,高是5cm。 据此分别求出三个长方体容器的容积,再进行比较。 5. (8-1×2)÷2=3(厘米) 4-1×2=2(厘米) 3×2×1=6(立方厘米) 6. 150÷6=25(平方厘米) 25=5×5 (110-25× 2)÷4÷5=3(厘米) 25×(3+5)=200(立方厘米) 解析:由题意,可画出示意图。表面积是 150平方厘米的正方体,它的一个面的 面积是150÷6=25(平方厘米),棱长就是5厘米 (即原来大长方体的宽和高都是5厘米)。表面积 是110平方厘米的长方体,有两个相对的面是面积 为25平方厘米的正方形,其他四个面是完全相同 的长方形,且一条边的长为5厘米,据此先求出另 一条边的长,再求出原来大长方体的长,最后求出 体积即可。 整理与练习(2) 讲 解 视 频 错 题 本 1. (1) 56 (2) 2.56 1.44 6.4 (3) 240 解析:第一次出现两个面是正方形时,容器 内的水形成的长方体长12cm,宽10cm,高10cm; 第二次出现两个面是正方形时,容器内的水形成的 长方体长12cm,宽10cm,高12cm。石子的体积 就是12×12×10-12×10×10=240(cm3)。 (4) 12 10 解析:24÷6=4(dm2),4=2×2,这 个正方体蛋糕的棱长是2dm,将这个正方体蛋糕 平均分成4份,有两种分法。分法①(如图①),表 面积之和比原来增加3×2=6(个)面的面积,所以 表面积之和是24+6×4=48(dm2),每个长方体的 表面积是48÷4=12(dm2)。分法②(如图②),表 面积之和比原来增加2×2=4(个)面的面积,所以 表面积之和是24+4×4=40(dm2),每个长方体的 表面积是40÷4=10(dm2)。 2. (1) (2) 36 11 (3) 16 54 27 3. (1) (14-1×2)×(7-1×2)×(5-1)= 240(立方分米) 240立方分米=240升 解析:求 出水槽内部的长、宽、高,即可求出水槽的容积。 (2) 14×7×5-240=250(立方分米) 解析:混凝 土的体积=水槽的体积-水槽的容积。 4. 30+40+24=94(cm2) 5. 2米=20分米 (108-24×2)÷20×24= 72(立方分米) 解析:用长方体纸箱的表面积减去 上、下两个面的面积和,可得前、后、左、右四个面的 面积和。根据“长方体纸箱前、后、左、右四个面的 面积和=底面周长×高”,可以求出长方体纸箱的 高,最后用“长方体的体积=底面积×高”求出长方 体纸箱的体积。 表面涂色的正方体 讲 解 视 频 错 题 本 1. (1) 36 27 (2) 12.5 2. 8 12(n-2) 6(n-2)2 (n-2)3 3. 125 54 4. 27=3×3×3 (3+2)×1=5(厘米) 5×5×5=125(立方厘米) 5. 3个 2个 解析:一层一层地观察,分层标出 每个小正方体涂色的面数。最上层: ;中间 一层: ;最下层: ,然后数出3面 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 涂色和4面涂色的小正方体各有几个即可。 6. (1) A B (2) B (3) A C C 解析:用n表示把大正方体的棱平 均分的份数,则b=12(n-2),c=6(n-2)2,d= (n-2)3。若要使b=c=d,即12(n-2)=6(n- 2)2=(n-2)3,则当n=2时,12×(2-2)=6× (2-2)2=(2-2)3=0,符合题意。若要使b<c, 即12(n-2)<6(n-2)2,当n=6时,48<96,符合 题意。若要使b<d,即12(n-2)<(n-2)3,当 n=6时,48<64,符合题意。 7. 3面涂黄色的小正方体:8个 2面涂黄色的小 正方体:[(6-2)+(5-2)+(4-2)]×4=36(个) 1面涂黄色的小正方体:[(6-2)×(5-2)+(5- 2)×(4-2)+(6-2)×(4-2)]×2=52(个) 解析:长方体上3面涂黄色的小正方体在长方体的 8个顶点处,一共有8个。2面涂黄色的小正方体, 在长的棱上有(6-2)×4=16(个),在宽的棱上有 (5-2)×4=12(个),在高的棱上有(4-2)×4= 8(个),一共有16+12+8=36(个)。1面涂黄色的 小正方体,上、下面有(6-2)×(5-2)×2= 24(个),左、右面有(5-2)×(4-2)×2=12(个), 前、后面有(6-2)×(4-2)×2=16(个),一共有 24+12+16=52(个)。 知识归纳 长方体表面涂色问题 把长方体的表面涂色(包括底面),然后全 部切成棱长1厘米的小正方体,3面涂色的小 正方体在长方体的顶点处,2面涂色的小正方 体在每条棱的中间,1面涂色的小正方体在每 个面的中间。 8. 20 24 解析:要想满足“6面都没有涂色的小 正方体有4个”:一种是将长方体切成(3×4×4)个 小正方体,2面涂色的小正方体有(3-2)×4+ (4-2)×4+(4-2)×4=20(个);另一种是将长方 体切成(3×6×3)个小正方体,2面涂色的小正方 体有(3-2)×4+(6-2)×4+(3-2)×4= 24(个)。 提分真题集训 讲 解 视 频 错 题 本 1. (1) 9 (2) ① 20 ② 60 ③ 44 (3) 3 18 2. (1) B (2) C (3) B 3. 4. 先求出正方体水槽上面空白处的体积,再找到 体积相加大于或等于该体积的两块石头 20× 20×(20-18)=800(cm3) 358+454=812(cm3) 812>800 选择其中的②号和③号两块石头 第一单元整合提升 讲 解 视 频 错 题 本 1. 5×5×7=175(立方厘米) 解析:题图左、中、右 三种纸板中,选择右边规格的2张、左边规格的 4张做成一个长方体,该长方体的长是7厘米,宽 是5厘米,高是5厘米。 2. 一共可以焊接成8种不同的水箱,选法如下: 规格① 规格② 规格③ 规格④ 选法一 5张 选法二 3张 2张 选法三 3张 2张 选法四 4张 1张 选法五 4张 1张 选法六 2张 2张 1张 选法七 2张 1张 2张 选法八 1张 2张 2张 3. 150×2=300(平方厘米) 4. 3+3=6(分米) 5+5=10(分米) (8×6+ 8×10+6×10)×2=376(平方分米) 解析:要想 使包装所需的彩纸最少,那么只要把礼盒的最大面 相黏合,且相黏合的面尽可能多就能使大长方体礼 盒的表面积最小。综合考虑,可以先将4个礼盒每 2个分成一组,2个礼盒的最大面(8分米×5分米) 相黏合,再把两组礼盒的最大面[8分米×(3+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 3)分米]相黏合(如图),这样包装成的大长方体礼 盒的表面积比原来4个礼盒的表面积之和减少得 最多,此时包装成的大长方体礼盒的表面积最小, 所需的彩纸最少。 5. 0.5米=50厘米 1米=100厘米 50-100×18×18÷(90×40)=41(厘米) 6. 30厘米=3分米 方法一:(15×12×10+3× 3×3)÷(15×12)=10.15(分米) 方法二:3×3× 3÷(15×12)+10=10.15(分米) 解析:方法一: (水箱中水的体积+正方体铁块的体积)÷水箱的 底面积=现在水箱中的水深。方法二:正方体铁块 的体积÷水箱的底面积+原来水箱中的水深=现 在水箱中的水深。 7. 4.5×3.5+(4.5×1.6+3.5×1.6)×2= 41.35(dm2) 解析:书桌的抽屉是没有盖的,也就 是少一个与底面相同的面,计算时应少算一个 4.5dm×3.5dm的面。 易错分析 因脱离实际而出错 本题易因脱离实际,盲目套用长方体的表 面积计算公式而出错。实际上,抽屉的上面不 用木板,只需求出前、后、左、右、下5个面的面 积之和。 8. 16÷4=4(分米) 4×5×4+4×4×2=112(平 方分米) 4×4×5=80(立方分米) 80立方分 米=80升 80×0.75=60(千克) 解析:第一问 求的是油箱的表面积,第二问求的汽油的质量与油 箱的容积有关,要先求出容积再解答。 9. 20×20×40=16000(立方厘米) 16000立方 厘米=16000毫升=16升 解析:铁棒入水的高度 最多和正方体容器的高度相等。 10. (4×4×4+6×6×2)÷(6×6)=349 (分米) 34 9<4 铁块没有完全浸入水中 6×6×2÷(6× 6-4×4)=3.6(分米) 解析:先判断铁块是否完 全浸入水中,用“(铁块的体积+水的体积)÷容器 的底面积”得出水深,再与铁块的高度进行比较。 如果水深大于或等于铁块的高度,那么铁块完全浸 入水中,此时水的深度就是所求;如果水深小于铁 块的高度,那么铁块没有完全浸入水中,此时水的 体积不变,容器中水的底面积=容器的底面积-铁 块的底面积,则水深=水的体积÷(容器的底面 积-铁块的底面积)。 11. ① (17×7+17×18+7×18)×2=1102(cm2) ② (34×7+34×9+7×9)×2 =1214(cm2) ③ (21×17+21×6+17×6)×2 =1170(cm2) ④ (51×7+51×6+7×6)×2 =1410(cm2) ⑤ (17×14+17×9+14×9)×2 =1034(cm2) ⑥ (102×7+102×3+7×3)×2=2082(cm2) ⑦ (42×17+42×3+17×3)×2=1782(cm2) 包装成长17cm、宽14cm、高9cm的大长方体最 省包装纸,表面积最小时包装纸的面积是1034cm2 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8