8 数学广角——数与形-【拔尖特训】2024-2025学年六年级上册数学（人教版）

8 数学广角——数与形 第1课时 数形结合 1. ★(探究创新)下面的图形和对应的算式有什 么关系? 填一填。 1=12 1+2+1=4=22 1+2+3+2+ 1=9=32 1+2+3+4+3+ 2+1=16=( )2 根据规律,直接写出下面算式的结果。 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+ 7+6+5+4+3+2+1=( )=( )2 2. (数形结合)观察下图,填一填,写一写。 1-12- 1 4- 1 8= ( ) 1-( )-( )- ( )-( )= ( ) 你发现了什么规律? 利用你发现的规律,接着填一填。 (1) 1-12- 1 4- 1 8- …- 1128= ( ) (2) 1-12- 1 4- 1 8- …-( )= 11024 3. 按照下面的方式摆桌子,每种摆法分别可以 坐多少人? 填一填。 桌子/张 1 2 3 4 … 人 数 … (1) 按照这样的方式摆下去,摆20张桌子可 以坐( )人。 (2) 按照这样的方式摆下去,若要坐150人, 则需要摆( )张桌子。 4. 下面的图形是用长4cm的小棒摆出来的。 (1) 根据规律,请画出第④个图形。 (2) 第( )个图形中有36个小三角形,这 个图形的周长是( )cm,一共用了( ) 根小棒。 5. (思维过程)周日,笑笑和弟弟到离家800m 的书店看书。笑笑骑自行车,弟弟步行,他们 分别以均匀的速度同时从家出发。当弟弟走 了全程的1 3 时,笑笑已经到达书店。然后笑 笑骑车沿原路返回与弟弟相向而行,遇到弟 弟后再掉头骑向书店;到达书店后再与弟弟 相向而行……直到弟弟到达书店为止。笑笑 一共骑了多少米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 97 视 频 讲 解 错 题 本 第2课时 练 习 课 1. 下面每个图形中最多有几个交点? 填一填。 … 直线/条 2 3 4 … 7 … 交点/个 1 3 6 … … 规 律 1 1+21+2+3 … … 2. 选择。 (1) (推理意识)周末,妈妈先到菜市场买菜, 然后继续前行 去服装店买衣服,最后回家。 下面的图( )能大致反映妈妈的行程。 A. B. C. D. (2) 如图,一个长方体水箱里有一 个圆柱形容器,顶部无盖,底部与长 方体水箱连接在一起,打开注水口 往水箱里注水。下面四幅图中,图( )能准确 地描述水箱内水面的高度随时间的变化关系。 A. B. C. D. 3. (生活应用)笑笑、豆豆、丽丽、雯雯、琪琪五人 进行乒乓球比赛,每两人之间都要比赛一局。 笑笑、豆豆都已经比赛了4局,丽丽、雯雯都 已经比赛了3局,琪琪比赛的局数最少。琪 琪已经比赛了几局? 分别是和谁比赛的? 4. (数学文化)德国数学家莱布尼茨发现了如图 所示的单位分数(分子是1,分母是正整数) 三角形。请你根据规律把第五行补充完整。 第一行: 1 1 第二行: 1 2 1 2 第三行: 1 3 1 6 1 3 第四行: 1 4 1 12 1 12 1 4 第五行: 1 5 ( )( )( )15 5. 利用所给的图,你能发现(a-b)2等于什么? 运用所学过的面积计算的知识进行探索。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 08 数学(人教版)六年级上 视 频 讲 解 错 题 本 提分真题集训 1. 填空。 (1) (西安经开区)如图所示的图形都是由同 样大小的 按照一定规律摆放而成的,其中 第1个图形中有5个 ,第2个图形中有9个 ,第3个图形中有13个 ,按此规律排列, 第6个图形中有( )个 ,第10个图形中 有( )个 。 (2) (北京西城区)用白色和蓝色圆按照下面 的方法摆图形。 按照这样的方法摆下去,第5个图形中,共有 ( )个圆;当一个图形中有n个蓝色圆时, 白色圆有( )个。 (3) (黄冈麻城)如图,把边长是1cm的正 方形拼成一层、两层、三层……第4个图形的 周长是( )cm;第n 个图形的周长是 ( )cm。 (4) (咸宁嘉鱼)运用“数形结合”的思想方法 可以帮助我们进行思考。观察一下,下面的 图形和算式有什么关系? 把算式补充完整。 ① 2+4+ + = × ② 按照上面的规律,想一想: ( )=6×7 2. (温州瓯海区)在数学学习中,我们常常用 “数形结合”的方法将复杂的问题简单化,抽 象的问题具体化。 (1) 我们在探究分数乘法的算理和算法时就 运用了这一思想方法,请画图解释1 2× 3 4 的 算理。 (2) 玲玲在解决12+12+22+32+52+82+ 132 +212+342+…这个问题时,想到了用数 形结合的办法来探索,于是她以这组数中各 个数作为正方形的边长构造正方形,再拼成 长方形来研究。 12+12 12+12+22 12+12+ 22+32 … … ① 根据前面的规律,把图④和对应的算式补 充完整。 ② 观察上面的图形和算式,找出规律,把下 面的算式补充完整。 12+12=1×2 12+12+22=2×3 12+12+22+32=3×5 12+12+22+32+52=( )×( ) 12+12+22+32+52+82+132=( )× ( ) ③ 如果按此规律继续拼长方形,有一个长方 形的面积是1870,那么它表示的算式为 ( )。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 18 8　数学广角——数与形 视 频 讲 解 错 题 本 第8单元整合提升 类型一 数形结合与计算 运用数形结合思想,理解计算方法,进行简便计算。 1. 如图,先算出每幅图中有几个 ,再找出其中 的规律,然后根据规律算一算。 ① ② ③ ④ ① 1 ② 1+2=(1+2)×2÷2=( ) ③ 1+2+3=(1+3)×3÷2=( ) ④ 1+2+3+4=(1+4)×4÷2=( ) 我发现的规律:( )。 根据上面的规律,完成下面各题。 (1) 1+2+3+4+5+…+59+60= (2) 7+8+9+10+…+97= 类型二 利用数形结合思想探究数学规律并解 决问题 先要观察图形的哪些部分发生了变化,是按照什么规 律发生变化的,再根据找到的规律解答。 2. (操作探究)将一张正三角形的纸按如图①所 示的方式折叠,展开后沿折痕剪开就剪出四 个正三角形,我们称之为第1次操作;如图②, 再拿出其中一个正三角形,将它同样也剪成四 个正三角形,我们称之为第2次操作…… 若这个操作可以一直继续下去,则第n次操 作后,一共剪出了( )个正三角形;第 ( )次操作后,一共剪出了100个正三角形。 类型三 用观察分析法解决图象问题 解决有关图象问题时,关键是先理解横轴和纵轴表示 的是什么,再根据图象的变化,以及对应横轴和纵轴 的数据来分析。 3. (生活应用)下图描述的是昨天早上关老师开 车先去教育局办事,再去学校上班的情况。 (1) 昨天关老师开车从家到学校一共行驶了 ( )千米。 (2) 关老师从教育局到学校,开车的速度是 ( )千米/时。 易错点 解决数与形问题时,没有找准规律 解决数与形问题时,应先观察图形或数字,找出图形 或数字变化规律,然后利用发现的规律解决问题,最 后进行验证。 4. (思维过程)如图,照这样画下去,第10个图 形有( )个蓝色正方形,有( )个白色 正方形;当一个图形中有30个蓝色正方形 时,这个图形中有( )个白色正方形。 素养点 细胞分裂问题 5. 有1个细胞,1分钟后分裂为2个,再过1分 钟,又分别分裂为2个,总共分裂为4个。照 这样分裂下去,1个细胞分裂成满满一瓶需 要1小时。如果该瓶内放入同样的8个该种 细胞,那么( )分钟后,细胞总数量会达到 满瓶数量的1 2 。 思路提示:用列表的方法分析题意。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 28 数学(人教版)六年级上 视 频 讲 解 错 题 本 3. 解析:根据题意可知,全班共投了20+10+6+4= 40(票)。小何得票数占得票总数的20÷40= 50%,即占圆的12 ;小赵得票数占得票总数的10÷ 40=25%,即占圆的14 ;小邓得票数占得票总数的 6÷40=15%,即占圆的320 ;小李得票数占得票总 数的4÷40=10%,即占圆的110 。画扇形时,也可 以先计算圆心角的度数,再画相应的扇形。 4. 0.7千米=700米 30÷(1-25%)=40(分) 700÷(40-30)=70(米) 解析:观察题图可知,鲁 阿姨从公司下班,坐公交车到超市买菜及在超市买 菜一共用了30分钟,这30分钟占她回家的总时间 的(1-25%),所以她回家的总时间是30÷(1- 25%)=40(分),她步行回家的时间是40-30= 10(分),而这10分钟内,鲁阿姨正好走了0.7千 米,即700米,根据“路程÷时间=速度”求解即可。 节约用水　　 视 频 讲 解 错 题 本 1. (1) 30 32.5 31 29.5 27 (2) 1时=60分 (30+32.5+31+29.5+27)×60=9000(毫升) 9000毫升=9升 (3) 9×24×30=6480(升) 2. (1) 6÷(0.25×3)=8(次) (2) (6-0.25×3)× 2×365=3832.5(升) 3832.5÷2≈1916(个) 3. (1) (2) 1时=60分 200÷4×60=3000(mL) 3000×24×10=720000(mL) 720000÷500= 1440(瓶) 1440÷12=120(箱) 4. 338-325=13(立方米) 10<13<15 3.45× 10+4.38×(13-10)=47.64(元) 解析:阳阳家七月份的用水量是338-325=13(立 方米),由于13立方米超过10立方米但不超过15立 方米,所以13立方米分为两部分收费,即10立方 米按3.45元/立方米收费,(13-10)立方米按 4.38元/立方米收费。 8　数学广角——数与形 第1课时 数形结合 视 频 讲 解 错 题 本 1. 4 100 10 知识归纳 数形结合思想 通过图形找出对应算式的规律,是数形结 合思想的应用。运用数形结合思想,可以更好 地理解计算方法、探究规律和解决问题。 2. 1 8 1 2 1 4 1 8 1 16 1 16 被减数是1,减数 的分子是1,分母依次是2、4(2×2)、8(2×2× 2)……差是最后一个减数(合理即可) (1) 1 128 (2) 1 1024 3. 6 10 14 18 (1) 82 解析:每多摆1张桌子就可以多坐4人, 1张桌子可以坐4×1+2=6(人),2张桌子可以坐 4×2+2=10(人)……依次类推,20张桌子可以坐 4×20+2=82(人)。 (2) 37 解析:由(1)知,摆n张桌子可以坐(4n+ 2)人,因此可列方程4n+2=150,求出n 的值 即可。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 4. (1) (2) ⑥ 72 63 解析:第①个图形有1个小三角 形,第②个图形有(1+3)个小三角形,第③个图形 有(1+3+5)个小三角形……第⑥个图形有(1+ 3+5+7+9+11)个小三角形,即有36个小三角 形。第⑥个图形中,每条边都是6根小棒,因此周 长是4×6×3=72(cm)。第⑥个图形中有(1+2+ 3+4+5)个 ,需要(3×15)根小棒,因此一共用 了(6×3+3×15)根小棒。 5. 1÷13=3 800×3=2400 (m) 解析:当弟弟 走了全程的1 3 时,笑笑骑了800m;当弟弟走完全 程时,笑笑骑了1÷13 个800m。 第2课时 练 习 课 视 频 讲 解 错 题 本 1. 21 1+2+3+4+5+6 2. (1) C (2) C 解析:观察题图可知,圆柱形容器在长方体 水箱内部,顶部无盖,底部与长方体水箱连接在一 起,所以在水面达到一定高度,开始向圆柱形容器 注水时,水箱内水面的高度不随时间的增加而升 高,当注满圆柱形容器后,水箱内水面的高度再随 时间的增加而升高,且升高的速度比之前慢。 3. 2局 分别是和笑笑、豆豆比赛的 解析:根据题意可知,笑笑、豆豆都分别与除自己外 的其他所有人比赛了,即丽丽、雯雯、琪琪都至少比 赛了2局。因为丽丽、雯雯已经比赛了3局且琪琪 比赛的局数最少,所以丽丽和雯雯相互间也比赛了 1局,琪琪只和笑笑、豆豆比赛了。本题也可以通 过画图来帮助理解题意,如图,根据图能直观地看 出五人之间比赛的情况。 4. 1 20 1 30 1 20 解析:这些分数排列规律:每一行 相邻的两个数的和等于它们上面的数,即求第五行 第二个分数(从左往右)时,可以想1 5+ ( )=14 , ( )里所填的分数为14- 1 5 =120 ,依次类推可以 求出其他两个分数。 5. (a-b)2+b2+b(a-b)×2=a2 (a-b)2+ b2+2ab-2b2=a2 (a-b)2=a2-2ab+b2 解析:观察题图可知,边长为a的大正方形的面积 是两个涂色部分小正方形面积与两个形状完全相 同的白色长方形面积的和,即(a-b)2+b2+ b(a-b)×2=a2,根据乘法分配律、等式的性质推 导出(a-b)2=a2-2ab+b2。 提分真题集训 视 频 讲 解 错 题 本 1. (1) 25 41 (2) 25 n2-n (3) 16 4n (4) ① 6 8 4 5 ② 2+4+6+8+10+12 解析:从2开始,连续几个偶数相加,和等于加数的 个数与比加数的个数多1的数的积。 2. (1) (2) ① 12+12+22+32+52 ② 5 8 13 21 解析:每个算式等于对应图形的最大正方形的边长 乘下个图形的最大正方形的边长,据此填空。 ③ 12+12+22+32+52+82+132+212+342 第8单元整合提升 视 频 讲 解 错 题 本 1. 3 6 10 答案不唯一,如若干个连续自然数 的和,等于首、尾两个自然数的和与自然数的个数 的积,再除以2 (1) (1+60)×60÷2=1830 (2) (7+97)×(97-7+1)÷2=4732 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63 2. 3n+1 33 解析:从第1次操作开始,每操作 1次就增加3个正三角形,即第1次操作增加3个 正三角形,一共剪出了(1×3+1)个正三角形;第 2次操作增加3个正三角形,一共剪出了(2×3+ 1)个正三角形;第3次操作增加3个正三角形,一 共剪出了(3×3+1)个正三角形……第n 次操作 增加3个正三角形,一共剪出了(n×3+1)个正三 角形。此外,当3n+1=100时,n=33,所以第33次 操作后,一共剪出了100个正三角形。 3. (1) 40 (2) 60 4. 20 28 38 5. 56 解析:1时=60分,可以通过列表的方法帮 助理解题意。 时 间 1分 2分 3分 … 60分 个 数 2 22 23 … 260 由表可知,一瓶细胞的数量为(2×2×2×…×2􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁 60个2 )个, 从(2×2×2)个开始分裂,到细胞总数量达到满瓶数 量的1 2 ,此时细胞总数量为(2×2×2×…×2􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁 59个2 )个, 所以要60-1-3=56(分)。 9　总 复 习 第1课时 数与代数(1) 视 频 讲 解 错 题 本 1. (1) 200 128 (2) 1 9 1 4 (3) < = > > > < (4) 2 3× 4 5= 8 15 (5) ① 126 ② 162 ③ 162 (6) 1 21 21 解析:要使商最小,则被除数最小,除 数最大,因此算式为5 7÷15 ;反之,要使商最大,则 被除数最大,除数最小,因此算式为15÷57 。 (7) 7 解析:前两天看的集数和加1就是李阿姨 第三天开始看的集数。 (8) 1.8 2.7 解析:题中的等量关系:差+减 数=被减数。设差是x,则减数是23x ,列出方程 x+23x=4.5 ,求出方程的解即可。 2. (1) C (2) C (3) B (4) D 解析:根据题意可知,梯形的上底是27× 1-23 =9(cm),则高是27-9=18(cm),面积是 (9+27)×18÷2=324(cm2)。 (5) D 3. 1 10 9 4 28 24 10 5 24 8 4. x=30 x=92 5. 答案不唯一,如② 折花的同学有多少人? 解:设折花的同学有x人。 1+12 x+x=90 x=36 6. 1÷ 130+ 1 20 =12(分) 130×12=25 7. 解:设原来乙仓库有小麦x 吨。 23x+x= 300-100 x=120 甲仓库:300-120=180(吨) 8. 3 10×7.5=2.25 (千米) 2.25+14 ×2=5(千 米)或2.25-14 ×2=4(千米) 解析:根据题意可知,杨老师骑了7.5分钟,骑了 3 10×7.5=2.25 (千米),骑行路程可能比一半路程 少1 4 千米,此时一半路程为 2.25+14 千米;骑行 路程也可能比一半路程多1 4 千米,此时一半路程为 2.25-14 千米。 9. 120×1-14 =90(元) 90-52=38(元) 解析:根据题意可知,姐姐的零花钱数+弟弟的零 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 73