3.4曲线与方程教学设计-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

课题 3.4 曲线与方程 编号 选择性必修 第一册 第三章 第4节 共1课时 施教 教师 施教日期 第 周 星期 施教班级 课型 新授课 主备 教师 内容分析 本节内容为湘教版高中数学《数学.选择性必修.第一册》第三章圆锥曲线与方程的内容.“曲线与方程”这节内容揭示了几何中的“形”与代数中的“数”的统一关系，为“依形判数”和“就数论形”的相互转化奠定了扎实的基础. 由于曲线与方程的概念是解析几何中最基本的内容，因而学生用解析法研究几何图形的性质时，只有透彻理解曲线与方程的关系，才能算是寻得了解析几何学习的入门之径；求曲线与方程的问题，也贯穿了这一章的始终，所以应该认识到，本节内容是解析几何的重点内容之一. 本节提出的曲线的方程与方程的曲线概念，是对前面学过的直线与方程、圆与方程等数学知识的深化，又是本章圆锥曲线的理论基础，它贯穿于研究圆锥曲线的全过程. 根据曲线与方程的对应关系，通过研究方程来研究曲线的几何性质，是几何的研究实现了代数化，数与形的有机结合，在本章中得到了充分体现. 教学目标 经历曲线的方程与方程的曲线这一概念的生成过程，掌握曲线的方程与方程的曲线的概念和集合相等的关系. 了解圆锥曲线的统一定义，掌握椭圆、双曲线的离心率e和相应的准线方程，研究求轨迹方程的方法，观察离心率e的几何意义，借助离心率判断曲线是抛物线、椭圆、双曲线. 了解曲线与方程的对应关系，感受体会数形结合的基本思想；树立对立统一的观点，体会圆锥曲线的统一定义的几何美感；初步形成类比、归纳的数学思想. 核心素养 ●直观想象、●数学运算、○数据分析、●数学抽象、●逻辑推理、○数学建模 教学重点 曲线与方程的定义，圆锥曲线的统一定义、离心率及准线方程. 教学难点 曲线的方程（方程的曲线）的概念理解及动点的轨迹方程的常用方法. 教学方法 问题驱动、引导发现、合作探究相结合 教学手段 多媒体辅助教学 教学过程 教学环节 教学内容 设计意图 二次备课 创设情境 情景一： 笛卡尔被誉为“近代科学始祖”“近代哲学之父”. 他是17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一. 他在哲学、数学、物理学、天文学、心理学、神学等方面都有研究且成就颇高. 其中有一个很有名的故事，笛卡尔给他的恋人写的一封信内容只有短短的一个公式：. 你知道这是何意? 其实这就是笛卡尔的爱心函数，图形是心形线，是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹,因其形状像心形而得名.同学们，你能说出一条曲线和它对应的方程有怎样的关系吗? 情境二： 探索浩瀚宇宙、发展航天事业，是我们不断追求的航天梦.嫦娥登月、北斗组网、天宫揽胜，中国航天在问鼎的道路上奇迹不断.嫦娥五号是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器.2020年12月12日9时54分，嫦娥五号轨道器和返回器组合体实施了第一次月地转移入射，从近圆形轨道变为近月点高度约200公里的椭圆轨道.12月17日嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆地球.我们有什么办法求出嫦娥五号该椭圆轨道的轨迹方程呢？ 由趣味故事引出本节内容，提高学生学习的兴趣. 这个引入从数学应用入手，激发学生的爱国热情，引导学生用数学的眼光去观察生活，深刻感受到数学在生活实际和科学探究中的作用，激发了学生学习的兴趣。 自主探究 合作交流 展示完善 精讲释疑 问题1：什么是曲线？曲线上的点怎么表示? 曲线可以看成是满足一定条件的点的轨迹.即曲线上任意一点都满足此条件,而所有满足此条件的点都在曲线上. 例如，线段的垂直平分线可看成到线段两端点距离相等的点的轨迹. 抛物线可看成平面内与一个定点F和一条定直线l 距离相等的点的轨迹. 在平面上建立了适当的直角坐标系后 ，曲线上任意一点可用有序实数对表示. 问题2：什么是方程？方程的解怎么表示？ 含有未知数的等式叫方程.对于二元方程,它的解有无数个，每一个解都可用有序实数对表示. 问题3：点和方程的解既然都可以用有序实数对表示，那么曲线上的点与方程的解之间可以建立怎样的关系呢？ 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系： (1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线. 例如，在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线的方程是。如何理解这句话呢？ 这就是说，如果点是这条直线上的任意一点，则它的横纵坐标相等，即，那么它的坐标是方程的解.即曲线上点的坐标都是方程的解. 反过来，如果是方程的解，那么以这个解为坐标的点横纵坐标相等，它也一定在第一、三象限角平分线上。即以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 问题4： 前面我们已经用解析几何的方法研究了圆、椭圆、双曲线、抛物线等平面曲线，回顾一下，我们研究的基本方法是什么呢? 我们研究的基本方法是: 1.在平面上建立适当的直角坐标系，用表示曲线上任意一点的坐标. 2.将曲线上的点满足的几何条件转换成该点的坐标满足的代数等式，得到该曲线的方程. 3.确定曲线的方程后,通过研究方程的性质从而得到曲线的几何性质. 我们称这种研究几何的方法为坐标法.基于坐标法，我们将几何问题转化为代数问题来解决，这也是解析几何的核心思想. 例1 如图,在圆上任取一点，过点向x轴作垂线段，为垂足，求线段PD的中点M的轨迹方程. 变式训练1：例1中，若点M分PD之比为，试求出点M的轨迹. 思考1：由上，并结合例1，你能发现椭圆与圆的关系吗？ 思考2：例1中求动点的轨迹方程的方法叫做代入法，也称相关点法.你能根据例1的求解过程归纳出代入法适用的题型特点及解题步骤吗？ 代入法适用的题型需满足两个特点： （1）动点所满足的条件不易表述或求出，但随另一动点 的运动而运动. （2）动点的轨迹方程已知. 可将 表示为的式子，再代入的轨迹方程，然后整理得动点M的轨迹方程. 例2 点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数.求点M的轨迹. 例3 如图,已知点A,B的坐标分别为直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是，求点P的轨迹方程. 例2、例3中求动点的轨迹方程的方法叫做直接法. 思考3：你能根据例2例3的求解过程归纳出直接法适用的解题步骤吗？ 直接法解题步骤：1.建系设点；2.找相等关系；3.列代数等式；4.化简方程；5.验证完备性，即说明以化简后的方程的解为坐标的点是否都在曲线上，注意排除不符合要求的点. 曲线的方程是几何曲线的一种代数表示，方程的曲线是代数方程的一种几何表示.曲线和方程的这种相互表示，揭示了几何中的“形”与代数中的“数”相统一的关系. 而解析几何就是用代数方法研究、解决有关几何图形的问题.本环节通过问题链，引导学生一步步探究这种“形”与“数”的关系是怎样建立起来的，经历曲线的方程和方程的曲线这一概念的生成过程，从而掌握曲线的方程和方程的曲线的概念，并通过具体形象的实例引导学生进一步理解概念. 例1介绍利用中间变量求点的轨迹的方法--代入法，也称相关点法.同时，本例以及思考中的问题表明：一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆.通过一题多变，巩固代入法，提高课堂效率，使学生的逻辑推理能力和解题能力得到一定的提升。 本例引导学生分析题型特征，总结方法与步骤，提升直观想象、逻辑推理素养. 例2设计目的一是凸显本章的研究重点——椭圆，二是呼应圆锥曲线的统一性定义。本例的解法极其简练，采用了直接法，即由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程.可以运用信息技术，带领学生探究点的轨迹。 例3要注意曲线与方程的完备性和纯粹性，排除不符合要求的点.“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合条件而毫无例外.这一点阐述其纯粹性；“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏，这一点阐述其完备性.教师需要讲清楚这两点，让学生能够明确曲线与方程之间的关系.比如例3求得的方程中，需将A、B两点剔除，否则所求方程与曲线不等价。 课堂练习 1. 点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数.求点M的轨迹方程. 2. 已知点的坐标分别为(－1, 0)，(1, 0)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为2，求点M的轨迹方程. 3. 一动圆与圆外切，与 圆内切，求动圆圆心的轨迹方程. 通过变式训练巩固直接法求轨迹方程.拓展训练引导学生探究思考，总结定义法求轨迹方程的方法. 总结提升 本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？运用了哪些解题方法和数学思想？ 系统梳理整节课所学内容. 作业布置 必做题 P155习题3.4：第3、4、5、6题 分层布置作业，满足不同学生的学习能力要求. 选做题 P156习题3.3：第10题 教后反思 更快、更高、更强，领先就是金牌 我自信，我拼搏，我出色，我成功1 学科网（北京）股份有限公司 $$