精品解析：福建省福州第一中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

福州一中2024-2025学年第一学期期中考试 初二 数学试卷 （完卷120分钟 满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 一、选择题（每小题4分，共40分，请将正确的答案涂在答题卡上） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘除法则、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原计算错误，不合题意； B、，故错误，不合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键． 2. 下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形定义进行分析即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 3. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．∵仅给出一个角和一条边，符合条件的三角形有无数个，∴不能画出唯一，不符合要求． B．∵，，，属于的情况，可以画出两个不同的三角形，∴不能画出唯一，不符合要求． C．∵，，，符合全等三角形的判定定理，∴能画出唯一，符合要求． D．∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边，∴不能构成三角形，不符合要求． 4. 点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：关于轴对称的点的坐标是， 故选：A． 5. 如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（ ）   A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，连接，先求出，，再根据线段垂直平分线的性质得，，由此得，进而利用直角三角形的性质得，然后求出，再利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：连接，如图： 在中，，， ， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ，， ， 在中，，， ． 故选：B． 6. 下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法与阴影面积问题． 求出图中阴影部分的面积，逐一判断即可． 【详解】解：由图可得，图中阴影部分的面积为：， A．； B．； C．； D．； 故选A． 7. 小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．根据完全平方公式的结构特征解答即可． 【详解】解：，， 所以墨迹覆盖的这一项是， 故选：D． 8. 如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理可得OD=OE=OF=3cm，再由，即可求解． 【详解】解∶如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F， ∵和的角平分线交于点O，， ∴OD=OE，OD=OF， ∴OD=OE=OF=3cm， ∵的周长是， ∴AB+BC+AC=36cm， ∵， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离是解题的关键． 9. 已知，，，则的大小关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用； 分别逆用幂的乘方法则变形，然后即可作出判断． 【详解】解：∵，，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图，，平分，且．若点E，F分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，在、上截取，作，只要证明即可推出是等边三角形，由此即可得结论． 【详解】解：如图，在、上截取，作， 平分， ， ， ，是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ∴， ， ， 是等边三角形， 只要，就是等边三角形， 故这样的三角形有无数个． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每小题4分，共24分，请将正确的答案写在答题卡上） 11. ___________：___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，根据同底数的幂的乘法法则，积的乘方，幂的乘方法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：， 12. 若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是_____边形． 【答案】七 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式，列式求解即可． 【详解】设这个多边形是边形，根据题意得， ， 解得． 故答案为七． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键． 13. 等腰三角形的周长是，一边长为6，它的底边长为__________． 【答案】1或6 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义和分类讨论的思想是解题的关键，由于题目没有明确腰和底边，所以要分两种情况讨论：当边长6为腰或者6为底边，根据三角形周长公式即可解答，再利用三角形三边关系验证是否能构成三角形进行验证即可． 【详解】解：当腰为6时，底边为 此时三角形的三边为6、6、1，能构成三角形； 当底为6时，腰为， 此时三角形的三边为，，6，能构成三角形； ∴这个等腰三角形的底边长为1或6， 故答案为：1或6． 14. 若，则________；若，则________． 【答案】 ①. 6 ②. 9 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方的逆运算． ①先将变形为，变形为，然后根据同底数幂的乘法法则，结合可得到一个关于的一元一次方程，解方程即可解答； ②由得，逆用同底数幂的乘法法则，将变形为，把代入计算即可解答． 【详解】解：①∵，，， ∴， 解得：； ②∵， ∴， ∴． 故答案为：6；9． 15. 如图，在等腰中，在、上分别截取、，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，，．若点M、N分别是线段和线段上的动点，则的最小值为________． 【答案】9.6 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，如图，过点作于点，证明的最小值为的长，再利用面积法求出即可． 【详解】解：由作图步骤可得平分， 如图，过点作于点． ， ∴垂直平分， ，关于对称， 作点关于的对称点，连接， ， 的最小值为的长． ，平分，， ，， ，， ． 故答案为：9.6． 16. 如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连接交边于D，则下面结论：①；②D为的中点；③；④；其中正确的结论有：________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点的应用，过作交于，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，进而逐一判断即可． 【详解】解：如图，过作交于． ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ，， ∴是等边三角形，， ， ， ， ， ，故①错误； ，， ， ，故③正确； 在和中， ， ∴， ，， 为的中点，故②正确； ， ， ，故④正确． 综上，正确的结论有：②③④． 故答案为：②③④． 三、解答题（共9题，共86分，请将正确的答案写在答题卡上） 17. （一）计算： （1）； （2）； （二）分解因式： （3）； （4）． 【答案】（1）0；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，提公因式法和公式法分解因式． （1）先计算单项式乘单项式，再合并同类项即可； （2）根据整式的除法法则，将括号内的单项式分别除以即可； （3）直接利用平方差公式进行因式分解即可； （4）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）； （4） ． 18. 如图，点A、C、B、D在同一条直线上，，，．求证： （1）． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵ ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）通过条件可证，根据全等三角形的性质得到； （2）根据三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 由（1）知 ∵ ∴ ∵是的一个外角， ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 19. 已知，，求下列各式的值： （1） （2） （3） 【答案】（1）－4；（2）13；（3）． 【解析】 【分析】根据完全平方公式的变形即可进行求解. 【详解】解：（1）原式＝ （2）原式 （3）∵ ∴． 【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形. 20. 如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线成轴对称的． （2）的面积为 ． （3）在直线上找一点，使的值最小． （4）在上找一点，使值最大．（在图形中标出点P、M，保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图： （2）5 （3） 点P即为所求； （4） 点M即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，最短距离等知识，掌握轴对称图形的性质是解题的关键； （1）画出关于直线的对称点，并依次连接即可； （2）利用矩形面积减去三个三角形面积即可； （3）连接交于点，则点P即为所求； （4）延长交于点，则点M即为所求． 【小问1详解】 解：画出关于直线的对称点，依次连接得到 【小问2详解】 解：； 故答案为：5； 【小问3详解】 解：如图，连接交于点P， 由对称知，，则最小值为线段的长； 【小问4详解】 解：如图，延长交于点M， 此时的最大值为线段的长． 21. 学习不仅要知其然，更要知其所以然，追本溯源可以帮助我们更好的理解和运用相关定理或结论．请你证明：直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请你补充完整，并写出证明过程． 已知：如图，在中，，_________． 求证：_________． 证明： 【答案】 ；． 证明：如图，延长到，使得，连接， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ． 【解析】 【分析】根据题目即可填空，通过构造等边三角形，利用等边三角形的性质即可证明结论．本题主要考查了含30度角的直角三角形，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】略 22. 已知：A，E，F，B在同一条直线上，，，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ， 在和中，， ， ， ， ； （2）1 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由“”可证，可得，从而得出结论； （2）由全等三角形的性质可得，可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，即， ，  ． 23. 在边长a的正方形中剪去一个边长b的小正方形（a＞b），把剩下的部分制成一个梯形，请回答下列问题： （1）这个拼图验证了一个乘法公式是　 　． （2）请利用这个公式计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣） 【答案】（1）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（2） 【解析】 【分析】（1）将阴影部分面积用含a，b的代数式表示出来，再根据阴影部分的面积相等得出乘法公式； （2）根据所得的平方差公式，将计算式子中每个括号内进行因式分解，即可得出结果． 【详解】（1）左图中，阴影部分面积=a2﹣b2 右图中，阴影部分面积==（a+b）（a﹣b） ∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） 故答案为：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2； （2）原式=（1+）×（1-）×（1+）×（1﹣）×（1﹣）×（1+）×…×（1+）×（1﹣） =××××××…×× = = 【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解题时注意：利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式． 24. 阅读理解： 若x满足，求的值． 解：设，，则，，所以． 解决问题： （1）若x满足，求的值； （2）如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积是7，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）29． 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式在几何图形中的应用； （1）设，，可得，，再利用，再代入计算即可；熟记完全平方公式的变形是解本题的关键； （2）由图形可得，，求得，设，，利用矩形面积公式结合完全平方公式计算可得答案． 【小问1详解】 解：设，， 则，， ； 【小问2详解】 解：正方形的边长为x，，， ，， 四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，长方形的面积是7， ，， ，，， ， 设，，则，， 阴影部分的面积 ， ，即， 解得：， ，即阴影部分的面积为29． 25. 选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如选取二次项和一次项配方：． 根据上述材料，解决下面问题： （1）写出二次三项式配方的过程和结果． （2）已知，求，的值．（写出过程） （3）如图，已知，，且、满足（2）的结论，连接，若，于点，、关于轴对称，是线段上的一点，且，连接，试判断线段与关系，并证明你的结论； （4）在（3）的条件下，若点分别是线段上的动点，求的周长的最小值． 【答案】（1） （2）， （3） ，． 证明如下： ，，， ，，， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ，； （4） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式配方可求解； （2）利用完全平方公式配方，由非负性可求解； （3）结论：，．由已知条件得到，推出，根据全等三角形的性质得到，，由于，得到即可得到结论； （4）作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、，如图所示，由，可知的周长的最小值就是，根据两点之间线段最短可知的周长的最小值为，根据垂直平分线性质可得，，则，即可得到答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ， ，； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：、、、， ， 由知点为定值， 作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、，如图所示： ，即的周长的最小值就是，根据两点之间线段最短可知的周长的最小值为， 由垂直平分线性质可得，，则， ， 的周长的最小值为． 【点睛】本题是几何变换综合题，涉及配方法、全等三角形的判定和性质、点的对称、垂直平分线性质、垂直的定义及动点最值问题解法，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，要学会添加常用辅助线构造全等三角形，属于压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州一中2024-2025学年第一学期期中考试 初二 数学试卷 （完卷120分钟 满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 一、选择题（每小题4分，共40分，请将正确的答案涂在答题卡上） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（ ）   A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ） A. B. C. D. 7. 小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，，则的大小关系是（    ） A. B. C. D. 10. 如图，，平分，且．若点E，F分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每小题4分，共24分，请将正确的答案写在答题卡上） 11. ___________：___________． 12. 若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是_____边形． 13. 等腰三角形的周长是，一边长为6，它的底边长为__________． 14. 若，则________；若，则________． 15. 如图，在等腰中，在、上分别截取、，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，，．若点M、N分别是线段和线段上的动点，则的最小值为________． 16. 如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连接交边于D，则下面结论：①；②D为的中点；③；④；其中正确的结论有：________． 三、解答题（共9题，共86分，请将正确的答案写在答题卡上） 17. （一）计算： （1）； （2）； （二）分解因式： （3）； （4）． 18. 如图，点A、C、B、D在同一条直线上，，，．求证： （1）． （2）若，，求的度数． 19. 已知，，求下列各式的值： （1） （2） （3） 20. 如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线成轴对称的． （2）的面积为 ． （3）在直线上找一点，使的值最小． （4）在上找一点，使值最大．（在图形中标出点P、M，保留作图痕迹） 21. 学习不仅要知其然，更要知其所以然，追本溯源可以帮助我们更好的理解和运用相关定理或结论．请你证明：直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请你补充完整，并写出证明过程． 已知：如图，在中，，_________． 求证：_________． 证明： 22. 已知：A，E，F，B在同一条直线上，，，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 在边长a的正方形中剪去一个边长b的小正方形（a＞b），把剩下的部分制成一个梯形，请回答下列问题： （1）这个拼图验证了一个乘法公式是　 　． （2）请利用这个公式计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣） 24. 阅读理解： 若x满足，求的值． 解：设，，则，，所以． 解决问题： （1）若x满足，求的值； （2）如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积是7，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 25. 选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如选取二次项和一次项配方：． 根据上述材料，解决下面问题： （1）写出二次三项式配方的过程和结果． （2）已知，求，的值．（写出过程） （3）如图，已知，，且、满足（2）的结论，连接，若，于点，、关于轴对称，是线段上的一点，且，连接，试判断线段与关系，并证明你的结论； （4）在（3）的条件下，若点分别是线段上的动点，求的周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $