第二章二次函数同步练习 2023-2024学年北师大版数学九年级下册

第二章二次函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若关于x的函数y=（3-a）x2-x是二次函数，则a的取值范围(    ) A．a≠0 B．a≠3 C．a＜3 D．a＞3 2．如图，抛物线的对称轴是，下列结论，正确的有（    ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．如图，在直角坐标系中，，，，以A为位似中心且在点A同侧，把按相似比放大，放大后的图形记作，则的最小值是（ ） A． B． C． D．3 4．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C， 点B在y轴上， 则的值为（   ） A． B．2 C． D． 5．已知原点是抛物线y＝(m＋1)x2的最高点，则m的范围是(    ) A．m＜－1 B．m＜1 C．m＞－1 D．m＞－2 6．已知二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点，与的正半轴交于点且，，那么的值为（　　） A． B． C． D． 7．方形ABCD中，AD＝4，点E为AB边上一动点（不与点B重合），将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，过E作EG//DF交BC于点G，则GC的最小值为（    ） A．2 B． C．2 D．3 8．已知关于x的二次函数y＝x2﹣2x﹣2，当a≤x≤a+2时，函数有最大值1，则a的值为（　　） A．﹣1或1 B．1或﹣3 C．﹣1或3 D．3或﹣3 9．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为（　　　） A． B． C． D． 10．已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是【 】 A．AE=6cm B． C．当0＜t≤10时， D．当t=12s时，△PBQ是等腰三角形 12．在平面直角坐标系中，将抛物线先沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移2个单位长度，则平移后得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．若二次函数的对称轴是直线，则b等于 ． 14．已知点、三点都在抛物线的图象上，则、的大小关系是 ．（填“、、”） 15．抛物线与x轴有两个交点，且交点位于y轴两侧，则下列关于这个二次函数的说法正确的有 ．（填序号） ①；②若，则当时，y随x的增大而增大；③；④一元二次方程的两根异号． 16．若抛物线与直线有两个公共点，则的取值范围为 ． 17．抛物线得关于轴对称得到的抛物线的解析式为 . 三、解答题 18．在直角坐标系中，设函数（，是常数，）． (1)已知函数的图象经过点和，求函数的表达式． (2)若函数图象的顶点在函数的图象上，求证：． 19．已知二次函数． (1)求开口方向、对称轴及顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中画出该二次函数的草图； (3)当为何值时，随增大而减小，当为何值时，随增大而增大 20．阅读与思考 下面是小明在数学笔记本上记录的父亲工厂里实际出现过的一个问题，请认真阅读，并帮助小明解答小明父亲给的以下任务： 小明父亲的工厂里加工一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，售价不得低于成本价且利润率不高于80%．销售一段时间后市场调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 任务一：要解决小明父亲提出的问题，主要运用的数学思想是____________； A．公理化思想            B．统计思想            C．函数思想            D．分类思想 任务二：请帮助小明解决相关的3个问题． 21．为实现脱贫奔小康，景颇新村在驻村工作队的帮扶下，引进种植了褚橙。今年褚橙大丰收，王经理到该村的果园里一次性采购这种水果，商定：王经理的采购价（元/吨）与采购量（吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）．    （1）求与之间的函数关系式． （2）已知景颇新村种植褚橙的成本是16000元/吨，当采购量超过20吨，王经理的采购量为多少时，景颇新村在这次买卖中所获的利润w最大？最大利润是多少？ 22．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（墙最长可利用）围成一个矩形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的面积为时，求的长； (2)能否围成的羊圈，为什么？（计算说明） 23．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y． （1）求证：△DHQ∽△ABC； （2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值． 24．已知二次函数（m是常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴有两个公共点； (2)若该抛物线与x轴的两个交点分别为，，且，求m的值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D D A B D A B B 题号 11 12 答案 D A 1．B 【分析】根据二次函数的定义，二次项系数不等于0列式求解即可． 【详解】根据二次函数的定义，二次项系数不等于0， 3-a≠0，则a≠3，故选B 【点睛】本题考查二次函数的定义，熟记概念是解题的关键． 2．B 【分析】本题考查了二次函数的系数与图像的关系，二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号．根据函数图像分别判断、、的符号即可判断结论①；利用图像与x轴交点的个数即可判断结论③；由，得，可判断②；利用当时函数值的正负即可判断结论④． 【详解】解：∵抛物线开口方向向下， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴a，b异号，即， ∵函数图像与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故③正确； ∵抛物线对称轴是直线， ∴， ∴，故②正确； 当时，，故④正确； 综上，正确的结论有：②③④，共3个； 故选：B． 3．D 【分析】分别过点C作CE⊥x轴于E，过点作轴于F，根据位似图形的性质可得，，，证明，得到，则，，得到的坐标为（-3，2t），即可，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图，分别过点C作CE⊥x轴于E，过点作轴于F， ∵把△ABC按相似比2：1放大，放大后的图形记作△AB'C'，C（-1，t），A（1，0）， ∴，，， ∵CE⊥x轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为（-3，2t）， ∵B（0，2）， ∴， ∵， ∴当时，有最小值9，即有最小值3， 故选D． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的性质与判定，坐标与图形，二次函数的应用，解题的关键在于能够熟练掌握位似图形的性质． 4．D 【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的图象与性质，二次函数解析式．熟练掌握正方形的性质，二次函数的图象与性质，二次函数解析式是解题的关键． 由题意知，关于轴对称，如图，连接交于，设，则，，将，，代入，可求，然后代值求解即可． 【详解】解：由题意知，关于轴对称， 如图，连接交于， ∵正方形， ∴， 设，则，， 将，，代入得，， 解得，， ∴， 故选：D． 5．A 【详解】试题解析：∵原点是抛物线y=（m+1）x2的最高点， ∴m+1＜0， 即m＜-1． 故选A． 考点：二次函数的性质． 6．B 【分析】此题主要考查了抛物线与x轴交点坐标与函数解析式的关系，由于二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点，与的正半轴交于点且，，由此得到，，接着把点，点代入解析式即可得到方程组，解方程组即可求解，根据交点坐标满足函数关系式得到关于待定字母的方程是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点，与的正半轴交于点且，， ∴， ∴， ∴， ∴代入第一个方程得：， 故选：． 7．D 【分析】由旋转的性质得：，根据，证明出，得出，设，，则，即，解得：，整理得：，当取到最大值时，为最小值，利用二次函数的性质求解． 【详解】解：由旋转的性质得：， ， ， 又， ， ， 设，， 则， 即， 解得：， 整理得：， 当取到最大值时，为最小值， 当时，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、相似三角形的判定及性质、二次函数的应用，解题的关键是将最值问题转化为函数问题来求解． 8．A 【详解】分析： 详解：∵当a≤x≤a＋2时，函数有最大值1，∴1＝x2－2x－2,解得： ， 即-1≤x≤3, ∴a=-1或a+2=-1, ∴a=-1或1，故选A. 点睛：本题考查了求二次函数的最大(小)值的方法，注意：只有当自变量x在整个取值范围内，函数值y才在顶点处取最值，而当自变量取值范围只有一部分时，必须结合二次函数的增减性及对称轴判断何处取最大值，何处取最小值. 9．B 【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b＞0，根据与y轴的交点确定出c＞0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线x＝﹣＞0， ∴b＞0， ∵与y轴的正半轴相交， ∴c＞0， ∴y＝ax+b的图象经过第一二四象限，反比例函数图象在第一三象限， 只有B选项图象符合． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键． 10．B 【分析】根据图象得出a＜0，，c＞0，结合图象上的点和与x轴交点个数即可逐项判断． 【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下， ∴a＜0， ∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴c＞0， ∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1， ∴， ∴2a+b＝0，b＞0 ∴abc＜0，∴①和②错误； ∵二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴有两交点， ∴故③正确； ∵二次函数y＝ax2+bx+c图象可知，当x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0，故④正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力． 11．D 【详解】（1）结论A正确，理由如下： 解析函数图象可知，BC=10cm，ED=4cm， 故AE=AD﹣ED=BC﹣ED=10﹣4=6cm． （2）结论B正确，理由如下： 如图，连接EC，过点E作EF⊥BC于点F， 由函数图象可知，BC=BE=10cm，， ∴EF=8．∴． （3）结论C正确，理由如下： 如图，过点P作PG⊥BQ于点G， ∵BQ=BP=t，∴． （4）结论D错误，理由如下： 当t=12s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点， 设为N，如图，连接NB，NC． 此时AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=，NC=． ∵BC=10， ∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形． 故选D． 12．A 【分析】根据二次函数顶点式的平移口诀：左加右减，上加下减，即可解答． 【详解】解：先沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移2个单位长度， 可得：， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的平移，熟知二次函数的平移口诀是解题的关键． 13．6 【分析】本题主要考查了二次函数的性质， 根据对称轴，即可求出b的值． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ， 故答案为：6． 14． 【分析】本题需先根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系． 【详解】解：∵二次函数y=x2+2的图象的对称轴是y轴， 在对称轴的左面y随x的增大而减小， ∵点A（-4，y1）、B（-3，y2）是二次函数y=x2+2的图象上两点， -4＜-3， ∴y1＞y2． 故答案为y1＞y2． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键． 15．①②④． 【分析】根据二次函数的图象和性质，综合进行判断即可． 【详解】解：设抛物线与x轴的交点为， ∵两个交点在y轴两侧， ，即， ，因此①符合题意； 当时，，抛物线与y轴交点为， 当时，而，对称轴在y轴的左侧，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因此②符合题意； 当时，的值无法确定，故③不符合题意， 一元二次方程的两根就是一元二次方程的两根，实际上就是抛物线，与直线的两个交点的横坐标，因为当x＝0时，y＝−3，抛物线与y轴交点为（0，−3），故④符合题意； 故答案是：①②④． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与系数a、b、c的关系是解题的关键． 16． 【分析】本题考查了二次函数与直线的交点问题、一元二次方程根的判别式，由题意得出方程有两个不相等的实数根，再由根的判别式得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线与直线有两个公共点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换．由关于y轴对称点的特点是：纵坐标不变，横坐标变为相反数，找出关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为，且开口方向和形状都不发生变化，可得关于y轴对称的抛物线解析式． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， ∴关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为， ∴该抛物线的关系式为， 故答案为：． 18．(1) (2)见解析 【分析】本题考查二次函数的综合应用．理解点在函数图象上的含义是求解本题的关键．（1）将和代入函数表达式，解方程组即可；（2）先得出函数顶点坐标，代入化简，即可得出结论． 【详解】（1）∵函数图象经过点和， ∴， 解得 ， ∴； （2）∵， ∴顶点， ∵图象的顶点在函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．(1)抛物线的开口向下，对称轴为：直线，顶点坐标为： (2)见解析 (3)时，随增大而减小，时，随增大而增大 【分析】（1）根据二次函数的性质进行解答即可； （2）根据第（1）问即可画出； （3）根据对称轴的开口方向朝下，在对称轴的右侧，随增大而减小，在对称轴的左侧，随增大而增大即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴抛物线的开口向下， 对称轴为：直线，顶点坐标为：； （2）解：根据第（1）问，抛物线的开口向下，对称轴为：直线，顶点坐标为：，二次函数的草图如图所示：    （3）解：∵抛物线的开口向下，对称轴为：直线， ∴时，随增大而减小，时，随增大而增大； 【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 20．任务一：C；任务二：（1） （2）当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润是1248元． （3）销售单价应定为50元． 【分析】 本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程． 任务一：根据（1）的问题“y与x的函数关系式”，以及后面的最大利润问题，得知要解决小明父亲提出的问题，主要运用的数学思想是函数思想，即可作答． 任务二：（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为，用待定系数法可得； （2）设每天获利w元，得，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元． （3）根据题意得把代入中，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元； 【详解】解：任务一：依题意，得主要运用的数学思想是函数思想， 故选：C 任务二：（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为， 把代入得： ， 解得 ， ∴ （2）设每天获利w元． 根据题意，得 整理，得． ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值，对称轴是直线． 又∵售价不得低于成本价且利润率不高于80%， ∴且． 解，得． ∴时，取最大值，． 答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润是1248元． （3）把代入中， 得 解，得，． ∵， ∴． 答：销售单价应定为50元． 21．（1）（0＜≤20），；（2）王经理的采购量为30吨时，在这次买卖中所获的利润W最大，最大利润是180000元． 【分析】（1）由0＜≤20，函数值不变，可得此时的函数解析式，当20＜≤40时，设为中，利用待定系数法求解即可； （2）当20＜x≤40时，求出该水果种植基地获得的利润W的表达式，利用函数的性质，求出此时该水果种植基地获得的最大利润，即可． 【详解】解：（1）根据图象可知： ①当0＜≤20时，（0＜≤20），   ②当20＜≤40时， 设为中， 将B（20，24000），C（40，20000），代入，得： ， 解得：， ；    （2）根据上式以及景颇新村种植褚橙的成本是16000元/吨，根据题意得： 当20＜≤40时， W=（﹣200+28000﹣16000）=﹣2002+12000，     ∵<0,抛物线开口向下，且20＜≤40 ∴当时， W最大=180000元． 故王经理的采购量为30吨时，在这次买卖中所获的利润W最大，最大利润是180000元． 【点睛】本题主要考查了函数模型的应用，以及利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用二次函数求最值，同时考查了分段函数的应用，掌握以上知识是解题的关键． 22．(1)当围成一个面积为的羊圈时，的长为． (2)不能否围成的羊圈，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程、二次函数的应用等知识点，找到周长等量关系和求出羊圈的面积与矩形的边的二次函数关系是解决本题的关键． （1）设矩形的边，则，再根据羊圈的面积为利用矩形面积公式列方程求解即可； （2）设羊圈的面积为，则矩形的边，根据题意，得，然后求得函数的最大值与500比较即可解答． 【详解】（1）解：设矩形的边，则， 根据题意可得：， 化简得：， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意． 答：当围成一个面积为的羊圈时，的长为． （2）解：不能否围成的羊圈，理由如下： 设羊圈的面积为，则矩形的边， 根据题意，得， ∴， ∵ ∴当时，y有最大值，最大值为． ∵， ∴不能否围成的羊圈． 23．（1）证明见解析；（2）；y的最大值是． 【详解】解：（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB， ∴=90°，HD=HA， ∴， ∴△DHQ∽△ABC． （2）①如图1，当时， ED=，QH=， 此时． 当时，最大值． ②如图2，当时， ED=，QH=， 此时． 当时，最大值． ∴y与x之间的函数解析式为 ∴y的最大值是． 24．(1)见详解 (2) 【分析】（1）由根的判别式：时，图象与x轴有两个公共点；时，图象与x轴有一个公共点；时，图象与x轴有没有公共点；据此进行求解即可． （2）可得，，代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ，，， ， 不论m为何值，该函数的图象与x轴有两个公共点． （2）解：由题意得： ， ， ， ， 整理得：， ， 故的值为． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，根与系数的关系，理解二者之间的关系，掌握解法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$