3.4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第三章 空间向量与立体几何 4.3 用空间向量研究夹角问题 一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得. 也就是说，若异面直线l1, l2所成的角为θ，其方向向量分别是 则 l1 l2 l1 l2 O O 1.异面直线所成的角 问题1 θ=< >吗？ 它们的关系是什么？ θ= 或θ=π- 1.已知两异面直线a,b的一个方向向量分别为a=(-1,1,0)，b=(0,-1,0)，则直线a与b所成的角为_______ 练一练： 45° 例8 如图3－41,在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A'B'C'D',AB =2, BC=1, AA' = 3.求AC'与A'D所成角的余弦值. 类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量 ，平面α的法向量为 . 问题3 θ=< >吗？ 试用数学表达式表示出它们的关系. 2.线面角 (直线与平面所成的角) n 类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量 ，平面α的法向量为 . α A B C 2.线面角 (直线与平面所成的角) 2.已知直线a的一个方向向量为a=(-1,2,0)，平面 的一个法向量为b=(0,1,2)，则直线a与平面 所成角的正弦值为_______ 练一练： 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q, R分别在棱AA1，BB1上，A1Q= 2AQ，BR= 2RB1. 求直线PQ与C1A1夹角的余弦值. A C B A1 C1 B1 Q P R x y z ∴直线PQ与C1A1夹角的余弦值为： 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q, R分别在棱AA1，BB1上，A1Q= 2AQ，BR= 2RB1. 求直线PQ与平面A1B1C1夹角的正弦值. A C B A1 C1 B1 Q P R x y z ∴直线PQ与平面A1B1C1夹角的正弦值为： 课堂小结 1.线线角θ： 向量法： 2.线面角θ： 向量法： [ P132练习 1.如图,在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD－A'B'C'D',点E是A'D'的中点,求直线A'B 与直线CE夹角的余弦值. 2.如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A'B'C'D',AB=2,AD=2, AA'=1,求异面直线A'B 与C'D夹角的余弦值. B E B' O(A) z x y D C C' A' D' 第1题 B B' O(A) z x y D C C' A' D' 第2题 3.如图,在空间直角坐标系中有长方体 ABCD－A'B'C'D',AB=1,BC=2, AA'=2,求直线B'C与平面B'BDD'夹角的正弦值. 4.如图,在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD－A'B'C'D',点E,F分别是B'C'和A'D'的中点,求直线AC与平面ABEF夹角的正弦值. B F B' O(A) z x y D C C' A' D' 第4题 E 图中有几个二面角？两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角有什么关系？ 我们接下来研究面面角的向量表示 相等或互补 两个平面的夹角的范围： 二面角的范围： [0°，90°] [0°，180°] 平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. 类似于两条异面直线所成的角，若平面α, β的法向量分别是 和 ，则平面α与平面β的夹角即为向量 和 的夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ，则 3.面面角 (平面与平面的夹角) 已知两平面的一个法向量分别为m=(0,1,0)，n=(0,1,1)，则两平面夹角的大小为 练一练： 45° 例10 如图3−48,在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD − A'B'C'D', 求二面角A'−DC−A的平面角. B B' O(A) z x y D C C' A' D' 第4题 S C D B A 第5题 $$