3.4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第三章 空间向量与立体几何 4.3.2 用空间向量研究距离问题 1.线线角θ： 2.线面角θ： 3.面面角θ： 4.二面角θ： 回顾旧知： 回顾平面内直线l外一点P到直线l距离的几种求解方法.方法如下： 1.综合几何方法:如图3−50(1),过点P作直线l的垂线,垂足为点D1,一般转化为求三角形的高,即PD1的长度. 图 3 − 50 问题1： 如图，已知平面α外一点P，如何用空间向量求点P到平面α的距离？ 图3−51 图3−51 2.若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是 1. D D 3.已知直线l与平面α相交于点O，A∈l，B为线段OA的中点，若点A到平面α的距离为10，则点B到平面α的距离为________. 5 用向量法求平面α一个点P到平面α的距离的步骤： (3) 利用点到平面的距离公式即可求出点到平面的距离d． (1) 求出该平面α的一个法向量 ； α A Q P d 归纳总结 (2) 找出从点P出发的平面的任一条斜线段对应的向量 ； A B C D A1 B1 C1 D1 E F x y z 变式： 问题2： 类比点到平面的距离的求法，如何求直线与平面、两个平面之间的距离？ α A l Q d P • 点到平面的距离 D' C' B' D A B C A' 问题2： 类比点到平面的距离的求法，如何求直线与平面、两个平面之间的距离？ α A Q d P • β 点到平面的距离 D' C' B' D A B C A' 已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，则平面AB1C 与平面A1C1D 之间的距离为（ ） B 问题3： 已知直线l的垂直向量为 ，A是直线l上的定点，P是直线l外一点． 如何利用这些条件求点P到直线l的距离? 2. 投影向量 1. 投影向量数量 问题4： 已知直线l的方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点． 如何利用这些条件求点P到直线l的距离? 设 ，则向量 在直线l上的投影长度（数量） 在Rt△APQ中，由勾股定理，得 方法一: 问题4： 已知直线l的方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点． 如何利用这些条件求点P到直线l的距离? 2 方法二: 2 已知直线l过点A(1，－1,2)，和l垂直的一个向量为n＝(－3,0,4)，则P(3,5,0)到l的距离为（ ） C 练一练： A x y z A B C D A1 B1 C1 D1 例: 练一练： 练一练： 1 2 1 问题5：如何求两条平行直线之间的距离? 求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离. 两条平行直线之间的距离可转化为点到直线距离求解. $$