吉林省四平市2024-2025学年九年级上学期期末数学模拟试卷（三）

名校调研系列·九年级（上）数学综合测试卷（全一册） （三） 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 评卷人 得分 一、选择题（每小题2分，共12分） 1．下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，是直径，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（   ） A．竹篮打水 B．瓮中捉鳖 C．水滴石穿 D．守株待兔 6．如图，正方形内接于．点为上一点，连接、，若，，则的长为(    ) A． B． C． D． 评卷人 得分 二、填空题（每小题3分，共24分） 7．若点关于原点的对称点，那么 ． 8．有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有49人患了感冒，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒的人数为 人． 9．抛物线与轴的两个交点之间的距离为 ． 10．如图， 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接．若将绕点B顺时针旋转，得到，则点的坐标为 ． 11．如图，的半径为，弦的长为，，交于点，交于点，则 ． 12．一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有5个．每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，那么可以推算出a的值大约是 ． 13．当 时，关于的方程有实数根． 14．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需为有游客居住的房间每天支出20元费用，若想要获得最大利润，则房价应定为每个房间每天 元． 评卷人 得分 三、解答题（每小题5分，共20分） 15．解方程：． 16．如图，是一个抛物线形拱桥，以拱顶O为坐标原点建立平面直角坐标系，当拱顶O离水面的高时，水面宽． (1)求该抛物线表示的二次函数解析式； (2)当水面下降到达时，求水面宽度增加多少？ 17．如图将绕点A逆时针旋转得到，点C和点E是对应点，若，，求BD的长． 18．早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．张帆在广州旅游期间，决定在“A．虾饺，B．干蒸烧卖，C．艇仔粥，D．蜜汁叉烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝．（选到每种茶点的可能性相同） (1)如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是______________； (2)如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率． 评卷人 得分 四、解答题（每小题7分，共28分） 19．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)的面积是______． (2)请画出绕点B顺时针旋转90°后的． (3)已知点为y轴上一点，当取得最小值时，m的值是______． 20．如图1，张爷爷用30m长的隔离网在一段15m长的院墙边围成矩形养殖园，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为xm． (1)的长为 米； (2)如图2，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网．已知两道隔离网与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 21．如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，，求的长． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 22．如图，已知抛物线与轴交于 和两点，与轴交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)设是线段上的动点，作交于，连接，当的面积是面积的倍时，求点的坐标． 评卷人 得分 五、解答题（每小题8分，共16分） 23．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D． （1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O，并标出圆心．（不写作法，保留作图痕迹）． （2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由． （3）若AB＝8，BD＝4，求⊙O的半径． 24．如图，在三角形中，，，点为内一点，连接，，，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)用等式表示与的数量关系，并证明； (2)当时， ①直接写出的度数为________； ②若为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明． 评卷人 得分 六、解答题 （每小题10分，共20分） 25．如图，在中，，．动点P从点A出发，沿方向以的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿方向以的速度向终点A运动．以为一边向上作正方形，过点Q作，交于点F．设点P的运动时间为，正方形和重叠部分图形的面积为． (1)当点D落在上时，x的值为______． (2)当点D落在上时，求x的值． (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围 26． 如图，抛物线经过点、，交轴于点．为抛物线在第三象限部分上的一点，作轴于点，交线段于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段长度的最大值，并求此时点D的坐标； (3)若线段把分成面积比为的两部分，求此时点的坐标． 九年级上册数学·C 人教版（2024）姓名 学校 ……………………内……………………装……………………订……………………线……………2024……… 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页考号 班级 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C C A A D 1．B A、该方程的未知数的二次项系数是，当时不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确，符合题意； C、该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； D、该方程有两个未知数，该方程不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 2．C 解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 故选：C． 3．C 解：一次函数的图象经过第二、三、四象限， ，， 二次函数的开口向下， ∴对称轴在轴左侧， 故选：C． 4．A ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5．A 解：A、竹篮打水，是不可能事件，符合题意； B、瓮中捉鳖，是必然事件，不符合题意； C、水滴石穿，是必然事件，不符合题意； D、守株待兔，是随机事件，不符合题意； 故选：A． 6．D 解：连接，，， 正方形内接于， ，，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故选：D． 7．1 ∵点关于原点的对称点是 故答案为：1． 8．343 解：设一个人可以传染x个人， ， 解得：，（舍）， ∴经过三轮后患了感冒的人数为：（人）， 故答案为：343． 9．5 解：∵抛物线， ∴当时，， 解得：，． ∵， ∴抛物线与x轴两个交点之间的距离为5． 故答案为5． 10． 11． 解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∵将绕点B顺时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴坐标为：，即：； 故答案为：． 11．8 解：∵的半径为， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：8． 12．25 解：由题意，得：摸到红球的概率为， ∴， ∴； 故答案为：25． 13． 解：①当关于的方程为一元一次方程时，有，解得， 又因为时，方程无解，所以； ②当关于的方程为一元二次方程时，根据题意有，解得； 综上所述可知：. 故答案为：. 14． 解：设房价定为元，每天的利润为元， ， ， ， 因为， 故当时，获得最大利润． 故答案为：． 15．， 解：， ∴， ∴， ∴，， 解得：，． 16．(1) (2)水面宽度增加 （1）解：设该抛物线表示的二次函数解析式为， ∵， ∴抛物线经过点． ∴． ∴． ∴该抛物线表示的二次函数解析式为． （2）解：∵当水面下降到达时， ∴．即． ∴． ∴，． ∴． ∴水面宽度增加． 17． 由旋转的性质得：，， ∴． 18．(1) (2) （1）解：∵共有四种茶点， ∴如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是：， 故答案为： （2）解：画树状图如图所示： 由树状图知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果有2种， ∴P（张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”）. 19．(1) (2)见解析 (3)2 （1）解：的面积为． 故答案为： （2）如图，即为所求． （3）如图，作点A关于y轴的对称点，连接，则与y轴的交点即为所求的点P． ∵， ∴，设直线的解析式为， 将点，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴点P的坐标为， ∴． 故答案为：2． 20．(1)； (2)养殖园的面积不能达到，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据隔离网的总长为30m，且，得出，进而得出答案； （2）养殖园的面积不能达到，根据各边之间的关系，可得出，结合矩形养殖园面积为，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程无实数根，进而可得出养殖园的面积不能达到． 【详解】（1）解：∵隔离网的总长为30m，且， ∴， ∴米， 故答案为：； （2）解：养殖园的面积不能达到，理由如下： ∵隔离网的总长为30m， 设， ∴， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， ∴养殖园的面积不能达到． 21．(1)详见解析 (2) (3) 【分析】（1）由与相切于点A，可得出，由角平分线线的性质定理即可得出，即可得出是的切线． （2）利用勾股定理得出，线段的和差得出，设，则，利用勾股定理解，即可求出x． （3）根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵与相切于点A， ∴， ∵平分，， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵的半径为2， ∴， ∵，， ∴，， ∵，都是的切线， ∴设，则， ∴在中 ，即， 解得， ∴． （3）在中，，， ∴，， ∴， ∴， ，， ∴ 【点睛】本题主要考查了证明某直线是圆的切线，角平分线的性质定理，勾股定理以及求不规则图形的面积等知识． 22．(1) (2) 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、平行线分线段成比例定理以及等高三角形面积的比等于其对应底的比等知识． （1）将、的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值； （2）根据抛物线的解析式可得出点的坐标，由和等高，则面积比等于对应底边比，由此可得出；然后由平行线分线段成比例定理，即可求得、的比例关系，由此可求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点， ， 解得：， 故此抛物线的解析式为：； （2）由知：； ， ，； ， ， ， ， ， 点的坐标为：． 23．（1）作图见解析；（2）直线BC与⊙O的位置关系为：相切；理由见解析；（3）⊙O的半径为3． （1）如图，⊙O即为所求； （2）直线BC与⊙O的位置关系为：相切，理由如下： 连接OD， ∴OD＝OA， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠ODA＝∠CAD， ∴AC∥OD， ∴∠ODB＝∠C＝90°， ∴OD⊥BC，OD是半径， ∴直线BC与⊙O相切； （3）设⊙O的半径为x， 在Rt△OBD中，OD＝x，OB＝8﹣x，BD＝4， ∴（8﹣x）2＝x2+42， 解得x＝3． 答：⊙O的半径为3． 24．(1)，证明见解析 (2)①，②，证明见解析 （1）解：，证明过程如下： ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）①在中∵， ∴， 在中∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． ②连接，延长至点Q，使，连接， ∵点M为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 由（1）可得，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得：． 25．(1) (2) (3)当时，；当时，；当时， （1）∵，， ∴， 当点在上时，如图所示，此时， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴，则， ∴，则， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 当点在上时，如图所示，此时， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，则， ∴，则， ∴； （3）由（1）可知，当点在上时，，当点在上时，， 当时，如图，正方形和重叠部分图形的面积为正方形的面积， ∴； 当时，如图， ∵， ∴，， ∴，则， 又∵是正方形， ∴，则， ∴，则， ∴； 当时，如图， ， ∴． 26．(1) (2)线段长度得最大值是，此时的坐标是 (3) （1）解：∵抛物线与x轴交于点， ∴设抛物线的表达式为， 将代入表达式，解得， 抛物线的表达式为：， 即：； （2）解：设直线的表达式为：， 将代入表达式，得， 直线的表达式为：； 设，． 则； 当时，有最大值，为， 把代入，得：， ， 线段长度得最大值是，此时的坐标是； （3）解：根据题意，， 当时，有：， 解得（舍去）； 当时，有：， 解得：，（舍去）； 综上所述：当时，满足条件． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$