第十八章 正比例函数和反比例函数压轴训练-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（沪教版）

第十八章 正比例函数和反比例函数压轴训练 一、选择压轴 1．甲、乙二人从A、B两地同时出发相向而行，乙到达A地后立即返回B地，两人与A地的距离s（单位：）与所用时间t（单位：）之间的函数关系如图所示，则甲、乙两人在途中两次相遇的间隔时间为（    ） A． B． C． D． 2．平面直角坐标系内有两点，如果正比例函数的图象与线段有交点，那么k的取值范围是(　　) A． B． 或 C． D． 或 3．如图，轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，若的面积为6，则k的值为（　     　）                                       A．4 B．6 C．8 D．10 4．在反比例函数图象上有三个点，、，、，，若，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数y＝的图象上，轴于点，轴于点，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 6．如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 7．如图，是坐标原点，等腰直角三角形，，，…，的斜边均在轴正半轴上，直角顶点，，，…，均在反比例函数的图象上，则点的横坐标为（     ） A． B． C． D． 8．如图，直线与双曲线交于两点，连接，轴于点轴于点；有以下结论：①；②；③若，则；④时，，其中结论正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④ 9．如图，点P在函数的图象上，过点P作轴，交y轴于点Q，将点P绕线段的中点M逆时针旋转得到点，点恰好落在函数的图象上，连接、，若的面积等于4，则k的值为（    ）    A．2 B．4 C．8 D．16 10．如图，在平面直角坐标系中，点，点在双曲线上，，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线分别交于点C，点D，若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空压轴 11．已知正比例函数图像上点P的横坐标为 ，点P关于x轴对称点为Q，点Q、M在同一个正比例函数的图像上，的面积为12，则点M的坐标是 ． 12．如图所示，，两地相距千米，甲于某日下午时骑自行车从地出发驶往地，乙也于同日下午骑摩托车按同路从地出发驶往地，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行路程与该日下午时间之间的关系根据图象回答下列问题： （1）请你根据图象上的数据填空，甲骑自行车在全程的平均速度是 ，乙骑摩托车的速度是 ． （2）乙出发大约用时 就追上甲？ 13．如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为3，则 ． 14．如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线和的一支上，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为和．则有以下的结论：①；②；③阴影部分面积是；④当时，；⑤若四边形是菱形，则图中曲线关于轴对称．其中正确的结论是 ．（填序号） 15．如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点在轴上，，若的面积等于8，则的值为 ． 16．已知动点P从点A出发沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径移动，相应的的面积关于移动路程的关系图象如图2，若，根据图象信息回答，下列说法正确的有： （填写正确的序号）    ①图1中长为； ②图2中m的值为9，n的值为25； ③当P点运动到F点时，y对应的值为4； ④当的面积为2时，对应的x的值是2或24． 17．如图，矩形OABC位于直角坐标系中，点在第一象限内，点A在x轴上，点C在y轴上，反比例函数的图象交于点，交于点，点在边上．若恰好是以为斜边的等腰直角三角形，则k的值为 ． 18．如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点．为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为 ． 三、解答压轴 19．某气象研究中心观察一场沙尘暴从发生到结束的全过程．开始时风速按一定的速度匀速增长，经过开阔荒漠地，风速增长就加快了．一段时间后，风速保持不变．当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速开始逐渐减小，最终停止．如图所示是风速的变化与时间关系的图象．其中水平数轴表示时间，竖直数轴表示风速，结合图象回答下列问题： (1)沙尘暴从开始发生到结束共经历了多长时间？ (2)从图象上看，风速在哪一个时间段增长得比较快，此时每小时的平均增长速度是多少？ (3)风速从开始减小到最终停止，风速每小时减少多少？ (4)风速在哪一时间段保持不变，经历了多长时间？ (5)为了防止沙尘暴，可以采取哪些措施？ 20．如图，在矩形中，，动点E从点B出发，以每秒1的速度沿折线运动，到点D时停止运动．设点E运动路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围，在给定的平面直角坐标系中画出y的函数图象； (2)请写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，在点E的运动过程中，当的面积时，自变量x的取值范围为_____________________． 21．如图，等腰梯形放置在平面直角坐标系中，已知、、，反比例函数的图象经过点． (1)直接写出点的坐标； (2)求反比例函数的解析式； (3)将等腰梯形向上平移个单位后，使点恰好落在曲线上，求的值． 22．如图，圆柱形容器B底部固定圆柱形容器A，两容器顶部开口，壁厚不计．容器A底面积为，底部有一小孔与容器B连通．第一次从某一时刻开始向容器B均匀注水，容器A中水位高度注水随时间变化图像如右图． (1)注水速度为 ，容器A高度为 ． (2)请计算容器B的底面积是多少？ (3)将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，问将容器A注满水需要多长时间？ (4)请在右图将第一次注水过程中容器B水位随时间变化图像． 23．已知点，都在反比例函数的图象上． (1)求，的值； (2)如图②，点为反比例函数第三象限上一点， ①当面积最小时，求点的坐标； ②若点和点关于原点对称，点为双曲线段上任一动点，试探究与大小关系，并说明理由． 24．如图，点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，与反比例函数的图象交于点A．把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“的l镜像”．    (1)当时； ①点________“的l镜像”；（填“在”或“不在”） ②“的l镜像”与x轴交点坐标是_________； (2)过y轴上的点作y轴垂线，与“的l镜像”交于点B、C，若，求的长． 25．如图，正方形的边长为3，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系反比例函数的图象与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若的面积为，求反比例函数的解析式； (3)点是对角线上的一个动点，在（2）的条件下，是否存在点，使得的值最小？如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 26．在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足． (1)求的值； (2)如图，过点分别作平行于轴，轴的直线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为（含边界）， 当时，区域的整点个数为 ； 直线过一个定点，若点为此定点，直线上方（不包含直线）的区域记为，直线下方（不包含直线）的区域记为，当与的整点个数之差不超过时，请求出的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 正比例函数和反比例函数压轴训练 一、选择压轴 1．甲、乙二人从A、B两地同时出发相向而行，乙到达A地后立即返回B地，两人与A地的距离s（单位：）与所用时间t（单位：）之间的函数关系如图所示，则甲、乙两人在途中两次相遇的间隔时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：标记相关点，如图，由题意知为乙关系图，线段为甲关系图， 由图知，乙从B到A地用时，返回一样用时， 甲从A到B地用时， 设A、B两地的距离为， 则乙速度，甲速度， 设时，甲、乙第一次相遇，两者相向而行， 则有， 解得； 设时，甲、乙第二次相遇， 由图知，时，乙到达A地，此时甲距离A地， 时，两者同向而行， 则有， 解得； ∴，即甲、乙两人在途中两次相遇的间隔时间为， 故选：B 2．平面直角坐标系内有两点，如果正比例函数的图象与线段有交点，那么k的取值范围是(　　) A． B． 或 C． D． 或 【答案】D 【详解】解：如图，    将分别代入， 解得，，， 由题意知，正比例函数的图象越靠近轴，的值越大， ∴正比例函数的图象与线段有交点，则或； 故选：D． 3．如图，轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，若的面积为6，则k的值为（　     　）                                       A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【详解】解：设， ∵轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，， ∴，， ∴， ∵的面积为6， ∴， 解得：， 故选：A． 4．在反比例函数图象上有三个点，、，、，，若，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：在反比例函数中，，图象在第二、四象限， 若 则或，故A错误； 当时，若，则且或， 故或 ，故B错误； 若则，则，故C错误； 若则且或，故，故D正确； 故选：D． 5．如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数y＝的图象上，轴于点，轴于点，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，如图， 由反比例函数的性质可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由两式解得， 则， 故选：． 6．如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 【答案】D 【详解】解：A、根据题意，动点P在边上时，的面积y值不变， ∴，故A选项说法正确，不符合题意； B、由图象知，动点P在边上运动时间为4秒， ∴， ∴长方形的周长为， 故选项B说法正确，不符合题意； C、当秒时，动点P在边上，此时， 故选项C说法正确，不符合题意； D、当时，有两种情况： 当动点P在边上时，由得； 当动点P在边上时，由得， 综上，当时，秒或3秒， 故选项D说法错误，符合题意， 故选：D． 7．如图，是坐标原点，等腰直角三角形，，，…，的斜边均在轴正半轴上，直角顶点，，，…，均在反比例函数的图象上，则点的横坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过作轴于， 是等腰直角三角形， 的解析式为：， 联立， 解得：， ，， 是的中点， ． ， 的表达式一次项系数与的一次项系数相等， 将代入， ， 的表达式是， 联立， 解得：，即， 同上，，，， 以此类推，点的横坐标坐为：， 点的横坐标为， 故选：B． 8．如图，直线与双曲线交于两点，连接，轴于点轴于点；有以下结论：①；②；③若，则；④时，，其中结论正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④ 【答案】A 【详解】解：设，，代入中得，， 联立得， 则， ， ，， ，， 在和中， ， ，故②正确； ，故①正确； 如图，作于， ， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， 同理可得：， ，， ，故③正确； 如图，延长，交于点， ， ， 四边形是矩形， ，，， ，， ，即， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：A． 9．如图，点P在函数的图象上，过点P作轴，交y轴于点Q，将点P绕线段的中点M逆时针旋转得到点，点恰好落在函数的图象上，连接、，若的面积等于4，则k的值为（    ）    A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【详解】解：设，则， ∵轴，将点P绕线段的中点M逆时针旋转得到点， ∴， ∴． ∵的面积等于4， ∴，即， 解得：（舍去负值）， ∴，． ∵点P和点都在的图象上， ∴，解得：． 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，旋转的性质，坐标与图形．利用数形结合的思想是解题关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，点，点在双曲线上，，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线分别交于点C，点D，若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，过点作轴于点，过点作 轴于点， 点 在双曲线上， ， ， ， ， ， ，即 设，则 解得：或 (舍去) ， ， 轴，点，点在双曲线 图象上， ∴点，点 ， ， ， 故选： A. 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数k的几何意义，分式方程，一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义. 二、填空压轴 11．已知正比例函数图像上点P的横坐标为 ，点P关于x轴对称点为Q，点Q、M在同一个正比例函数的图像上，的面积为12，则点M的坐标是 ． 【答案】或 【详解】解：∵当时，， ∴． ∵点P关于x轴对称点为Q， ∴． 设解析式为， 把代入得，， ∴， ∴． 设， ∵的面积为12， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴点M的坐标是或 故答案为：或． 12．如图所示，，两地相距千米，甲于某日下午时骑自行车从地出发驶往地，乙也于同日下午骑摩托车按同路从地出发驶往地，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行路程与该日下午时间之间的关系根据图象回答下列问题： （1）请你根据图象上的数据填空，甲骑自行车在全程的平均速度是 ，乙骑摩托车的速度是 ． （2）乙出发大约用时 就追上甲？ 【答案】 【详解】解：（1）甲骑自行车在全程的平均速度， 乙骑摩托车的速度， 甲在段时的速度， （2）设乙出发t小时后追上甲， ， 解得：， 故答案为：，，． 13．如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为3，则 ． 【答案】6 【详解】解：矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点， 由反比例函数中的几何意义知，， 矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点， 由反比例函数中的几何意义知，， 四边形的面积为3， 由图可知，， 即，解得， ， 故答案为：6． 14．如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线和的一支上，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为和．则有以下的结论：①；②；③阴影部分面积是；④当时，；⑤若四边形是菱形，则图中曲线关于轴对称．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②⑤ 【详解】解：①四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上， 点、到轴的距离相等， 过点、作轴的垂线，垂足分别为和， ；故说法①正确，符合题意； ②设点为，则， 四边形是平行四边形，， ， ， ， 由图可知，，， ， ，故说法②正确，符合题意； ③轴，轴， ，， ，故说法③错误，不符合题意； ④， ， 又， ， ， ， ， ， ，故说法④错误，不符合题意； ⑤四边形是菱形， ， ， ， ， ，则图中曲线关于轴对称．故说法⑤正确，符合题意； 说法①②⑤正确， 故答案为：①②⑤． 15．如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点在轴上，，若的面积等于8，则的值为 ． 【答案】12 【详解】解：设，则， ， ，， 过点A作轴于点E， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：12． 16．已知动点P从点A出发沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径移动，相应的的面积关于移动路程的关系图象如图2，若，根据图象信息回答，下列说法正确的有： （填写正确的序号）    ①图1中长为； ②图2中m的值为9，n的值为25； ③当P点运动到F点时，y对应的值为4； ④当的面积为2时，对应的x的值是2或24． 【答案】①③ 【详解】解：由函数图象可知，当时，y随x增大而增大，当时，y保持不变， ∴当时，点P在上运动，当，点P在上运动， ∴，故①正确； 同理可得上，点P在上运动，则， ∴； 当点P运动到直线与交点处时，y的值为0， ∴，故②错误； ∴当P点运动到F点时，y对应的值为，故③正确； 当时，，解得， 当时，，解得； 当时，，解得， ∴当的面积为2时，对应的x的值是2或24或28，故④错误； 故答案为：①③． 17．如图，矩形OABC位于直角坐标系中，点在第一象限内，点A在x轴上，点C在y轴上，反比例函数的图象交于点，交于点，点在边上．若恰好是以为斜边的等腰直角三角形，则k的值为 ． 【答案】 【详解】解：作于， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点， ，， ， ， ， ， 解得或（舍去）， 故答案为：． 18．如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点．为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为 ． 【答案】4 【详解】在中，，， ， ， 是的中点， ， 如图，过点作于， ∴， ， 在中，， ，． 反比例函数的图象经过斜边的中点， ， 解得． ∴反比例函数， 设直线的解析式为， 则， 解得， 的解析式为， ∵， 直线的解析式为， 点既在反比例函数图象上，又在直线上， 联立得， ∴， ∴，， ∴， ； 故答案为：4． 三、解答压轴 19．某气象研究中心观察一场沙尘暴从发生到结束的全过程．开始时风速按一定的速度匀速增长，经过开阔荒漠地，风速增长就加快了．一段时间后，风速保持不变．当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速开始逐渐减小，最终停止．如图所示是风速的变化与时间关系的图象．其中水平数轴表示时间，竖直数轴表示风速，结合图象回答下列问题： (1)沙尘暴从开始发生到结束共经历了多长时间？ (2)从图象上看，风速在哪一个时间段增长得比较快，此时每小时的平均增长速度是多少？ (3)风速从开始减小到最终停止，风速每小时减少多少？ (4)风速在哪一时间段保持不变，经历了多长时间？ (5)为了防止沙尘暴，可以采取哪些措施？ 【答案】(1)沙尘暴从开始到结束共经历了小时； (2)风速在之间增长得比较快，此时每小时的平均增长速度是； (3)每小时减小； (4)小时这个时间段内，风速保持不变，经历了个小时； (5)为了防止沙尘暴，可以改造荒漠，多植树造林．（答案不唯一） 【详解】（1）解：由图象可知，沙尘暴从开始到结束共经历了小时； （2）解：风速在之间增长得比较快，此时每小时的平均增长速度是； （3）解：风速从开始减小到最终停止，经历了， 每小时减小； （4）解：小时这个时间段内，风速保持不变，经历了个小时； （5）解：为了防止沙尘暴，可以改造荒漠，多植树造林．（答案不唯一） 20．如图，在矩形中，，动点E从点B出发，以每秒1的速度沿折线运动，到点D时停止运动．设点E运动路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围，在给定的平面直角坐标系中画出y的函数图象； (2)请写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，在点E的运动过程中，当的面积时，自变量x的取值范围为_____________________． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)或． 【详解】（1）解：当点E在上时，， 当点E在上时，， 综上所述，； 先画出线段的图象： 当时；当时；当时； 描点，连线，所作图形如图： ； （2）解：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； （3）解：当点E在上时，即时，， 解得，； 当点E在上时，即时，， 解得： 综上，的面积时，自变量x的取值范围是或， 故答案为：或 21．如图，等腰梯形放置在平面直角坐标系中，已知、、，反比例函数的图象经过点． (1)直接写出点的坐标； (2)求反比例函数的解析式； (3)将等腰梯形向上平移个单位后，使点恰好落在曲线上，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【详解】（1）解：过点C作于点E， 四边形是等腰梯形， ，， ， 在和中 ， ， ， ， ， （2）解：设反比例函数的解析式， 把代入 得：， 解得：， 反比例函数的解析式； （3）解：将等腰梯形向上平移m个单位后得到梯形， 点， 点恰好落在双曲线上， 当时，， 即． 22．如图，圆柱形容器B底部固定圆柱形容器A，两容器顶部开口，壁厚不计．容器A底面积为，底部有一小孔与容器B连通．第一次从某一时刻开始向容器B均匀注水，容器A中水位高度注水随时间变化图像如右图． (1)注水速度为 ，容器A高度为 ． (2)请计算容器B的底面积是多少？ (3)将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，问将容器A注满水需要多长时间？ (4)请在右图将第一次注水过程中容器B水位随时间变化图像． 【答案】(1)， (2)容器B的底面积是 (3)将容器A注满水需要 (4)见解析 【详解】（1）结合图形，由函数图象可得当时，容器A由底部小孔慢慢进水，在时达到容器A顶部，当时，水漫过容器A顶部，容器A高度增速加快，当时容器A装满水，直到时容器B装满水， ∴当时，水漫过容器A顶部，此时水全部进入容器A顶，这段时间注水量为，容器A高度为， ∴注水速度为 故答案为：，； （2）时注水总量为， 设容器B的底面积是， 由题意可得： 解得， ∴容器B的底面积是； （3）当时，容器A高进水量为， ∴小孔注水速度为， ∵将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，此时水会从小孔流入容器B， ∴将容器A注满水需要时间为； （4）当时，水深达到容器A顶部，此时达到容器B水面高度为， 当时，水漫过容器A顶部，所有水都进入容器A中，容器B水面高度不变， 当时容器A装满水，容器B水面高度上升， 直到时容器B装满水，此时水深， 故函数图象为： 23．已知点，都在反比例函数的图象上． (1)求，的值； (2)如图②，点为反比例函数第三象限上一点， ①当面积最小时，求点的坐标； ②若点和点关于原点对称，点为双曲线段上任一动点，试探究与大小关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①；② 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得： （2）①，， 设直线的解析式为：， 将，坐标代入解析式中， ， 解得：， 直线的解析式为：， 点在直线与抛物线相切的点上，此时面积最小 ， 设， ， ， ， ， 点在第三象限，故， ， 解得：， 故的坐标为： ②， ， 设， 过点作轴，点关于直线的对称点，点关于直线的对称点， 连接，，，则， ∵点和点关于原点对称 ， 由待定系数法得：直线的解析式为：， 点在直线上， 、、共线， 由对称性可知， 设直线的解析式为：， ， 解得：， 直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， ， 解得：， ， ， 24．如图，点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，与反比例函数的图象交于点A．把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“的l镜像”．    (1)当时； ①点________“的l镜像”；（填“在”或“不在”） ②“的l镜像”与x轴交点坐标是_________； (2)过y轴上的点作y轴垂线，与“的l镜像”交于点B、C，若，求的长． 【答案】(1)①在；② (2)的长为或 【详解】（1）解：①由反比例函数知：当时，． 且过点作轴的垂线． 关于直线对称点坐标为． 由“的镜像”定义得：点在“的镜像”上． 故答案为：在． ② “的镜像”与轴相交点纵坐标为0． 关于直线对称点在反比例函数上点纵坐标为6． 时，． “的镜像”与轴交点坐标是． 故答案为：． （2）解：如图，①过轴上的点作轴垂线，与“的镜像”交于点、．   点，纵坐标为． 点在反比例函数图象上． 点坐标． ． ． ． 点坐标为． 当时，反比例函数的值． 点与点关于直线对称． 由“的镜像”定义得：． 的长为． ②当点，位置交换时，同理得的长为． 的长为或． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，轴对称的性质，分类讨论、数形结合是解题的关键． 25．如图，正方形的边长为3，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系反比例函数的图象与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若的面积为，求反比例函数的解析式； (3)点是对角线上的一个动点，在（2）的条件下，是否存在点，使得的值最小？如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)反比例函数的解析式为 (3)存在， 【详解】（1）证明：正方形的边长为3， ∴，， ∵点E和F在上， ∴点E的坐标为，点F的坐标为， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴反比例函数解析式为； （3）解：由题可知点E，F关于直线对称， 则连接交于点P，则长最小， ∵点F的坐标为，点D的坐标为， 设直线的解析式为，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 同理可求：直线的解析式为， 解方程组得， ∴点的坐标为． 26．在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足． (1)求的值； (2)如图，过点分别作平行于轴，轴的直线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为（含边界）， 当时，区域的整点个数为 ； 直线过一个定点，若点为此定点，直线上方（不包含直线）的区域记为，直线下方（不包含直线）的区域记为，当与的整点个数之差不超过时，请求出的取值范围． 【答案】(1)； (2)①，②． 【详解】（1）∵双曲线经过点， ∴， 即的值为； （2）当时，由图可知， 上的整点有个， 上的整点有个， 双曲线上段的整点有个， 区域内部的整点有个， 又点，，都被算了次， 所以区域的整点个数为：， 故答案为：； 由题知，， 则不论为何值，时，即直线过定点， ∴， 如图所示，当时，区域内的整点共有个， 又被分成的区域和的整点个数之差不超过， 则当直线经过点时，的整点个数是，的整点个数是，满足要求， 此时，得， 当直线过点时，的整点个数是，的整点个数是，不满足要求，故当点在直线上方时，即可， 此时，得， 故的取值范围是：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$