第二十四章 圆（单元重点综合测试，人教版）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记•巧练（湖南专用）

第二十四章 圆（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）在平面直角坐标系中，已知点 ，若以原点O为圆心、5为半径画圆，则点 P与的位置关系是（     ） A．点P在上 B．点P在外 C．点P在内 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据点，得，恰好等于圆的半径，从而得到点P在圆上即可． 本题考查了两点间距离公式，点圆的位置关系，熟练掌握公式和点圆位置关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得点，得，恰好等于圆的半径，从而得到点P在圆上， 故选：A． 2．（本题3分）有下列五个命题：①等弧所对的圆心角相等；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各边的距离都相等；④同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；⑤直径平分弦，则垂直于弦．其中正确的有（  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查了命题，垂径定理，三角形内心的性质，圆心角、弧、弦的关系等知识．熟练掌握了命题，垂径定理，三角形内心的性质，圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 根据命题，垂径定理，三角形内心的性质，圆心角、弧、弦的关系进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，等弧所对的圆心角相等；①正确，故符合要求； 经过不在一条直线上三个点一定可以作圆；②错误，故不符合要求； 三角形的内心到三角形各边的距离都相等；③错误，故不符合要求； 同圆或等圆中，等弦所对的弧可能不唯一，故所对的弧不一定对应相等；④错误，故不符合要求； 直径平分不是直径的弦，则直径垂直于弦，⑤错误，故不符合要求； 故选：D． 3．（本题3分）如图，的直径与弦交于点，且，若所对的圆心角的度数为，则所对的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，等腰三角形的性质，三角形的外角性质和内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的概念和性质定理等，连接，根据圆心角的度数可知它所对的弧的度数，再根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，再由三角形的内角定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵若所对的圆心角的度数为， ， ∵， ， ， ， ， ， ∴所对的圆心角的度数为， 故选：C． 4．（本题3分）如图，为的直径，为上的一动点（不与、重合），于，的平分线交于，则当在上运动时，点的位置（   ） A．随点的运动而变化 B．不变 C．在使的劣弧上 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，以及平行线的判定和性质，在同圆或等圆中，等弧对等弦． 因为是的平分线，所以，所以，则，所以，所以点是线段垂直平分线和圆的交点．从而可得出答案． 【详解】解：连接， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点是线段垂直平分线和圆的交点， ∴当在上运动时，点不动． 故选B． 5．（本题3分）如图，是的切线，点为切点，连接并延长交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理等知识，由圆周角定理解得，再根据切线的性质得到，最后根据三角形内角和定理解题． 【详解】解：由圆周角定理得： 是的切线， 故选：B． 6．（本题3分）如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的性质，设三角形与相切于、、，与相切于，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论．，解题的关键是熟练掌握切线的性质． 【详解】解：设三角形与相切于、、，与相切于，如图所示： 由切线长定理可知：，，，，， ，， ，， ， 故选：D． 7．（本题3分）如图，在正方形中，，以B为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点E，连结．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算方法，根据，进行计算即可得出答案，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差． 【详解】解：在正方形中，，， ，，， ， ， 故选：D． 8．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合，轴，将六边形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的性质、坐标与图形变化—旋转、勾股定理、等边三角形的判定与性质，连接、，设交轴于点，由正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理求出，再根据旋转为一个循环，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、，设交轴于点， ，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴， ，轴，，， 是等边三角形，， ，， ， ， 将六边形绕点逆时针旋转，每次旋转°，次一个循环， 第次旋转结束时，点的坐标为， ， 第次旋转结束时，点A的坐标为， 故选：A． 9．（本题3分）如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ）    A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】取点B关于直线的对称点M，连接，两线交于点O，连接，，，过O作于点N，根据勾定理求出，结合四点共线时最小即可得到答案； 【详解】解：取点B关于直线的对称点M，连接，两线交于点O，连接，，，，过O作于点N，    ∵正方形，E是的中点． ∴，，， ∵点Q是的中点， ∴， ∴点Q在以O为圆心，半径为1的圆上运动， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴当、 、、四点共线时的值最小， ， ∴的最小值为： ， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称最小距离和问题，正方形的轴对称性质，圆上动点最小距离问题，勾股定理，解题的关键是找到点Q的轨迹． 10．（本题3分）如图，矩形中，，，动点P从点A出发向终点D运动，连接，并过点C作，垂足为H．有下列说法： ①的最小值为； ②在运动过程中，扫过的面积始终等于扫过的面积； ③在运动过程中，点H的运动路径的长为． 其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，弧长和扇形面积计算，取中点，根据得到点H在以为直径，为半径的圆上运动，据此判断各个选项即可． 【详解】解：取中点，连接，，， ∵矩形中，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴点H在以为直径，为半径的圆上运动， ∵， ∴当A，H，在同一直线上时，最短， 此时， 即的最小值为，故①正确； 如图所示，当运动到时， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴点H的运动路线（轨迹）长为，故③正确； 在运动过程中，扫过的面积， 扫过的面积， ∴扫过的面积不等于扫过的面积，故②错误； 综上所述，正确①③， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）如图，点、、都在上，，，的度数 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了圆周角定理和圆心角定理，掌握圆的相关性质是解题关键．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得到，进而得到，再根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 的度数， 故答案为：． 12．（本题3分）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 【答案】九/9 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提． 根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，， ， ， 而， 这个正多边形为正九边形， 故答案为：九． 13．（本题3分）如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的面积是 ．      【答案】30 【分析】根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵是的内切圆，三个切点分别为，，，若，， ∴，，， ∵， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴，， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查切线长定理及勾股定理，解题的关键是得到，，． 14．（本题3分）如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 【答案】 【分析】由题意得，圆锥的底面半径为3m，母线线长为6m．求出底面周长，根据圆的底面周长等于展开后扇形的弧长，可求得展开后扇形的圆心角为，即圆锥侧面展开为半圆．点正好在半圆的中点处，由此得为直角三角，根据勾股定理即可求出的长，即小猫所经过的最短路径． 本题主要考查了圆锥的侧面展开图，及弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 【详解】为正三角形， ， ， ∵底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得： ， ，则， （m）， 故答案为：． 15．（本题3分）如图，中，，，点D是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点E．若长为，则线段长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．如图，取的中点T，连接，，．解直角三角形求出，，根据，可得结论． 【详解】解：如图，取的中点T，连接，，． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 16．（本题3分）如图，的边位于直线l上，，，若由现在的位置向右无滑动地翻转，当点第4次落在直线l上时，点所经过的路线的长为 （结果用含π的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，弧长公式，勾股定理，以及含30度角的直角三角形，理解题意，得到点第4次落在直线l上时，经过4个的长，3个的长是解题关键．根据含30度角的直角三角形，得出，，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：在中，，， ，， ， ，， 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点第4次落在直线l上时，经过4个的长，3个的长， 点所经过的路线的长为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在圆O上且∠1＝∠C． （1）求证：CB∥PD； （2）若BC＝3，BE＝2，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）要证明CB∥PD，只要证明∠1＝∠P；根据圆周角定理可得∠P＝∠C，可得∠1＝∠P，即可解决问题； （2）首先运用勾股定理求出CE的长度，然后运用垂径定理证明CE＝DE，即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，∵∠1＝∠C，∠P＝∠C， ∴∠1＝∠P， ∴CB∥PD． （2）解：∵CE⊥BE， ∴CE2＝CB2﹣BE2， ∵CB＝3，BE＝2， ∴CE＝， ∵AB⊥CD，AB为直径， ∴DE＝CE，CD＝2CE＝2． 【点睛】主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握圆周角定理、垂径定理、勾股定理等几何知识点是基础，灵活运用、解答是关键． 18．（本题6分）如图，是的直径，D是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点E． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）证明，结合，可得垂直平分，可得，可得，证明，从而可得结论； （2）证明，可得，结合，可得结论． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴，即， ∵，则垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵是的一个外角， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握基础图形的基本性质是解本题的关键． 19．（本题6分）如图，已知是的内接三角形，弧是半圆，C是弧的中点，连接，． (1)求证：． (2)若，求弧的长． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理、等腰直角三角形的性质、弧长公式，（1）根据题意可得，再根据圆周角定理证明即可； （2）连接、，根据圆周角定理可得，，再根据等腰直角三角形的性质与判定可得，再利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵C是弧的中点， ∴， ∴； （2）解：连接、， ∵弧是半圆， ∴是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴． 20．（本题8分）如图，在中，，点O在上，以长为半径的半圆O交于点D，交于点E，过点D作半圆O的切线，交于点F． (1)求证：； (2)若，求半圆O的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． （1）连接，根据切线的性质得到，再结合，推出，即可； （2）连接，设半圆O的半径为r，则，根据列方程并解方程即可解决． 【详解】（1）解：连接， ∵和半圆相切， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （2）解：如答图②，连接． 设半圆O的半径为r，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故半圆O的半径长为． 21．（本题8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点O作OD∥BC，交AC于点D．    （1）求∠ADO的度数； （2）延长DO交⊙O于点E，过E作⊙O的切线，交CB延长线于点F，连接DF交OB于点G． ①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由； ②若BG＝2，AD＝3，求四边形CDEF的面积． 【答案】（1）90°；（2）①四边形CDEF为矩形，理由见解析；② 【分析】（1）由圆周角和平行线的性质求出结论． （2）根据矩形的判定定理得出结论． （3）根据全等三角形和勾股定理得到方程，联立方程组求出OA的长度，即可求出矩形的面积． 【详解】（1） ∵AB为直径， ∴∠C=90°． ∵OD∥BC， ∴∠ADO＝∠C=90°． （2） ①四边形CDEF为矩形，理由如下： ∵∠C=90°，OD∥BC，   ∴∠ODC=180°－90°=90°． ∵EF与⊙O相切于点E， ∴∠OEF=90°． ∵∠C=∠ODC=∠OEF=90° ， ∴四边形CDEF为矩形． ②如图，连接AE，OC， ∵OA＝OC，OD⊥AC， ∴AD＝DC＝3． 由①知四边形CDEF为矩形， ∴DE＝CF． 又∵∠ADE=∠DCF=90°， ∴△ADE≌△DCF（SAS）． ∴∠OEA=∠CFD． ∵DE∥CF， ∴∠CFD＝∠ODG． ∴∠ODG=∠OEA ． ∴DG∥AE， ∴∠OGD=∠OAE． 又由OA＝OE知∠OAE=∠OEA，   ∴∠ODG=∠OGD， ∴OD＝OG． 设OA＝x，则OB＝OE=x． ∵BG＝2， ∴OG＝x﹣2 ∴OD＝OG＝x﹣2． 又∵AD＝3， ∴在Rt△ADO中，32＋（x﹣2）2＝x2 ，解得x＝， ∴OE＝x＝，OD＝x﹣2＝， ∴DE＝OD+OE＝． ∴矩形CDEF的面积为：DC·DE＝3×＝．    【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，找准全等三角形是解题的关键． 22．（本题9分）如图，是的外接圆，为直径，D是上一点，且点C是优弧的中点，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)的半径的长为． 【分析】（1）连接，根据圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等，可得； （2）连接，由题意可得即可证可得则可证是的切线； （3）过点作于点，由角平分线的性质可得可证可得根据勾股定理可求的半径长． 【详解】（1）证明：连接，如图： ∵点C是优弧的中点， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， 且 （2）证明：连接，如图： ∵为直径， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：过点作于点，如图： 又∵ 在和中， 设则 在中，由勾股定理得， 解得： ∴的半径的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 23．（本题9分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，0是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与BC边交于点E、F，连接OD，已知BD=3，tan∠BOD=，CF=． （1）求⊙O的半径OD； （2）求证：AC是⊙O的切线； （3）求图中两阴影部分面积的和． 【答案】（1）OD=4, （2）证明过程见详解 （3） 【分析】（1）根据AB与圆O相切,在Rt△OBD中运用tan∠BOD=,即可求出OD的长, （2）作辅助线证明四边形ADOG是矩形,得DO∥AC,sin∠OCG=,在Rt△OCG中,求出OG的长等于半径即可解题, （3）利用S阴影=SRt△BAC-S正方形ADOG-S圆O,求出AC长度即可解题. 【详解】解：（1）∵AB与圆O相切, ∴OD⊥AB, 在Rt△OBD中,BD=3,tan∠BOD==, ∴OD=4, （2）过点O作OG垂直AC于点G, ∵∠A=90°，AB与圆O相切, ∴四边形ADOG是矩形, ∴DO∥AC, ∴∠BOD=∠OCG, ∵tan∠BOD==, ∴sin∠OCG=, ∵CF=,OF=4, ∴OG=OGsin∠OCG=4=r, ∴AC是⊙O的切线 （3）由前两问可知,四边形ADOG是边长为4的正方形, 扇形DOE和扇形GOF的面积之和是四分之一圆的面积, 在Rt△ABC中,tan∠C=,AB=4+3=7, ∴AC===, ∴S阴影=SRt△BAC-S正方形ADOG-S圆O== 【点睛】本题考查了三角函数的应用和直线与圆的位置关系,中等难度,熟悉三角函数并熟练应用是解题关键. 24．（本题10分）如图1在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴切于A（﹣3，0）与y轴交于B、C两点，BC=8，连AB． （1）求证：∠ABO1=∠ABO； （2）求AB的长； （3）如图2，过A、B两点作⊙O2与y轴的正半轴交于M，与O1B的延长线交于N，当⊙O2的大小变化时，得出下列两个结论：①BM﹣BN的值不变；②BM+BN的值不变．其中有且只有一个结论正确，请判断正确结论并证明． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①BM﹣BN的值不变，理由见解析. 【分析】（1）连接O1A，由圆O1与x轴切于A，根据切线的性质得到O1A垂直于OA，由OB与AO垂直，根据平面内垂直于同一条直线的两直线平行，得到O1A与OB平行，根据两直线平行内错角相等，得到一对内错角相等，再由O1A=O1B，根据等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出∠ABO1=∠ABO，得证； （2）作O1E⊥BC于点E，根据垂径定理得到E为BC的中点，由BC的长求出BE的长，再由A的横坐标得出OA的长，即为O1E的长，在直角三角形O1BE中，根据勾股定理求出O1B的长，用OE-BE求出OB的长，在直角三角形AOB中，根据勾股定理即可求出AB的长； （3）两个结论中，①BM-BN的值不变正确，理由为：在MB上取一点G，使MG=BN，连接AM、AN、AG、MN，由∠ABO1为四边形ABMN的外角，根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，可得出∠ABO1=∠NMA，再由∠ABO1=∠ABO，等量代换可得出∠ABO=∠NMA，然后利用同弧所对的圆周角相等可得出∠ABO=∠ANM，等量代换可得出∠NMA=∠ANM，根据等角对等边可得出AM=AN，再由同弧所对的圆周角相等，及OM=BN，利用SAS可得出三角形AMG与三角形ABN全等，根据全等三角形的对应边相等可得出AG=AB，由AO与BG垂直，根据三线合一得到O为BG的中点，根据OB的长求出BG的长，然后BM-BN=BM-MG=BG，由BG为常数得到BM-BN的长不变，得证． 【详解】（1）连接O1A，则O1A⊥OA，又OB⊥OA， ∴O1A∥OB， ∴∠O1AB=∠ABO， 又∵O1A=O1B， ∴∠O1AB=∠O1BA， ∴∠ABO1=∠ABO； （2）作O1E⊥BC于点E， ∴E为BC的中点， ∵BC=8， ∴ ∵A（﹣3，0）， ∴O1E=OA=3， 在直角三角形O1BE中， 根据勾股定理得： ∴O1A=EO=5， ∴BO=5﹣4=1， 在直角三角形AOB中， 根据勾股定理得： （3）①BM﹣BN的值不变，理由为： 证明：在MB上取一点G，使MG=BN，连接AM、AN、AG、MN， ∵∠ABO1为四边形ABMN的外角， ∴∠ABO1=∠NMA，又∠ABO1=∠ABO， ∴∠ABO=∠NMA，又∠ABO=∠ANM， ∴∠AMN=∠ANM， ∴AM=AN， ∵∠AMG和∠ANB都为所对的圆周角， ∴∠AMG=∠ANB， 在△AMG和△ANB中， ∵ ∴△AMG≌△ANB（SAS）， ∴AG=AB， ∵AO⊥BG， ∴BG=2BO=2， ∴BM﹣BN=BM﹣MG=BG=2其值不变． 【点睛】考查切线的性质, 坐标与图形性质, 全等三角形的判定与性质, 勾股定理, 垂径定理，综合性比较强，难度较大. 25．（本题10分）阅读理解： (1)【学习心得】小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到_____； ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为_______； (2)【问题解决】如图3，在矩形中，已知，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为________； (3)【问题拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请直接写出点P的运动路径长． 【答案】(1)①；②2 (2)2 (3)点P的运动路径长为． 【分析】（1）①根据得到点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，再根据圆周角定理求出答案； ②根据图形结合推理过程直接解答即可； （2）连接，由对称性得到，得到点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动，当点M在线段上时，有最小值，利用勾股定理求出，即可得到的最小值； （3）连接交于点O，证明，得到，推出，得到点P的运动路径是以为直径的圆弧，根据弧长公式求出点P的运动路径长为． 【详解】（1）解：①∵， ∴点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上， 如图1，∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点P，此时最小， ∵点O是的中点， ∴， 在中，，，， ∴， ∴． ∴最小值为2， 故答案为：2； （2）解：如图3，连接， ∵点B，点M关于直线对称，∴， ∴点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：2； （3）解：如图4，连接交于点O， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴点P的运动路径是以为直径的圆弧， ∴点P的运动路径长为． 【点睛】此题考查了圆周角定理，弧长公式，三角形全等的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握各定理并熟练应用是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）在平面直角坐标系中，已知点 ，若以原点O为圆心、5为半径画圆，则点 P与的位置关系是（     ） A．点P在上 B．点P在外 C．点P在内 D．无法确定 2．（本题3分）有下列五个命题：①等弧所对的圆心角相等；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各边的距离都相等；④同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；⑤直径平分弦，则垂直于弦．其中正确的有（  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（本题3分）如图，的直径与弦交于点，且，若所对的圆心角的度数为，则所对的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，为的直径，为上的一动点（不与、重合），于，的平分线交于，则当在上运动时，点的位置（   ） A．随点的运动而变化 B．不变 C．在使的劣弧上 D．无法确定 5．（本题3分）如图，是的切线，点为切点，连接并延长交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，在正方形中，，以B为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点E，连结．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合，轴，将六边形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ）    A． B． C．6 D． 10．（本题3分）如图，矩形中，，，动点P从点A出发向终点D运动，连接，并过点C作，垂足为H．有下列说法： ①的最小值为； ②在运动过程中，扫过的面积始终等于扫过的面积； ③在运动过程中，点H的运动路径的长为． 其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）如图，点、、都在上，，，的度数 ． 12．（本题3分）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 13．（本题3分）如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的面积是 ．      14．（本题3分）如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 15．（本题3分）如图，中，，，点D是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点E．若长为，则线段长的最小值为 ． 16．（本题3分）如图，的边位于直线l上，，，若由现在的位置向右无滑动地翻转，当点第4次落在直线l上时，点所经过的路线的长为 （结果用含π的式子表示）． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在圆O上且∠1＝∠C． （1）求证：CB∥PD； （2）若BC＝3，BE＝2，求CD的长． 18．（本题6分）如图，是的直径，D是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点E． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数 19．（本题6分）如图，已知是的内接三角形，弧是半圆，C是弧的中点，连接，． (1)求证：． (2)若，求弧的长． 20．（本题8分）如图，在中，，点O在上，以长为半径的半圆O交于点D，交于点E，过点D作半圆O的切线，交于点F． (1)求证：； (2)若，求半圆O的半径长． 21．（本题8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点O作OD∥BC，交AC于点D．    （1）求∠ADO的度数； （2）延长DO交⊙O于点E，过E作⊙O的切线，交CB延长线于点F，连接DF交OB于点G． ①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由； ②若BG＝2，AD＝3，求四边形CDEF的面积． 22．（本题9分）如图，是的外接圆，为直径，D是上一点，且点C是优弧的中点，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径长． 23．（本题9分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，0是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与BC边交于点E、F，连接OD，已知BD=3，tan∠BOD=，CF=． （1）求⊙O的半径OD； （2）求证：AC是⊙O的切线； （3）求图中两阴影部分面积的和． 24．（本题10分）如图1在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴切于A（﹣3，0）与y轴交于B、C两点，BC=8，连AB． （1）求证：∠ABO1=∠ABO； （2）求AB的长； （3）如图2，过A、B两点作⊙O2与y轴的正半轴交于M，与O1B的延长线交于N，当⊙O2的大小变化时，得出下列两个结论：①BM﹣BN的值不变；②BM+BN的值不变．其中有且只有一个结论正确，请判断正确结论并证明． 25．（本题10分）阅读理解： (1)【学习心得】小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到_____； ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为_______； (2)【问题解决】如图3，在矩形中，已知，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为________； (3)【问题拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请直接写出点P的运动路径长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$