1.2空间向量的基本定理第2课时-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.2空间向量的基本定理 第2课时  一、教学目标 1.进一步理解空间向量基本定理，学会灵活选用空间中三个不共面向量作基底表示其他的向量，提升学生的直观想象和数学抽象的核心素养； 2.通过运用空间向量基本定理，结合数量积运算，学会证明空间直线的位置关系及求直线的夹角、两点间的距离（线段长度）； 3.让学生体会向量方法在解决立体几何问题中的作用，提升学生的逻辑推理和数学运算的核心素养.   二、教学重难点 重点：应用空间向量基本定理证明异面直线的垂直、两直线平行，求异面直线所成角以及空间中两点间的距离（线段长度）． 难点：应用向量解决立体几何中的证明和计算问题．   三、教学过程 （一）旧知回顾 回顾：空间向量基本定理.即 如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.我们把叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量. 空间任意不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 是空间中的一个基底，则，，均为非零向量. 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 设计意图：通过回顾旧知，再熟悉空间向量基本定理，利于课程展开. （二）探究新知 任务1：探究空间中的向量的表示方法. 思考：在空间中如何选取基底呢？选取好基底后，需要用到哪些运算表示空间中的向量？ 合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报. 探究：如图所示，在平行六面体中，，，，，，如何表示向量? 答：由空间向量基本定理得，若是空间的一个基底，则向量，，不共面. (1)，，不共面，如果选择作基底，则如何表示向量？ 答：由空间向量的加法运算得， (2)如果选择作基底，又如何表示向量？ 答：设、交于点，由空间向量的加法运算得 (3)如果选择作基底表示向量？ 答：设、交于点，由空间向量的线性运算得 (4)如果要表示向量？ 答：由空间向量的线性运算得 经过探究，在空间中我们应该如何选取基底呢？ 答：选取基底时，需满足条件： (1)三个不共面的非零向量；(2)尽量选择已知夹角及模长的向量. 选取好基底后，可以运用向量的加法、减法及数乘运算表示空间中的向量. 设计意图：引导学生正确选取基底，以便后续利用空间向量基本定理将空间向量之间的运算转化为基向量之间的运算以简化问题. 任务2：探究利用向量法求解空间中两点间的距离（线段长度）. 思考：如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为          ． 要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报. 分析：题干已知、、的长度及任意两边的夹角，可以选取作为基底表示，根据，先求，再根据求解的长度． 解：选取作为基底， 由题意得， 故 ， 故． 故答案为：． 总结：如何应用向量法求空间中两点间的距离(线段长度)？总结方法步骤. (1)选基底：选取已知夹角和模长的向量作为基底． (2)表示向量：将要求的线段用向量表示，用基底表示该向量． (3)计算利用，通过计算求出，即得所求距离(线段长度)． 设计意图：通过具体的例子，让学生从练习中学会总结应用向量法求空间中两点间的距离(线段长度)的方法，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养. 任务3：探究利用向量法证明空间中两直线的位置关系. 思考：如图，正方体的棱长为，与的交点为，与的交点为．则 (填“”或“”). 要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报. 分析：题干已知、、的长度及任意两边的夹角，可以选取作为基底表示和，并由两者的线性关系判断和证明其平行． 解：设，，，则构成空间的一个单位正交基底， ， ，所以，所以． 思考：如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点．求证： (填“”或“”). 要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报. 分析：题干已知、、的长度关系，且两两互相垂直，可以选取作为基底表示和，并求两个向量的数量积，从而判断并证明两直线垂直． 解：结合图形，知，， 则， 所以，即． 总结：如何应用向量法证明空间中两直线的位置关系？总结方法步骤. (1)选基底：选取已知夹角和模长的向量作为基底． (2)表示向量：取两条直线的方向向量，并用基底表示． (3)证：若两向量的数量积为0，则两直线垂直；若两向量共线，则两直线平行． 设计意图：通过具体的例子，让学生从练习中窥见规律，学会总结应用向量法证明空间中两直线的位置关系的方法，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养. 任务4：探究利用向量法求解空间中两异面直线的夹角. 探究：如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点．则与所成角的余弦值为 ． 要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报. 分析：选取作为基底表示和，并根据向量的夹角公式求得． 解：设． 由于，， 因此， 故， 故， 故，， 故． 则与所成角的余弦值为. 总结：如何应用向量法求空间中两异面直线的夹角？总结方法步骤. (1)选基底：选取合适的基底表示所求线段的向量 (2)表示向量：取两条直线的方向向量，并用基底表示． (3)计算：利用求两向量夹角的余弦值，即得两直线夹角的余弦值． 设计意图：通过具体的例子，让学生从练习中学会总结应用向量法求空间中两异面直线的夹角的方法，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养. （三）应用举例 例1 如图，在平行六面体中，，，，，，，，分别为，的中点．求证． 解：设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底，我们用它们表示，， 则， ， 所以 ． 所以．  例2 如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点． 求证： 求与所成角的余弦值． 解：证明：设，，，则构成空间的一个单位正交基底所以， 所以． 所以． 因为，， 所以． 所以与所成角的余弦值为．  例3 三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 解：如图， 设，，，棱长均为， 则，，， ，， ， ， ， ， 异面直线与所成角的余弦值为， 故选A． 例4如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，，则下列正确的是(    ) A. B. C. 的长为 D. ， 解：根据题意，依次分析选项： 对于选项，，A正确， 对于选项，，B错误； 对于选项，， 则， 则，C错误； 对于选项， ，， 则，，D正确． 故选：． 设计意图：通过例题，熟悉空间向量基本定理的应用，提高学生学以致用的能力． （四）课堂练习 1.已知在空间四边形中，，且，，分别是，的中点，是的中点，求证：． 解：如图所示， 设，， ，，则， ， 易知，    ， ，即． 2.如图，正四面体四个面都是正三角形的棱长为，是棱的中点，点满足，点满足． 用向量表示； 求． 解：因为是棱的中点，点满足，点满足， 所以 ； 因为四面体是正四面体，则， ， ， 所以 3.已知平行六面体如图所示，其中，，交于点，点在线段上，且，点，分别是线段，的中点，设，， 用，，表示， 若，，求的值． 解：依题意， ， ． 依题意，， ， 故．  4.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点若，，， 用表示； 求对角线的长； 求 解：连接，，，如图： ，， 在，根据向量减法法则可得：， 底面是平行四边形，， 且， ， 又为线段中点， ， 在中； 顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是 ， ， 由可知， 平行四边形中，故：， ， ，故对角线的长为． ，， 又 ．  5.正方体的棱长为，与的交点为，与的交点为． 求证： 求的值． 解：证明：设，，，则构成空间的一个单位正交基底，如图， ， ，所以，所以． 由可知，所以，所以． 设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固空间向量基本定理及其应用，加深理解，并能够灵活运用. （五）归纳总结 【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $$