2024-2025学年第一学期高一期中复习函数奇偶性与单调性（人教A版2019必修第一册）

参考答案： 题号 1 2 3 4 8 9 10 21 24 25 答案 D C D B A A A B A B 题号 26 答案 D 1．D 【分析】根据奇函数的性质，先推出上的单调性，分别解，即可. 【详解】根据奇函数的性质，奇函数在单调递减，则在上仍然递减. 当时，，在上单调递减，故，则； 当时，注意到，于是，在单调递减，故，则. 综上，. 故选：D 2．C 【分析】利用函数的单调性与奇偶性分析得的性质，从而将不等式转化为，再分类讨论与两种情况即可得解. 【详解】依题意，不妨令，则， 因为，所以，即， 所以在上单调递增， 又为定义在上的奇函数，则在上单调递增， 又，所以， 又， 所以不等式可化为，即， 当，即时，， 则，解得，故； 当，即时，， 则，解得，故； 综上，或，即所求不等式的解集为. 故选：C. 3．D 【分析】利用函数单调性的定义与奇偶性分析得的性质，从而得到的正负情况，再将题设不等式转化为，进而得到相关不等式，解之即可得解. 【详解】对任意的，都有， 不妨设，则，则， 所以函数在上单调递增， 又函数为偶函数，则该函数在上单调递减， 又，则 所以当时，，当或时，， 由，得， 所以或，解得或， 则不等式的解集为. 故选：D. 4．B 【分析】求出函数解析式，确定单调性与奇偶性，然后根据奇偶性化简不等式，由单调性解不等式． 【详解】函数的图象经过点,则， 则，故，即，所以是减函数． 又，所以是奇函数， ，则转化为，即, 根据减函数性质知道，，解得. 故选：B 5．(，1) 【分析】确定函数为偶函数，再确定函数在上是增函数，然后由奇偶性与单调性解不等式． 【详解】，所以是偶函数， 时，，此时，是增函数，是减函数，所以是增函数， 因此不等式化为，所以，，解得， 故答案为：． 6． 【分析】根据奇函数的性质及定义域的对称性，求得参数a，b的值，求得函数解析式，并判断单调性. 等价于，根据单调性将不等式转化为自变量的大小关系，结合定义域求得解集. 【详解】由题知，， 所以恒成立，即． 又因为奇函数的定义域关于原点对称， 所以，解得， 因此，， 由单调递增，单调递增， 易知函数单调递增， 故等价于 等价于 即，解得． 故答案为： 7． 【分析】根据函数为定义在上的偶函数，由，解得t，进而将不等式，转化为，利用函数在上单调递增求解. 【详解】因为函数为定义在上的偶函数， 所以，解得， 所以不等式即为， 又因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 所以，即， 解得， 故答案为： 8．A 【分析】结合题意可知函数在上单调递减，利用奇偶性得到，利用单调性解决即可. 【详解】因为对任意的，有， 所以函数在上单调递减， 因为在上是偶函数，所以， 因为,且函数在上单调递减， 所以，结合，所以. 故选：A. 9．A 【分析】确定数在上单调递增，是上的偶数，变换得到，，，根据单调性得到答案. 【详解】，即， 故函数在上单调递增，是上的奇函数， 故是上的偶数， ，，. ，故. 故选：A 10．A 【分析】利用函数的奇偶性求解析式即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以. 当时，， 所以当时，. 故选：A. 11． 【分析】根据偶函数的性质求解即可. 【详解】若，则， 当时，，所以， 又因函数是偶函数，所以 所以当时，， 故答案为： 12． 【分析】设，求出，再利用函数的奇偶性得出. 【详解】设，则， 所以， 又函数是奇函数， 所以， 即时，的解析式为. 故答案为： 13．(1) (2) 【分析】（1）由奇函数的定义，求得，从而求得，再根据奇函数的定义求得时的解析式即可； （2）根据二次函数的单调性确定的单调性，利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为函数为上的奇函数，所以， ，解得， 即时，， 当时，，， 所以. 所以； （2）当时，是减函数，， 当时，是减函数，， 所以在上是减函数， 由，，解得． 所以的取值范围是． 14．(1)奇函数，证明见解析 (2)单调增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断即可； （2）任取，且，然后计算化简，再判断符号，从而可得结果； （3）根据函数的单调性和奇偶性求解即可. 【详解】（1）函数为奇函数.证明如下： 因为定义域为，关于原点对称. 又， 所以为奇函数； （2）函数在为单调增函数.证明如下： 任取，且，则 因为，所以，， 所以，所以， 即，故在上为增函数； （3）由，得， 因为为奇函数，所以， 因为在上为增函数， 所以，解得， 所以原不等式的解集为. 15．(1) (2)函数在上单调递增，证明见解析 (3)最大值为，最小值为6. 【分析】（1）直接由代入，即可求得； （2）利用定义法作差计算，即可证明函数的单调性； （3）利用函数的单调性计算最值即可. 【详解】（1）函数，因为， 所以，则. （2）函数在上单调递增， 由（1）知，， 下面证明单调区间， 设，则， 由，则， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（2）可知在区间上单调递增，则在区间上单调递增， 所以， 则函数在上的最大值为，最小值为6． 16．（1），；（2）奇函数，证明见解析；（3）. 【分析】（1）令可求出，令可得，再令，可得，再结合，可求出的值； （2）令，对变形可得答案； （3）由题意将转化为在上恒成立，由在上为单调函数，且；所以可得在上是增函数，所以问题转化为在上恒成立，即在上恒成立，构造函数求出其最小值即可 【详解】解：（1）取，得，即，， ，又，得，可得； （2）取，得，移项得 函数是奇函数； （3）是奇函数，且在上恒成立， 在上恒成立，且； 在上是增函数， 在上恒成立， 在上恒成立， 令. 由于，. ， ，即实数k的取值范围为. 17．(1)；证明见解析 (2)证明见解析；解集为 【分析】（1）赋值法令，可得；由给定性质，证明即可. （2）证明的单调性，再由单调性解不等式. 【详解】（1）令，得， 又函数的值域为，∴． ∵， ∴， ∴， ∴为奇函数． （2）任取，． ． ∵，∴． ∵当时，，∴，∴． 又函数的值域为， ∴，即， ∴为上的增函数． 由，即，化简得． ∵， ∴，∴． 又为上的增函数，∴， 故的解集为． 【点睛】方法点睛：抽象函数的性质研究： ①赋值法求特定元素的函数值； ②利用已知抽象函数的等式性质，证明函数的单调性； ③利用单调性解相关表达式. 18．(1)奇函数 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解； （2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证； （3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，分类讨论计算即可得解. 【详解】（1）取，则，∴． 取，则， 即对任意恒成立， ∴为奇函数． （2）任取，且， 则，， ∴， 又为奇函数，则， ∴，即， ∴是上的减函数. （3）为奇函数，则， 不等式可化为 ， 即， ∵是上的减函数，∴， 即，即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19．(1) (2)为偶函数，证明见解析 【分析】（1）利用赋值法结合已知条件可求解； （2）令，结合条件和函数奇偶性定义判断. 【详解】（1）令，得， 令，得， 因为，所以，， 令，得，即， 因为，所以，所以. （2）为偶函数. 证明如下：令，得， 由（1）得， 即，又的定义域为，所以为偶函数. 20．(1)奇函数，证明见解析 (2) (3)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据条件，通过赋值，得到，再赋值，即可证明结果； （2）通过赋值，得到，再利用（1）中结果，即可求出结果； （3）根据条件，直接利用函数单调性的定义法，即可证明结果. 【详解】（1）是奇函数，证明如下： 因为，令，得到， 令，得到，即，所以是奇函数. （2）令，得到，由（1）知是奇函数， 所以. （3）在上单调递增，证明如下： 在上任取，令， 则， 又因为，而，所以， 即，得到，所以在上单调递增. 21．B 【分析】构造，得到为奇函数，求出，进而得到，求出. 【详解】设，定义域为， 则， 故为奇函数， 又，则， 所以. 故选：B 22．0 【分析】令，利用函数的奇偶性即可求. 【详解】令，易知在定义域上是奇函数， 所以，即，， 又，所以. 故答案为：0. 23．1 【分析】由已知可得,从而可求,然后代入即可求解. 【详解】解：, , ,由, 则. 故答案为:1. 【点睛】本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数值,解题的关键是整体思想的应用. 24．A 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性即可求解. 【详解】由于是偶函数，所以， 又在上单调递减，所以，进而可得， 故选：A 25．B 【分析】根据偶函数的定义可得，利用函数的单调性列不等式，求解即可. 【详解】由题意知，当时，， 易知函数在区间上单调递减， 因为是上的偶函数，所以函数在区间上单调递增， 因为，所以， 由得，，解得， 故选：B. 26．D 【分析】根据为定值求解即可. 【详解】因为,所以. 故. 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据函数的性质求解函数值的问题,属于基础题. 27． 【分析】由函数为奇函数，可得不等式即，即和异号，故有，或；再结合函数的单调性示意图可得的范围. 【详解】由函数为奇函数，可得不等式即，即和异号， 故有，或. 再由，可得，由函数在上为增函数，可得函数在上也为增函数，画出函数单调性示意图：    结合函数的单调性示意图可得或. 故答案为： 28． 【分析】利用函数为奇函数，由求解析式；利用函数的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】当时，，所以． 因为是奇函数，所以，所以． 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，则，即． 结合二次函数的性质可知在上为增函数， 所以解得． 故原不等式的解集为． 故答案为：；. 29．(1) (2)当时，;当时，. 【分析】（1）根据函数的奇偶性求得的解析式. （2）对进行分类讨论，根据二次函数的单调性求得最值. 【详解】（1）∵函数是定义在上的奇函数， 则， ∴， 设，则， ∴， 所以. （2）当时，由二次函数的性质得在上单调递增，在上单调递减， 所以，可得此时； 当时，由二次函数的性质得在上单调递增， 所以，可得此时， 综上，当时，；当时，. 30．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【解析】（1）通过赋值法求得，再求即可； （2）根据函数单调性的定义，即可容易证明； （3）根据题意，根据函数单调性和奇偶性进行等价转化，即可求得结果. 【详解】（1）证明：由， 令y=x，得f[x+(−x)]=f(x)+f(−x)， ∴f(x)+f(−x)=f(0). 又f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0. 从而有f(x)+f(−x)=0.∴f(−x)=−f(x). ∴f(x)是奇函数. （2）取，且， 则 由，∴∴<0. ∴>0，即， 从而f(x)在R上是减函数. （3）若，函数为奇函数得f(3)=1， 又5=5f(3)=f(15)， 所以=f(15)， 由得f(4x13)<f(15)， 由函数单调递减得4x13>15，解得x>， 故的取值范围为 【点睛】本题考查利用抽象函数单调性和奇偶性的判断，以及利用函数性质解不等式，属综合中档题. 31．(1) (2)在上单调递减，在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由已知，代入函数，可求得，即可求得函数的解析式； （2）利用函数单调性定义即可证明； （3）易得恒成立，恒成立，由在上单调递增，可得，解不等式即可. 【详解】（1）由题意，， 得， 从而可得， 则函数的解析式为． （2）任取，设， 则 ， 当时，， 则，即， 则在上单调递减； 当时，， 则，即， 则在上单调递增； （3）不等式等价于， 注意到恒成立，恒成立． 由（2）问可知在上单调递增， 即可得，等价于， 解得或， 所以该不等式的解集为． 32．（1）；；（2）偶函数． 【分析】（1）令，可求出，令，可求出， （2）取，，则可得，再结合定义域可得结论 【详解】解：（1）对任意非零实数，， 恒有， ∴令，代入，得， 解得 令，代入， 得， 可得． （2）取，，代入， 得 又函数的定义域为 ∴函数是偶函数 33．(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)要判断函数的增减性，就是在自变量范围中任意取两个x1＜x2∈R，判断出f（x1）与f（x2）的大小即可知道增减性． (2)已知f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）﹣1，且f（4）＝5，则f（4）＝f（2）+f（2）﹣1⇒f（2）＝3．由不等式f（3m﹣2）＜3，得f（3m﹣2）＜f（2），由（1）知，f（x）是R上的增函数，得到3m﹣2＜2，求出解集即可． 【详解】(1) 任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）>1， ∵f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）﹣1， ∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1+ x1）﹣f（x1） ＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）﹣1>0， ∴f（x1）＜f（x2）， ∴f（x）是R上的增函数． （2）∵f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）﹣1，且f（4）＝5， ∴f（4）＝f（2）+f（2）﹣1⇒f（2）＝3． 由不等式f（3m﹣2）＜3，得f（3m﹣2）＜f（2）， 由（1）知，f（x）是R上的增函数， ∴3m﹣2＜2，∴3m﹣4＜0，∴﹣1<m， ∴不等式f（3m﹣2）＜3的解集为（﹣1，）． 因此，不等式的解集为 【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性的判定和性质，根据函数的单调性解不等式，属于中档题. 34．(1)详见解析 (2)单调递减 (3) 【分析】（1）通过赋值，得，再通过赋值，结合奇函数的定义，即可证明； （2）根据条件，以及条件时，，即可判断； （3）首先利用函数是奇函数，变形不等式，再利用函数是减函数，即可求解不等式. 【详解】（1）解：令，得，即， 任取，则， ， 即，所以在上为奇函数； （2）判断函数在上单调递减. 任取，且， 则， 因为，，， 所以，即， 所以，所以， 即，得， 所以函数在区间单调递减； （3）解：，即， 因为函数单调递减，所以需满足，解得：， 所以不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习函数奇偶性与单调性 题型一 奇偶性解不等式 1．奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．定义在上的奇函数，且，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（    ） A． B．. C． D． 3．已知是定义在上的偶函数，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．函数的图象经过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．设函数，则使得成立的的取值范围 ． 6．已知定义域为的奇函数，则的解集为_______． 7．已知函数为定义在上的偶函数，且在上单调递减，则满足的的取值范围 . 题型二 奇偶性比较大小 8．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则（    ） A． B． C． D． 9．已知函数是上的奇函数，对任意的，，设，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型三 奇偶性求解析式 10．已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 11．已知函数是偶函数，当时，，则当时， ． 12．已知函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 . 13．已知函数为上的奇函数，当时，，且. (1)求函数的解析式； (2)若实数满足不等式，求的取值范围. 14．已知函数 (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 15．已知函数，且. (1)求； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 题型四 抽象函数 16．定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）. （1）求，； （2）判断的奇偶性，并证明； （3）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围. 17．已知函数的定义域为，值域为，且对任意，，都有．． (1)求的值，并证明为奇函数． (2)若，，且，证明为上的增函数，并解不等式． 18．已知函数对任意实数都有，并且当时. (1)判断的奇偶性； (2)求证：是上的减函数： (3)，求关于的不等式的解集. 19．已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 20．已知定义在上的函数满足：． (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，求； (3)若，判断并证明的单调性． 题型五 奇函数+常数型 21．已知，，则（    ） A．3 B．1 C．-1 D．-5 22．已知函数且为常数，且，则 . 23．已知函数，且，则 ． 巩固练习 24．若函数是偶函数，且在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 25．已知是上的偶函数，当时，．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 26．已知其中，为常数，若，则的值等于（    ） A．-2 B．-4 C．-6 D．-10 27．已知奇函数在是增函数，且，则不等式的解集为 . 28．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， ，不等式的解集是 ． 29．已知定义域为上的奇函数满足当时，. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值及对应的值. 30．函数的定义域为，且对任意，有，且当时，， （1）证明是奇函数； （2）证明在上是减函数； （3）若，，求的取值范围. 31．已知函数． (1)求函数的解析式． (2)判断函数的单调性并证明； (3)解关于的不等式． 32．设函数（，且）对任意非零实数，，恒有． （1）求及的值； （2）判断函数的奇偶性． 33．若定义在R上的函数对任意的、，都有成立，且当时，. (1)求证：是R上的增函数； (2)若，解不等式． 34．定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，． (1)求证：函数是奇函数； (2)判断在上的单调性，不需证明； (3)解不等式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$