专题05 抛物线及其标准方程（13大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（甘肃专用）

专题05 抛物线及其标准方程 题型一 抛物线的定义 1、（2023上·白银市·高二期末）抛物线上一点到焦点的最小距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2、（2023上·白银市·高二期末）已知抛物线的焦点为F，且为抛物线上的点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3、（2023上·天水市·高二期末）已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于两点，若线段的长是16，MN的中点到轴的距离是6，则值为（　　） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 题型二 抛物线的方程 4、（2023上·白银市·高二期末）焦点在直线上的抛物线的标准方程为_______________ 5、（2023上·兰州市·高二期末）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，且. （1）求的值； （2）若以线段为直径的圆与直线相切，求直线的方程. 6、（2023上·庆阳市·高二期末）在平面直角坐标系中，点到直线：的距离比到点的距离大2. （1）求点的轨迹的方程； （2）请指出曲线的对称性，顶点和范围，并运用其方程说明理由. 题型三 抛物线的焦点与准线 7、（2023上·庆阳市·高二期末）抛物线y2=4x的焦点坐标是（） A. （0,2） B. （0,1） C. （2,0） D. （1,0） 8、（2023上·兰州市·高二期末）抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 9、（2023上·兰州市·高二期末）抛物线的焦点到准线的距离为，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 10、（2023上·酒泉市·高二期末）抛物线的准线方程是__________. 题型四 抛物线中的三角形周长 11、（2023上·兰州市·高二期末）已知为抛物线C：的焦点，为原点，点在抛物线上，且，则的周长为（ ） A. B. C. 10 D. 11 题型五 抛物线的弦长 12、（2023上·陇南市·高二期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 13、（2023上·酒泉市·高二期末）设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦为AB，则|AB|的最小值为(　　) A. B. p C. 2p D. 无法确定 14、（2023上·酒泉市·高二期末）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点坐标为，一条斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求. 题型六 抛物线的中点弦问题 15、（2023上·兰州市·高二期末）已知抛物线C：的焦点为F，过F作垂直于轴的直线与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，的面积为2. （1）求抛物线C的标准方程； （2）若直线l与抛物线C交于P，Q两点，是线段PQ的中点，求直线l的方程. 16、（2023上·庆阳市·高二期末）已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，． （1）求抛物线的方程； （2）当线段的中点的纵坐标为时，求直线的方程． 题型一 抛物线的最值问题 17、（2023上·兰州市·高二期末）如图所示，已知抛物线过点，圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 18、（2023上·兰州市·高二期末）已知抛物线的准线为，点为抛物线上的一个动点，则点到准线和直线的距离之和的最小值为__________，此时点的坐标为__________. 19、（2023上·兰州市·高二期末）已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________. 20、（2023上·白银市·高二期末）已知圆，点在抛物线上运动，过点作圆的切线，切点分别为，则的最小值为__________. 21、（2023上·白银市·高二期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是直线上的动点．若点在抛物线上，且为坐标原点，求的最小值． 题型二 与抛物线有关的轨迹方程 22、（2023上·兰州市·高二期末）若动点在上移动，则点与点连线的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 23、（2023上·庆阳市·高二期末）已知抛物线经过点（a为正数），F为抛物线的焦点，且． （1）求抛物线C的标准方程； （2）若点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，求点M的轨迹方程． 题型三 抛物线与椭圆、双曲线综合 24、（2023上·兰州市·高二期末）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ） A. B. C. 1 D. 25、（2023上·兰州市·高二期末）（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，两条曲线在第一象限的交点，为椭圆上一点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 直线是抛物线的切线 D. 有且只有两个点，满足 26、（2023上·兰州市·高二期末）抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则__________. 27、（2023上·兰州市·高二期末）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，点在双曲线上；抛物线（）的焦点F与双曲线的右焦点重合. （1）求双曲线和抛物线的标准方程； （2）过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为时，求线段的长度. 题型四 直线与抛物线的位置关系 28、（2023上·白银市·高二期末）已知为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于点，，且点在点的下方．若直线的斜率为，则（ ） A. 5 B. 4 C. D. 3 29、（2023上·白银市·高二期末）（多选题）抛物线的焦点为，点为上的一点，若，则直线的倾斜角可以为（ ） A. B. C. D. 30、（2023上·兰州市·高二期末）为抛物线上一点，过作两条关于对称的直线分别交于两点． （1）求的值及的准线方程； （2）判断直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 题型五 与抛物线有关的证明问题 31、（2023上·酒泉市·高二期末）过点的直线交抛物线于点，，证明：以为直径的圆过原点； 32、（2023上·兰州市·高二期末）已知点在抛物线上. （1）求抛物线E的方程； （2）直线都过点的斜率之积为，且分别与抛物线E相交于点A，C和点B，D，设M是的中点，N是的中点，求证：直线恒过定点. 题型六 抛物线的综合性质 33、（2023上·兰州市·高二期末）（多选题）已知，是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点的距离为，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则直线恒过定点 C. 若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 D. 若，则直线的斜率为 34、（2023上·庆阳市·高二期末）（多选题）已知抛物线的焦点坐标为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，点在抛物线上．则（ ） A. B. 当轴时， C. 为定值1 D. 若，则直线的斜率为 35、（2023上·兰州市·高二期末）（多选题）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 与之间的距离为4 36、（2023上·兰州市·高二期末）（多选题）抛物线C：的焦点为F，直线l过点F，斜率，且交抛物线C于A，B（点A在x轴的下方）两点，抛物线的准线为m，于，于，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D 37、（2023上·庆阳市·高二期末）（多选题）已知抛物线C：，点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的一点，点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. 若，则△PMF的面积为2 C. |的最大值为 D. △PMF的周长的最小值为 题型七 抛物线的应用 38、（2023上·庆阳市·高二期末）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 抛物线及其标准方程 题型一 抛物线的定义 1、（2023上·白银市·高二期末）抛物线上一点到焦点的最小距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合抛物线的定义，转化为到准线的距离即可求解. 【详解】依题，抛物线，即， 假设是抛物线上任意一点，为抛物线焦点， 根据抛物线的定义， 则有，因为， 所以抛物线上一点到焦点的最小距离为. 故选：C 2、（2023上·白银市·高二期末）已知抛物线的焦点为F，且为抛物线上的点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将点的坐标代入抛物线方程，即可求出，再根据抛物线的定义可求得的值. 【详解】因为点在抛物线上， 所以，即抛物线的方程为， 其准线方程为：， 由抛物线的定义可知. 故选：B. 3、（2023上·天水市·高二期末）已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于两点，若线段的长是16，MN的中点到轴的距离是6，则值为（　　） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设中点为,过、、分别作准线的垂线，利用抛物线的可得，进而利用中位线定理得，从而得解. 【详解】设中点为,过、、分别作准线的垂线，如图所示： 则，，所以， 所以中位线， 所以则线段的中点到轴的距离为， 解得 故选：D. 题型二 抛物线的方程 4、（2023上·白银市·高二期末）焦点在直线上的抛物线的标准方程为_______________ 【答案】或 【解析】 【分析】先求出直线与坐标轴的交点，再写出抛物线的标准方程. 【详解】依题意，抛物线的焦点在坐标轴上，直线交轴于点，交轴于点， 以点为焦点的抛物线的标准方程为， 以点为焦点的抛物线的标准方程为， 所以所求抛物线的标准方程为或. 故答案为：或 5、（2023上·兰州市·高二期末）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，且. （1）求的值； （2）若以线段为直径的圆与直线相切，求直线的方程. 【答案】（1）2 （2）或. 【解析】 【分析】（1）设点的坐标分别为，直线的方程为，联立抛物线方程得，已知，利用数量积的坐标运算和韦达定理，即可求出的值； （2）利用韦达定理求出弦长，已知以线段为直径的圆与直线相切，求出半径列得方程求解即可算出参数m的值，进而得到直线方程. 【小问1详解】 设点的坐标分别为， 由点的坐标为，设直线的方程为， 联立方程，消去后整理得， 所以，，. 又由，解得. 所以的值为2. 【小问2详解】 由， 可得线段中点的坐标为， . 若以线段为直径的圆与直线相切， 有，解得. 所以直线的方程为，即或. 6、（2023上·庆阳市·高二期末）在平面直角坐标系中，点到直线：的距离比到点的距离大2. （1）求点的轨迹的方程； （2）请指出曲线的对称性，顶点和范围，并运用其方程说明理由. 【答案】（1）；（2）对称性：曲线关于轴对称；顶点：；范围：曲线在直线右侧，且右上方和右下方无限延伸.理由见解析 【解析】 【分析】（1）设，根据题意列出等量关系，化简整理，即可得出结果； （2）根据由抛物线向右平移一个单位得到，结合抛物线性质，即可得出结果. 【详解】（1）由题意可得：动点到直线的距离与到的距离相等， 设，则， 化简整理，可得， 所以点的轨迹的方程为； （2）由（1）得的方程为； 即由抛物线向右平移一个单位得到； 所以曲线也关于轴对称，顶点为，范围为，. 【点睛】本题主要考查求轨迹方程，以及轨迹的性质，熟记轨迹方程的求法，以及抛物线的性质即可，属于常考题型. 题型三 抛物线的焦点与准线 7、（2023上·庆阳市·高二期末）抛物线y2=4x的焦点坐标是（） A. （0,2） B. （0,1） C. （2,0） D. （1,0） 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：的焦点坐标为，故选D. 【考点】抛物线的性质 【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容，一定要熟记掌握． 8、（2023上·兰州市·高二期末）抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把抛物线化成标准方程，求出，即可得到准线方程. 【详解】抛物线的标准方程为：，令，得，于是该抛物线的准线为：. 故选：A 9、（2023上·兰州市·高二期末）抛物线的焦点到准线的距离为，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质，将已知抛物线化为标准式，利用抛物线的焦点到准线的距离，即可列式求解得出答案. 【详解】抛物线化标准式， 则，即， 抛物线的焦点到准线的距离为， ，即，解得. 故选：C. 10、（2023上·酒泉市·高二期末）抛物线的准线方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先将抛物线方程化为标准方程，即可求解. 【详解】由，所以，即准线方程为， 故答案为：. 题型四 抛物线中的三角形周长 11、（2023上·兰州市·高二期末）已知为抛物线C：的焦点，为原点，点在抛物线上，且，则的周长为（ ） A. B. C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】由的长度的M点坐标，求得的周长. 【详解】设M点坐标为，由题，，所以， 代入抛物线方程得，所以， 的周长为. 故选：A. 题型五 抛物线的弦长 12、（2023上·陇南市·高二期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式得结果. 【详解】解：抛物线的焦点坐标为，设点，， 易知直线的斜率存在，设为，则其方程为. 由，得， 得，① 因为，由抛物线的定义得， 即，② 由①②解得，， 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题. 13、（2023上·酒泉市·高二期末）设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦为AB，则|AB|的最小值为(　　) A. B. p C. 2p D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】设方程为，代入抛物线y2＝2px可得， ， ∴|AB|的最小值为2p. 14、（2023上·酒泉市·高二期末）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点坐标为，一条斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求. 【答案】8 【解析】 【分析】解法一，由题意可得直线l方程以及抛物线方程，联立可得根与系数关系，利用两点间距离公式，化简即可求得弦长； 解法二，由题意可得直线l方程以及抛物线方程，联立可得根与系数关系，利用抛物线定义可得弦长公式，即可求得答案. （解法一）设，，由已知可得直线的方程为， 又因为抛物线焦点坐标为，则焦准距，故抛物线方程为， 由，消去，得，， 由一元二次方程的根与系数的关系得：，， 于是 ； （解法二）设，，由已知可得直线的方程为， 又因为抛物线焦点坐标为，则焦准距，故抛物线方程为， 由，消去，得，， 由一元二次方程的根与系数的关系得：，， 因为直线经过抛物线的焦点，根据抛物线的定义可知： ，，则. 题型六 抛物线的中点弦问题 15、（2023上·兰州市·高二期末）已知抛物线C：的焦点为F，过F作垂直于轴的直线与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，的面积为2. （1）求抛物线C的标准方程； （2）若直线l与抛物线C交于P，Q两点，是线段PQ的中点，求直线l的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形面积求得得抛物线方程； （2）设，代入抛物线方程相减，利用中点坐标求得直线的斜率，进而可得直线方程． 【小问1详解】 由题可得，代入抛物线方程得，， ∴， ∴的面积， ∴， ∴所求抛物线的标准方程为； 【小问2详解】 易知直线不与轴垂直，设所求方程为：， 设，由，在抛物线上得：, 两式相减化简得：， 又∵，，代入上式解得：. 故所求直线的方程为：. 即. 16、（2023上·庆阳市·高二期末）已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，． （1）求抛物线的方程； （2）当线段的中点的纵坐标为时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意得到，，两点的横坐标为，可得求解； （2）由（1）得，且直线的斜率存在，设，，利用点差法求解. 【小问1详解】 由题意得， 当轴时，，两点的横坐标为， 当时，，解得， ，解得， 故抛物线的方程为； 【小问2详解】 由（1）得，且直线的斜率存在， 设，，且， 则，， ，即， 线段的中点的纵坐标为， ，即， ，即直线的斜率， 直线的方程为，即． 题型一 抛物线的最值问题 17、（2023上·兰州市·高二期末）如图所示，已知抛物线过点，圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点在抛物线上求出p，焦半径的几何性质有，再将目标式转化为，应用基本不等式“1”的代换求最值即可，注意等号成立条件. 【详解】由题设，16＝2p×2，则2p＝8，故抛物线的标准方程：，则焦点F(2,0)， 由直线PQ过抛物线的焦点，则， 圆C2：圆心为(2,0)，半径1， ， 当且仅当时等号成立，故的最小值为13. 故选：D 【点睛】关键点点睛：由焦半径倾斜角式得到，并将目标式转化为，结合基本不等式求最值. 18、（2023上·兰州市·高二期末）已知抛物线的准线为，点为抛物线上的一个动点，则点到准线和直线的距离之和的最小值为__________，此时点的坐标为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据抛物线的定义把点到的距离转化到点到焦点的距离，就是求点到直线的距离，从而能求出直线，与抛物线联立可求点的坐标. 【详解】设过点分别向和作垂线，垂足分别为， 因为抛物线的焦点，由抛物线的定义得：， 所以只需要求最小即可. 当且仅当三点共线时最小，且最小值为点到直线的距离，即. 此时直线与垂直，所以，所以直线为： 直线与抛物线联立得，即，且 所以，故点 答案为： 19、（2023上·兰州市·高二期末）已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，再结合图形即求. 【详解】由题可得抛物线的准线为， 设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知， ∴要求取得最小值，即求取得最小， 当三点共线时最小，为. 故答案为：3. 20、（2023上·白银市·高二期末）已知圆，点在抛物线上运动，过点作圆的切线，切点分别为，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意利用等面积法，结合勾股定理得出，故只需通过数学结合求出的最小值即可. 【详解】 根据题意，可知，且. 由几何性质可得四边形的面积为面积的2倍， 由对称性和切线长性质可知， 所以， 即. 设，， 易知，当为原点时，取得最小值2，故的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决问题的关键是利用等面积法，并通过数形结合的思想即可顺利得解. 21、（2023上·白银市·高二期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是直线上的动点．若点在抛物线上，且为坐标原点，求的最小值． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于的对称点，确定，根据计算得到答案. 【详解】如图所示，作点关于的对称点，连接，设点，不妨设， ，直线方程为，，， 即，由， 当且仅当三点共线时取等号， 又， 故的最小值为． 题型二 与抛物线有关的轨迹方程 22、（2023上·兰州市·高二期末）若动点在上移动，则点与点连线的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】设PQ的中点为，根据中点坐标公式可得，表示出点P的坐标，代入曲线方程即可求解. 【详解】设PQ的中点为， 则，解得， 即，又点P在曲线上， 所以，即， 所以PQ的中点的轨迹方程为. 故选：A 23、（2023上·庆阳市·高二期末）已知抛物线经过点（a为正数），F为抛物线的焦点，且． （1）求抛物线C的标准方程； （2）若点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，求点M的轨迹方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据抛物线过点，得出，再利用即可求出抛物线方程； (2) 设，利用中点坐标公式求出再利用点Q为抛物线C上一动点，即可求解. 【小问1详解】 由抛物线经过点， 可得，可得， 又，可得， 解得， 故抛物线C的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）知，则， 设， 根据点M为线段的中点， 可得即 由点Q为抛物线C上一动点，可得， 整理可得点M的轨迹方程为． 题型三 抛物线与椭圆、双曲线综合 24、（2023上·兰州市·高二期末）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛物线的焦点坐标，和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式即可求出结果. 【详解】因为抛物线的焦点坐标为， 双曲线的渐近线方程为, 由点到直线的距离公式可得. 故选：B 25、（2023上·兰州市·高二期末）（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，两条曲线在第一象限的交点，为椭圆上一点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 直线是抛物线的切线 D. 有且只有两个点，满足 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，求得，可判定A正确，B不正确；由的方程为，联立方程组，结合，可判定C正确；取，求得，结合椭圆的几何性质，可判定D不正确. 【详解】对于A中，由在抛物线上，可得，解得，所以A正确； 对于B中，因为椭圆与抛物线的焦点重合且两条曲线在第一象限的交点， 可得，且，解得，所以B不正确； 对于C中，直线的方程为，代入抛物线，整理得， 其中，所以直线是抛物线的切线，所以C正确； 对于D中，如图所示，取，则，所以， 所以，所以椭圆不存在点使得，所以D不正确. 故选：AC. 26、（2023上·兰州市·高二期末）抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】设抛物线的准线与y轴交于点D，等边三角形中，可得点B的坐标代入双曲线方程可得答案． 【详解】设抛物线的准线与y轴交于点D，如图， 等边三角形中，，， 所以点B的坐标为， 又点B在双曲线上，故，解得． 故答案为：6. 27、（2023上·兰州市·高二期末）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，点在双曲线上；抛物线（）的焦点F与双曲线的右焦点重合. （1）求双曲线和抛物线的标准方程； （2）过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为时，求线段的长度. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由渐近线方程得，再由点在双曲线上，代入后得的一个方程，联立后可解得，得双曲线方程，求出双曲线的右焦点坐标，即为抛物线的焦点坐标，从而可得抛物线标准方程； （2）由直线方程与抛物线方程联立可解得交点坐标，然后由焦点弦长公式求得弦长． 【详解】解：（1）因为双曲线（，）的渐近线方程为， 所以①，又点在双曲线上，所以② 由①②解得，， 故双曲线标准方程为； 设双曲线的焦距为，因为，得，所以抛物线焦点为， 即，所以抛物线的标准方程为. （2）设直线交抛物线于，， 联立得即， 故. 由抛物线定义知，， 所以 【点睛】本题考查求双曲线和抛物线标准方程，考查直线与抛物线相交焦点弦长问题．掌握抛物线的焦点弦长公式可以避免繁琐的计算距离．抛物线的焦点弦的两端点为，则，实际上焦点弦还有许多性质，如，． 题型四 直线与抛物线的位置关系 28、（2023上·白银市·高二期末）已知为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于点，，且点在点的下方．若直线的斜率为，则（ ） A. 5 B. 4 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设，在抛物线准线上的射影分别为，，且交抛物线的准线于点，设，，再根据题意求出，，，再结合即可求出答案． 【详解】如图，设，在抛物线的准线上的射影分别为，，且交抛物线的准线于点， 设，，则， 由直线的斜率为，则，则， 所以，， 又，即，化简得，可得． 故选：B． 29、（2023上·白银市·高二期末）（多选题）抛物线的焦点为，点为上的一点，若，则直线的倾斜角可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据得到，确定，再计算斜率得到倾斜角. 【详解】，设，则，解得， 故，解得，故直线的斜率为或， 直线倾斜角的范围为，故直线的倾斜角为或． 故选：AC 30、（2023上·兰州市·高二期末）为抛物线上一点，过作两条关于对称的直线分别交于两点． （1）求的值及的准线方程； （2）判断直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）是定值； 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线方程求的值，利用抛物线方程求准线方程； （2）设直线的方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，直线与对称可知，直线与斜率互为相反数，可证明直线AB斜率为定值. 【小问1详解】 根据题意可得，得， 故所求抛物线方程为，抛物线的准线方程为． 【小问2详解】 由题意不妨设直线的方程为， 联立抛物线方程可得，消去得：，， 由韦达定理得， 直线与关于对称，，且， ，即， 即，由韦达定理得， 所以直线的斜率为定值． 题型五 与抛物线有关的证明问题 31、（2023上·酒泉市·高二期末）过点的直线交抛物线于点，，证明：以为直径的圆过原点； 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，结合向量的数量积的坐标运算，即可证明结论； 【详解】证明：设，，由题意可知直线的斜率不为0， 不妨设直线的方程为， 将与联立得， ，由韦达定理得，， 则，故， 即以线段为直径的圆过原点. 32、（2023上·兰州市·高二期末）已知点在抛物线上. （1）求抛物线E的方程； （2）直线都过点的斜率之积为，且分别与抛物线E相交于点A，C和点B，D，设M是的中点，N是的中点，求证：直线恒过定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入求解抛物线方程；（2）设出直线方程，表达出的坐标，求出直线的斜率，利用直线斜率之积为-1，求出直线恒过的定点，从而证明出结论. 【小问1详解】 ∵点在抛物线上， ∴， ∴解得:， ∴抛物线E的方程为：. 【小问2详解】 由分别与E相交于点A，C和点B，D，且由条件知：两直线的斜率存在且不为零. ∴设 由得： 设，则，∴，又，即 同理可得： ∴， ∴ 即：， ∵的斜率之积为， ∴，即， ∴， 即直线过定点. 题型六 抛物线的综合性质 33、（2023上·兰州市·高二期末）（多选题）已知，是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点的距离为，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则直线恒过定点 C. 若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 D. 若，则直线的斜率为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据抛物线定义可对A项判断；设出直线方程，然后与抛物线联立，利用韦达定理可对B、C项判断.利用数型结合及，即可求解判断D项. 【详解】对于A：根据抛物线的定义知，得，故A选项正确； 对于B：设，，因为直线斜率必存在， 设直线的方程为，代入得，， 所以，，所以， 解得，所以直线恒过定点，故B选项错误； 对于C：的外接圆与抛物线的准线相切，，， 因为外接圆的圆心为各边垂直平分线的交点， 从而可得外接圆圆心的纵坐标为，又与抛物线准线相切， 所以得外接圆半径为，故C选项错误； 对于D：因为，所以直线过焦点，且， 设直线的倾斜角为，由抛物线性质知的斜率为互为相反数的两个值， 如图，过，分别向准线作垂线，，过向作垂线， 设，则，，，， ，，， 根据对称性可得，故D选项正确. 故选：AD. 34、（2023上·庆阳市·高二期末）（多选题）已知抛物线的焦点坐标为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，点在抛物线上．则（ ） A. B. 当轴时， C. 为定值1 D. 若，则直线的斜率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】将点代入可判断A；求出焦点可判断B；设直线的方程为，将直线与抛物线方程联立，利用韦达定理即可判断C；由向量的坐标表示以及韦达定理可判断D. 【详解】对于选项A，将点代入抛物线方程，可得，故选项A错误； 对于选项B，焦点，点在抛物线上，可得，故选项B正确； 对于选项C，设点A，B的坐标分别为，， 直线的方程为，联立方程 消去y后整理为， 可得， 有， 故选项C正确； 对于选项D，有， 可得，由有解得，故选项D正确． 故选：BCD 35、（2023上·兰州市·高二期末）（多选题）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 与之间的距离为4 【答案】ABC 【解析】 【分析】由抛物线的光学性质可知，直线经过点，于是根据二级结论可判断选项A； 点与均在直线上，于是可求出点的坐标，再结合可得点的坐标，然后利用斜率公式即可判断选项B； 根据抛物线的定义可知，，可判断选项C； 由于与平行，所以与之间的距离，可判断选项D． 【详解】如图所示， 由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，，即选项A正确； 由题意可得，点的坐标为，点的坐标为， ，即选项B正确； 由抛物线的定义可知，，即选项C正确； 与平行， 与之间的距离，即选项D错误； 故选：ABC 【点睛】本题考查抛物线的定义与性质，直线与抛物线的位置关系等，考查学生灵活运用知识的能力和作图分析问题的能力，属于中档题． 36、（2023上·兰州市·高二期末）（多选题）抛物线C：的焦点为F，直线l过点F，斜率，且交抛物线C于A，B（点A在x轴的下方）两点，抛物线的准线为m，于，于，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D 【答案】ABC 【解析】 【分析】设出直线l的方程与抛物线方程联立，得到一个一元二次方程，根据抛物线的定义，结合一元二次方程根与系数关系逐一判断即可. 【详解】设，，联立直线与抛物线，得，所以，， 所以， 故，A正确； 若，则，，故，B正确； 由题意及抛物线定义得，，因为，所以，则，得，则，由，得，C正确； 因为，，所以，所以，故D不正确. 故选：ABC 37、（2023上·庆阳市·高二期末）（多选题）已知抛物线C：，点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的一点，点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. 若，则△PMF的面积为2 C. |的最大值为 D. △PMF的周长的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程可得准线方程为，即可判断A，根据抛物线定义得到，故点可能在第一象限也可能在第三象限，分情况计算三角形面积即可判断B，利用三角形任意两边之差小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到，计算即可判断C，三角形的周长，再结合抛物线定义即可求出的最小值，即得到周长最小值. 【详解】，，，准线方程为，故A正确； 根据抛物线定义得，， 轴，当时，， 若点在第一象限时，此时, 故，的高为1，故， 若点在第四象限，此时，故， 的高为1，故，故B错误； ，,故C正确； （连接，并延长交于抛物线于点，此时即为最大值的情况， 图对应如下） 过点作准线，垂足为点， 的周长， 若周长最小，则长度和最小，显然当点位于同一条直线上时，的和最小， 此时, 故周长最小值为，故D正确. 故选：ACD. 题型七 抛物线的应用 38、（2023上·庆阳市·高二期末）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米. 【答案】2米 【解析】 【详解】 如图建立直角坐标系，设抛物线方程为， 将A（2，-2）代入， 得m=-2， ∴，代入B得， 故水面宽为米，故答案为米． 考点：抛物线的应用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$