专题04 双曲线的标准方程及其性质（12大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（甘肃专用）

专题04 双曲线的标准方程及其性质 题型一 双曲线的定义 1、（2023上·酒泉市·高二期末）已知双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于5，那么点P到另一个焦点F的距离等于（ ） A. 3 B. 3或7 C. 5 D. 7 2、（2023上·庆阳市·高二期末）已知，分别是双曲线的左右焦点，点P在该双曲线上，若，则（ ） A. 4 B. 4或6 C. 3 D. 3或7 3、（2023上·兰州市·高二期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，的周长为10，则双曲线C的焦距为（ ） A. 3 B. C. D. 4、（2023上·兰州市·高二期末）已知，是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，若，则______. 题型二 双曲线的标准方程 5、（2023上·白银市·高二期末）与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程是___________. 6、（2023上·白银市·高二期末）已知点分别为双曲线的左､右焦点，若双曲线上一点满足，，则__________，双曲线的标准方程为__________. 7、（2023上·庆阳市·高二期末）求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率； （2）渐近线方程为，经过点． 8、（2023上· 陇南市· 高二期末）已知双曲线的顶点在x轴上，两顶点间的距离是2，离心率． （1）求双曲线的标准方程； （2）若抛物线的焦点F与该双曲线的一个焦点相同，点M为抛物线上一点，且，求点M的坐标． 题型三 双曲线的渐近线 9、（2023上·兰州市·高二期末）双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 10、（2023上·白银市·高二期末）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的渐近线的倾斜角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 11、（2023上·兰州市·高二期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，若在上存在点，使得，则双曲线渐近线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12、（2023上·兰州市·高二期末）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为__________. 题型四 双曲线的离心率 13、（2023上·白银市·高二期末）若双曲线的离心率为，则的值为 （ ） A. B. C. D. 14、（2023上·白银市·高二期末）从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 15、（2023上·兰州市·高二期末）过双曲线的右焦点作垂直于实轴的弦，是左焦点，若，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 16、（2023上·兰州市·高二期末）已知双曲线的焦距为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点.设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 17、（2023上·兰州市·高二期末）已知、是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、．若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 18、（2023上·兰州市·高二期末）已知双曲线的左､右焦点分别为. （1）该双曲线虚轴的一个端点为，若直线与它的一条渐近线垂直，求双曲线的离心率. （2）若右支上存在点，满足，求双曲线的离心率的取值范围. 题型五 双曲线的基本性质 19、（2023上·兰州市·高二期末）已知，则双曲线：与：的（　　） A. 实轴长相等 B. 虚轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 20、（2023上·庆阳市·高二期末）（多选题）关于双曲线与双曲线，下列说法不正确的是（ ） A. 实轴长相等 B. 离心率相等 C. 焦距相等 D. 焦点到渐近线的距离相等 21、（2023上·庆阳市·高二期末）（多选题）已知双曲线，则（ ） A. 的离心率为 B. 的虚轴长是实轴长的6倍 C. 双曲线与的渐近线相同 D. 直线上存在一点在上 题型六 焦点三角形的面积 22、（2023上·白银市·高二期末）已知双曲线是上的任意一点. （1）设点坐标为，求的最小值； （2）若分别为双曲线的左､右焦点，，求的面积. 题型一 直线和双曲线的相交问题 23、（2023上· 陇南市· 高二期末）已知直线过双曲线的左焦点，且与C的渐近线平行，则l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 24、（2023上·庆阳市·高二期末）若直线l过点，且与曲线有且只有一个公共点，则满足条件的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 25、（2023上·兰州市·高二期末）已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点. （1）求双曲线的方程； （2）已知双曲线的左､右焦点分别为，，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积. 26、（2023上·庆阳市·高二期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. （1）求双曲线C的标准方程； （2）若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 27、（2023上·兰州市·高二期末）已知双曲线的渐近线方程为，且点在双曲线上． （1）求双曲线的标准方程． （2）过点的直线l与双曲线相交于A，B两点； ①若A，B两点分别位于双曲线的两支上，求直线l的斜率的取值范围； ②若，求此时直线l的方程． 28、（2023上·兰州市·高二期末）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，点在双曲线上；抛物线（）的焦点F与双曲线的右焦点重合. （1）求双曲线和抛物线的标准方程； （2）过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为时，求线段的长度. 题型二 双曲线中的定点定值定直线 29、（2023上·天水市·高二期末）已知圆具有性质：若是圆上关于原点对称的两点，点是圆上异于任意一点，则为定值．类比圆的这个性质，双曲线也具有这个性质：若是双曲线上关于原点对称的两点，点为双曲线上异于任意一点，则为定值（ ） A. B. C. D. 30、（2023上·兰州市·高二期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）过定点的动直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，与其两条渐近线分别交于（点在点的左边）两点，证明：线段与线段的长度始终相等. 题型三 双曲线中的最值 31、（2023上·白银市·高二期末）设双曲线的左右两个焦点分别为、，是双曲线上任意一点，过的直线与的平分线垂直，垂足为，则点的轨迹曲线的方程________；在曲线上，点，，则的最小值________. 32、（2023上·白银市·高二期末）已知点、依次为双曲线（，）的左、右焦点，且，，． （1）若，以为方向向量的直线经过，求到的距离； （2）若双曲线上存在点，使得，求实数的取值范围． 题型四 椭圆和双曲线综合问题 33、（2023上·兰州市·高二期末）我国现代著名数学家徐利治教授曾指出，圆的对称性是数学美的一种体现．已知圆，直线，若圆上任一点关于直线的对称点仍在圆上，则点必在 A. 一个离心率为的椭圆上 B. 一条离心率为2的双曲线上 C. 一个离心率为椭圆上 D. 一条离心率为的双曲线上 34、（2023上·酒泉市·高二期末）（多选题）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线C是椭圆 B. 当或时，曲线C是双曲线 C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D. 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 35、（2023上·兰州市·高二期末）（多选题）若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（ ） A. 若1＜t＜5，则C为椭圆 B. 若t＜1．则C为双曲线 C. 若C为双曲线，则焦距为4 D. 若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜5 36、（2023上·白银市·高二期末）（多选题）已知椭圆且与双曲线的焦点重合，分别为椭圆，双曲线的离心率，则（ ） A. B. C. D. 当时， 37、（2023上·兰州市·高二期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，是与的一个公共点，则的面积为__________. 38、（2023上·酒泉市·高二期末）已知，双曲线，椭圆，与的离心率之积为. （1）求的渐近线方程； （2）设M，N分别是的两条渐近线上的动点，且，若O是坐标原点，，求动点P的轨迹方程，并指出它是什么曲线. 题型五 双曲线综合问题 39、（2023上·兰州市·高二期末）已知M是双曲线右支上的一动点，F是双曲线的右焦点，N是圆上任一点，当取最小值时，的面积为（ ） A. B. C. D. 40、（2023上·兰州市·高二期末）（多选题）已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为，则（ ） A. 过点与只有一个公共点的直线有2条 B. 若的离心率为，则点关于的渐近线的对称点在上 C. 过的直线与右支交于两点，则线段的长度有最小值 D. 若为等轴双曲线，点是上异于顶点的一点，且，则 题型六 圆锥曲线新定义 41、（2023上·兰州市·高二期末）（多选题）瑞士数学家伯努利于1694年发现了双纽线，即在平面直角坐标系中，点到两个定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，则当时，下列结论正确是（ ） A. 点在双纽线上 B. 点的轨迹方程为 C. 双纽线关于坐标轴对称 D. 满足的点有1个 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 双曲线的标准方程及其性质 题型一 双曲线的定义 1、（2023上·酒泉市·高二期末）已知双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于5，那么点P到另一个焦点F的距离等于（ ） A. 3 B. 3或7 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线标准方程和定义，求解到另一个焦点的距离. 【详解】由题意可知，,， 则， 所以或， 又因为, 所以， 故选：D. 2、（2023上·庆阳市·高二期末）已知，分别是双曲线的左右焦点，点P在该双曲线上，若，则（ ） A. 4 B. 4或6 C. 3 D. 3或7 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义有，注意、范围，即可得结果. 【详解】由双曲线定义知：，而，又且， ∴3或7， 故选：D. 3、（2023上·兰州市·高二期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，的周长为10，则双曲线C的焦距为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的定义和三角形的周长解得m的值，再由余弦定理列式可得结果. 【详解】设，，， 由双曲线的定义知：， ∴，a=m， ∴有，解得， ∵在和中，， ∴由余弦定理得，解得，可得双曲线的焦距为． 故选：C. 4、（2023上·兰州市·高二期末）已知，是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，若，则______. 【答案】9 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求解. 【详解】由双曲线方程为，， 由双曲线定义可知， 因为，所以或， 又因为，故. 故答案为：9 题型二 双曲线的标准方程 5、（2023上·白银市·高二期末）与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】据题意可设所求方程为,代入点坐标可得到，进而求得双曲线方程. 【详解】据题意可设所求方程为，把)代入易得，故所求双曲线方程为. 答案： 【点睛】求双曲线方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；离心率相同的方程可设为. 6、（2023上·白银市·高二期末）已知点分别为双曲线的左､右焦点，若双曲线上一点满足，，则__________，双曲线的标准方程为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意可得，即有；由双曲线定义可得，结合余弦定理即可解得，又即可得. 【详解】因为，，所以， 即，则，所以； 则， 设，所以， 由余弦定理知，解得， 因为，所以，即双曲线的方程为. 故答案为：；. 7、（2023上·庆阳市·高二期末）求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率； （2）渐近线方程为，经过点． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据题意设双曲线的标准方程为：，得到，再解方程组即可. （2）首先根据题意设双曲线方程为：，再将代入求解即可. 【小问1详解】 设双曲线的标准方程为：，由题知： ，双曲线方程为：. 【小问2详解】 设双曲线方程为：， 将代入，解得， 所以双曲线方程为：. 8、（2023上· 陇南市· 高二期末）已知双曲线的顶点在x轴上，两顶点间的距离是2，离心率． （1）求双曲线的标准方程； （2）若抛物线的焦点F与该双曲线的一个焦点相同，点M为抛物线上一点，且，求点M的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)根据题意可知：，结合离心率得到，进而求出即可求解； (2)结合（1）的结论，求出抛物线方程，利用抛物线的定义即可求解点M的坐标. 【小问1详解】 由题意可知：，则， 又离心率，所以，则， 因为双曲线的顶点在x轴上，也即焦点在x轴上， 所以双曲线方程为. 【小问2详解】 因为抛物线的焦点， 且抛物线的焦点F与该双曲线的一个焦点相同， 所以，则，所以抛物线方程为， 设点，由抛物线的定义可知：， 所以，又因为，所以， 故点坐标为或. 题型三 双曲线的渐近线 9、（2023上·兰州市·高二期末）双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程确定的值，即可得答案, 【详解】对于双曲线，其实半轴长为，虚半轴长为， 故其渐近线方程为， 故选：B 10、（2023上·白银市·高二期末）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的渐近线的倾斜角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意找到双曲线的顶点与焦点，求出双曲线的方程及渐近线方程，找到倾斜角的正切值，进而找到倾斜角的正弦值. 【详解】椭圆焦点坐标为，顶点坐标为， 故双曲线中，由， 所以双曲线的方程为，渐近线的方程为， 设倾斜角为，得，由同角三角函数的基本关系，可得. 故选:D. 11、（2023上·兰州市·高二期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，若在上存在点，使得，则双曲线渐近线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设与轴交于Q点，连接，根据双曲线的对称性和双曲线的定义， 结合已知条件得，由且求解可得. 【详解】设与轴交于Q点，连接，根据双曲线的对称性，则， 所以，因为， 故点M在双曲线右支上，且， 故，又， 所以， 在直角中，，所以， 即，所以，即， 由，且三角形内角和为， 所以，所以， 即，所以，即，所以， 故，或， 故选：D 【点睛】本题考查求双曲线的渐近线斜率，解题的关键是找到关于a、b、c的等量关系. 本题根据双曲线的对称性和双曲线的定义， 结合已知条件得，由且，列出关于a、b得不等式，从而解得或. 12、（2023上·兰州市·高二期末）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由垂直得一条渐近线的斜率，从而结合双曲线标准方程求得值． 【详解】一条渐近线与直线垂直，则该渐近线的斜率为， 双曲线的标准方程为，，， ，． 故答案为：． 题型四 双曲线的离心率 13、（2023上·白银市·高二期末）若双曲线的离心率为，则的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的性质求出、，即可表示出离心率，从而求出参数的值. 【详解】双曲线，即， 所以，，则，， 又离心率为，即，解得. 故选：A 14、（2023上·白银市·高二期末）从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出双曲线方程，通过做标准品和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分，且AB＝BC＝CD，推出点在双曲线上，然后求出离心率即可. 【详解】设双曲线的方程为， 则，因为AB＝BC＝CD， 所以，所以， 因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分， 所以在双曲线上， 代入可得，解得， 所以双曲线的离心率为. 故选：D 15、（2023上·兰州市·高二期末）过双曲线的右焦点作垂直于实轴的弦，是左焦点，若，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据构造齐次式求解离心率. 【详解】由轴，且 所以， 点满足，， ，即， ，又，故， 故选：B. 16、（2023上·兰州市·高二期末）已知双曲线的焦距为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点.设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】任取双曲线的一条渐近线为直线，由点到直线的距离公式，构造，，结合题目已知条件列不等式即可求出双曲线离心率的范围. 【详解】由题意可知，直线经过双曲线的右焦点，且垂直于轴，不妨设， 代入椭圆方程，又，所以， 所以，，任取双曲线的一条渐近线为直线， 由点到直线的距离公式可得点到渐近线的距离， 点到渐近线的距离， 所以，因为， 所以，因，所以，即， 所以，所以， 因为双曲线离心率，所以， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：C. 17、（2023上·兰州市·高二期末）已知、是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、．若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知，利用点差法计算得出，结合的取值范围可求得的取值范围. 【详解】因为直线与双曲线没有公共点， 所以双曲线的渐近线的斜率， 而双曲线的离心率， 当双曲线的离心率取最大值时，取得最大值，即，即， 则双曲线的方程为， 设、、，则， 两式相减得：，即，即， 又，． 故选：A. 18、（2023上·兰州市·高二期末）已知双曲线的左､右焦点分别为. （1）该双曲线虚轴的一个端点为，若直线与它的一条渐近线垂直，求双曲线的离心率. （2）若右支上存在点，满足，求双曲线的离心率的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据两点表示斜率和两直线的位置关系可得，，建立关于离心率的方程，解之即可； （2）由题意设，根据双曲线的定义可得，利用余弦定理可得，结合建立不等式，解之即可求解. 【小问1详解】 依题意，则；渐近线斜率：， 直线与该双曲线的一条渐近线垂直， ，， 而， ，解得，又， 所以； 【小问2详解】 设. 依题意，解得， 由余弦定理得， 即，得. 题型五 双曲线的基本性质 19、（2023上·兰州市·高二期末）已知，则双曲线：与：的（　　） A. 实轴长相等 B. 虚轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【分析】分别求得双曲线与的实轴长，虚轴长，离心率，焦距即可求解. 【详解】双曲线：，可知，， 则实轴长，虚轴长，焦距，离心率； 双曲线：，可知，， 则实轴长，虚轴长，焦距，离心率； 所以两条双曲线的焦距相等． 故选：D． 20、（2023上·庆阳市·高二期末）（多选题）关于双曲线与双曲线，下列说法不正确的是（ ） A. 实轴长相等 B. 离心率相等 C. 焦距相等 D. 焦点到渐近线的距离相等 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用双曲线的性质对每个选项逐个判断即可 【详解】双曲线中，实轴长为，虚轴长为，焦距长为，右焦点为， 所以离心率，渐近线方程为，不妨取即， 所以焦点到渐近线的距离为， 双曲线中实轴长为，虚轴长为，焦距长为，右焦点为， 所以离心率，渐近线方程为，不妨取即， 所以焦点到渐近线的距离为， 综上，两条双曲线只有焦距相等， 故选：ABD 21、（2023上·庆阳市·高二期末）（多选题）已知双曲线，则（ ） A. 的离心率为 B. 的虚轴长是实轴长的6倍 C. 双曲线与的渐近线相同 D. 直线上存在一点在上 【答案】AC 【解析】 【分析】根据双曲线方程求得，，进而可得，即可判断A与B；分别求两双曲线渐近线方程可判断C；根据渐近线可判断D. 【详解】因为，，所以，则，，所以A正确，B错误. 双曲与的渐近线均为，所以C正确， 因为C的的渐近线的斜率小于的3，所以直线与相离，所以D错误. 故选：AC 【点睛】本题考查根据双曲线方程求渐近线以及基本量，考查基本求解能力，属基础题. 题型六 焦点三角形的面积 22、（2023上·白银市·高二期末）已知双曲线是上的任意一点. （1）设点坐标为，求的最小值； （2）若分别为双曲线的左､右焦点，，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设出点的坐标为，表示出，利用点再双曲线上，借助二次函数知识计算即可; （2）由双曲线的定义及余弦定理表示出，结合面积公式计算即可. 【小问1详解】 设点的坐标为， 则， 因为，所以当时，取得最小值. 【小问2详解】 由双曲线的定义知①, 由余弦定理得②, 根据①②可得，所以. 题型一 直线和双曲线的相交问题 23、（2023上· 陇南市· 高二期末）已知直线过双曲线的左焦点，且与C的渐近线平行，则l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线焦点坐标求出双曲线的标准方程，然后写出双曲线的渐近线，然后分析所求直线所过的点可知它和双曲线的那一条渐近线平行即可. 【详解】由双曲线方程为：， 所以，由左焦点为， 所以，由， 所以， 所以该双曲线的标准方程为：， 所以渐近线方程为：， 直线恒过点， 且，且过， 所以直线与渐近线平行， 故， 设直线l的倾斜角为， 则， 又， 所以， 故选：D. 24、（2023上·庆阳市·高二期末）若直线l过点，且与曲线有且只有一个公共点，则满足条件的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，分直线斜率存在与不存在进行讨论，若不存在，设出直线方程，联立方程，由唯一解，可得答案. 【详解】当直线的斜率不存在时，由题意，则直线的方程为，代入， 可得，解得，故此时直线与曲线有唯一交点； 当直线的斜率存在时，可设其方程为， 联立，消去可得， 当，即时，方程为一次方程，必定有唯一解； 当，即时，由题意，可得该一元二次方程有唯一解， 则，， ，，解得， 综上所述，直线的方程有，，，共四条， 故选：D. 25、（2023上·兰州市·高二期末）已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点. （1）求双曲线的方程； （2）已知双曲线的左､右焦点分别为，，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据共渐近线设出双曲线方程，代入点的坐标即可得解； （2）根据题意求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，消去后由韦达定理得，从而由弦长公式求得弦长，再求出到直线距离后即可求得的面积． 小问1详解】 依题意，设所求双曲线方程为， 代入点得，即， 所以双曲线方程为，即． 【小问2详解】 由（1）得，则，，， 又直线倾斜角为，则，故直线的方程为， 设，， 联立，消去，得， 则，，， 由弦长公式得， 又点到直线的距离， 所以． 26、（2023上·庆阳市·高二期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. （1）求双曲线C的标准方程； （2）若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据，，以及，求解即可； （2）设直线的方程为与椭圆联立，利用弦长公式表示，根据点到直线的距离公式求解高，即可根据三角形面积公式进行求解. 【小问1详解】 由题意得：，，， 解得：，，， 双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 由题意可知，直线的斜率一定存在， 设直线的方程为，，，，， 联立方程组，消去整理得， 则， 原点到直线的距离为 ， 所以， 解得或，故 或， 故直线方程为或 27、（2023上·兰州市·高二期末）已知双曲线的渐近线方程为，且点在双曲线上． （1）求双曲线的标准方程． （2）过点的直线l与双曲线相交于A，B两点； ①若A，B两点分别位于双曲线的两支上，求直线l的斜率的取值范围； ②若，求此时直线l的方程． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据渐近线设双曲线方程，由经过的点代入方程即可求解； （2）运用分类讨论思想，联立直线与双曲线方程，根据条件及韦达定理即可求解. 【小问1详解】 因为双曲线的渐近线为， 可设双曲线的方程为： 又点在双曲线上，所以： 双曲线的方程为：. 【小问2详解】 ①当k不存时，直线l交双曲线于左支上两点，不符合题意． 当k存在时，直线l的方程可设为：，设， 联立双曲线方程：, 由题意：，∴， 所以直线l的斜率的取值范围为． ②由，可得： 当直线l与x轴重合时，，，此时，不满足条件； 直线l的方程设为：， 联立方程可得：， ， 由，可得：代入上式可得：， ，解得：，故：． 此时直线l的方程为：或． 28、（2023上·兰州市·高二期末）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，点在双曲线上；抛物线（）的焦点F与双曲线的右焦点重合. （1）求双曲线和抛物线的标准方程； （2）过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为时，求线段的长度. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由渐近线方程得，再由点在双曲线上，代入后得的一个方程，联立后可解得，得双曲线方程，求出双曲线的右焦点坐标，即为抛物线的焦点坐标，从而可得抛物线标准方程； （2）由直线方程与抛物线方程联立可解得交点坐标，然后由焦点弦长公式求得弦长． 【详解】解：（1）因为双曲线（，）的渐近线方程为， 所以①，又点在双曲线上，所以② 由①②解得，， 故双曲线标准方程为； 设双曲线的焦距为，因为，得，所以抛物线焦点为， 即，所以抛物线的标准方程为. （2）设直线交抛物线于，， 联立得即， 故. 由抛物线定义知，， 所以 【点睛】本题考查求双曲线和抛物线标准方程，考查直线与抛物线相交焦点弦长问题．掌握抛物线的焦点弦长公式可以避免繁琐的计算距离．抛物线的焦点弦的两端点为，则，实际上焦点弦还有许多性质，如，． 题型二 双曲线中的定点定值定直线 29、（2023上·天水市·高二期末）已知圆具有性质：若是圆上关于原点对称的两点，点是圆上异于任意一点，则为定值．类比圆的这个性质，双曲线也具有这个性质：若是双曲线上关于原点对称的两点，点为双曲线上异于任意一点，则为定值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，再表达出，结合双曲线的方程化简即可. 【详解】设，则， . 故选：B 30、（2023上·兰州市·高二期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）过定点的动直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，与其两条渐近线分别交于（点在点的左边）两点，证明：线段与线段的长度始终相等. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的标准方程. （2）设出直线的方程，并分别与双曲线的渐近线方程、双曲线方程联立，利用中点坐标公式判断出线段和共中点，从而证得线段与线段的长度始终相等. 【小问1详解】 由双曲线可得渐近线方程为， 由渐近线方程的斜率为，有，可得. 将点代入双曲线的方程，有. 联立方程，解得， 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设点的坐标分别为， 线段的中点的坐标为，线段的中点的坐标为. 依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，， 联立方程，得；联立方程，得. 所以可得. 联立方程，消去后整理得， 由解得，且， 由于直线与双曲线左右两支分别相交，所以. 所以，可得，所以， 所以线段和共中点，故有. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 题型三 双曲线中的最值 31、（2023上·白银市·高二期末）设双曲线的左右两个焦点分别为、，是双曲线上任意一点，过的直线与的平分线垂直，垂足为，则点的轨迹曲线的方程________；在曲线上，点，，则的最小值________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】延长与的延长线交于点，计算得到轨迹方程，取点，，解得答案. 【详解】如图所示：延长与的延长线交于点， 则， 故轨迹方程为. 取点，则，，故， ，当共线时等号成立. 故答案为：； 【点睛】本题考查了轨迹方程，长度最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，取点证明相似是解题的关键. 32、（2023上·白银市·高二期末）已知点、依次为双曲线（，）的左、右焦点，且，，． （1）若，以为方向向量的直线经过，求到的距离； （2）若双曲线上存在点，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】 （1）由题意知，，根据的关系求出，根据向量的共线定理设出直线方程，再代入点，求出直线方程，根据点到直线的距离公式计算距离；（2）设出点，根据数量积公式得，再根据点在双曲线上得，联立求解以后根据代入不等式求范围即可. 【详解】（1）依题意，，则双曲线，，， 设直线，将代入解得：， 此时，到的距离为； （2） 设双曲线上的点满足，即， 又，∴，即， ∵，且，∴， 又因为，∴实数的取值范围是． 【点睛】解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去或建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系或者不等关系求解. 题型四 椭圆和双曲线综合问题 33、（2023上·兰州市·高二期末）我国现代著名数学家徐利治教授曾指出，圆的对称性是数学美的一种体现．已知圆，直线，若圆上任一点关于直线的对称点仍在圆上，则点必在 A. 一个离心率为的椭圆上 B. 一条离心率为2的双曲线上 C. 一个离心率为椭圆上 D. 一条离心率为的双曲线上 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得直线必过点，可得必在椭圆上，进而求出离心率. 【详解】根据条件可知圆心， 圆上任一点关于直线的对称点仍在圆上， 直线过点，则， 点必在椭圆上， 则离心率. 故选：C. 【点睛】本题考查了椭圆离心率的求法以及直线与圆的位置关系，属于中档题. 34、（2023上·酒泉市·高二期末）（多选题）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线C是椭圆 B. 当或时，曲线C是双曲线 C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D. 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用椭圆以及双曲线的标准方程的特征可逐一判断各选项. 【详解】A选项，曲线是椭圆等价于，解得且，故A错误； B选项，曲线是双曲线等价于，解得或，故B正确； C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确； D选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确. 故选：BCD. 35、（2023上·兰州市·高二期末）（多选题）若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（ ） A. 若1＜t＜5，则C为椭圆 B. 若t＜1．则C为双曲线 C. 若C为双曲线，则焦距为4 D. 若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜5 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的标准方程及简单的几何性质，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，若方程表示椭圆，则满足，解得或， 对于A中，当时，此时方程表示圆，所以不正确； 当方程表示焦点在轴上椭圆，则满足，解得， 所以D项正确； 对于B中，当时， ，此时表示焦点在轴上的双曲线，所以是正确的； 对于C中，当时，方程，此时双曲线的焦距为，所以不正确. 故选BD. 若方程表示椭圆，则满足，解得或， 【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程和简单的几何性质的应用，其中解答椭圆和双曲线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 36、（2023上·白银市·高二期末）（多选题）已知椭圆且与双曲线的焦点重合，分别为椭圆，双曲线的离心率，则（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆、双曲线的离心率等有关性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为椭圆，双曲线的焦点相同，所以， 所以，所以，当时，，故选项AD错误，选项C正确. 因为， 所以，选项B正确. 故选：BC 37、（2023上·兰州市·高二期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，是与的一个公共点，则的面积为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意和双曲线标准方程可推出椭圆的值，根据椭圆与双曲线定义可求出的值，根据三边关系即可求出面积. 【详解】由题可知，的离心率为2，则的离心率为，则. 根据对称性，不妨设在第一象限，则，解得， 则，所以为直角三角形， 则的面积为. 故答案为：6. 38、（2023上·酒泉市·高二期末）已知，双曲线，椭圆，与的离心率之积为. （1）求的渐近线方程； （2）设M，N分别是的两条渐近线上的动点，且，若O是坐标原点，，求动点P的轨迹方程，并指出它是什么曲线. 【答案】（1） （2），点轨迹是长轴是，焦距是的椭圆. 【解析】 【分析】（1）先表示出双曲线和椭圆的离心率，然后离心率乘积列方程计算即可得，从而直接求出双曲线的渐近线方程； （2）设出M，N的坐标，根据两点距离公式及已知可得，再利用向量坐标运算公式得，代入化简即可求得动点轨迹方程，并根据椭圆定义说明轨迹. 【小问1详解】 离心率是，离心率是. 由得，所以的渐近线方程是. 【小问2详解】 不妨设在上，在上，则，. 因为，所以， 即， 因为，设，则，故， 化简得点轨迹方程是. 则点轨迹是长轴是，焦距是的椭圆. 题型五 双曲线综合问题 39、（2023上·兰州市·高二期末）已知M是双曲线右支上的一动点，F是双曲线的右焦点，N是圆上任一点，当取最小值时，的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，心为，半径为，由圆的性质可知取最小值为，求出直线的方程并利用点到直线的距离求出到直线的距离，最后利用三角面积公式求解即可 【详解】由双曲线的方程可得， 圆的圆心为，半径为， 设，则， ， 当时，即时，有最小值为， 所以取最小值为，此时共线， 直线的方程为，即， 所以点到直线的距离为， 所以面积为， 故选：C 40、（2023上·兰州市·高二期末）（多选题）已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为，则（ ） A. 过点与只有一个公共点的直线有2条 B. 若的离心率为，则点关于的渐近线的对称点在上 C. 过的直线与右支交于两点，则线段的长度有最小值 D. 若为等轴双曲线，点是上异于顶点的一点，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于，过与只有一个公共点的直线有3条，故可判断； 对于B，由题意可求得，取渐近线方程为，可求得关于渐近线的对称点为，代入的方程验证即可； 对于，当直线与轴垂直时，线段长度最小，即可判断； 对于D,双曲线为即，设，则，，解得，即可判断. 【详解】对于，过与只有一个公共点的直线，与渐近线平行的直线2条，与轴垂直的直线1条，共3条，则错误； 对于，所以，渐近线方程不妨取，即，设关于渐近线的对称点为，则， 解得，代入的方程，得，所以点关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线上，则B正确； 对于，过双曲线右焦点的直线与双曲线右支交于两点，当直线与轴垂直时，线段长度最小，故正确； 对于D,双曲线为等轴双曲线，即，设，则①，又，则②，联立①②解得，易得，故D正确． 故选:BCD． 题型六 圆锥曲线新定义 41、（2023上·兰州市·高二期末）（多选题）瑞士数学家伯努利于1694年发现了双纽线，即在平面直角坐标系中，点到两个定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，则当时，下列结论正确是（ ） A. 点在双纽线上 B. 点的轨迹方程为 C. 双纽线关于坐标轴对称 D. 满足的点有1个 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由双纽线的定义求出其方程，逐一检验各个选项可判断结果. 【详解】由双纽线的定义可得：， 即，化简得：， 则当时，点的轨迹方程为，故B正确； 当时代入方程得，显然不满足方程， 所以点不在双纽线上故A错误； 把x换成，y换成，方程不变，所以双纽线关于坐标轴对称，故C正确； 因为，若满足，则点P在y轴上， 在方程中令，解得， 所以满足的点为，故D正确； 故选：BCD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$