精品解析： 福建省厦门市思明区松柏中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年福建省厦门市思明区松柏中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：选项A、B、D均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 选项C，不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 一个三角形两边的长分别是3和5，则这个三角形第三边的长可能是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再求出符合条件的x的值即可． 【详解】解：设三角形第三边的长为x，则 ，即， 只有选项D符合题意． 故选D． 3. 已知点与点关于轴对称，则的值为（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，根据：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到，，再带入求值即可． 【详解】∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， 故选：D． 4. 用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点M，N作，的垂线，交点为P，画射线，则平分.做法中用到证明与全等的判定方法是（　　） A. SAS B. SSS C. ASA D. HL 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了学生的观察能力和判定直角三角形全等的定理，本题是一操作题，要会转化为数学问题来解决． 根据直角三角形全等的判定定理，可证． 【详解】在和中， ， ， ． 故选：D． 5. 下列运算正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 6. 等腰三角形的一个顶角是，则它的底角是( ) A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，可得底角为，即可求解． 【详解】解：由题意得， 底角为； 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义及性质，三角形内角和定理，理解等腰三角形的定义是解题的关键． 7. 若一个多边形的内角和为外角和的3倍，则这个多边形为 （　　） A. 八边形 B. 九边形 C. 十边形 D. 十二边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和与外角和． 设多边形的边数为n，则该多边形的内角和为，外角和为，根据“内角和为外角和的3倍”，解方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意，得 解得： ∴这个多边形为八边形． 故选：A． 8. 若的积中不含有x的一次项，则a的值为（　　） A. 3 B. 6 C. D. 6或3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据结果中不含x的一次项，即含x的一次项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的积中不含有x的一次项， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图在中，是斜边上的高，角平分线交于，于，有下列结论：①，②，③，④，其中正确的有（　　） A. ①②③ B. ①②③④ C. ①②④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据“直角三角形两锐角互余”可证明，即可判断结论①；利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，，即可判断结论②；证明为等腰三角形，易得，即可判断结论③；结合，即可判断结论④． 【详解】解：∵，， 和都是的余角， ∴，故①正确； ∵角平分线交于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴， 故③错误． 故正确的结论为①②④． 故选：C． 10. 如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短问题和等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质等知识，根据题意利用等边三角形性质和全等三角形判定得出，进而作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，最后依据周长的最小值，求值即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴点在射线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时的值最小， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值， 故选：B． 二、填空题：（每小题4分，共24分） 11. （1）_________； （2）__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方及平方差公式，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． （1）根据积的乘方运算法则求解即可； （2）根据平方差公式求解即可． 【详解】解：（1）； （2）． 故答案为：（1）（2）． 12. 等腰三角形有一个角是，其中一边长为3，则周长为 _____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，确认该三角形是等边三角形是解题关键．根据“有一个角为的等腰三角形为等边三角形”可知这个等腰三角形是等边三角形，即可获得答案． 【详解】解：∵等腰三角形有一个角为， ∴这个等腰三角形是等边三角形， ∴其周长． 故答案为：9． 13. 如图，若∠1=∠2，加上一个条件__，则有△AOC≌△BOC． 【答案】∠A=∠B 【解析】 【详解】在△AOC和△BOC中，， ∴△AOC≌△BOC(AAS). 故答案为∠A=∠B. 14. 如图，中，垂直平分，垂直平分，设与相交于，则点与边的关系如何？请用一句话表示：_________________． 【答案】点到两端的距离相等 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键．连接，根据垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，，进而可得，即可获得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， 即， 故点到两端的距离相等． 15. 若，则 _____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的运算，熟练的掌握幂的运算法则对题干进行适当变形是解决本题关键． 根据幂的运算即可解答出． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：6． 16. 如图，在中，和的平分线相交于点交于交于，过点作于，在下列结论中：①：②若，，则；③当时，；④若，则．其中正确的结论为______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判定①；过O点作于P，由角平分线的性质可求解，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在上取一点H，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定③正确；作于N，于M，根据三角形的面积可证得④正确． 【详解】解：∵和的平分线相交于点， ∴，， ∴ ，故①错误； 过O点作于P， ∵平分，， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵分别是与的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点H，使， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； 作于N， 于M， ∵和的平分线相交于点O， ∴点O在的平分线上， ∴， ∵， ∴，故④正确． 综上，②③④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，角平分线的判定和性质定理等知识，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键． 三、解答题：（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，积的乘方公式和单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式的运算法则和积的乘方公式计算，再合并同类项即可； （2）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，零指数幂，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，接着求出x的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，C是的中点，，，求证：． 【答案】 证明：∵点C为中点， ∴， ∵， ∴， 在与中， , ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，先由线段中点的定义得到，再由平行线的性质得到，据此证明得到，则可证明． 【详解】略 20. 如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图） （1）画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； （2）在上画出点P，使的周长最小． （3）的面积是 ． 【答案】（1）如图， 即为所求； （2） 如图，点即为所求 （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接，交直线于点，连接，此时最小，即可得的周长最小． （3）利用割补法求三角形的面积即可； 本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积为． 21. 求证：等腰三角形两腰上的中线相等．（根据题意画出图形，写出已知、求证并证明） 【答案】 已知：，，、分别是、边上的中线 求证：． 证明：、分别是、边上的中线 ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据题意写出已知，，、分别是、边上的中线，证明，即可得到答案． 【详解】略 22. 如图，在中，． （1）尺规作图，在上求作一点N，使得点N到点A和到点B的距离相等； （2）猜想与之间有何数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1） 点N即为所求； （2） ．理由如下： ∵， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）分别以点A点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线，交于M，交于N即可； （2）根据等腰三角形性质与三角形内角和求出，根据为线段的垂直平分线得出，，得出，根据含的直角三角形性质出即得． 【小问1详解】 解：（1）如图，分别以点A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于P、Q两点， 作直线分别交于点M，N， 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查尺规作图．熟练掌握作线段垂直平分线，等腰三角形性质，三角形内角和，线段垂直平分线性质，含直角三角形的性质，是解题关键． 23. 如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． （1）求证：为等腰三角形； （2）已知，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵在和中，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质与判定及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质与判定及三角形外角的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据三角形内角和可得，进而问题可求证； （2）连接，由（1）可知垂直平分，则有，然后可得，则有，进而问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容． 如图1，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【性质探究】 （1）如图1，连接筝形的对角线、交于点O，试探究筝形的性质，并填空：对角线、的关系是： ；图中、的大小关系是： ． 【概念理解】 （2）如图2，在中，，垂足为，与关于所在的直线对称，与关于所在的直线对称，延长，相交于点．请写出图中所有的“筝形”，并选择其中一个进行证明； 【应用拓展】 （3）如图3，在（2）的条件下，连接，分别交、于点、．求证：． 【答案】（1）垂直平分，； （2）图中的“筝形”有：四边形、四边形、四边形； 证明四边形是筝形： 由轴对称的性质可知，； 四边形是筝形． 同理：，； 四边形是筝形． 连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是筝形； （3）证明：如图3中， 由轴对称的性质可知： ，，，， ∴，， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的判定和性质得到，再根据三线合一得到； （2）根据“筝形”的定义判断，利用轴对称的性质证明即可； （3）利用轴对称的性质得到相等的线段和角，证明，利用等量代换得到． 【详解】解：（1）∵，， ∴垂直平分， ∵，， ∴； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的判定和性质，三线合一，等边对等角和等角对等边，添加辅助线，类比思想． 25. 在平面直角坐标系中，，（a，b均为正数）． （1）若，直接写出A、B两点的坐标； （2）如图1，在（1）的条件下，点C在x轴的负半轴上，，点D在的延长线上，，求的值； （3）如图2，在和中，，，，射线交线段于点P，求证：点P为线段的中点． 【答案】（1），； （2）3； （3） 证明：连接，过N作交的延长线于点C，则， 设，则， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． ∴ 为线段的中点． 【解析】 【分析】（1）利用非负性，求出的值，即可； （2）在x轴上取M，使得，连接，证明，推出即可； （3）连接，过N作交的延长线于点C，证明，推出，，再证明，即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：在x轴上取M，使得，连接， 在和中 ∴ 又， ∴， ∵ ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查非负性，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是条件合适的辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年福建省厦门市思明区松柏中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个三角形两边的长分别是3和5，则这个三角形第三边的长可能是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 3. 已知点与点关于轴对称，则的值为（　　　） A. B. C. D. 4. 用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点M，N作，的垂线，交点为P，画射线，则平分.做法中用到证明与全等的判定方法是（　　） A. SAS B. SSS C. ASA D. HL 5. 下列运算正确的是(　　) A. B. C. D. 6. 等腰三角形的一个顶角是，则它的底角是( ) A. B. C. D. 或 7. 若一个多边形的内角和为外角和的3倍，则这个多边形为 （　　） A. 八边形 B. 九边形 C. 十边形 D. 十二边形 8. 若的积中不含有x的一次项，则a的值为（　　） A. 3 B. 6 C. D. 6或3 9. 如图在中，是斜边上的高，角平分线交于，于，有下列结论：①，②，③，④，其中正确的有（　　） A. ①②③ B. ①②③④ C. ①②④ D. ②④ 10. 如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：（每小题4分，共24分） 11. （1）_________； （2）__________． 12. 等腰三角形有一个角是，其中一边长为3，则周长为 _____． 13. 如图，若∠1=∠2，加上一个条件__，则有△AOC≌△BOC． 14. 如图，中，垂直平分，垂直平分，设与相交于，则点与边的关系如何？请用一句话表示：_________________． 15. 若，则 _____． 16. 如图，在中，和的平分线相交于点交于交于，过点作于，在下列结论中：①：②若，，则；③当时，；④若，则．其中正确的结论为______． 三、解答题：（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，C是的中点，，，求证：． 20. 如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图） （1）画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； （2）在上画出点P，使的周长最小． （3）的面积是 ． 21. 求证：等腰三角形两腰上的中线相等．（根据题意画出图形，写出已知、求证并证明） 22. 如图，在中，． （1）尺规作图，在上求作一点N，使得点N到点A和到点B的距离相等； （2）猜想与之间有何数量关系，并证明你的猜想． 23. 如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． （1）求证：为等腰三角形； （2）已知，求的长． 24. 【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容． 如图1，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【性质探究】 （1）如图1，连接筝形的对角线、交于点O，试探究筝形的性质，并填空：对角线、的关系是： ；图中、的大小关系是： ． 【概念理解】 （2）如图2，在中，，垂足为，与关于所在的直线对称，与关于所在的直线对称，延长，相交于点．请写出图中所有的“筝形”，并选择其中一个进行证明； 【应用拓展】 （3）如图3，在（2）的条件下，连接，分别交、于点、．求证：． 25. 在平面直角坐标系中，，（a，b均为正数）． （1）若，直接写出A、B两点的坐标； （2）如图1，在（1）的条件下，点C在x轴的负半轴上，，点D在的延长线上，，求的值； （3）如图2，在和中，，，，射线交线段于点P，求证：点P为线段的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $