第六章 几何图形初步（单元专项）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 第六章 几何图形初步 单元专项提升 模块一 章节思维导图 模块二 章节重难点考察 考点 1.根据不同方向的视图判断小正方体的个数 考点 2.立体图形的展开图与相对面 考点 3.线段中点及相关计算 考点 4.线段动点问题 考点 5.角的概念及相关计算 考点 6.余（补）角的应用 考点 7.角平分线的应用 模块导航 章节思维导图 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 根据不同方向的视图判断小正方体的个数考点 1 1．【答案】10 【分析】本题考查从不同方向看，抓住不同方向看到的特征是解题的关键． 从正面可以发现小立方体最高处为三层，最长处为三块小立方体；从左面可以发现小立方 体最高处为三层，最宽处为三块小立方体；据此求解． 【详解】解：从上面可以发现如下图所示三个地方没有小立方体，用数字 0 表示，其余地 方最少一个立方体； 0 1 0 1 1 1 1 1 0 从正面可以发现如下图所示，数字 2 竖向必须有两个立方体； 0 1 0 2 1 2 1 1 0 从左面可以发现如下图所示数字 3 处必须有三个立方体： 0 1 0 2 1 2 1 3 0 即可发现最少立方体数为1 2 1 2 1 3 10      块， 故答案为：10． 2．【答案】6 或 7或 8 【分析】本题考查从不同方向看几何体，根据从正面、上面看到的形状图，求出摆放最多 章节重难点考察 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 时和最少时的正方体的个数，进而可求解． 【详解】解：根据从正面、上面看到的形状图，可以得出最多时和最少时的摆放情形，如 图： 该几何体最少需要 6 块小立方体，最多需要 8 块小立方体， 故该几何体的小立方体个数可能是 6 或 7 或 8， 故答案为：6 或 7 或 8． 3．【答案】（1） 2V F E   ，（2）不能，理由见解析；（3）12；（4）①14；②8 【分析】本题考查了顶点数、面数、棱数之间的关系及灵活运用，得出欧拉公式并根据公 式计算和列方程是解题的关键． （1）观察（1）中顶点数、面数、棱数可得答案； （2）根据点数、面数、棱数之间的关系即可判断； （3）根据点数、面数、棱数之间的关系求解即可； （4）①根据点数、面数、棱数之间的关系求解即可；②设正五边形 x块，则正三边形 5 3 x 块，则由上面的规律数可以看出，棱数 5E x ，而顶点数 1 5 2 V x  ，列出方程即可． 【详解】解：（1）∵4 4 6 2   ，8 6 12 2   ，10 7 15 2   …， ∴顶点数 ( )V 、面数 ( )F 、棱数（E）之间存在的关系式是 2V F E   ， 故答案为： 2V F E   ； （2）不能； ∵13 10 24 1 2     ， ∴不能组成一个有 24条棱、10个面、13个顶点的多面体； （3）一个正二十面体有30条棱，则它的顶点数是30 2 20 12   （个）， 故答案为：12； （4）①一个多面体作品，只有12个顶点，并且过每个顶点都有 4条棱，则它的棱数为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 12 4 24 2   （条），它的面数为 24 2 12 14   ， 故答案为：14； ②设正五边形 x块，则正三边形 5 3 x块，棱数 5E x ，而顶点数 1 5 2 V x  ，由题意得 5 1 5 5 2 3 2 x x x x     ， 解得 12x  ， 所以正五边形为 12 块，正三边形为 20块． 20 12 8  ． 故答案为：8． 立体图形的展开图与相对面考点 2 1．【答案】D 【分析】根据答案可知，这几个展开图均为正方体展开图，再根据正方体上的图案位置判 断即可． 【详解】解：根据答案可知，这几个展开图均为正方体展开图； ∵正方体 这样的两个面的对角线没有连接在一起，∴A 错误； ∵ 不在 这两个面中间，∴B、C错误； 故选：D． 【点睛】本题主要考查正方体的展开图的应用，具备想象力和观察力是解题的关键． 2．【答案】 1 6 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，倒数的定义及代数式求值，注意正 方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．正方体的表面展开图，相对的面之间 一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据互为倒数的定义，即乘积是 1 的两个数互为倒 数进行解答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “A ”与“1”是相对面， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 “ B ”与“2”是相对面， “C ”与“ 3 ”是相对面， 相对的面上的两个数互为倒数， 1a  ， 1 2 b  ， 1 3 c   ， 1 1 12 3 2 1 3 2 3 6 a b c         ． 故答案为 1 6 ． 3． 【答案】我 【分析】本题以小立方体的侧面展开图为背景，考查学生对立体图形的展开图的认识，在 解决本题的过程中，学生可以动手进行具体折纸、翻转活动，根据“立方体中相对面之间， 相隔一个正方形”即可解答此题． 【详解】解：由图 1 可得，“中”和“的”相对；“国”和“我”相对；“梦”和“梦”相对； 由图 2 可得，小正方体从图 2 的位置依次翻到第 5格时，“国”在下面， 此时小正方体朝上面的字是“我”， 故答案为：我． 线段中点及相关计算考点 3 1．【答案】18cm，3cm 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，由题意得出 4cmAB  ， 8cmBC  ， 从而求出 18cmAD  ，再由线段的中点得出 1 9cm 2 MD AD  ，最后由MC MD CD  计算即可 得解． 【详解】解：∵ : : 2 : 4 : 3AB BC CD  ， 6cmCD  ， ∴ 4cmAB  ， 8cmBC  ， ∴ 18cmAD AB BC CD    ． ∵点 M是线段 AD的中点， ∴ 1 9cm 2 MD AD  ． ∴  9 6 3 cmMC MD CD     ． 2．【答案】(1)17或 25 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 (2) 7 2 (3)是，见解析 【分析】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握 线段的计算是解决问题的关键．先根据非负数的性质求出 14m = ， 7n  ，则 14 7AB CD ， ． （1）若 4BC  ，则有以下两种情况，①当点 C在点 B的左侧时，则 3BD CD BC   ，根据 AD AB BD  可得 AD的长；②当点 C在点 B的右侧时，根据 AD AB BC CD   可得 AD的 长； （2）设 BC a ，则 21AD AB BC CD a     ，根据线段中点定义得， 1 2 AM AD  1 21 2 a  ， 1 1 2 2 BN BC a  ，从而得  1 7 2 BM AM AB a    ，由此可得MN的长； （3）设 PB t ，根据点 D与点 B重合，点 C在点 D的左侧得点 C在线段 AB上，再根据点 P在线段 AB的延长线上画出图形，结合图形得 14 , 7PA t PC t    ，则  2 7PA PB t   ，据 此可得出结论． 【详解】（1）解：∵ 14 0m  ，  27 0n  ，  214 7 0m n    ， 14 0 7 0m n    ， ， 解得： 14 7m n ， ， 14 7AB m CD n    ， ， 若 4BC  ，则有以下两种情况， ①当点 C在点 B的左侧时，如图 1①所示： 14 7 4AB CD BC   ， ， ， 7 4 3BD CD BC      ， 14 3 17AD AB BD      ； ②当点 C在点 B的右侧时，如图 1②所示： 14 7 4AB CD BC   ， ， ， 14 4 7 25AD AB BC CD        ； 综上所述：线段 AD的长为17或25． （2）解：设 BC a ，如图 2 所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 14 7 21AD AB BC CD a a         ， ∵点 ,M N分别是线段 ,AD BC的中点，  1 1 21 2 2 AM AD a    ， 1 1 2 2 BN BC a  ， ∴    1 121 14 7 2 2 BM AM AB a a       ， ∴  1 1 77 2 2 2 MN BN BM a a      ； （3）解： PA PB PC  为定值，理由如下： 设 PB t ， ∵点 D与点 B重合，点 C在点 D的左侧， ∴点 C在线段 AB上， 又∵点 P在线段 AB的延长线上，如图 3 所示： ∴ 14 7PA AB PD t PC CD PB t       ， ， ∴  14 2 7PA PB t t t      ， ∴ 2 PA PB PC   ． ∴ PA PB PC  为定值． 3．【答案】（1）① 7AD  ；② AD  20 3 或 28 3 ；（2） 17 42 或 11 6 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质、线段的和差、准确识图分类 讨论 DE的位置是解题的关键． （1）根据已知条件得到 6 12BC AC ， ，①由线段中点的定义得到 3CE  ，求得 5CD  ， 由线段的和差得到 12 5 7AD AC CD     ；②当点 C线段��的三等分点时，可求得 CE  1 3 DE  8 3或 CE  2 3 DE  16 3 ，则CD  16 3 或 8 3，由线段的和差即可得到结论； （2）当点 E在线段BC之间时，设BC x ，则 2 2AC BC x  ，求得 3AB x ，设CE y ，得到 2AE x y BE x y   ， ，求得 y  2 7 x，当点 E在点 A的左侧，设BC x ，则 1.5DE x ，设CE y ， 求得 1.5DC EC DE y x    ，得到 4y x ，于是得到结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 【详解】解：（1）∵ 2 18AC BCAB  ， ∴ 6 12BC AC ， ， ①∵E为BC中点， ∴ 3CE  ， ∵ 8DE  ， ∴ 5CD  ， ∴ 12 5 7AD AC CD     ； ②∵点 C是线段��的三等分点， 8DE  ， ∴CE  1 3 DE  8 3或 CE  2 3 DE  16 3 ， ∴CD  16 3 或 8 3， ∴ 12AD AC CD    16 3  20 3 或12 8 3  28 3 ； （2）当点 E在线段BC之间时，如图， 设BC x ， 则 2 2AC BC x  ， ∴ 3AB x ， ∵ 2AB DE ， ∴ 1.5DE x ， 设CE y ， ∴ 2AE x y BE x y   ， ， ∴ 2 1.5 0.5AD AE DE x y x x y       ∵ 3 2 AD EC BE   ， ∴ 0.5 3 2 x y y x y     ， ∴ y  2 7 x， ∴ 1.5CD x y   17 14 x， ∴ 17 1714 3 42   xCD AB x ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 当点 E在点 A的左侧，如图， 设BC x ，同理 1.5DE x ， 设CE y ， ∴ 1.5CD DE CE x y    ， ∴ 1.5 2 0.5AD DC AC y x x y x       BE CE BC x y    ∵ 3 2 AD EC BE   ， ∴ 0.5 3 2 y x y x y     ， ∴ 4y x ， ∴ 5.5 , 3CE CE DE x AB x    ∴ 5.5 11 3 6   CD x AB x ， 当点 E在线段 AC上及点 E在点 B右侧时，无解， 综上所述 CD AB的值为 17 42 或 11 6 ． 故答案为： 17 42 或 11 6 ． 考点 4 线段动点问题 1．【答案】(1)6 (2)6 (3)当0 2t  时， 12 6PQ t  ；当2 3t  时， 6 12PQ t  ；当3 6t  时， 2PQ t ； (4) 1t  或 3t  【分析】（1）设点 AB的中点为 M，BC的中点为 N，分别求出 BM和BN的长，再求和即可； （2）先求出当 P到点 C时 t的值，再根据路程时间速度可求出； （3）先找到何时 P、Q相遇，再分段讨论，当0 2t  时，当 2 3t  时，当3 6t  时，分别 求出 PQ的长即可； （4）根据（3）中求出 PQ的长，利用 2PQ AC 列方程，求出 t的值即可． 【详解】（1）解：设点 AB的中点为 M， BC的中点为 N， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∵ 9AB  ， 3BC  ， ∴ 1 4.5 2 BM AB  ， 1 1.5 2 BN BC  ， ∴ 4.5 1.5 6MN BM BN     ； （2）解：∵ 9AB  ， 3BC  ∴ 12AC AB BC   ∵动点 P从点 A出发，沿 AC以每秒 4 个单位长度的速度向终点 C匀速运动；同时动点 Q 从点 C出发，沿CA以每秒 2 个单位长度的速度向终点 A匀速运动 ∴当 P到点 C时， 12 4 3t    ， ∴ 2 3 6PQ    ； （3）解：当点 P、Q相遇时，  12 4 2 2t     ． 当0 2t  时， 12 6PQ t  ； 当2 3t  时， 6 12PQ t  ； 当3 6t  时， 2PQ t ； （4）解：当0 2t  时，  2 12 6 12t  ，解得 1t  ； 当2 3t  时，  2 6 12 12t   ，解得 3t  ． 当3 6t  时，2 2 12t  ， 3t  （舍）． ∴ 1t  或 3t  ． 【点睛】本题考查在动点问题的背景下考查线段的和差运算，线段中点的性质，一元一次 方程的应用等知识，关键是理清点的运动状态，找到临界点． 2．【答案】(1)① 12cm；② 1: 2； (2) 9 cm 2 ． 【分析】（1）①先计算BD PC， ，再计算 AC PD 即可；②利用中点的性质求解即可； （ 2）设运动时间为 st ，则 cmPC t ， 3 cmBD t ，得到 3BD PC ，又由 3PD AC ，得到 3PB AP ， 进而得到 1 4 AP AB 即可求解； 本题考查了线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是解题的关 键． 【详解】（1）解：①由题意得：  2 2 4 cmBD    ，  1 2 2 cmPC    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11  18 2 4 12 cmAC PD AB PC BD         ； ②∵点C到达 AP中点时，点D也刚好到达 BP的中点，设运动时间为 t， 则： 2 2AP PC t  ， 2 4BP BD t  ， : 2 : 4 1: 2AP PB t t   ； （2）解：设运动时间为 st ，则 cmPC t ， 3 cmBD t ， 3BD PC  ， 3PD AC  3 3 3 3PB PD BD PC AC PC AC AP        ，  1 9 cm 4 2 AP AB   ． 3．【答案】(1)6 (2) (3)①17；②同意，理由见详解 【分析】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和差关系，利用中点性质转化线段之间 的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性． （1）依据 B、C在线段 AD上，即可得到图中共有线段 , , , , ,AB AC AD BC BD CD． （2）依据 AB CD ，即可得到 AB BC CD   BC，进而得出 AC BD ． （3）①依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到MN的长度． ②分为当点 B在线段 AD上，点C在射线 AD上运动时；当点 B在射线 AD上，点C在射线 AD 上运动时，两种情况分别求解判断即可； 【详解】（1）解：∵ B、C在线段 AD上， ∴图中共有线段 , , , , , .AB AC AD BC BD CD 共 6条． 故答案为：6； （2）若 AB CD ，则 AB BC CD BC   ，即 AC BD ． 故答案为：； （3）①∵ 22, 12AD BC  ， ∴ 10AB CD AD BC    ， ∵M 是 AB的中点，N是CD的中点， ∴ 1 1, 2 2 BM AB CN CD  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 ∴ 1 1( ) 10 5 2 2 BM CN AB CD      ， ∴ 5 12 17MN BM CN BC      ． ②当线段 BC在射线 AD上运动时， 当点 B在线段 AD上，点C在射线 AD上运动时： ∵ 22, 12AD BC  ， ∴ 2 34 2AB CD AD BC BD BD      ， ∵M 是 AB的中点，N是CD的中点， ∴ 1 1, 2 2 BM AM AB DN CN CD    ， ∴    1 1 34 2 17 2 2 BM DN AB CD BD BD       ， ∴ 17 17MN BM DN BD BD BD       ． 当点 B在射线 AD上，点C在射线 AD上运动时： ∵ 22, 12AD BC  ， ∴ 2 34 2AB CD AD BC BD BD      ， ∵M 是 AB的中点，N是CD的中点， ∴ 1 1, 2 2 BM AM AB DN CN CD    ， ∴    1 1 34 2 17 2 2 BM DN AB CD BD BD       ， ∴ 17 17MN BM DN BD BD BD       ． ∴线段MN的长度不变． 考点 5 角的概念及相关计算 1．【答案】B 【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可． 【详解】解：图 1 中，角的顶点为A，应表示为 CAB ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 图 2 表示正确； 图 3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角； 图 4 表示正确． 所以表示正确的个数为 2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识 是解题关键． 2．【答案】（1）见解析 （2）60，16，12 （3） '21 32 （4）> 【分析】本题考查两点间线段最短，度分秒的换算，角度的加法和比较大小； （1）连接 AC和 BD交于点 O，则点 O即为所作； （2）利用度、分、秒的进位制是60计算即可； （3）根据度、分、秒的减法运算； （4）先把77.53化为77 31 48 ，然后比较大小即可． 【详解】解：（1）如图，点O即为所作； （2） '' ''63.27 60 0.27 60 60 16 0.2 60 60 16 12           ， 故答案为：60，16，12； （3）78 18 56 46 77 78 56 46 21 32           ， 故答案为：21 32 ； （4）77.53 77 0.53 60 77 31 0.8 60 77 31 48            ， ∵ ''77 53 77 31 48  ， ∴ '77 53 77.53  ， 故答案为：． 3．【答案】(1)33 32 21  (2)9 33 29  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 【分析】此类题是进行度、分、秒的混合运算，是角度计算中的一个难点，注意以 60 为进 制即可． （1）进行度、分、秒的加减混合运算即可； （2）先进行度、分、秒的乘法计算，再算减法． 【详解】（1）解： '' '' ''51 37 11 30 30 30 12 25 40       51 37 11 12 25 40 30 30 30           63 62 51 30 30 30       33 32 21   ； （2）解：13 53 3 32 5 31    39 159 32 5 31      7 153 29   9 33 29   ． 考点 6 余（补）角的应用 1．【答案】 1 2 3 90     【分析】本题主要考查了余角．解决问题的关键是熟练掌握余角定义和同角的余角相等．余 角定义：如果两个角的和等于 90°，那么这两个角叫做互为余角． 由 1 90BOC BOD BOC       ，得到 1 BOD  ，即得 1 2 3 90    ． 【详解】∵ 90AOB COD EOF    °， ∴ 1 90BOC BOD BOC       ， ∴ 1 BOD  ， ∴ 1 2 3 2 3 90BOD         ． 故答案为： 1 2 3 90    ． 2．【答案】(1) BOD ，40，等角的余角相等 (2) ACO 与 BCO ， AOB 与 COD ， ACD 与 BCD (3) 135AOD   【分析】本题考查了余角的性质：同角（或等角）的余角相等，补角的定义及角平分线的 定义． （1）由已知进行等量代换可得 AOC BOD  ，根据题意即可得出答案； （2）根据补角的定义：两角和为180解答即可； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 （3）根据角平分线的定义得到 1 45 2 BOC BOD COD      ，由 AOD AOB BOD   即可 解答． 【详解】（1）解：∵ 90AOC COB   ， 90COB BOD   ①， ∴ AOC BOD  ②， ∵ 40BOD  ， ∴ 40AOC  ， 在上面①到②的推导过程中，理论依据是：同角的余角相等； （2）解：∵ 90AOC COB AOB    ， 90COB BOD COD    ， ∴ 180AOB COD   ，即 AOB COD ， 互为补角， ∵ 180ACD BCD   ， 180BCO ACO   ， ∴ ACO BCO ， 互为补角， ACD BCD ， 互为补角， 综上， ACO 与 BCO ， AOB 与 COD ， ACD 与 BCD 互为补角； （3）解：∵ 90COD  ，且OB平分 COD ， ∴ 1 45 2 BOC BOD COD      ， ∴ 135AOD AOB BOD    ． 考点 7 角平分线的应用 1．【答案】30 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、一元一次方程的定义等知识点，弄清楚各角之 间的关系成为解题的关键． 设 COD x  ，由角平分线的定义可得 COD DOE x   ，进而得到 20BOD x   ；再运用 角平分线的定义可得  2 20AOD x    ，最后根据 130AOE  列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设 COD x  ， ∵射线OD平分 COE ， ∴ COD DOE x   ． ∵ 20BOC  ， ∴ 20BOD x   ． ∵射线OB平分 AOD ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 ∴  2 20AOD x    ． 又∵ 130AOE  ， ∴  2 20 130x x    ，解得 30x  ，即 COD 的度数为30． 故答案为：30． 2． 【答案】（1）① 10；② 10；（ 2）60°；（3） 2 103   ． 【分析】（1）①先求出 BC的长，再根据线段的中点的定义求出DC EC、 的长，即可求出DE 的长；②方法同上； （ 2）根据角平分线的定义得出 1 2 MOC AOC   ， 1 2 NOC BOC   ，再根据 MON MOC NOC   即可求解； （3）求出 AOD BOC   的度数，根据 2DOM AOM   ， 2CON BON   ，得出 2 3 DOM AOD   ， 2 3 CON BOC   ，根据 MON DOM COD CON    求解即可； 本题考查了线段的和差，线段中点的定义，角的和差，角平分线的定义，根据图形得出线 段之间的等量关系、角之间的等量关系是解题的关键． 【详解】解：（1）①∵ 20AB  厘米， 8AC  厘米， ∴ 20 8 12BC AB AC     厘米， ∵点D， E分别是 AC， BC的中点， ∴ 1 1 8 4 2 2 DC AC    厘米， 1 1 12 6 2 2 CE BC    厘米， ∴ 4 6 10DE DC CE     厘米， 故答案为：10； ②∵ 20AB  厘米， AC m 厘米， ∴  20BC AB AC m    厘米， ∵点D， E分别是 AC， BC的中点， ∴ 1 1 2 2 DC AC m  厘米，  1 1 120 102 2 2CE BC m m           厘米， ∴ 1 110 10 2 2 DE DC CE m m      厘米， 故答案为：10； （ 2）∵射线OM 平分 AOC ，射线ON平分 BOC ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 ∴ 1 2 MOC AOC   ， 1 2 CON BOC   ， ∵ 120AOB  ，  1 1 60 2 2 MON MOC CON AOC COB AOB          ， 即 MON 的度数为 60°； （3）∵ 2DOM AOM   ， 2CON BON   ， 2 3 MOD AOD   ， 2 3 CON BOC   ， AOB   ， 30COD  ， MON MOD CON COD     2 2 2 1 3 3 3 3 AOD BOC COD COD        ，  2 1 3 3 AOD BOC COD COD      ， 2 1 3 3 AOB COD    ， 2 1 3 3 COD   ， 2 10 3   ， 即 MON 的度数为 2 10 3   ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 第六章 几何图形初步 单元专项提升 模块一 章节思维导图 模块二 章节重难点考察 考点 1.根据不同方向的视图判断小正方体的个数 考点 2.立体图形的展开图与相对面 考点 3.线段中点及相关计算 考点 4.线段动点问题 考点 5.角的概念及相关计算 考点 6.余（补）角的应用 考点 7.角平分线的应用 模块导航 章节思维导图 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 根据不同方向的视图判断小正方体的个数考点 1 1．一些相同的小立方体堆在一起，从正面、上面、侧面观察的结果如图，摆成这样的立体 图形至少需要 个这样的小立方体． 2．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状 图，该几何体的小立方体个数可能是 ． 3．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（V ）、面数（ F）、棱数（ E） 之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解 答下列问题： 【观察总结】 （1）五种简单多面体的顶点数（V ）、面数（ F）、棱数（ E）如下表： 多面体 顶点数（V ） 面数（ F） 棱数（ E） 三棱锥 4 4 6 长方体 8 6 12 章节重难点考察 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 五棱柱 10 7 15 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 猜想顶点数（V ）、面数（ F）、棱数（ E）之间存在的关系式是________（用所给的字母 表达）； 【简单应用】 （2）能否组成一个有 24条棱、10个面、13个顶点的多面体？请说明理由． （3）一个正二十面体有30条棱，则它的顶点数是________． 【实践探究】 （4）学校校园文化节，七年级数学实践小组同学制作了各种各样的多面体作品． ①一个多面体作品，只有12个顶点，并且过每个顶点都有 4条棱，则这个多面体的面数是 ________； ②一个多面体作品如图所示，每个面的形状是正三角形或正五边形，每条棱都是正三角形 和正五边形的公共边，则该多面体作品正三角形比正五边形的面数多________个． 立体图形的展开图与相对面考点 2 1．如图所示的正方体的展开图是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 A． B． B．C． D． 2．如图是一个正方体的表面展开图，在正方形A、 B、C内分别填入适当的数 a，b，c， 使其折叠成正方体后，相对面上的两个数互为倒数，则2 3a b c   ． 3．如图 1 是一个正方体的展开图，该正方体从图 2所示的位置依次翻到第 1 格、第 2 格、 第 3 格、第 4 格、第 5格，此时这个正方体朝上一面的字是 ． 线段中点及相关计算考点 3 1．如图，点 B、C是线段 AD上的两点，且 : : 2 : 4 : 3AB BC CD  ．若点 M是线段 AD的中点， 6cmCD  ，求线段 AD和MC的长． 2．如图①，已知线段 AB m ，CD n ，线段CD在射线 AB上运动（点 A在点 B的左侧，点 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 C在点 D的左侧），且  214 7 0m n    (1)若 4BC  ，求 AD的长． (2)当CD在线段 AB的延长线上时，如图②所示，若点 ,M N分别是线段 ,AD BC的中点，求MN 的长． (3)当CD运动到某一时刻，使得点 D与点 B重合时，若点 P是线段 AB延长线上任意一点， 请判断 PA PB PC  是否为定值，并说明理由． 3．已知点 C在线段��上， 2AC BC ，点 D、E在直线��上，点 D在点 E的左侧， （1）若 18AB  ， 8DE  ，线段��在线段��上移动， ①如图 1，当 E为BC中点时，求��的长； ②当点 C是线段��的三等分点时，求��的长； （2）若 2AB DE ，线段��在直线上移动，且满足关系式 3 2 AD EC BE   ，则 CD AB  ． 考点 4 线段动点问题 1．如图，点 B在线段 AC上，且 9AB  ， 3BC  ．动点 P从点 A出发，沿 AC以每秒 4 个单 位长度的速度向终点 C匀速运动；同时动点 Q从点 C出发，沿CA以每秒 2 个单位长度的 速度向终点 A匀速运动．设点 Q的运动时间为  st ． (1)线段 AB、 BC的中点之间的距离为_______． (2)当点 P到点 C时，求 PQ的长． (3)求 PQ的长（用含 t的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 (4)设 2PQ AC 时，直接写出 t的值． 2．如图，P是线段 AB上一点， 18cmAB  ，C，D两动点分别从点 P，B同时出发沿射线BA 向左运动，到达点A处即停止运动． (1)若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s． ①若 2cm 14cmAP  ，当动点C，D运动了2s时，求 AC PD 的值； ②若点C到达 AP中点时，点D也刚好到达 BP的中点，求 :AP PB； (2)若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有 3PD AC ，求 AP的长 度． 3．如图，已知点 B、C在线段 AD上． (1)图中共有________条线段； (2)若 AB CD 比较线段的大小： AC ________BD（填：“>”，“=”，或“<”）； (3)若 22AD  ， 12BC  ，M 是 AB的中点，N是CD的中点（如下图）． ①求MN的长度； ②嘉嘉同学分析探究后说，当线段 BC在射线 AD上运动时，线段MN的长度不变．你同意 他的说法吗？并说明理由． 考点 5 角的概念及相关计算 1．下列各图中有关角的表示正确的个数有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 2．（1）如图，四边形 ABCD，在四边形内找一点O，使得线段 AO、BO、CO、DO的和最 小．（画出即可，不写作法） （2）用度、分、秒表示63.27  ______°______′______″ （3）计算：78 18 56 46     ______． （4）比较大小：77 53 ______77.53．（填“”“”或“”） 3．计算： (1)51 37 11 30 30 30 12 25 40        ﹣ ； (2)13 53 3 32 5 31    ． 考点 6 余（补）角的应用 1．如图， 90AOB COD EOF    °，则图中 1 2 3  ， ， 三个角的数量关系是 ． 2．如图，两个直角三角形的直角顶点重合 (1)若 40BOD  ，求 AOC 的度数． 解： 90AOC COB    ， 90COB BOD    ，……① AOC _________……② 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 40BOD   ， AOC _________° 把上面过程补充完整，在上面①到②的推导过程中，理论依据是：_________． (2)写出图中互为补角的角_________． (3)若OB平分 COD ，求 AOD 的度数． 考点 7 角平分线的应用 1．如图，已知 130AOE  ，射线OD平分 COE ，射线OB平分 AOD ．若 20BOC  ，求 COD 的度数． 2．综合与探究 旧知回顾： （1）如图1，线段 20AB  厘米，C为线段 AB上的一个动点，点D，E分别是 AC，BC的中 点． ①若 8AC  厘米，则线段DE的长为__________厘米． ②设 AC m 厘米，则线段DE的长为__________厘米． 知识迁移： （ 2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图 2，若 120AOB  ，OC是 AOB 内部的一 条射线，射线OM 平分 AOC ，射线ON平分 BOC ，求 MON 的度数． 拓展探究： （3）已知 COD 在 AOB 内的位置如图3所示， AOB   ， 30COD  ，且 2DOM AOM   ， 2CON BON   ，求 MON 的度数．（用含 的代数式表示）