第五章 链接新考向（单元专项）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 第五章 链接新考向 单元专项提升 【新考向：数学史】1．【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题 意找出等量关系，列出方程．设小和尚有 x人，则大和尚有  100 x 人，根据题意可得，小 和尚每人分 1 3个馒头，大和尚 1人分 3个，列出方程即可． 【详解】解：设小和尚有 x人，则大和尚有  100 x 人， 依题意列方程得  3 100 100 3 x x   ， 故选：A． 【新考向：数学史】2．【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据每三人乘一车，最终剩余 2辆车，每 2人共乘一车，最终剩余 9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可． 【详解】解：由题知， 因为每 3人乘一车，最终剩余 2辆车， 所以总人数可表示为：  3 2x  ， 因为每 2人共乘一车，最终剩余 9个人无车可乘， 所以总人数可表示为： 2 9x  ， 则可建立方程：  3 2 2 9x x   ． 故选：B． 【新考向：数学史】3．【答案】(1)房客中大人有 42人，小孩有 21人 链接新考向 1.新考向：数学史 3.新考向：跨学科 2.新考向：新定义 4.新考向：新情景 模块导航 链接新考向 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 (2)方案二 【分析】本题考查一元一次方程解实际应用题，最优方案选择等知识，读懂题意，列出方 程求解，进而由方案计算费用比较大小是解决问题的关键． （1）设房客中小孩有 x人，则大人有  21x  人，由总人数为63人列一元一次方程求解即可 得到答案； （2）设每人收费相同，为 a元，根据两种方案，求出费用比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：设房客中小孩有 x人，则大人有  21x  人，  21 63x x    ，解得 21x  ， 则 21 42x   ， 答：房客中大人有 42人，小孩有 21人； （2）解：设每人收费相同，为 a元， 方案一费用：  40 0.8 63 40 58.4a a a    元； 方案二费用： 142 21 52.5 2 a a a   元； 58.4 52.5a a ， 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算． 【新考向：新定义】4．【答案】 6 5  【分析】本题考查一元一次方程的应用，有理数的混合运算，根据题意构建方程   230 26 5 a    ，求解得 10a  ，进而求代数式值． 【详解】解：设☆代表一个有理数为 a， 根据题意，   230 265 a    ， 解得 10a  ，即☆代表 10， ∴   2 2 630 10 35 5 5        ； 故答案为： 6 5  ． 【新考向：新定义】5．【答案】(1)3x， 7 7x y (2) 0a  ， 1b  ，理由见解析 (3) 3p  ， 2q = 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【分析】本题主要考查了新运算的定义与理解、指数运算与代数运算、方程求解与逻辑推 理，熟练掌握新运算的理解和指数运算与代数运算是解题的关键； （1）根据新定义直接代入化简即可； （2）将 n A 运算展开，进一步化简，然后根据使得这个方程对每一个正整数 n 都成立， 代入即可； （3）根据已知条件分别表示出 P、Q，然后化简，根据不含有的项的系数为 0，化简，然 后找出正整数的解即可； 【详解】（1）解：当 2a  ， 1b  时，若 A x y  ， 2B x y  ， 2( ) 1( 2 ) 2 2 2 3aA bB x y x y x y x y xA B                    3 2 1 3A A A A x y x y x y x y x y                    2 3 3 1 7 7x y x y x y      ， 故答案为：3x， 7 7x y ． （2）解：取 0a  ， 1b  ，理由如下： 1 2 2 1n n n n nn A a A a bA a b A ab A b A         ， 若 n A A  ，则 1 2 2 1n n n n na A a bA a b A ab A b A A        ， 令 1A  ， 1 2 2 1 1n n n n na a b a b ab b        ， 这是一个关于 a 和 b 的方程，我们需要找到一组解使得这个方程对每一个正整数 n 都成 立  1 2 2 11 1 0 1 0 1 0 0 1n n n n n           ， 通过观察，我们可以发现当   1a  ， 0b  时，上式变为 1 2 2 11 1 0 1 0 1 0 0 1n n n n n           ， 即1 1 ， 这个等式对每一个正整数 n 都成立． 因此，我们找到了一组满足条件的 a 和 b 的值，即   1a  ， 0b  ． 所以对每一个正整数 n和整式 A，均有 n A A  ． （3）解：根据新运算的定义得，  12 2 2 1p pP A     ，  12 2 2 1q qQ B     原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 当 2a  ， 1b  时， 2P Q P Q   当 2a  ， 1b  时，上式变为： 2P Q P Q      1 12 2 2 2 1 2 2 2 1qp qp A B            ，      1 2 1 2 22 2 2 2 1 3 7 2 2 2 1 2 30p qp qx xy x xy y                P Q 不含 xy项，     1 12 2 07 2 2 3 22 2 12 0 2qp p qx           221 17 2 2 30 2 2 2 12 2p p q qx       ， 当 1p  ，  27 2 2 42   ，此时 q不是正整数，舍去， 当 2p  ，  3 27 2 2 2 91    ，此时 q不是正整数，舍去， 当 3p  ，  4 3 27 2 2 2 2 210     ，此时  1 030 2 2 2 1 21q q    ，解得： 2q = ，  3p  ， 2q = ． 【新考向：跨学科】6．【答案】等式的性质 【分析】本题考查了等式的性质：熟知等式的性质是解题的关键：性质一：等式两边同时 加或减同一个数（或式子）等式仍相等；等式的性质二：等式两边同时乘以一个相同的数 （或相同的式子）等式仍成立；根据等式的性质二即可求解． 【详解】解：∵m V ， ∴等式两边同时除以 V可得 m V  ， 故答案为：等式的性质． 【新考向：新情境】7．【答案】任务一：A车间参与生产的工人有 20 人，B车间参与生产 的工人有 40 人；任务二： B车间需要到其他企业调配 8人． 【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解题目中的数量关系，掌握一 元一次方程，分式方程的运用是解题的关键． 任务一：设 A车间参与生产的工人有 x人，则 B车间参与生产的工人有 60 x（ ）人，根据数量 关系列方程求解即可； 任务二：设 B车间需要到其他企业调配 a人，根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：任务一：设 A车间参与生产的工人有 x人，则 B车间参与生产的工人有 60 x（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 人， 根据题意可列方程：20[20 25(60 )] 28000x x   解得 20 60 40x x  ， ， 答：A车间参与生产的工人有 20 人， B车间参与生产的工人有 40人； 任务二：设 B车间需要到其他企业调配 a人，根据题意可列方程： 28000 28000 40 25 20 30 25(40 ) 20 20a        ， 解得 8a  ， 经检验， 8a  是该方程的解， 答： B车间需要到其他企业调配 8人． 【新考向：新情境】8．【答案】问题一：用 27张硬纸板制作长方形纸板，9 张硬纸板制 作正方形纸板，才能正好配套，一共可以制作出27个横式无盖长方体纸盒；问题二：每个 横式无盖长方体纸盒的表面积是 648平方厘米． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用； 问题一：设 x张硬纸板制作长方形纸板，则  36 x 张硬纸板制作正方形纸板，根据正好配 套列方程求解即可； 问题二：根据长方体的表面积计算方法求解即可． 【详解】解：问题一：设 x张硬纸板制作长方形纸板，则  36 x 张硬纸板制作正方形纸板， 由题意得：  6 363 3 2 xx   ， 解得： 27x  ， 则36 9x  ， 3 27 3 x  ， 答：用 27张硬纸板制作长方形纸板，9 张硬纸板制作正方形纸板，才能正好配套，一共可 以制作出27个横式无盖长方体纸盒； 问题二：18 9 3 9 9 2 648      （平方厘米）， 答：每个横式无盖长方体纸盒的表面积是 648平方厘米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 第五章 链接新考向 单元专项提升 【新考向：数学史】1．（17-18七年级上·安徽·单元测试）我国明代珠算家程大位的名著 《直指算法统宗》里有一道算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个， 大小和尚各几丁？”意思是：有 100个和尚分 100个馒头，如果大和尚 1人分 3个，小和尚 3人分 1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设小和尚有 x人，依题意列方程得（ ） A．  3 100 100 3 x x   B． 1003 100 3 xx   C．  3 100 100 3 x x   D． 1003 1003 xx   【新考向：数学史】2．（2024七年级上·全国·专题练习）《孙子算经》中记载：今有三人 共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每 3人乘一车，最终剩余 2辆车，若每 2人共乘一车，最终剩余 9个人无车可乘，问有多少 人，多少辆车？若设有 x辆车，则可列方程（ ） A．  3 2 2 9x x   B．  3 2 2 9x x   C． 92 3 2 x x    D． 923 2 x x  【新考向：数学史】3．（23-24七年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组研究我国古代 《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多 二一．后半部分的意思是：房客共有 63人，大人比小孩多 21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设店主李三公推出两种订房方案： 方案一：房客超过 40人，超过的按原价八折优惠， 链接新考向 1.新考向：数学史 3.新考向：跨学科 2.新考向：新定义 4.新考向：新情景 模块导航 链接新考向 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 方案二：大人原价，小孩半价． 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 【新考向：新定义】4．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）小华在计算   230 5   ☆ 时 （☆代表一个有理数），误将“  ”看成“ ”，按照正确的运算顺序计算，结果为 26 ，则   230 5   ☆ 的正确结果是 ． 【新考向：新定义】5．（24-25七年级上·北京海淀·期中）给定有理数 a，b，对整式 ,A B， 定义新运算“ ”： A B aA bB   ；对正整数  2n n  和整式 A，定义新运算 “ “” n A n A A A A    个 （按从左到右的顺序依次做“ ”运算）．特别地，1 A A  ． 例如，当 1a  ， 2b  时，若 A x ， B y  ，则 2 2A B A B x y     ， 2 3A A A x    ． (1)当 2a  ， 1b  时，若 A x y  ， 2B x y  ，则 A B ______，3 A ______； (2)写出一组 a，b的值，使得对每一个正整数 n和整式A，均有 n A A  ，并说明理由； (3)当 2a  ， 1b  时，若 23 7A x xy  ， 2 22 30B x xy y   ， ,p q是正整数，令P p A  ，Q q B  ， 且 P Q 不含 xy项，直接写出 p和 q的值． 【新考向：跨学科】6．（24-25七年级上·湖南永州·期中）在物理学中，物体的密度  、体 积 V以及质量 m之间有以下关系：m V ，变形可得： m V  ，其变形的依据是 ． 【新考向：新情境】7．（23-24七年级下·浙江金华·期末）依据素材，解答问题． 方案设计 材 料 一 随着杭温高铁建设的顺利进行，我县正在迈向更加美好的明天．这一高铁项目的建 成通车，将为我县居民带来更多便利和机遇，也必将成为当地发展的新引擎，为本 地注入新的活力和动力． 材 料 二 某企业承接了为高铁建设配套的 28000个集成套件的生产任务，计划安排给A、B两 个车间共 60人，合作 20 天完成．已知A车间每人每天平均可以生产 20 个集成套件， B车间每人每天平均以生产 25个集成套件． 材 料 三 高铁建设项目指挥部要求企业提前完成生产任务，该企业计了两种方案： 方案 1：A车间改进生产方式，每个工人提高工作效率50%,B车间工作效率保持不变． 方案 2： B车间再到其他企业调配若干名与 B车间工作效率一样的工人，A车间的工 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 作效率保持不变． 问题解决 任 务 一 求 A、B两个车间参与生产的集成套件的工人人数各是多少． 任 务 二 若材料三中设计的两种生产方案，企业完成生产任务的时间相同，求 B车间需要到 其他企业调配的工人数量． 【新考向：新情境】8．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）东胜区某中学七年级数学 社团，在社团活动中用所学的数学知识， 尝试解决问题． 制作横式无盖长方体纸盒 活 动 如右图， 用 3 个长方形纸板和 2 个正方形纸板， 可以制作 1个 横式无盖长方体纸盒． 材 料 现有 36 张硬纸板，可以制作需要的长方形纸板和正方形纸板． 说 明 为了提高原材料的使用率，用每张硬纸板制作 3 个长方形纸板，或者制作 6 个正方 形纸板．这样利用原材料，可以将制作过程中的损耗降低到忽略不计． 问题解决 问 题 1 用多少张硬纸板制作长方形纸板，多少张硬纸板制作正方形纸板，才能正好配套？ 一共可以制作出多少个横式无盖长方体纸盒？ 问 题 2 若制成的每个横式无盖长方体纸盒的长为 18 厘米，宽为 9 厘米，高为 9厘米，求每 个横式无盖长方体纸盒的表面积是多少平方厘米？