2.5二次函数与一元二次方程同步练习 2023-2024学年北师大版数学九年级下册

2.5二次函数与一元二次方程 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知二次函数，则下列说法错误的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．图象的顶点坐标是 C．图象与轴的交点坐标是， D．当时，y随x增大而减小 2．已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别，，而的两根为，则、、M、N的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 3．根据下列表格的对应值： 判断方程（，、、为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 4．下列表格是二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　） x 0.02 0.04 A． B． C． D． 5．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象与y轴的交点坐标为 B．图象的对称轴在y轴的左侧 C．图象与x轴没有交点 D．y的最大值为4 6．在-3≤x≤0范围内，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示.在这个范围内，下列结论：①y有最大值1，没有最小值；②当-3<x<-1时，y随着x的增大而增大；③方程ax2+bx+c-=0有两个不相等的实数根.其中正确结论的个数是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0或2 D．1或2 8．如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是，；③当时，的取值范围是；④当时，随增大而增大；其中结论正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（   ） ①；②；③若方程没有实数根，则；④图象上有两点和，若，且，则一定有． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．对于二次函数，我们把使函数值等于的实数叫做这个函数的零点，则二次函数（为实数）的零点的个数是（ ） A．1 B．2 C．0 D．不能确定 11．已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2017的值为（　　） A．2017 B．2020 C．2019 D．2018 12．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则其图象与x轴的交点坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．已知抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴有且只有两个公共点，对称轴为直线x＝1，经过点（﹣1，﹣1），下列四个结论：①9a+3b+c＝﹣1；②3b﹣2c＝2；③若（m，y1），（4﹣m，y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2则m＜2；④a＝﹣，其中正确的结论是 ． 14．二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示，以下结论①；②；③；④无实数根，其中错误的是 ． 15．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式2m2﹣2m＋2020的值为 ． 16．二次函数与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的解为 ． 17．无论x取任何实数，代数式2x2+4x+m与代数式3x2﹣2x+6的值总不相等，则m的取值范围是 ． 三、解答题 18．如图，若二次函数的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点． (1)求A、B两点的坐标； (2)当时，函数值y的取值范围为_____；（直接写出答案即可） 19．某学习小组在研究函数y=x3﹣2x的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分． x … ﹣4 ﹣3.5 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 3.5 4 … y … ﹣ ﹣ 0 ﹣ ﹣ ﹣ … （1）请补全函数图象； （2）方程x3﹣2x=﹣2实数根的个数为　 　； （3）观察图象，写出该函数的两条性质． 20．在某次测试中小周投掷出的实心球所经过的路线是如图所示的抛物线，已知实心球出手时离地面，当实心球行进的水平距离为时实心球达到最大高度． (1)求实心球行进的高度与行进的水平距离之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围） (2)如果实心球测试的优秀成绩至少是，那么小周在这次测试中成绩是否能达到优秀？请说明理由． 21．如图．在一次足球比赛中，守门员在距地面1米高的P处大力开球，一运动员在离守门员6米的A处发现球在自己头上的正上方距离地面4米处达到最高点Q，球落到地面B处后又一次弹起．已知足球在空中的运行轨迹是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度为1米． (1)求足球第一次落地之前的运动路线的函数解析式及第一次落地点B与守门员（点O）的距离； (2)运动员（点A）要抢到第二个落点C，他应再向前跑多少米？（假设点O，A，B，C在同一条直线上，结果保留根号） 22．某公司开发一款与教育配套的软件，年初上市后，经历了从亏损到盈利的过程，变化过程可用如图所示的抛物线描述，它刻画了该软件上市以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系（即前t个月的利润总和S 与t之间的函数关系），根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)此软件上市第几个月后开始盈利? (2)求累积利润S（万元）与销售时间t（月）间的函数表达式； (3)第几个月公司的月利润为2.5万元? 23．已知抛物线顶点在轴负半轴上，与轴交于点，，为等腰直角三角形. （1）求抛物线的解析式 （2）若点在抛物线上，若为直角三角形，求点的坐标 （3）已知直线过点，交抛物线于点、，过作轴，交抛物线于点，求证：直线经过一个定点，并求定点的坐标. 24．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（x＋k）（x﹣k﹣1），其中k≠0 (1)若函数y1的图象经过点（3，4），求函数y1的表达式； (2)若一次函数y2＝kx＋b的图象与函数y1的图象经过x轴上同一点，探究实数k，b满足的关系式；若b随k的变化能取得最大值，证明：当b取得最大值时，抛物线y1＝（x＋k）（x﹣k﹣1）与x轴只有一个交点； (3)已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C D C A B B B 题号 11 12 答案 B A 1．B 【分析】本题考查了抛物线与的交点，二次函数的性质．令，求出二次函数图象与轴的交点即可判断A；把二次函数解析式化为顶点式即可判断B；令，解方程即可求出抛物线与轴的交点，即可判断C；根据抛物线解析式，由函数的性质即可判断D． 【详解】解：A、令，则， ∴图象与轴的交点坐标是， 故A正确，不符合题意； B、∵， ∴图象的顶点坐标是， 故B错误，符合题意； C、令，则， 解得，， ∴图象与轴的交点坐标是，， 故C正确，不符合题意； D、∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而减小， 故D正确，不符合题意． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，依题意画出函数和的图象草图，根据二次函数的图象可直接求解． 【详解】解：依题意，画出函的图象，如图所示． 函数图象为抛物线，开口向下，与x轴两个交点的横坐标分别为， 方程的两根是抛物线与直线的两个交点． 由，可知对称轴左侧交点横坐标为M，右侧为N． 由图象可知，， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，用列举法估算一元二次方程的近似解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据表格可知，当时，；当时，， ∴ 当时，一个解的范围是， 故选：． 4．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与x轴的交点，二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即是一元二次方程的根； 方程 (，a，b，c为常数)的根即是二次函数的图象与x轴交点的横坐标 【详解】解：函数的图象与x轴的交点就是方程的根， 函数的图象与x轴的交点的纵坐标为0； 由表中数据可知：在与之间， ∴对应的x的值在与之间，即 故选C． 5．D 【分析】根据二次函数的性质及与坐标轴的交点问题依次判断即可． 【详解】解：A、∵二次函数， 当时，， ∴与y轴交点坐标为，选项说法错误，不符合题意； B、 ∵对称轴为， ∴对称轴在y轴右侧，选项说法错误，不符合题意； C、当时，， ， ∴图象与x轴有两个交点，选项说法错误，不符合题意； D、∵，有最大值， 当时，， ∴顶点坐标为，y有最大值4，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数图象的顶点坐标，对称轴以及开口方向等，此题难度不大． 6．C 【详解】试题解析：∵当x=−3时，y=−3，结合图象可知y=−3为函数的最小值， ∴①y有最大值1，没有最小值，错误； ∵二次函数开口向下，且对称轴为x=−1， ∴当x<−1时，y随x的增大而增大， ∴②当−3<x<−1时，随着x增大而增大，正确； 令,则方程的根的个数与抛物线与直线的交点的个数一致， 结合图象可知当时，与抛物线有两个交点， ∴③方程有两个不相等的实数根，正确， ∴正确结论的个数是2， 故选C. 7．A 【分析】本题中已知了二次函数经过原点，即，由此可求出m的值，结合二次项系数m不能为0，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象经过原点， ， 或， 二次项系数不能为0， 所以． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数二次项系数不能为0是解题关键． 8．B 【分析】根据二次函数的图象与性质即可判断出每个结论的正误． 【详解】解：①抛物线与x轴有两个交点，则b2-4ac＞0，故4ac＜b2正确； ②对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（-1，0），则另外一个交点为：（3，0），所以方程的两个根是，，故②正确； ③当y＞0时，x的取值范围是-1＜x＜3，故③错误； ④从图象看当x＜0时，y随x增大而增大，故④正确； 因此，正确的结论有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等． 9．B 【分析】①根据抛物线的性质与图象判断、、的正负性，据此解答即可；②由抛物线与轴的另一个交点在点和之间，得，根据抛物线的对称轴可得，据此判断即可；③根的最大值是，可得抛物线与直线没有交点，则，据此判断即可；④分两种情况讨论求解即可；． 【详解】解：∵抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，抛物线开口向下， ∴，，抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴，抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∵抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴当时，， ∴， ∴，故②正确； ∵方程没有实数根，抛物线的顶点为， ∴抛物线与直线没有交点， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向下，图象上有两点和，对称轴为直线， ∴在对称轴的右侧， 当时， 在抛物线对称轴的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴， 当时， ∵， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， ∴，故④正确． 综上，可得正确结论的序号是：②③④． 故选∶B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质以及二次函数与一元二次方程的关系． 10．B 【分析】令，根据即可判断． 【详解】解：令为0， ∴， ∵， ∴二次函数（m为实数）的零点的个数是2， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键，当时，，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 11．B 【分析】把（m，0）代入y=x2﹣x﹣3可以求得m2﹣m=3，再将其整体代入所求的代数式进行求值即可． 【详解】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的一个交点为（m，0）， ∴m2﹣m﹣3=0， ∴m2﹣m=3， ∴m2﹣m+2017=3+2017=2020． 故选B． 【点睛】考查了抛物线与x轴的交点．二次函数图象上点的坐标都满足该二次函数的解析式． 12．A 【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向上时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，求出的取值范围，利用根与系数的关系，求出根的取值范围，进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数，， 对称轴为， ∴抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵时，y随x的增大而增大， ∴，解得：； 当时，， ∴抛物线与轴的一个交点坐标为：， 当时，，有一个根为：，设方程的另一个为：， 则：， ∴， ∵， ∴图象与x轴的交点坐标不可能是； 故选A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，以及一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 13．①②③ 【分析】根据二次函数的性质可知，然后把点代入抛物线解析式可知，则有结合二次函数的对称性可知①，进而可得②，根据二次函数的增减性可知③，最后根据抛物线与坐标轴有且只有两个公共点可得④． 【详解】解：由题意得：对称轴为直线， ∴， ∵抛物线经过点（﹣1，﹣1）， ∴， ∴， 由对称性可知，抛物线过点， ∴，故①正确； 由可知， ∴，化简得：，故②正确； ∵抛物线与坐标轴有且只有两个公共点， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，故③正确； ∵抛物线与坐标轴有且只有两个公共点， ∴或，即或， 解得：或；故④错误； 综上所述：正确的结论有①②③； 故答案为①②③． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 14．② 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点．根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对①进行判断；时，，可对②进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对③进行判断；根据抛物线与直线无交点，无交点，可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴时，，即， ∵， ∴，故②错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故③正确； ∵抛物线开口向下，顶点为， ∴函数有最大值n， ∴抛物线与直线无交点， ∴一元二次方程无实数根，故④正确． 故答案为：② 15．2022 【分析】利用抛物线与x轴的交点问题得到m2﹣m＝1，再把2m2﹣2m+2020变形为2（m2﹣m）+2020，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0）， ∴m2﹣m﹣1＝0， 即m2﹣m＝1， ∴2m2﹣2m+2020 ＝2（m2﹣m）+2020 ＝2×1+2020 ＝2022． 故答案为：2022． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，反过来，通过抛物线与x轴的交点坐标确定关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解． 16．， 【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点问题，根据抛物线的对称轴，确定抛物线与轴的两个交点的坐标，交点的横坐标就是方程的解． 【详解】二次函数的对称轴是 关于的对称点为 一元二次方程的解为， 故答案为，． 17．m＜﹣3． 【详解】试题分析：代数式2x2+4x+m与代数式3x2﹣2x+6的值不相等，即3x2﹣2x+6﹣（2x2+4x+m）=x2﹣6x+6﹣m≠0，令y=x2﹣6x+6﹣m，当△＜0时，y=x2﹣6x+6﹣m与x轴无交点，由此建立关于m的不等式，求解即可． 解：3x2﹣2x+6﹣（2x2+4x+m）=x2﹣6x+6﹣m， 令y=x2﹣6x+6﹣m， 当△=36﹣4（6﹣m）＜0时，y=x2﹣6x+6﹣m与x轴无交点，即x2﹣6x+6﹣m≠0， 解得m＜﹣3． 故答案为m＜﹣3． 考点：根的判别式． 18．(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数与x轴交点坐标，增减性，熟练掌握性质是解题的关键． （1）令，解方程即可． （2）计算出对称轴，确定抛物线的开口，结合函数的增减性，计算即可． 【详解】（1）解：∵， 令， 得， 解得， ∵点A在点B的左侧， ∴，． （2）解：∵． ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为，函数有最小值，且点与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵在的范围中， ∴y的最小值为； ∵， ∴时，函数取得最大值，且为， 故函数值的取值范围是． 19．（1）作图见解析；（2）3；（3）性质见解析． 【详解】试题分析：（1）用光滑的曲线连接即可得出结论； （2）根据函数y=x3-2x和直线y=-2的交点的个数即可得出结论； （3）根据函数图象即可得出结论． 试题解析：（1）补全函数图象如图所示， （2）如图1， 作出直线y=-2的图象， 由图象知，函数y=x3-2x的图象和直线y=-2有三个交点， ∴方程x3-2x=-2实数根的个数为3， （3）由图象知， 1、此函数在实数范围内既没有最大值，也没有最小值， 2、此函数在x＜-2和x＞2，y随x的增大而增大， 3、此函数图象过原点， 4、此函数图象关于原点对称． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象、图象法求一元二次方程的近似根等，根据题意正确作出函数的图象是解题的关键． 20．(1) (2)不能达到优秀，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）根据抛物线顶点坐标设出顶点式，再将抛物线与y轴交点坐标代入求解即可； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标，与优秀成绩标准进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意知，该抛物线经过点，顶点坐标为， 设该抛物线的解析式为， 将代入解析式，得：， 解得， 与的函数解析式为； （2）解：不能达到优秀，理由如下： 当时，， 解得，（舍去）， 小周在这次测试中成绩为， ， 小周在这次测试中成绩不能达到优秀． 21．(1)；米 (2)米 【分析】（1）由条件可以得出，设抛物线的解析式为，由待定系数法求出其解即可；当时代入解析式，求出x的值即可得第一次落地点B和守门员（点O)的距离； （2）设第二次抛物线的顶点坐标为，抛物线的解析为，求出解析式，就可以求出OC的值，进而得出结论． 【详解】（1）解：设足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为，根据其顶点为，过点得 ， 解得：， ∴． 当时，， 解得：（舍去）或， ∴足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为，第一次落地点B和守门员（点O)的距离为米； （2）设第一次落地之后的运动路线的函数表达式为，由题意可知： ， ∴ 解得：或（舍去）， ∴． 当时， ． 解得：或（舍去）． ∴运动员（点A）要抢到第二个落点C的距离为： （米）． ∴他应再向前跑米． 【点睛】本题考查了运用顶点式及待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是解题的关键． 22．(1)4个月后 (2) (3)第5个月 【分析】此题考查了二次函数、一元二次方程实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可． （1）由图象可得，该种软件上市第4个月后开始盈利； （2）设利用待定系数法即可解决问题； （3）构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：由图象可得， 该种软件上市第 4个月后开始盈利； （2）设， ∵函数图象过点， ∴，得， ∴累积利润（万元）与时间（月）之间的 函数表达式是：； （3）由题意，当时，， 解得，，（舍去）， 即截止到5月末，公司累积利润达到2.5万元． 23．（1）；（2）或；（3）（-1,4） 【分析】（1）先求出顶点坐标与y轴交点坐标，根据顶点式求二次函数解析式； （2）根据直角三角形的判定定理找出△ABC为直角三角形，分三种情况：当A为直角顶点时，AC⊥AB；当B为直角顶点时，BC⊥AB；当C为直角顶点，分别确定点C的坐标； （3）根据二次函数与方程的关系求解． 【详解】（1）∵OB=1，点B在y轴的正半轴上， ∴B（0，1）， ∵△OAB为等腰直角三角形， ∴OA=OB=1， ∵顶点A在x轴负半轴上， ∴顶点A（-1，0）， ∴设y=a(x+1)2, 把B（0，1）代入得 1=a×(0+1)2, ∴a=1, ∴, （2）当A为直角顶点时，AC⊥AB， 设直线AB解析式为y=mx+n， ∵B（0，1），A（-1，0）， ∴, ∴, ∴直线AB解析式为y=x+1， ∵AC⊥AB， ∴直线AC解析式为y=-x-1， 联立得, 解得：，, ∴C（-2，1）. 当B为直角顶点时，BC⊥AB， ∵直线AB解析式为y=x+1， ∴直线BC解析式为y=-x+1， 同理可得C（-3，4）， 当C为直角顶点不存在 . 综上所述点C坐标为（-2，1）或（-3，4）， （3）设DE的解析式为， 联立， ∴， 得：， ∵D，E关于对称轴对称， 所以， 设EF的解析式为联立， ， 得， ， 联立①②③④得n=m+4， 所以，过定点（-1，4）， 即直线EF经过一个定点，定点的坐标为（-1，4）． 【点睛】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，直角三角形的性质．熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数解析式，分类讨论及方程思想是解题的关键． 24．(1) (2)实数k，b满足的关系式为或；证明见解析 (3) 【分析】（1），将代入解得，进而可得函数的表达式； （2）由可知与x轴的交点坐标为，，当交点为时，，即；当交点为时，，即；由b随k的变化能取得最大值，可知实数k，b满足的关系式为，求出b取得最大值时的值，代入二次函数中，求出判根公式的值然后与零比较，进而可证结论； （3）由可得对称轴为直线，可知关于对称轴的点坐标为，由m＜n，二次函数的图象与性质可求的取值范围． 【详解】（1）解： 将代入得 解得： ∴函数的表达式为． （2）解：由可知与x轴的交点坐标为， ∵一次函数与的图象经过x轴的同一点 当交点为时，，即； 当交点为时，，即； 综上所述，实数k，b满足的关系式为或． 证明：∵b随k的变化能取得最大值 ∴实数k，b满足的关系式为 ∴ ∵ ∴当时，b能取得最大值 ∴ ∴ ∴当b取得最大值时，抛物线y1＝（x＋k）（x﹣k﹣1）与x轴只有一个交点． （3）解：∵ ∴对称轴为直线 ∴关于对称轴的点坐标为 ∵m＜n， ∴由二次函数的图象与性质可知 ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，二次函数与x轴的交点坐标等知识．解题的关键在于对二次函数知识的熟练掌握与灵活运用． 学科网（北京）股份有限公司 $$