2.5等腰三角形的轴对称性同步练习 2024-2025学年苏科版数学八年级上册

2.5等腰三角形的轴对称性 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（    ） A．过顶点的直线 B．腰上的中线所在的直线 C．腰上的高线所在的直线 D．顶角的平分线所在的直线 2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC于点E，过点E作EFAC，分别交AB、AD于点F、G则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF；③∠BAE＝∠BEA；④∠B＝2∠AEF，其中正确的有（   ） A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 3．如图，中，，的平分线与的垂直平分线交于点将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在等腰三角形纸片中，，，折叠该纸片，使点落在点处，折痕为，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，是的外角内的一条射线，过点A作，垂足为F，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．已知等腰三角形的一边等于3，一边等于7，那么它的周长等于（     ） A．13 B．13或17 C．17 D．14或17 7．如图，在中，，，是腰上的高，则的长（     ） A． B． C． D． 8．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边为（    ） A． B． C．或 D． 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，按如下步骤作图：以点A为圆心、适当长度为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N；分别以点M、N为圆心、大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点F，连接AF并延长，交BC于点E．下列结论不一定成立的是（    ） A．∠ABC＝∠ACB B．BE＝CE C．AE⊥BC D．∠BAE＝∠B 10．已知一等腰三角形的腰长为3，底边长为2，底角为α．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是 （ ）． A．两条边长分别为2，3，它们的夹角为α B．两个角是α，它们的夹边为2 C．三条边长分别是2，3，3 D．两条边长是3，一个角是α 11．已知的周长为，且于的周长为，则的长为（　　） A．6 B．8 C．1 D．2 12．如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．在上找一点，使得，若，则的度数为（  ） A． B． C． D．无法确定 二、填空题 13．如图，在中，AE是BC边上的中线，过点C作，交AE的延长线于点D，连结BD．若，的面积为10，则的面积为 ． 14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，点D为AB边上一点且不与A、B重合，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，直线CE与直线AB相交于点F．若∠A=α，当△DEF为等腰三角形时，∠ACD= ．（用α的代数式表示∠ACD） 15．如图，是一张顶角为的三角形纸片，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为 ．    16．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列结论：①是的平分线；②；③点在的垂直平分线上；④．其中结论正确的序号 ． 17．如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．    三、解答题 18．已知a，b，c是△ABC的三边长． （1）若a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）＝0，试判断△ABC的形状； （2）化简：|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|． 19．如图，在△ABC中，，． （1）尺规作图：作边AB的垂直平分线交BC于点D（要求：保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，连接AD，AE是∠BAC的角平分线，求∠DAE的度数． 20．专注基本图形： 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形如图1，在中，，，直线经过点，作直线，直线，垂足分别为点，．并进一步证明方法如下：    ∵， ∴， ∵直线，直线， ∴， ∴ 在和中， ∴ ∴，， ∴ 探究问题解决： (1)组员小明想，如果三个相等的角不是直角，那么上述结论是否会成立呢？如图，将上述条件改为：在中，，，，三点都在直线上，且．请判断是否成立，并说明理由． (2)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决新问题．如图，，是直线l上的两动点（，，三点均在直线上且互不重合），点为的角平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，，．若，请说明． 21．如图，一条船上午6时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午8时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得，．    (1)求海岛B到灯塔C的距离； (2)若这条船继续向正北航行，问上午几时小船与灯塔C的距离最短？ 22．某天上午9时，一艘轮船从A处出发，以每小时20海里的速度自东向西航行，11时到达B处，分别从A，B处望向灯塔C，测得，，求B处到灯塔C的距离． 23．已知：如图，，，连结． （1）求证：． （2）若，，求的长． 24．已知：如图，在中，是边上的高，是上一点，连接，点分别是的中点，且．求证：．    参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D B B C B B D D 题号 11 12 答案 C B 1．D 【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质，可得出答案． 【详解】解：等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线所在直线，底边高所在的直线，底边中线所在直线， A、过顶点的直线，错误． B、腰上的中线所在的直线，错误． C、腰上的高线所在的直线，错误． D、顶角的平分线所在的直线，正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称即对称轴的定义． 2．A 【分析】①正确，证明即可；②错误，如果，则结论成立，无法判断，故错误；③正确，利用三角形的外角的性质，角的和差定义即可解决问题；④正确，证明即可解决问题． 【详解】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∴∠C+∠CAD=90°， ∵∠BAD=∠C， ∴∠BAD+∠CAD=90°， ∴∠CAB=90°，故①正确， ∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠DAE=∠CAE，∠BAD=∠C， ∴∠BAE=∠C+∠CAE=∠BEA，故③正确， ∵EFAC， ∴∠AEF=∠CAE， ∵∠CAD=2∠CAE， ∴∠CAD=2∠AEF， ∵∠CAD+∠BAD=90°，∠BAD+∠B=90°， ∴∠B=∠CAD=2∠AEF，故④正确， 无法判定EA=EC，故②错误． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．D 【分析】如图所示，连接，根据等腰三角形的性质可求出的度数，根据角平分线的性质可求出的度数，根据垂直平分线的性质，可得，可证，可得是等腰三角形，可求出的度数，根据折叠的性质可得，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∴， ∵将沿折叠， ∴，即是等腰三角形， ∴， ∴在中，， 故选：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质等知识的综合，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键． 4．B 【分析】根据折叠的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ . 由题意得： ， ∴ ∴. 故选B. 【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其应用问题；解题的关键是牢固掌握翻折变换的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点． 5．B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，再根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6．C 【详解】因为等腰三角形的两边分别为3和7，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 解：当3为底时，其它两边都为7，7、7、3可以构成三角形，周长为17； 当7为底时，其它两边都为3，因为3+3=6＜7，所以不能构成三角形，故舍去． 所以它的周长等于17． 故选C． 点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 7．B 【分析】根据三角形外角的性质得，再利用含角的直角三角形的性质可得的长． 【详解】解：，， ， ， 是腰上的高， ， ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识，求出是解题的关键． 8．B 【分析】分4cm是底边和腰长两种情况讨论，再利用三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形． 【详解】解：①4cm是底边时，腰长为×（16-4）=6，能组成三角形， ②4cm是腰长时，底边为16-2×4=8， ∵4+4=8， ∴不能组成三角形， 综上所述，该等腰三角形的底边长为6cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的任意两边之和大于第三边的性质，难点在于分情况讨论． 9．D 【分析】根据作图可知AF是∠BAC的角平分线，再根据等腰三角形的性质逐项判断即可． 【详解】根据作图可知AF是∠BAC的角平分线， ∵AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴AE⊥BC，BE=EC，∠ABC=∠ACB，即可知A、B、C选项正确， D选项则不一定正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图以及等腰三角形的性质等知识，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． 10．D 【详解】试题分析：对于D选择，两条边为腰长，但是角度有可能为顶角，也可能为底角． 考点：三角形全等的判定． 11．C 【分析】根据等腰三角形的性质得到为的中点，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，， 所以为等腰三角形， 又，即为的中点， 的周长是， ，即， ∴ 的周长是， ， cm． 故选：C． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 12．B 【分析】由得，再由三角形内角和定理（三角形三个内角和等于180°）依次求出、度数；根据题目中尺规作图步骤，可知BG为的角平分线，即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查尺规作图画角平分线、三角形内角和定理、等腰三角形性质等知识点，熟练掌握角平分线的尺规作图步骤是解题关键． 13．30 【分析】作BF⊥AE于点F，先证明△BEF≌△CED，则BF= CD，FE= DE，由AB = BD得AF= DF，设FE=DE=m，BF=CD=n，则AF= DF= 2FE= 2m，AE= 3m．根据S△BCD = 10求出mn的值，再用含mn的式子表示S△ABC，从而求出△ABC的面积． 【详解】解：如图，作BF⊥AE于点F， ∵CD⊥AE， ∴BFE=CDE=90°， ∵AE是BC边上的中线， ∴BE=CE， 在△BEF和△CED中， ∴△BEF ≌△CED（AAS）， ∴FE=DE，BF=CD， ∵AB = BD， ∴BF= DF， 设FE=DE=m，BF=CD=n，则AF= DF= 2FE= 2m， ∴AE=AF＋FE= 3m， ∵=DEBFDECD= 且=10， ∴， ∴ ∴=30． 故答案为：30． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，作BF⊥AE于点F构造全等三角形是解题的关键． 14．或或 【分析】若为等腰三角形，则，根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】解：由翻折的性质可知，， 如图1， 当时，则， ，， ， ， 当时，为等腰三角形， 故答案为． 当时，； ， ， ，； ， ， 如图2， 当时，； ，， ； 当或或时，为等腰三角形， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质以及三角形内角和定理． 15．2 【分析】根据折叠的性质，，又，可知，根据所对的直角边等于斜边的一半，可知． 【详解】解：∵， ∴， 根据折叠的性质，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、等腰三角形的性质以及30°所对的直角边等于斜边的一半，熟悉折叠的性质是解决问题的关键． 16．①②③④． 【分析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论； ②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30°， 根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°； ③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论； ④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=AD，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：①连接NP，MP， 在△ANP与△AMP中，， ∴△ANP≌△AMP（SSS）， 则∠CAD=∠BAD， 故AD是∠BAC的平分线，故①正确； ②∵，，∴， ∵平分，∴， ∴， 因此，②正确； ③∵，， ∴ ∴， ∴点在的垂直平分线上，故③说法正确； ④∵在Rt△ACD中，∠2=30°， ∴CD=AD， ∴BD=AD=2CD ∴，故④正确 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键． 17．1 【分析】当点D落在上时，如图，，根据等边三角形，是等边三角形，证明，进而可得x的值． 【详解】解：设点P的运动时间为，由题意得， ，    ∵， ∴， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键． 18．（1）等腰三角形；（2） 【分析】（1）根据题意可得或者，进而可以判断三角形的形状； （2）根据三角形的三边关系可得，进而化简绝对值即可 【详解】（a﹣b）（b﹣c）＝0， 或者， △ABC是等腰三角形 （2）a，b，c是△ABC的三边长， |a+b﹣c|+|b﹣c﹣a| |a+b﹣c|+|b﹣（c+a）| 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，掌握以上知识是解题的关键． 19．（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据尺规作图，作出边AB的垂直平分线即可； （2）先求解，再求解，，再利用角的和差可得答案. 【详解】解：（1）分别以为圆心，以大于为半径，画弧，交于两点，连接，交BC于点D，如下图： （2）为线段的垂直平分线 ∴ ∴ 又∵， ∴ 又∵平分 ∴ ∴ 故答案为 【点睛】此题考查了尺规作图（垂直平分线），垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 20．(1)成立，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，即可． （1）根据，，，则，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，，即可； （2）根据等边三角形的性质，则，，根据三角形角的数量关系，则，根据全等三角形的判定和性质，推出，；根据全等三角形的判定和性质，，即可． 【详解】（1）解：成立，理由如下： ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （2）解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 21．(1)海岛B到灯塔C的距离为30海里 (2)上午9时小船与灯塔C的距离最短 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，读懂题意并添加合适的辅助线是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质，得，那么，故海里； （2）过点C作于点P，根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离．根据三角形内角和定理，得．根据含30度角的直角三角形的性质，在中，，求出，从而解决此题． 【详解】（1）解：由题意得：（海里）， ∵，， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴海岛B到灯塔C的距离为30海里； （2）如图，过点C作于点P，    ∴根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离，， 又∵， ∴， 在中，， ∴（海里）， ∴（小时）， 则（时）， 故上午9时小船与灯塔C的距离最短． 22．B处到灯塔C的距离为海里． 【分析】本题主要考查的知识点是方向角的相关问题，三角形外角的性质，以及等腰三角形性质，根据题意算出，再利用外角知识判断出为等腰三角形，即可解题． 【详解】解：由题知，（海里）， ，， ， ， 海里， B处到灯塔C的距离为海里． 23．（1）详见解析；（2） 【分析】（1）用HL证明全等即可； （2）根据得到∠BAC=60°，从而证明△ABC为等边三角形，即可求出BC长. 【详解】（1）证明：∵ ∴ 又∵， 在和中 ∴； （2）由（1）可知， ∴，， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题是对三角形全等的综合考查，熟练掌握全等三角形及等边三角形知识是解决本题的关键. 24．见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定方法，证明时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即直角三角形的外心位于斜边的中点．先根据直角三角形的性质，得到，再根据等腰直角三角形的性质，得到，最后判定即可． 【详解】证明：是边上的高，点、分别是、的中点， ，， ， ， ，是边上的高， ， ， ， 在和中， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$