精品解析：山东省泰安第二中学2025届高三上学期11月期中考试数学试题

泰安二中高三上学期期中考试模拟数学试题 考试时间：120分钟，分值：150分 一､单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，若，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将代入方程求出，再求集合即可. 【详解】由可知， 当时，，解得：或，即. 故选：B 2. 已知数列首项为2，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知的递推公式，利用累加法可求数列通项. 【详解】由已知得，，则当时，有 ， 经检验当时也符合该式．∴. 故选：D 3. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】切化弦，通分即可求解. 【详解】因为，因为，所以. 故选：A. 5. 函数在区间的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用奇偶函数的定义判断奇偶性，可排除A，B，再利用结合选项C和D的图象，即可求出结果. 【详解】当时，， 所以是奇函数，因此的图象关于原点对称，故可以排除A，B； 又，排除D. 故选：C. 6. 已知函数，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造，求导得到其单调性，得到，结合的奇偶性和单调性，，得到大小关系. 【详解】是偶函数，在上单调递增， 令，则，函数在上单调递减， 故， 即，而， 所以， ∴． 故选：B 【点睛】方法点睛： 构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小 7. 已知函数，其中，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，再利用对数运算法则求得，利用裂项相消法求和即得. 【详解】函数，由，得 ，， 因此，， 所以. 故选：A 8. 设函数，若，则a的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数性质判断在不同区间的符号，在结合二次函数性质得为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值. 【详解】函数定义域为，而，，， 要使，则二次函数，在上，在上， 所以为该二次函数的一个零点，易得， 则，且开口向上， 所以，只需，故a的最小值为. 故选：B 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设为实数，且，则下列不等式正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由不等式的性质逐个判断即可. 【详解】，所以，A正确， 取，满足，显然不成立，B错误； 取，满足，显然不成立，C错误； ，得，又，得， 所以，所以，D正确， 故选：AD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐次判断各选项即可得到结论． 【详解】由函数的部分图象可知：， 又因为，即结合函数的单调性可得 ,故A错误； 即所以, 故B正确； 所以． 对于选项C：当时，可得， 所以的图象关于直线对称， 故C正确； 对于选项D： 当时，， 所以，即，故D错误； 故选：BC． 11. 定义在R上的偶函数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用特殊值及偶函数性质判断A；根据已知条件得、判断B、C；根据函数的性质，举反例判断D. 【详解】由，令，则， 又为偶函数，则，A对； 由上，得①， 在①式，将代换，得②，B错； 在②式，将代换，得，C对； 由且，即周期为2且关于对称， 显然是满足题设的一个函数，此时，D错. 故选：AC 三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 在数列中，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】判断出数列的周期性，进而求得 【详解】， ， 所以数列是周期为的周期函数， ，所以. 故答案为： 13. 已知函数，且.若两个不等的实数满足且，则_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简的解析式，再由题意可得函数关于对称，且最小正周期，即可求出的值，从而得到，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得． 【详解】因为，其中， 由，可得关于对称， 又两个不等的实数满足且， 所以的最小正周期，又，所以，解得， 所以， 所以，则， 所以 . 故答案为： 14. 已知，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，，通过指数式与对数式互化用表示出，再借助基本不等式进行求解即可. 【详解】令，，则，， ， 令，，则，当且仅当，即时等号成立， ，即. 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的最小正周期为. （1）求图象的对称轴方程； （2）将图象向右平移个单位长度得到函数，求函数在上的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式及诱导公式，可得函数的解析式，进而求出函数的对称轴的方程； （2）由函数的平移可得的解析式，再由自变量的范围，求出函数的值域． 【小问1详解】 ， ，所以函数的最小正周期，可得， 所以， 可得对称轴满足的条件，， 即对称轴方程为，； 【小问2详解】 由（1）可得， 因为,， 所以,， 所以,， 所以的值域为． 16. 已知数列为等差数列，，数列满足，且． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，求证：． 【答案】（1）； （2）证明：因为， 所以 ， 因为，所以， 因为，所以，故数列单调递增， 当时，， 所以． 【解析】 【分析】（1）求出的值，可求得等差数列的公差，进而可求得数列的通项公式，再由前项和与通项的关系可求得的表达式，可求得，然后对是否满足在时的表达式进行检验，综合可得出数列的通项公式； （2）求得，利用裂项求和法可求得的表达式，利用不等式的性质和数列的单调性可证得所证不等式成立. 【小问1详解】 因为，，所以， 因为，，所以， 设数列公差为，则，所以， 当时，由， 可得， 所以，所以， 因为满足，所以，对任意的，． 【小问2详解】 略 17. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边换角，再通过三角恒等变换得，则得到的大小； （2）利用正弦定理得到，再根据关系减少变量，最后利用三角恒等变换和三角函数的性质即可得到最大值. 【小问1详解】 ∵， 由正弦定理得， ，即， 所以， ∵，∴，∴， ∵，∴； 【小问2详解】 由正弦定理，得， ∴ ， 又∵，为锐角，∴的最大值为， ∴的最大值为. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有两个极值点，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可得出结果； （2）求出，可得，化简，构造函数，利用单调性即可求得答案. 【小问1详解】 ， 曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 ， 则函数的定义域为， 若函数有两个极值点，且． 则方程的判别式，且， ． ． 设， 则在上恒成立． 故在单调递减，从而． 因此，的取值范围是． 19. 已知为实数，用表示不超过的最大整数，例如，对于函数，若存在，使得，则称函数是“函数”. （1）判断函数是否是“函数”； （2）设函数是定义在上的周期函数，其最小正周期是，若不是“函数”，求的最小值； （3）若函数是“函数”，求的取值范围. 【答案】（1）是“函数”，不是“函数” （2）1 （3），且 【解析】 【分析】（1）根据“函数”的定义即可判断是否是“函数”. （2）根据周期函数的定义，结合“函数”的条件，进行判断和证明即可. （3）根据“函数”的定义，分别讨论，和时，满足的条件即可. 【小问1详解】 函数是函数，设， 则， 所以存在，使得，所以函数是“函数”. 函数，函数的最小正周期为，函数的图象如图所示， 不妨研究函数在这个周期的图象. 设，则， 所以， 所以函数不是“函数”. 【小问2详解】 因为是以为最小正周期的周期函数，所以. 假设，则，所以，矛盾. 所以必有. 而函数的周期为1，且显然不是函数. 综上所述，的最小值为1. 【小问3详解】 当函数是“函数”时， 若，则显然不是函数，矛盾. 若，则， 所以在上单调递增， 此时不存在，使得， 同理不存在，使得， 又注意到，即不会出现的情形， 所以此时不是函数. 当时，设，所以， 所以有，其中， 当时，因为，所以， 所以， 当时，， 因为，所以， 所以. 综上所述，，且. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰安二中高三上学期期中考试模拟数学试题 考试时间：120分钟，分值：150分 一､单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，若，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列首项为2，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数在区间的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，其中，记，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若，则a的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设为实数，且，则下列不等式正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 11. 定义在R上的偶函数，满足，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 在数列中，，则_________. 13. 已知函数，且.若两个不等的实数满足且，则_____________. 14. 已知，则的最小值为______． 四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的最小正周期为. （1）求图象的对称轴方程； （2）将图象向右平移个单位长度得到函数，求函数在上的值域. 16. 已知数列为等差数列，，数列满足，且． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，求证：． 17. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）已知，求的最大值. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有两个极值点，且，求的取值范围． 19. 已知为实数，用表示不超过的最大整数，例如，对于函数，若存在，使得，则称函数是“函数”. （1）判断函数是否是“函数”； （2）设函数是定义在上的周期函数，其最小正周期是，若不是“函数”，求的最小值； （3）若函数是“函数”，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $