精品解析：安徽省合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年第一学期期中联考 高一年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题学校：合肥七中 命题教师：李歆辉 审题教师：韩莹 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集运算求解. 【详解】由题可知，，所以. 故选：C. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】判断充分必要条件需要既要判断充分性也要判断必要性. 【详解】当时，或，则不满足充分性； 当时，成立，则满足必要性， ∴“”是“”的必要不充分条件 故选：B 3. 下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合同一函数的定义，结合定义域和对应关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数和的定义域都是，对应关系也相同，是同一个函数，故A符合题意； 对于B中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故B不符合题意； 对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故C不符合题意； 对于D中，函数与的定义域不同，故D不符合题意. 故选：A. 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数性质以及中间量“1”即可比较大小. 【详解】根据指数函数性质知，即， 又因为，则. 故选：D. 5. 已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得. 【详解】由是上的增函数，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 6. 已知且，且，若函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数为偶函数，有，代入函数解析式，化简得恒成立，则有． 【详解】由题意可知，，即， 所以，因为，所以恒成立，所以． 故选：B. 7. 已知函数，设，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性情况，及分段函数在每段内的最值情况可得与的取值范围及与间关系，进而可得，利用换元法可得取值范围. 【详解】由，易知函数在和上分别单调递增， 所以， 又当时，， 因为， 则，，即，， 又，所以， 所以， 设，则，， 所以， 故选：C. 8. 设函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A. 1 B. C. D. - 【答案】A 【解析】 【分析】当时，由一次函数单调性可知无最小值，不合题意；当时，结合二次函数性质可知，满足题意；当和时，根据函数存在最小值可确定分段处的函数值的大小关系，由此解得的范围；综合所有情况即可得到的最大值. 【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意； 当时，， 当时，，又时，， 存在最小值，满足题意； 当时，在，上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，解得：，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，不等式无解； 综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 图中阴影部分用集合表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据交集、补集以及图象等知识来确定正确答案. 【详解】根据图象可知，阴影部分表示的集合是， 所以AB选项正确、C选项错误. 而，不符合题意，D选项错误. 故选：AB 10. 若，，且，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本不等式分析的最值即可. 【详解】对AB，，，且， ，即，当且仅当时取等号， ，故A正确B错误； 对CD，，当且仅当时取等号，故. 故C错误D正确. 故选：AD 11. 已知函数满足：①对任意，；②若，则.则（ ） A. 的值为2 B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，令，结合“若，则”即可判断；对于B，由基本不等式相关推理结合即可判断；对于C，令得，，由此即可判断；对于D，令，即可判断. 【详解】对于A，令，得，解得或， 若，令，得，即， 但这与②若，则矛盾， 所以只能，故A正确； 对于B，令，结合得，， 解得或， 又，所以， 所以只能，故B正确； 对于C，若，令得，， 所以，所以， 所以，故C正确； 对于D，取， 则 且单调递增， 满足，但，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：判断D选项的关键是构造，由此即可证伪. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是__________. 【答案】， 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解即可. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故答案为：， 13. 若函数是R上的奇函数，且在上是增函数，又，则的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性得到当或时，，当或时，，从而得到不等式的解集. 【详解】因为为R上的奇函数，则，在上是增函数，则在上也单调递增， 又，故， 当或时，，当或时，， 故当时，，满足， 当时，，满足， 综上，的解集为. 故答案为： 14. 已知，是正实数，且关于，的方程有解，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先由得，由基本不等式进而可得. 【详解】因，是正实数及，可知， 可得，得，得， 因，是正实数，故，得，当且仅当时等号成立， 故，故， 故，故， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据并集和补集的概念计算； （2）根据，可以知道两个集合数轴上表示，要有公共部分，比较端点即可. 【小问1详解】 因为 所以，所以或 【小问2详解】 因为，且，即集合数轴表示要有公共部分， 所以，即的取值范围是. 16. 如图所示，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形）．使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知米，米，且． （1）设米（），求出四边形的面积关于的表达式； （2）为使绿地面积不小于空地面积的一半，求长的最大值． 【答案】（1） （2）100 【解析】 【分析】（1）根据矩形与三角形的面积公式计算，即可; （2）解一元二次不等式即可. 【小问1详解】 设米，则， ，， 即； 【小问2详解】 若绿地面积不小于空地面积的一半，则，即 解得，故AE的长的最大值为100米. 17. 幂函数为偶函数，. （1）求的解析式； （2）若对于恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据幂函数定义得到或，再根据为偶函数判断即可； （2）由题意得对于恒成立，再分类讨论，结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为幂函数为偶函数， ∴，解得或， 当时，，定义域为， ，所以为偶函数，符合题意； 当时，，定义域为， ，所以为奇函数，不合题意， 综上， 【小问2详解】 因为， 所以对于恒成立，即对于恒成立， 当时，得恒成立，则； 当时，得， ，当且仅当时等号成立，故， 当时，得， ， 当且仅当时等号成立，故， 综上，. 18. 已知函数，其中是奇函数. （1）求a的值； （2）判断的单调性并用定义证明； （3）当时，恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】（1） （2）在和上为减函数，证明见解析 设上的任意，，且， 由； ， ，，则. 故，在上为减函数. 当时，，， 则，在上也为减函数. 综上有在和上为减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇函数，满足，列式求解； （2）设和上的任意，，且，分析的正负证明即可； （3）根据函数是奇函数，结合单调性化简不等式得，再讨论得到取值，求解的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，因为函数是奇函数，所以， ，则，则， 故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，由（2）可得在和上是严格减函数， 且当时，；当时，； 由可得：，， 当时，， 当时，，所以，即，又，所以； 当时，，则，而，，则满足题意； 函数的定义域，则时不符，舍去. 综上. 19. 设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，，使得，则称A为“等差集”． （1）若集合，，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B； （2）若集合是“等差集”，求m的值； （3）已知正整数，证明：不是“等差集”． 【答案】（1） 或或 （2） （3）证明:假设是“等差集”， 则存在,成立， 化简可得, 因为,所以, 所以与集合的互异性矛盾， 所以不是“等差集”． 【解析】 【分析】（1）根据等差集的定义结合子集的定义求解即可； （2）根据等差集定义应用，即逐个计算判断即可； （3）应用反证法证明集合不是等差集. 【小问1详解】 因为集合，，存在3个不同的元素a，b，，使得， 则或或. 【小问2详解】 因为集合是“等差集”， 所以或或, 计算可得或或或， 又因为正整数,所以. 【小问3详解】 略. 【点睛】方法点睛：解题方法是定义的理解，应用反证法设集合是等差集，再化简计算得出矛盾即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年第一学期期中联考 高一年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题学校：合肥七中 命题教师：李歆辉 审题教师：韩莹 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知且，且，若函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，设，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A. 1 B. C. D. - 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 图中阴影部分用集合表示正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若，，且，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数满足：①对任意，；②若，则.则（ ） A. 的值为2 B. C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是__________. 13. 若函数是R上的奇函数，且在上是增函数，又，则的解集是__________. 14. 已知，是正实数，且关于，的方程有解，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）求； （2）若，求的取值范围. 16. 如图所示，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形）．使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知米，米，且． （1）设米（），求出四边形的面积关于的表达式； （2）为使绿地面积不小于空地面积的一半，求长的最大值． 17. 幂函数为偶函数，. （1）求的解析式； （2）若对于恒成立，求的取值范围. 18. 已知函数，其中是奇函数. （1）求a的值； （2）判断的单调性并用定义证明； （3）当时，恒成立，求实数t的取值范围. 19. 设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，，使得，则称A为“等差集”． （1）若集合，，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B； （2）若集合是“等差集”，求m的值； （3）已知正整数，证明：不是“等差集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $