专题10 整式的乘法【十一大题型】-2024-2025学年八年级数学提优专题训练及试卷测试（人教版）

专题10 整式的乘法【十一大题型】（原卷版） 【人教版】 【题型 1 利用整式乘法求值】 1 【题型 2 利用整式乘法解决不含某项问题】 1 【题型 3 利用整式乘法解决错看问题】 2 【题型 4 利用整式乘法解决遮挡问题】 3 【题型 5 整式乘法的计算】 3 【题型 6 整式乘法的应用】 3 【题型 7 整式除法的运算与求值】 4 【题型 8 整式除法的应用】 5 【题型 9 整式乘法中的新定义问题】 6 【题型 10 整式乘法中的规律探究】 7 【题型 11 整式乘法与面积的综合探究】 8 【例1】（2022春•靖江市期中）若（x﹣1）（x+b）＝x2﹣ax+3，则2a﹣b的值为 　 　． 【变式1-1】（2024春•姜堰区期中）（1）求x的值：2x•43﹣x•81+x＝32； （2）已知x2﹣3x﹣1＝0，求代数式（x﹣1）（3x+1）﹣（x+2）2+5的值． 【变式1-2】（2020秋•渝北区月考）如果a、b、m均为整数，且（x+a）•（x+b）＝x2+mx+15，则所有的m的和为　 　． 【变式1-3】（2024春•武侯区月考）根据下列要求求值． （1）已知ax＝2，ay＝3，求a2x+y的值． （2）将（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开的结果不含x3和x2项，求m+2n的值． 【例2】（2023秋•惠安县期中）如果（y+3）（2y+m）的乘积中不含y的一次项．则m的值为 　 　． 【变式2-1】（2020秋•安岳县期末）已知a为任意实数，有多项式M＝x2+3ax+6，N＝x+3，且MN＝A，当多项式A中不含2次项时，a的值为（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1 【变式2-2】（2021秋•铁东区期中）若（x2+3mx）（x2﹣3x+n）的积中不含有x与x3项． （1）直接写出m、n的值，即m＝　 ，n＝　 ； （2）求代数式（﹣m2n）3+（9mn）2+（3m）2014n2016的值． 【例3】（2022秋•万州区期末）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：（3x+a）（2x+b）．甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的结果为6x2﹣13x+6；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为3x2﹣7x﹣6． （1）求正确的a、b的值． （2）计算这道乘法题的正确结果． 【变式3-1】小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），则正确的结果是（　　） A．3x2﹣7xy+2y2 B．3x2+7xy+2y2 C．3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3 D．3x3﹣13x2y+16xy2+4y3 【变式3-2】（2024秋•云县期末）在计算（x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果x2+x﹣6．你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数） 【变式3-3】（2024秋•宝山区月考）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．则（﹣2a+b）（a+b）的值为 　 　． 【例4】（2023春•竞秀区期末）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（　　） A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3 D．﹣10xy 【变式4-1】（2022秋•平乡县期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（　　） A．9x2 B．﹣9x2 C．9x D．﹣9x 【变式4-2】（2023秋•岳麓区期中）已知x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n），其中m、n是被墨水弄脏了看不清楚的两处，请求出m2+6mn+9n2的值． 【变式4-3】今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3　 　﹣3x2y，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写　 　． 【例5】（2024秋•思明区期中）计算： （1）x•2x+x（x﹣2） （2）（m+1）（m﹣5）﹣m（m﹣6） 【变式5-1】（2022秋•思明区期中）先化简再求值：x（x+2）+（1+x）（1﹣x），其中x＝﹣2． 【变式5-2】（2023秋•南通期末）计算 （1）2x（3x2﹣4x+1）﹣3x2（2x﹣3）； （2）（2ab2c﹣3）﹣2•（a﹣2b）3； （3）（2x+5）（2x﹣5）﹣（x+1）（x﹣4）； 【例6】（2020秋•海沧区期中）长方形的长和宽分别是a厘米、b厘米，如果长方形的长和宽各减少2厘米． （1）新长方形的面积比原长方形的面积减少了多少平方厘米？ （2）如果减少的面积恰好等于原面积的，试确定（a﹣6）（b﹣6）的值． 【变式6-1】（2020秋•下城区期中）用长为24米的木条，做成一个“目”字形的窗框（如图，窗框外沿ABCD是长方形），若窗框的横条长度都为x米． （1）用代数式表示长方形ABCD的面积． （2）当x＝3时，求出长方形ABCD的面积． 【变式6-2】（2024秋•锡山区期中）如图，四边形ABCD是边长为8cm的正方形，点G在线段CD上，三角形ECG为等腰直角三角形，CG＝CE＝a（cm），连接AE． （1）用含a的整式表示三角形ABE的面积； （2）用含a的代数式表示阴影部分面积，并求出当a＝6时，阴影部分面积是多少平方厘米？ 【变式6-3】（2024•邯郸二模）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去m2，同时B区就会自动加上2m，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是4和﹣8，如图． 例如：第一次按键后，A，B两区分别显示： （1）从初始状态按2次后，若A区、B区的代数式的值相等，求m的值； （2）已知m≠1，从初始状态按4次后，若把A区的代数式作分子，B区的代数式作分母得到一个分式，请将这个分式化简． 【例7】（2024春•淄博期中）下列计算27a8a3÷9a2的顺序不正确的是（　　） A．（279）a8﹣3﹣2 B．（27a8a3）÷9a2 【变式7-1】（2024春•海州区期中）【阅读理解】由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法．多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算． 如图1： ∴278÷12＝23…2，∴（x3+2x2﹣3）÷（x﹣1）＝x2+3x+3． 即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下： ①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）． ②用竖式进行运算． ③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．若余式为零，说明被除式能被除式整除． 例如：（x3+2x2﹣3）÷（x﹣1）＝x2+3x+3，∵余式为0，∴x3+2x﹣3能被x﹣1整除． 根据阅读材料，请解答下列问题： （1）（x2+6x+5）÷（x+1）＝ 　； （2）求（6x3+14x2+19）÷（3x2﹣2x+4），所得的余式； （3）已知x3﹣x2+ax+3能被x+3整除，则a＝　 ； （4）如图2，有3张A卡片，16张B卡片，5张C卡片，能否将这24张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为（a+5b）的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 【例8】（2022秋•两江新区期末）某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两片空地上种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜．已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄瓜的，如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为2：3：4，则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青黄瓜产量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为 　 　． 【变式8-1】（2024秋•渝中区期中）某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件，其中，配件①是由大、小两个长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为：a、2a、a，小长方体的长、宽、高分别为：2a、a、；配件②是一个正方体，其棱长为a （1）生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料（不计损耗）？ （2）若两个配件①与一个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获利30元，则1000a3体积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？ 【变式8-2】（2024春•蜀山区期中）爱动脑筋的丽丽与娜娜在做数学小游戏，两人各报一个整式，丽丽报的整式A作被除式，娜娜报的整式B作除式，要求商式必须为﹣3xy（即A÷B＝﹣3xy） （1）若丽丽报的是x3y﹣6xy2，则娜娜应报什么整式？ （2）若娜娜也报x3y﹣6xy2，则丽丽能报一个整式吗？若能，则是个什么整式？说说你的理由． 【变式8-3】甲、乙两同学从A地到B地，甲步行速度为每小时3千米，乙步行的速度为每小时5千米，两人骑自行车的速度都是每小时15千米，甲先步行，乙先骑自行车，两人同时出发，走了一段路程后，乙下车步行，甲走到乙放车处骑自行车，以后不断交替行进，两人最后恰好同时到达B地，求甲走完全程的平均速度． 【例9】（2023春•泗阳县期中）海伦是古希腊数学家，约公元62年左右活跃于亚历山大，年青时海伦酷爱数学，他的代表作《量度论》主要是研究面积、体积和几何分比问题，其中一段探究三角形面积的方法翻译如下：如图，设三角形面积为S，以三角形各边为边向外作正方形，三个正方形的面积分别记作S1、S2、S3，定义：；；S2′S2；S'3S3；Fs＝S1′×S2′+S2′×S3′+S3′×S1′，经研究发现，FS＝4S2．如：三角形三条边分别为13、14、15，则S1＝169，S2＝196，S3＝225，，S1′＝126；S'2＝99；S'3＝70；FS＝28224，所以 S2＝282244÷4＝7056＝842，故三角形的面积S＝84． （1）若S1＝3，S2＝4，S3＝5，则 　 　．FS＝　 　． （2）当S1′＝x﹣3；S2′＝x+3；S3′＝5﹣x 时． ①求FS的表达式；②若S1+S2+S3＝20，求三角形的面积． 【变式9-1】（2024秋•中山区期中）给出如下定义：我们把有序实数对（m，n）叫做关于x的一次多项式mx+n的特征系数对，有序数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系数对，并且把关于x的一次多项式mx+n叫做有序实数对（m，n）的特征多项式，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式． （1）关于x的一次多项式﹣2x+4的特征系数对在第 　 　象限；关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为 　 　； （2）求有序实数对（1，a）的特征多项式与有序实数对（a，﹣4）的特征多项式的乘积为bx2﹣cx+16，求a、b、c的值； （3）若有序实数对（p，q，﹣1）的特征多项式与有序实数对（m，n，﹣2）的特征多项式的乘积的结果为2x4+x3﹣10x2﹣x+2，计算（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值． 【变式9-2】（2021秋•二道区期中）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算：（2﹣i）+（5+3i）＝（2+5）+（﹣1+3）i＝7+2i； （1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i； 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：i3＝　 　；2i4＝　 　； （2）计算：①（2+i）（2﹣i）； ②（2+i）2； （3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题： 已知：（x+3y）+3i＝（1﹣x）﹣yi，（x，y为实数），求x，y的值； （4）试一试：请你参照i2＝﹣1这一知识点，将m2+25（m为实数）因式分解成两个复数的积． 33．（2023春•梅州期末）若正整数a，b的和为10，则称a，b“互补”，如果两个两位数的十位数字相同，个位数字“互补”（如24与26，52与58，简称它们“首同尾补”）；那么这两个数的积是三位数或四位数，其末尾的两位数等于两数的个位数字之积，其起始的一位或两位数等于两数的十位数字与比这个十位数字大1的数之积．例如：24×26＝624（积中的6＝2×（2+1），24＝4×6）；52×58＝3016（积中的30＝5×（5+1），16＝2×8）． （1）直接写出下列各式运算结果：95×95＝　 　，81×89＝　 　； （2）用和分别表示两个两位数，其中a表示十位数字，b和c表示它们的个位数字，且b+c＝10， ①依据题意，两位数表示为 　 　，两位数表示为 　 　； ②上述速算规律可用等式表示为 　 　； ③试说明②中等式的正确性． 【例10】（2022秋•邓州市期中）在运算中，我们如果能总结规律，并加以归纳，得出数学公式，一定会提高解题的速度．在解答下列问题中，请探究其中的规律． （1）计算后填空：（x+2）（x+3）＝　 　；（x﹣1）（x+4）＝　 　；（x﹣3）（x﹣2）＝　 　； （2）归纳猜想后填空：（x+a）（x+b）＝x2+　 　x+　 　； （3）运用（2）中得到的结论，直接写出计算结果：（x﹣2）（x+n）＝ 　． 【变式10-1】（2023春•裕安区期中）观察下面的几个算式，发现规律，并解决下列问题． ①16×14＝224＝1×（1+1）×100+6×4； ②23×27＝621＝2×（2+1）×100+3×7； ③32×38＝1216＝3×（3+1）×100+2×8； … （1）按照上面的规律，依照上面的书写格式，直接写出81×89的结果 　 　． （2）试说明上面所发现的规律（提示：可设这两个两位数分别是（10n+a），（10n+b），其中n，a，b均为1～9的整数，且a+b＝10）． 【变式10-2】（2023春•遂川县期末）七年级某班数学小组研究系列算式：12×21，23×32，34×43…，将算式计算过程进行变形后，得到如下规律： 12×21＝121×（12+1）+10； 23×32＝121×（22+2）+10： 34×43＝121×（32+3）+10； … （1）根据以上规律，直接写出78×87的相应变形算式； （2）请用含n的代数式直接表示[10n+（n+1）]与[（10n+10）+n]之积的计算结果，并通过计算验证结果的正确性． 【例11】（2024春•岳阳期中）从一个边长为a的正方形纸片（如图1）上剪去两个相同的小长方形，得到一个美术字“5”的图案（如图2），再将剪下的两个小长方形拼成一个新长方形（如图3）． （1）求新长方形的周长（用含有a，b的式子表示）； （2）求美术字“5”的图案的面积（用含有a，b的式子表示）； （3）若a＝8，剪去的小长方形的宽为1，求新长方形的周长和美术字“5”的图案的面积． 【变式11-1】（2023春•宝应县期中）如图，将两张大小完全一样的长方形纸片和另两张大小完全一样的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在长方形ABCD内，其中长方形纸片和正方形纸片的周长相等．设大正方形边长PD＝x，小正方形边长GH＝y，则图中阴影部分的面积 　 　． 【变式11-2】（2023春•信都区期末）现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．设大长方形的相邻两边长分别am和bm，小长方形的相邻两边长分别为x m和y m． （1）如图1，若a＝45，b＝60，求x和y的值； （2）如图2， ①若小长方形的周长为4m，求大长方形的周长； ②若y比x大3，求种植草坪（空白部分）面积比种植鲜花（阴影部分）的面积的2倍多多少？ 【变式11-3】（2024春•岱岳区期中）7张如图1的长为a，宽为b（b＞0）的小长方形纸片，按如图2、3的方式不重叠地放在长方形ABCD内；未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示． （1）如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分的面积的差为 　 　（用含a，b的代数式表示），长方形ABCD的面积为 　 　（用含a，b的代数式表示）； （2）如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，CP＝x． ①用含a，b，x的代数式表示AE； ②当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，要使S始终保持不变，那么a，b必须满足什么条件？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 整式的乘法【十一大题型】（解析版） 【人教版】 【题型 1 利用整式乘法求值】 1 【题型 2 利用整式乘法解决不含某项问题】 1 【题型 3 利用整式乘法解决错看问题】 2 【题型 4 利用整式乘法解决遮挡问题】 3 【题型 5 整式乘法的计算】 3 【题型 6 整式乘法的应用】 3 【题型 7 整式除法的运算与求值】 4 【题型 8 整式除法的应用】 5 【题型 9 整式乘法中的新定义问题】 6 【题型 10 整式乘法中的规律探究】 7 【题型 11 整式乘法与面积的综合探究】 8 【例1】（2022春•靖江市期中）若（x﹣1）（x+b）＝x2﹣ax+3，则2a﹣b的值为 　11　． 【分析】根据多项式乘多项式法则展开后对比系数即可求出答案． 【解答】解：∵（x﹣1）（x+b）＝x2﹣ax+3， ∴x2+（b﹣1）x﹣b＝x2﹣ax+3， ∴b﹣1＝﹣a，﹣b＝3， ∴a＝4，b＝﹣3， ∴原式＝2a﹣b ＝8+3 ＝11． 故答案为：11． 【点评】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式法则，本题属于基础题型． 【变式1-1】（2024春•姜堰区期中）（1）求x的值：2x•43﹣x•81+x＝32； （2）已知x2﹣3x﹣1＝0，求代数式（x﹣1）（3x+1）﹣（x+2）2+5的值． 【分析】（1）将原式左右两边利用幂的乘方与同底数幂的乘法都变形为以2为底数的幂，据此由指数相等得出关于x的方程，解之可得； （2）将原式利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项化简后，根据已知条件将x2﹣3x＝1整体代入计算可得． 【解答】解：（1）∵2x•43﹣x•81+x＝32， ∴2x•（22）3﹣x•（23）1+x＝25， 2x•26﹣2x•23+3x＝25， 2x+6﹣2x+3+3x＝25， 即22x+9＝25， 则2x+9＝5， 解得：x＝﹣2； （2）原式＝3x2+x﹣3x﹣1﹣（x2+4x+4）+5 ＝3x2+x﹣3x﹣1﹣x2﹣4x﹣4+5 ＝2x2﹣6x， ∵x2﹣3x﹣1＝0， ∴x2﹣3x＝1， 则原式＝2（x2﹣3x）＝2． 【点评】此题主要考查了整式的加减﹣化简求值，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． 【变式1-2】（2020秋•渝北区月考）如果a、b、m均为整数，且（x+a）•（x+b）＝x2+mx+15，则所有的m的和为　0　． 【分析】根据已知求出整数a、b的值，再求出m的所有值相加即可． 【解答】解：∵（x+a）•（x+b）＝x2+（a+b）x+ab， 又∵（x+a）•（x+b）＝x2+mx+15， ∴m＝a+b，ab＝15． ∵a、b、m均为整数， ∴或或或或或或或， ∴m＝1+15＝16或m＝﹣1﹣15＝﹣16或m＝3+5＝8或m＝﹣3+（﹣5）＝﹣8， ∴所有的m的和为16+（﹣16）+8+（﹣8）＝0． 故答案为：0． 【点评】本题考查多项式的乘法，可根据a、b是整数求出其值，从而得到m的值再相加，容易漏解． 【变式1-3】（2024春•武侯区月考）根据下列要求求值． （1）已知ax＝2，ay＝3，求a2x+y的值． （2）将（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开的结果不含x3和x2项，求m+2n的值． 【分析】（1）根据幂的运算，逆用幂的乘法和同底数幂的乘法进行计算即可； （2）根据多项式乘以多项式不含某一项的问题，先利用多项式乘以多项式的法则，进行计算，合并同类项后，令x3和x2项的系数为0，进行求解即可． 【解答】解：（1）∵ax＝2，ay＝3， ∴a2x+y＝（ax）2•ay＝22×3＝12； （2）∵（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）＝x5﹣3x4+4x3+mx3﹣3mx2+4mx+nx2﹣3nx+4n ＝x5﹣3x4+（4+m）x3﹣（3m﹣n）x2+（4m﹣3n）x+4n； ∵结果不含x3和x2项， ∴4+m＝0，3m﹣n＝0， ∴m＝﹣4，n＝﹣12， ∴m+2n＝﹣4+2×（﹣12）＝﹣28． 【点评】本题考查了整式的化简，熟练掌握整式运算法则是关键． 【例2】（2023秋•惠安县期中）如果（y+3）（2y+m）的乘积中不含y的一次项．则m的值为 　﹣6　． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，能根据多项式乘以多项式法则进行计算得出m+6＝0是解此题的关键． 【解答】解：原式＝2y2+my+6y+5m＝2y2+（m+6）y+5m， 由结果不含y的一次项， 得到m+6＝0， 解得：m＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握法则是解答本题的关键． 【变式2-1】（2020秋•安岳县期末）已知a为任意实数，有多项式M＝x2+3ax+6，N＝x+3，且MN＝A，当多项式A中不含2次项时，a的值为（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1 【分析】先计算MN的结果，再根据多项式A中不含2次项可得方程，求解可得a的值． 【解答】解：A＝MN＝（x2+3ax+6）（x+3）＝x3+3x2+3ax2+9ax+6x+18＝x2+（3a+3）x2+（9a+6）x+18， ∵多项式A中不含2次项， ∴3a+3＝0， ∴a＝﹣1． 故选：A． 【点评】此题考查的是合并同类项及多项式的乘法运算，掌握其运算法则是解决此题关键． 【变式2-2】（2021秋•铁东区期中）若（x2+3mx）（x2﹣3x+n）的积中不含有x与x3项． （1）直接写出m、n的值，即m＝　1　，n＝　　； （2）求代数式（﹣m2n）3+（9mn）2+（3m）2014n2016的值． 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，然后根据积中不含有x与x3项可以求解m、n的值． （2）将m，n的值代入代数式求值即可． 【解答】解：（1） ， ∵积中不含有x与x3项， ∴3m﹣3＝0，3mn+1＝0， 解得m＝1，n． 故答案为：1，． （2）当m＝1，n时， 原式＝[﹣1×（）]3+[9×1×（）]2+32014×（）2016 ＝（）3+9+[3×（）]2014×（）2 9 ＝9． 【点评】本题考查多项式乘多项式以及代数式求值，解题关键是熟知多项式乘多项式的计算法则． 【例3】（2022秋•万州区期末）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：（3x+a）（2x+b）．甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的结果为6x2﹣13x+6；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为3x2﹣7x﹣6． （1）求正确的a、b的值． （2）计算这道乘法题的正确结果． 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则即可求出a与b的值． （2）正确求出a与b的值后，利用多项式乘多项式法则即可求出答案． 【解答】解：（1）由题意可知：（3x﹣a）（2x+b）＝6x2﹣13x+6，（3x+a）（x+b）＝3x2﹣7x﹣6 ∴6x2+（3b﹣2a）x﹣ab＝6x2﹣13x+6， 3x2+（3b+a）x+ab＝3x2﹣7x﹣6， ∴， 解得：． （2）（3x+2）（2x﹣3） ＝6x2﹣9x+4x﹣6 ＝6x2﹣5x﹣6． 【点评】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式法则，本题属于基础题型． 【变式3-1】小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），则正确的结果是（　　） A．3x2﹣7xy+2y2 B．3x2+7xy+2y2 C．3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3 D．3x3﹣13x2y+16xy2+4y3 【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案． 【解答】解：∵小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y）， ∴原式＝（3x﹣y）（x﹣2y） ＝3x2﹣6xy﹣xy+2y2 ＝3x2﹣7xy+2y2， 则正确计算结果为：（3x2﹣7xy+2y2）（x﹣2y） ＝3x3﹣7x2y+2xy2﹣6x2y+14xy2﹣4y3 ＝3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3． 故选：C． 【点评】此题主要考查了多项式乘多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【变式3-2】（2024秋•云县期末）在计算（x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果x2+x﹣6．你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数） 【分析】根据甲的做法求出a的值，根据乙的做法求出b的值，代入原式中计算即可． 【解答】解：∵（x+a）（a+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+8x+12， ∴6+a＝8， ∴a＝2； ∵（x﹣a）（x+b）＝x2+（b﹣a）x﹣ab＝x2+x﹣6， ∴b﹣a＝1， ∴b＝3， ∴（x+a）（a+b） ＝（x+2）（x+3） ＝x2+5x+6． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式，考核学生的计算能力，根据甲乙两位同学的做法求出a，b是解题的关键． 【变式3-3】（2024秋•宝山区月考）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．则（﹣2a+b）（a+b）的值为 　﹣14　． 【分析】先根据题意得出关于a、b的方程组，再整体代入求解． 【解答】解：由题意得：（x﹣a）（2x+b）＝2x2﹣7x+3且（x+a）（x+b）＝x2+2x﹣3， ∴， ∴（﹣2a+b）（a+b）＝﹣7×2＝﹣14， 故答案为：﹣14． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式，掌握运算法则是解题的关键． 【例4】（2023春•竞秀区期末）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（　　） A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3 D．﹣10xy 【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 【解答】解：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y+21xy． 故选：A． 【点评】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加是解答此题的关键． 【变式4-1】（2022秋•平乡县期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（　　） A．9x2 B．﹣9x2 C．9x D．﹣9x 【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则计算可得出答案． 【解答】解：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+3x， 故选：B． 【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键． 【变式4-2】（2023秋•岳麓区期中）已知x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n），其中m、n是被墨水弄脏了看不清楚的两处，请求出m2+6mn+9n2的值． 【分析】将（x﹣1）（x2+mx+n）展开求得m和n的值后代入代数式即可求得其值． 【解答】解：∵x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n）＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n， ∴m﹣1＝﹣6，n＝6， ∴m＝﹣5， ∴m2+6mn+9n2＝（﹣5）2+6×（﹣5）×6+9×62＝25﹣180+324＝169． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式的知识，解题的关键是正确的计算，难度不大． 【变式4-3】今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3　﹣3x3y2　﹣3x2y，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写　﹣3x3y3　． 【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案． 【解答】解：∵3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3﹣3x3y2﹣3x2y， ∴横线上应填写﹣3x3y2， 故答案为：﹣3x3y2，﹣3x3y2． 【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键． 【例5】（2024秋•思明区期中）计算： （1）x•2x+x（x﹣2） （2）（m+1）（m﹣5）﹣m（m﹣6） 【分析】（1）根据单项式乘单项式乘，单项式乘多项式的运算方法计算即可； （2）根据单项式乘多项式，多项式乘多项式的运算方法计算即可． 【解答】解：（1）x•2x+x（x﹣2）， ＝2x2+x2﹣2x， ＝3x2﹣2x； （2）（m+1）（m﹣5）﹣m（m﹣6）， ＝m2﹣5m+m﹣5﹣m2+6m， ＝2m﹣5． 【点评】此题主要考查了整式的混合运算，解答此题的关键是熟练掌握整式的运算法则关键． 【变式5-1】（2022秋•思明区期中）先化简再求值：x（x+2）+（1+x）（1﹣x），其中x＝﹣2． 【分析】先根据单项式乘多项式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【解答】解：x（x+2）+（1+x）（1﹣x） ＝x2+2x+1﹣x2 ＝2x+1， 当x＝﹣2时，原式＝2×（﹣2）+1＝﹣4+1＝﹣3． 【点评】本题考查了分解因式，平方差公式和整式的化简求值等知识点，能熟记平方差公式是解（1）（2）的关键，能正确根据整式的运算法则进行化简是解（3）的关键． 【变式5-2】（2023秋•南通期末）计算 （1）2x（3x2﹣4x+1）﹣3x2（2x﹣3）； （2）（2ab2c﹣3）﹣2•（a﹣2b）3； （3）（2x+5）（2x﹣5）﹣（x+1）（x﹣4）； 【分析】（1）可将式子展开后，进行合并，化简； （2）可根据幂的乘方和积得乘方进行计算； （3）可用平方差公式将前面两项合并后，再将式子展开进行化简； 【解答】（1）解：原式＝6x3﹣8x2+2x﹣6x3+9x2＝x2+2x； （2）解：原式＝2﹣2a﹣2b﹣4c6•a﹣6b3＝2﹣2a﹣8b﹣1c6； （3）解：原式＝（4x2﹣25）﹣（x2﹣3x﹣4）＝4x2﹣25﹣x2+3x+4＝3x2+3x﹣21； 【点评】本题考查整式的综合运算能力，运算过程中要注意随时化简，使计算简化，从而减少出错的可能． 【例6】（2020秋•海沧区期中）长方形的长和宽分别是a厘米、b厘米，如果长方形的长和宽各减少2厘米． （1）新长方形的面积比原长方形的面积减少了多少平方厘米？ （2）如果减少的面积恰好等于原面积的，试确定（a﹣6）（b﹣6）的值． 【分析】（1）根据题意表示出原来长方形与新长方形的面积，相减即可得到结果； （2）根据题意列出等式，化简即可求出． 【解答】解：（1）ab﹣（a﹣2）（b﹣2） ＝ab﹣（ab﹣2a﹣2b+4） ＝ab﹣ab+2a+2b﹣4 ＝2a+2b﹣4， ∴新长方形的面积比原长方形的面积减少了（2a+2b﹣4）平方厘米； （2）由题意知2a+2b﹣4ab， ∴ab＝6a+6b﹣12， （a﹣6）（b﹣6） ＝ab﹣6a﹣6b+36 ＝6a+6b﹣12﹣6a﹣6b+36 ＝24． 【点评】此题考查了整式的混合运算，弄清题意是解本题的关键． 【变式6-1】（2020秋•下城区期中）用长为24米的木条，做成一个“目”字形的窗框（如图，窗框外沿ABCD是长方形），若窗框的横条长度都为x米． （1）用代数式表示长方形ABCD的面积． （2）当x＝3时，求出长方形ABCD的面积． 【分析】（1）根据题意“目”字形的窗框，长有4段，总长为4AD＝4x米，则AB米，再根据长方形面积计算公式即可得出答案； （2）把x＝3代入（1）中关于面积的代数式中即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意，AB12﹣2x， 则长方形ABCD的面积S＝（12﹣2x）x＝（﹣2x2+12x）（平方米）； （2）当x＝3时， ﹣2x2+12x＝﹣2×9+12×3 ＝﹣18+36 ＝18（平方米）． 【点评】本题主要考查了列代数及代数式的求值，根据题意列出合理的代数式是解决本题的关键． 【变式6-2】（2024秋•锡山区期中）如图，四边形ABCD是边长为8cm的正方形，点G在线段CD上，三角形ECG为等腰直角三角形，CG＝CE＝a（cm），连接AE． （1）用含a的整式表示三角形ABE的面积； （2）用含a的代数式表示阴影部分面积，并求出当a＝6时，阴影部分面积是多少平方厘米？ 【分析】（1）直接利用三角形的面积公式，计算即可； （2）分割法表示出阴影部分的面积，再代值计算即可． 【解答】解：（1）由图可知：三角形ABE的面积为； （2）阴影部分的面积为， 当a＝6时，． 答：阴影部分面积是26cm2． 【点评】本题考查列代数式，正确的识图，掌握分割法求图形的面积，是解题的关键． 【变式6-3】（2024•邯郸二模）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去m2，同时B区就会自动加上2m，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是4和﹣8，如图． 例如：第一次按键后，A，B两区分别显示： （1）从初始状态按2次后，若A区、B区的代数式的值相等，求m的值； （2）已知m≠1，从初始状态按4次后，若把A区的代数式作分子，B区的代数式作分母得到一个分式，请将这个分式化简． 【分析】（1）根据题意列出算式，再进一步得出一元二次方程，解方程即可； （2）根据A区、B区的计算结果列出分式，结合完全平方公式进行化简即可． 【解答】解：（1）A区显示的结果为：4﹣m2﹣m2＝4﹣2m2； B区显示的结果为：﹣8+2m+2m＝﹣8+4m， 根据A区、B区的代数式的值相等可得：4﹣2m2＝﹣8+4m， 整理得：m2+2m﹣6＝0， 解得：，， 即m的值为或者； （2）设从初始状态按4次后， A区显示的结果为：4﹣m2﹣m2﹣m2﹣m2＝4﹣4m2； B区显示的结果为：﹣8+2m+2m+2m+2m＝﹣8+8m， 根据题意有分式：， 化简结果为：． 【点评】本题考查了数字类规律问题、分式的混合运算和解一元二次方程，熟知以上知识是解题的关键． 【例7】（2024春•淄博期中）下列计算27a8a3÷9a2的顺序不正确的是（　　） A．（279）a8﹣3﹣2 B．（27a8a3）÷9a2 C．27a8÷（a3÷9a2） D．（27a8÷9a2）a3 【分析】本题是单项式的连除运算，根据运算顺序、除法的性质及单项式除以单项式的法则即可判定． 【解答】解：A、根据单项式除以单项式的法则，可知27a8a3÷9a2＝（279）a8﹣3﹣2，正确； B、根据运算顺序连续除以两个数即从左往右依次计算，可知27a8a3÷9a2＝（27a8a3）÷9a2，正确； C、∵27a8÷（a3÷9a2）＝27a8a3•9a2，∴27a8a3÷9a2≠27a8÷（a3÷9a2），错误； D、根据运算顺序及除法的性质，可知27a8a3÷9a2＝（27a8÷9a2）a3，正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了连除的运算顺序及单项式除以单项式的法则． 对于连除运算，既可以根据运算顺序从左往右依次计算，又可以根据除法的性质把算式转变成被除式除以两个除式的积，还可以等于被除式除以第二个除式的商再除以第一个除式，即a÷b÷c＝（a÷b）÷c＝a÷（b•c）＝（a÷c）÷b． 单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式． 【变式7-1】（2024春•海州区期中）【阅读理解】由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法．多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算． 如图1： ∴278÷12＝23…2，∴（x3+2x2﹣3）÷（x﹣1）＝x2+3x+3． 即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下： ①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）． ②用竖式进行运算． ③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．若余式为零，说明被除式能被除式整除． 例如：（x3+2x2﹣3）÷（x﹣1）＝x2+3x+3，∵余式为0，∴x3+2x﹣3能被x﹣1整除． 根据阅读材料，请解答下列问题： （1）（x2+6x+5）÷（x+1）＝　x+5　； （2）求（6x3+14x2+19）÷（3x2﹣2x+4），所得的余式； （3）已知x3﹣x2+ax+3能被x+3整除，则a＝　﹣11　； （4）如图2，有3张A卡片，16张B卡片，5张C卡片，能否将这24张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为（a+5b）的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 【分析】（1）列竖式进行计算即可得到答案； （2）列竖式进行计算，求出商式和余式即可； （3）列竖式进行计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案； （4）根据题意，得到24张卡片的总面积是：3a2+16ab+5b2，列式计算，根据长方形的面积＝长×宽，求出另一边的边长． 【解答】解：（1）如图： （x2+6x+5）÷（x+1）＝x+5； 故答案为：x+5． （2）如图： 即（6x3+14x2+19）÷（3x2﹣2x+4）＝2x+6……4x﹣5 所得的余式是4x﹣5． （3）列竖式如下： 因为x3﹣x2+ax+3能被x+3整除， 所以3﹣3（a+12）＝0， 得a＝﹣11． 故答案为：﹣11． （4）能． 24张卡片拼成的长方形的面积是： 3a2+16ab+5b2； 因为一边长为（a+5b）， 另一边长是：（3a2+16ab+5b2）÷（a+5b）＝3a+b． 【点评】本题考查了多项式除以多项式，整式的除法，解决本题的关键是注意同类项的对应． 【例8】（2022秋•两江新区期末）某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两片空地上种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜．已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄瓜的，如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为2：3：4，则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青黄瓜产量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为 　5：8：12　． 【分析】设空地面积为S，水果黄瓜亩产量为x，青黄瓜亩产量为m，则白黄瓜的亩产量为m，根据空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为2：3：4，则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青黄瓜产量之和的2倍，得2（mm）x，x＝2m，再列式计算空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3时，白黄瓜，青黄瓜和水果黄瓜的产量，即可得到答案． 【解答】解：设空地面积为S，水果黄瓜亩产量为x，青黄瓜亩产量为m，则白黄瓜的亩产量为m， ∵空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为2：3：4，则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青黄瓜产量之和的2倍， ∴2（mm）x， ∴x＝2m， ∵在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3， ∴白黄瓜的产量是m，青黄瓜的产量是m，水果黄瓜的产量是2m， ∴白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为：：5：8：12， 故答案为：5：8：12． 【点评】本题考查方程在实际生活中的应用，解题的关键是读懂题意，列方程求出水果黄瓜亩产量． 【变式8-1】（2024秋•渝中区期中）某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件，其中，配件①是由大、小两个长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为：a、2a、a，小长方体的长、宽、高分别为：2a、a、；配件②是一个正方体，其棱长为a （1）生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料（不计损耗）？ （2）若两个配件①与一个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获利30元，则1000a3体积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？ 【分析】（1）先算出两个长方体的体积，再相加，即可得出配件①的体积，求出棱长为a的正方体体积，即可得出配件②的体积； （2）根据题意列出算式1000a3÷（2a3+a3）×30，求出即可． 【解答】解：（1）生产配件①需要的原材料的体积是：a•2a•a+2a•a•a3； 生产配件②需要的原材料的体积是：a•a•a＝a3； （2）根据题意得：1000a3÷（2a3+a3）≈55，55×30＝1650（元）， 答：1000a3体积的这种原材料可使该厂最多获利1650元． 【点评】本题考查了整式的混合运算，能根据题意列出算式是解此题的关键，用了转化思想． 【变式8-2】（2024春•蜀山区期中）爱动脑筋的丽丽与娜娜在做数学小游戏，两人各报一个整式，丽丽报的整式A作被除式，娜娜报的整式B作除式，要求商式必须为﹣3xy（即A÷B＝﹣3xy） （1）若丽丽报的是x3y﹣6xy2，则娜娜应报什么整式？ （2）若娜娜也报x3y﹣6xy2，则丽丽能报一个整式吗？若能，则是个什么整式？说说你的理由． 【分析】根据A÷B＝﹣3xy，可知： （1）B＝（x3y﹣6xy2）÷（﹣3xy）x2+2y； （2）A＝（x3y﹣6xy2）（﹣3xy）＝﹣3x4y2+18x2y3； 【解答】解：（1）A＝x3y﹣6xy2， ∴B＝（x3y﹣6xy2）÷（﹣3xy）x2+2y； （2）A＝（x3y﹣6xy2）（﹣3xy）＝﹣3x4y2+18x2y3； 【点评】本题考查整式的乘法和除法；熟练掌握被除式，除式，商之间的关系，多项式除以单项式，多项式乘以单项式是解题的关键． 【变式8-3】甲、乙两同学从A地到B地，甲步行速度为每小时3千米，乙步行的速度为每小时5千米，两人骑自行车的速度都是每小时15千米，甲先步行，乙先骑自行车，两人同时出发，走了一段路程后，乙下车步行，甲走到乙放车处骑自行车，以后不断交替行进，两人最后恰好同时到达B地，求甲走完全程的平均速度． 【分析】 根据题意甲、乙从A地到B地，画出如图所示，即甲步行共走的路程恰好等于乙骑车共走的路程；甲骑车共走的路程恰好等于乙步行共走的路程．故首先设甲步行共走x千米，骑车共走y千米，则乙骑车共行x千米，步行共行y千米．再根据路程＝速度×时间，且甲、乙两人行走过程中经过的时间相同，那么可列出方程，解方程可得y用x表示表达式．再根据平均速度，在求解过程中约去x，即可甲走完全程的平均速度． 【解答】解：设甲步行共走x千米，骑车共走y千米，则乙骑车共行x千米，步行共行y千米． 则根据题意，得， 解得y＝2x． 故甲的平均速度为（x+y）÷（）（千米/时）； 答：甲走完全程的平均速度（千米/时）． 【点评】本题解决的关键是根据题意画出路线草图，明白甲步行共走的路程恰好等于乙骑车共走的路程，甲骑车共走的路程恰好等于乙步行共走的路程；再就是求解过程中能够约去未知数． 【例9】（2023春•泗阳县期中）海伦是古希腊数学家，约公元62年左右活跃于亚历山大，年青时海伦酷爱数学，他的代表作《量度论》主要是研究面积、体积和几何分比问题，其中一段探究三角形面积的方法翻译如下：如图，设三角形面积为S，以三角形各边为边向外作正方形，三个正方形的面积分别记作S1、S2、S3，定义：；；S2′S2；S'3S3；Fs＝S1′×S2′+S2′×S3′+S3′×S1′，经研究发现，FS＝4S2．如：三角形三条边分别为13、14、15，则S1＝169，S2＝196，S3＝225，，S1′＝126；S'2＝99；S'3＝70；FS＝28224，所以 S2＝282244÷4＝7056＝842，故三角形的面积S＝84． （1）若S1＝3，S2＝4，S3＝5，则 　6　．FS＝　11　． （2）当S1′＝x﹣3；S2′＝x+3；S3′＝5﹣x 时． ①求FS的表达式； ②若S1+S2+S3＝20，求三角形的面积． 【分析】（1）根据则和FS的定义可直接得出结论； （2）①根据FS的定义可直接得出结论； ②由S1′，S2′，S3′的定义可得出和S1+S2+S3的关系，代入求出x的值，再代入①中即可得出结论． 【解答】解：（1）∵S1＝3，S2＝4，S3＝5， ∴6； ∵S1′S1＝6﹣3＝3；S2′S2＝6﹣4＝2；S3′S3＝6﹣5＝1； ∴FS＝S1′•S2′+S2′•S3′+S3′•S1′＝3×2+2×1+1×3＝11； 故答案为：6，11； （2）①∵S1′＝x﹣3；S2′＝x+3；S3′＝5﹣x， ∴FS＝S1′•S2′+S2′•S3′+S3′•S1′ ＝（x﹣3）（x+3）+（x+3）（5﹣x）+（5﹣x）（x﹣3） ＝x2﹣9+5x﹣x2+15﹣3x+5x﹣15﹣x2+3x ＝﹣x2+10x﹣9； ∴FS＝﹣x2+10x﹣9； ②∵S1+S2+S3＝20， ∴10， ∴S1′S1＝10﹣S1＝x﹣3，故S1＝10﹣（x﹣3）＝13﹣x； S2′S2＝10﹣S2＝x+3，故S2＝10﹣（x+3）＝7﹣x； S3′S3＝10﹣S3＝5﹣x，故S3＝10﹣（5﹣x）＝5+x； ∴S1+S2+S3＝13﹣x+7﹣x+5+x＝25﹣x＝20， ∴x＝5， ∴FS＝﹣x2+10x﹣9＝﹣52+10×5﹣9＝16， ∴S2＝FS÷4＝16÷4＝4， 故三角形的面积S＝2． 【点评】本题考查了整式的乘法的应用，三角形的面积，数学常识，掌握新定义的内容，整式乘法的运算法则是解题的关键． 【变式9-1】（2024秋•中山区期中）给出如下定义：我们把有序实数对（m，n）叫做关于x的一次多项式mx+n的特征系数对，有序数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系数对，并且把关于x的一次多项式mx+n叫做有序实数对（m，n）的特征多项式，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式． （1）关于x的一次多项式﹣2x+4的特征系数对在第 　二　象限；关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为 　（3，2，﹣1）　； （2）求有序实数对（1，a）的特征多项式与有序实数对（a，﹣4）的特征多项式的乘积为bx2﹣cx+16，求a、b、c的值； （3）若有序实数对（p，q，﹣1）的特征多项式与有序实数对（m，n，﹣2）的特征多项式的乘积的结果为2x4+x3﹣10x2﹣x+2，计算（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值． 【分析】（1）根据特征系数对的定义即可解答； （2）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再根据多项式乘多项式进行计算即可； （3）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再令x＝﹣2即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意可得关于x的一次多项式﹣2x+4的特征系数对为（﹣2，4），它在第二象限， 关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为（3，2，﹣1）， 故答案为：二；（3，2，﹣1）； （2）∵有序实数对（1，a）的特征多项式与有序实数对（a，﹣4）的特征多项式的乘积为bx2﹣cx+16， ∴（x+a）（ax﹣4）＝bx2﹣cx+16， 整理得：ax2+（a2﹣4）x﹣4a＝bx2﹣cx+16， 则a＝b，a2﹣4＝﹣c，﹣4a＝16， 解得：a＝﹣4，b＝﹣4，c＝﹣12； （3）∵有序实数对（p，q，﹣1）的特征多项式与有序实数对（m，n，﹣2）的特征多项式的乘积的结果为2x4+x3﹣10x2﹣x+2， 则有（px2+qx﹣1）（mx2+nx﹣2）＝2x4+x3﹣10x2﹣x+2， 当x＝﹣2时， （px2+qx﹣1）（mx2+nx﹣2） ＝（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2） ＝2×（﹣2）4+（﹣2）3﹣10×（﹣2）2﹣（﹣2）+2 ＝32﹣8﹣40+2+2， 即（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝﹣12， 则（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）＝﹣6， 那么（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值为﹣6． 【点评】本题考查多项式乘多项式，新定义问题，给x赋予特殊值﹣2是解题的关键． 【变式9-2】（2021秋•二道区期中）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算：（2﹣i）+（5+3i）＝（2+5）+（﹣1+3）i＝7+2i； （1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i； 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：i3＝　i　；2i4＝　2　； （2）计算：①（2+i）（2﹣i）； ②（2+i）2； （3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题： 已知：（x+3y）+3i＝（1﹣x）﹣yi，（x，y为实数），求x，y的值； （4）试一试：请你参照i2＝﹣1这一知识点，将m2+25（m为实数）因式分解成两个复数的积． 【分析】（1）根据题目所给条件可得i3＝i2•i，2i4＝2i2•i2计算即可得出答案； （2）根据平方差公式和完全平方公式计算，出现i2，化简为﹣1计算； （3）把原式化简后，根据实部对应实部，虚部对应虚部列出方程，求得x，y的值； （4）利用平方差公式进行变形处理． 【解答】解：（1）∵i2＝﹣1， ∴i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i， 2i4＝2i2•i2＝2（﹣1）×（﹣1）＝2， 故答案为：﹣i；2； （2）①（2+i）（2﹣i）＝﹣i2+4＝1+4＝5； ②（2+i）2＝i2+4i+4＝﹣1+4i+4＝3+4i； （3）∵（x+3y）+3i＝（1﹣x）﹣yi， ∴x+3y＝1﹣x，3＝﹣y， 解得x＝5，y＝﹣3； （4）m2+25＝（m+5i）（m﹣5i）． 【点评】本题考查了因式分解的应用，是信息给予题，解题步骤为：（1）阅读理解，发现信息；（2）提炼信息，发现规律；（3）运用规律，联想迁移；（4）类比推理，解答问题． 33．（2023春•梅州期末）若正整数a，b的和为10，则称a，b“互补”，如果两个两位数的十位数字相同，个位数字“互补”（如24与26，52与58，简称它们“首同尾补”）；那么这两个数的积是三位数或四位数，其末尾的两位数等于两数的个位数字之积，其起始的一位或两位数等于两数的十位数字与比这个十位数字大1的数之积．例如：24×26＝624（积中的6＝2×（2+1），24＝4×6）；52×58＝3016（积中的30＝5×（5+1），16＝2×8）． （1）直接写出下列各式运算结果：95×95＝　9025　，81×89＝　7209　； （2）用和分别表示两个两位数，其中a表示十位数字，b和c表示它们的个位数字，且b+c＝10， ①依据题意，两位数表示为 　10a+b　，两位数表示为 　10a+c　； ②上述速算规律可用等式表示为 　（10a+b）（10a+c）＝100a（a+1）+bc　； ③试说明②中等式的正确性． 【分析】（1）各式根据题中的算法计算即可得到结果； （2）①根据题意表示出两个两位数即可； ②根据题意列出等式； ③利用多项式乘多项式法则验证即可． 【解答】解：（1）95×95＝9025；81×89＝7209； 故答案为：9025，7209； （2）①依据题意，两位数表示为10a+b，两位数表示为10a+c； 故答案为：10a+b，10a+c； ②根据题意得：（10a+b）（10a+c）＝100a（a+1）+bc； 故答案为：（10a+b）（10a+c）＝100a（a+1）+bc； ③验证： ∵b+c＝10， ∴左边＝（10a+b）（10a+c） ＝100a2+10ac+10ab+bc ＝100a2+10a（b+c）+bc ＝100a2+100a+bc ＝100a（a+1）+bc＝右边， 则等式成立． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题意是解本题的关键． 【例10】（2022秋•邓州市期中）在运算中，我们如果能总结规律，并加以归纳，得出数学公式，一定会提高解题的速度．在解答下列问题中，请探究其中的规律． （1）计算后填空：（x+2）（x+3）＝　x2+5x+6　；（x﹣1）（x+4）＝　x2+3x﹣4　；（x﹣3）（x﹣2）＝　x2﹣5x+6　； （2）归纳猜想后填空：（x+a）（x+b）＝x2+　（a+b）　x+　ab　； （3）运用（2）中得到的结论，直接写出计算结果：（x﹣2）（x+n）＝　x2+（﹣2+n）x﹣2n　． 【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则进行计算即可； （2）根据（1）的结果得出规律即可； （3）根据（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab得出即可． 【解答】解：（1）（x+2）（x+3） ＝x2+3x+2x+6 ＝x2+5x+6； （x﹣1）（x+4） ＝x2+4x﹣x﹣4 ＝x2+3x﹣4； （x﹣3）（x﹣2） ＝x2﹣2x﹣3x+6 ＝x2﹣5x+6； 故答案为：x2+5x+6；x2+3x﹣4；x2﹣5x+6； （2）（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab． 故答案为：（a+b），ab； （3）（x﹣2）（x+n）＝x2+（﹣2+n）x﹣2n． 故答案为：x2+（﹣2+n）x﹣2n． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式的应用，主要考查学生的计算能力． 【变式10-1】（2023春•裕安区期中）观察下面的几个算式，发现规律，并解决下列问题． ①16×14＝224＝1×（1+1）×100+6×4； ②23×27＝621＝2×（2+1）×100+3×7； ③32×38＝1216＝3×（3+1）×100+2×8； … （1）按照上面的规律，依照上面的书写格式，直接写出81×89的结果 　7209　． （2）试说明上面所发现的规律（提示：可设这两个两位数分别是（10n+a），（10n+b），其中n，a，b均为1～9的整数，且a+b＝10）． 【分析】（1）观察上面几个式子，发现：左边两个因数的十位数字相同，个位数字和是10；则右边的结果是一个四位数，其中个位和十位上的数是左边两个因数的个位相乘，百位和千位上的数是左边十位上的数字和大于十位数字1的数相乘．根据这一规律即可写出81×89＝7209； （2）根据（1）发现的两个数的特点，用字母表示出来，然后运用公式展开进行证明即可． 【解答】解：（1）81×89＝8×（8+1）×100+1×9＝7209， 故答案为：7209； （2）设这两个两位数分别是10n+a，10n+b．其中a+b＝10 （10n+a）（10n+b） ＝（10n）2+（a+b）10n+ab ＝（10n）2+10n×10+ab ＝100n2+100n+ab ＝100n（n+1）+ab． 【点评】此题主要考查运算规律探索与运用，认真观察算式中存在的规律，并结合它们灵活应用是解题的关键，在证明中，整式的运算法则是基础． 【变式10-2】（2023春•遂川县期末）七年级某班数学小组研究系列算式：12×21，23×32，34×43…，将算式计算过程进行变形后，得到如下规律： 12×21＝121×（12+1）+10； 23×32＝121×（22+2）+10： 34×43＝121×（32+3）+10； … （1）根据以上规律，直接写出78×87的相应变形算式； （2）请用含n的代数式直接表示[10n+（n+1）]与[（10n+10）+n]之积的计算结果，并通过计算验证结果的正确性． 【分析】（1）观察已知条件中的等式，找出规律为：[10n+（n+1）][（10n+10）+n]＝121×（n2+n）+10，按照此规律代入计算即可． （2）先利用多项式乘以多项式法则进行计算，然后把（1）中的算式进行代入验证即可． 【解答】解：（1）78×87＝121×（72+7）+10； （2）[10n+（n+1）][（10n+10）+n]， ＝（11n+1）（11n+10）， ＝121n2+121n+10， 验证：∵78×87＝121×（72+7）+10＝121×56+10＝6776+10＝6786， 78×87＝121×72+121×7+10＝121×49+121×7+10＝5929+847+10＝6786， ∴78×87＝121×（72+7）+10＝121×72+121×7+10， ∴[10n+（n+1）][（10n+10）+n]＝121n2+121n+10． 【点评】本题主要考查了规律型：数字的变化类和有理数的运算，解题关键是观察等式，找出所给式子的规律． 【例11】（2024春•岳阳期中）从一个边长为a的正方形纸片（如图1）上剪去两个相同的小长方形，得到一个美术字“5”的图案（如图2），再将剪下的两个小长方形拼成一个新长方形（如图3）． （1）求新长方形的周长（用含有a，b的式子表示）； （2）求美术字“5”的图案的面积（用含有a，b的式子表示）； （3）若a＝8，剪去的小长方形的宽为1，求新长方形的周长和美术字“5”的图案的面积． 【分析】（1）根据图1和图2得出：新长方形的长为a﹣b，宽为a﹣3b，然后再进行计算． （2）用正方形的面积减去新长方形的面积，列式计算即可； （3）根据小长方形的宽为1，可知新长方形的宽为2，所以a﹣3b＝2，再把a＝8代入求出b，然后代入（1）（2）所求的周长与面积代数式，计算即可． 【解答】解：（1）∵新长方形的长为a﹣b，宽为a﹣3b， ∴新长方形的周长＝2[（a﹣b）+（a﹣3b）]＝4a﹣8b； （2）a2﹣（a﹣b）（a﹣3b） ＝a2﹣（a2﹣4ab+3b2） ＝a2﹣a2+4ab﹣3b2 ＝a2+2ab+b2﹣2a2+2ab+a2﹣4b2 ＝4ab﹣3b2； （3）∵小长方形的宽为1，可知新长方形的宽为2， ∴a﹣3b＝2， ∵a＝8， ∴b＝2， ∴新长方形的周长＝4a﹣8b＝4×8﹣8×2＝16， 美术字“5”的图案的面积＝4ab﹣3b2＝4×8×2﹣3×22＝52． 【点评】本题考查了整式运算的应用，熟练掌握列代数式和代数式的求值是解题的关键，注意数形结合题意的应用． 【变式11-1】（2023春•宝应县期中）如图，将两张大小完全一样的长方形纸片和另两张大小完全一样的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在长方形ABCD内，其中长方形纸片和正方形纸片的周长相等．设大正方形边长PD＝x，小正方形边长GH＝y，则图中阴影部分的面积 　2xy　． 【分析】根据题意表示出AM、BQ、PD、CN的长，根据三角形面积公式进行计算，再计算中间小正方形的面积，即可得出阴影部分的面积． 【解答】解：∵四边形MEQB和四边形PDNG是大小完全一样的正方形， ∴PD＝PG＝ME＝BQ＝x，PD⊥PG，BQ⊥EQ， ∵四边形EHGF是正方形， ∴EH＝GH＝GF＝EF＝y， ∵PD＝x，GH＝y， ∴PH＝PG﹣GH＝x﹣y＝AM， ∵四边形APHM和四边形FNCQ是两张大小完全一样的长方形纸片， ∴AM⊥MH，CN⊥FN，CN＝AM＝x﹣y， ∴S阴影＝S△AEH+S△EFB+S△FGC+S△GHD+S正方形EHGF ＝2xy， 故答案为：2xy． 【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形的面积计算公式，解题的关键是根据字母表示各图形的线段长． 【变式11-2】（2023春•信都区期末）现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．设大长方形的相邻两边长分别am和bm，小长方形的相邻两边长分别为x m和y m． （1）如图1，若a＝45，b＝60，求x和y的值； （2）如图2， ①若小长方形的周长为4m，求大长方形的周长； ②若y比x大3，求种植草坪（空白部分）面积比种植鲜花（阴影部分）的面积的2倍多多少？ 【分析】（1）根据大长方形的相邻两边长分别为a＝45，b＝60，列出方程组计算可求小长方形的相邻两边长． （2）①由小长方形的周长为4m，求得x+y＝2，列式求得大长方形的周长，再整体代入计算即可求解； ②依题意得（2x+y）（x+2y）﹣3xy﹣6xy，去括号，整理，再将y﹣x＝3整体代入即可求解． 【解答】解：（1）依据题意得，， 解得， 所以x和y的值分别为10和25； （2）①由题意得，2（x+y）＝4，所以x+y＝2， 所以大方形的周长为2（2x+y+x+2y）＝6（x+y）＝12（m）． ②因为y﹣x＝3， 所以（2x+y）（x+2y）﹣3xy﹣6xy ＝2x2+5xy+2y2﹣3xy﹣6xy ＝2x2﹣4xy+2y2 ＝2（y﹣x）2＝18（m2）． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式11-3】（2024春•岱岳区期中）7张如图1的长为a，宽为b（b＞0）的小长方形纸片，按如图2、3的方式不重叠地放在长方形ABCD内；未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示． （1）如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分的面积的差为 　a2﹣12b2　（用含a，b的代数式表示），长方形ABCD的面积为 　a2+7ab+12b2　（用含a，b的代数式表示）； （2）如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，CP＝x． ①用含a，b，x的代数式表示AE； ②当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，要使S始终保持不变，那么a，b必须满足什么条件？ 【分析】（1）右下角的图形为边长为a的正方形，左上角图形为长方形，其长和宽分别为4b，3b，分别计算面积作差即可，找到长方形ABCD的长和宽分别为a+4b，a+3b，计算面积即可； （2）①根据AE+DE＝BP+CP进行求解即可； ②分别表示出右下角和左上角的长方形面积，进而把S表示出来，令含x的项的系数为0，即可得到S与BC长度无关． 【解答】解：（1）如图2所示， 右下角的图形为边长为a的正方形，面积为a2， 左上角图形为长方形，其长和宽分别为4b，3b，面积为4b•3b＝12b2， ∴右下角与左上角的阴影部分的面积的差为a2﹣12b2， ∵矩形ABCD的长和宽分别为a+4b，a+3b， ∴矩形ABCD的面积为（a+4b）（a+3b）＝a2+7ab+12b2， 故答案为：a2﹣12b2；a2+7ab+12b2； （2）解：①由题意得，AE+DE＝BP+CP， ∴AE+a＝x+4b， ∴AE＝x+4b﹣a； ②图3中， 右下角的长方形长和宽分别为x，a，则面积为xa， 左上角长方形长和宽分别为x+4b﹣a，3b，则面积为3b（x+4b﹣a）， ∴S＝xa﹣3b（x+4b﹣a）， 整理得到，S＝xa﹣3bx﹣12b2+3ab＝x（a﹣3b）﹣12b2+3ab， 当BC的长度变化时，S始终保持不变，则a﹣3b＝0时成立，即a＝3b． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式在几何图形中的应用，解题关键在于找准各部分图形的边长与边长之间的关系，准确表示出面积的代数式，需要注意的是，长方形的对边与对边长度相等，可互相等量代换求得其他线段的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$