第二章 二次函数 单元测试-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

第二章 二次函数 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第二章（二次函数）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列函数中属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义及表达式是解题的关键． 根据二次函数的一般式进行判定即可求解． 【详解】解：A、是二次函数，符合题意； B、是一次函数，不是二次函数，不符合题意； C、不是二次函数，不符合题意； D、是反比例函数，不是二次函数，不符合题意； 故选：A ． 2．抛物线的顶点坐标是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是； 故选C． 3．将抛物线向上平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据函数平移规律“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式为， 故选：C． 4．已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（      ） A．， B．，0 C．，0 D．3，0 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，找出抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．根据抛物线与x轴交点的横坐标，即可得方程的解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的交点的横坐标为与， ∴的两根为：，． 故选：A． 5．若点、在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查比较二次函数值，将两点横坐标代入函数解析式比较函数值即可． 【详解】解：当时，， 当时，； 所以，， 故选：B． 6．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（） A．小球在空中经过的路程是 B．小球运动的时间为 C．小球抛出时，刚好到达最高点 D．小球所能到达的最大高度为 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象应用，掌握数形结合思想是解题的关键．根据二次函数图象和性质求解． 【详解】解：A．由图象知小球在空中经过的路程是；故A是错误的； B．当时，高度为0，则运动时间是，或由图象可知，小球时落地，故小球运动的时间为，故B是正确的； C．由图象知小球抛出时达到最高点，故C是正确的； D．由图象知小球所能到达的最大高度为，故D是正确的； 故选：A． 7．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．与y轴交点坐标为 B．与x轴有两个公共点 C．当时，y随x增大而减小 D．对称轴为直线 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐一判断即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解： 当时，， 图象与y轴的交点坐标为，故A不符合题意； ， 图象与x轴没有交点，故B不符合题意； ∵，即：抛物线的开口向上，且对称轴为， 当时，y的值随x值的增大而减小，故C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 8．如图，同一平面直角坐标系中，抛物线与双曲线的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和双曲线的图象，先根据抛物线图象确定a与0的大小，再判断双曲线图象是否满足条件即可． 【详解】解：， ∴对称轴为， A、由抛物线图象可知，对称轴，所以双曲线的图象应该在第一、三象限，故选项A符合题意； B、由抛物线图象可知，所以双曲线的图象应该在第二、四象限，故选项B不符合题意； C、由抛物线图象可知，对称轴，故选项C不符合题意； D、由抛物线图象可知，所以双曲线的图象应该在第一、三象限，故选项D不符合题意； 故选：A． 9．已知，，抛物线（t为常数）与轴的交点中，有且只有一个点在线段上，则t的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，解不等式组等知识，先求出抛物线与x轴的交点坐标为或，然后分在A、B之间或在A、B之间求解即可． 【详解】解：令， 解得，， ∴抛物线与x轴交于或， ∵抛物线（t为常数）与轴的交点中，有且只有一个点在线段上，，， ∴在A、B之间或在A、B之间， ∴或， 解得或， 故选：D． 10．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为，经过点，有下列结论：①；②；③；④其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数的图象为一条抛物线，当，抛物线的开口向下，当时，函数值最大；抛物线与轴的交点坐标为．由抛物线开口向下得到；由抛物线的对称轴为直线得到；由抛物线与轴的交点在轴的上方得到，则；观察图象得到当时，，即；当时，，即；根据二次函数的最值问题得到时，有最大值，则，变形得到，即可求解． 【详解】解：抛物线开口向下， ； 抛物线的对称轴为直线， ； 抛物线与轴的交点在轴的上方， ， ，所以①正确； 当时，，即， ，所以②不正确； 当时，，即，所以③正确； 抛物线的对称轴为直线， 时，有最大值， ， ， 所以④正确． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．若点是抛物线 上一点， ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线上的点，根据抛物线上的点的坐标满足函数解析式，将代入，进行求解即可。 【详解】解：把代入，得：； 故答案为： 12．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是，运动2秒时，小球的高度是 米． 【答案】40 【分析】本题考查了二次函数求值．将代入函数解析式中进行计算求解． 【详解】解：，运动2秒时， （米）． 故答案为：40． 13．如图所示的抛物线过原点，将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，先根据图象中顶点坐标和图象过原点，求出图中二次函数的解析式，然后再根据平移规律得出平移后的二次函数表达式． 【详解】解：根据图象可知，二次函数的顶点坐标为， ∴设图中二次函数解析式为：， ∵二次函数图象过原点， ∴把代入得：， 解得：， ∴图中二次函数解析式为， ∴将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为： ． 故答案为：． 14．已知二次函数有最小值，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．利用二次函数，当时，开口向上，有最小值，即可解答． 【详解】解：∵有最小值， ∴二次函数的图象开口向上， ∴， 解得：， 故答案为：． 15．小狗跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系． 对某只小狗一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行测量，得到以下数据： 水平距离x 0 1 2 竖直高度y 0 根据上述数据，回答问题： 在小狗起跳点前方处有一条小溪，若小狗跳跃能跃过小溪，则可预估小溪的宽度未超过 m． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．根据表中数据得出抛物线解析式；令，解方程求出x的值，即求出野兔的落地点与比较即可． 【详解】解：由，和，可知， 抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为. 当时，， ， 解得， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得，（舍去）， ∴野兔落地点距离起跳点米， （米）， ∴小溪的宽度不超过米． 故答案为：． 16．如图，直线与抛物线交于， 两点，如果，那么x的取值范围是 ．    【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）：本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数 (是常数，)与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 先利用点坐标确定直线解析式，再确定点坐标，然后写出直线在抛物线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：直线经过点， ， ， 直线的解析式为． 过直线， ， ， ， 由图象可知，当或时，． 故答案为：或． 17．若抛物线与x轴有两个交点，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查二次函数图象与x轴的交点情况与判别式的值之间的关系，掌握抛物线与x轴有两个交点则判别式的值大于零是解题的关键． 根据抛物线与x轴有两个交点可知判别式的值大于零且二次项系数不为0，据此列式不等式组计算即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，解得：且． 故答案为：且． 18．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D的下方），且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键．作点关于对称轴的对称点，向下平移3个单位，得到，连接，交对称轴于点，此时的值最小，利用解析式求得、点的坐标，根据抛物线的对称性求得的坐标，进一步求得的坐标，再求解即可． 【详解】解：作点关于对称轴的对称点，向下平移3个单位，得到，连接，交对称轴于点，此时的值最小， 可得 四边形是平行四边形， ， ， 在中，令，则， 点， 令，则， 解得或， 点， 抛物线的对称轴为直线， ， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．已知抛物线经过点． (1)求a的值； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式和求二次函数的函数值： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出当时，y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， 在中，当时，． 20．已知二次函数． (1)点在此函数图象上，求m的值； (2)将此函数图象沿y轴向上平移3个单位，则平移后的抛物线表达式为_______． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象的平移． （1）将点代入计算，即可求解； （2）根据二次函数图象平移的规律“上加下减，左加右减”即可写出平移后二次函数的解析式． 【详解】（1）解：∵点在此函数图象上， ∴； （2）解：抛物线的图象沿y轴向上平移3个单位后的解析式为：． 故答案为：． 21．我国是最早发明火箭的国家，制作火箭、模拟火箭升空是青少年喜爱的一项科技活动．已知学校航模组织设计制作的火箭的升空高度与飞行时间的关系是，如果火箭在点火升空的最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多少时间降落伞将打开？这时火箭的高度是多少？ 【答案】火箭点火后13秒降落伞将打开，这时火箭的高度是170米 【分析】直接利用配方法将二次函数写成顶点式，进而求出即可． 【详解】解：由题意可得： ， ， ， 故火箭点火后13秒降落伞将打开，这时火箭的高度是170米． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确配方求出顶点式是解题关键． 22．二次函数中的，满足下表． x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … (1)观察表中信息，发现_____，抛物线的对称轴为_____； (2)方程的解为_____； (3)当时，的取值范围为_____． 【答案】(1)；直线 (2)或， (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与不等式之间的关系： （1）根据当时，，可得；根据对称性可求出对称轴； （2）根据当时， 或即可得到答案； （3）根据表格中的数据可判断出函数开口向上，进而可得当时，的取值范围为． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴； ∵当时和当时的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：；直线； （2）解：∵当时， 或， ∴方程的解为或， 故答案为：或； （3）解：∵对称轴为直线，且当时，， ∴顶点的纵坐标小于其它位置的纵坐标，即函数有最小值， ∴函数开口向上， ∴当时，的取值范围为， 故答案为：． 23．如图，二次函数的图象的对称轴为，与直线 相交于点和点，其中点轴上． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，根据图象写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求法，二次函数的图象和性质，理解相关知识是解答关键． （1）先求出点的坐标，再把点的坐标代入二次函数求出，根据二次函数的对称轴求出即可求解． （2）根据抛物线与直线相交于点，，观察图形来求解． 【详解】（1）解：在中，令，得， ． 把代入二次函数， 得， ． 二次函数的图象的对称轴为， ， 解得， 该二次函数的解析式为． （2）解：抛物线与直线相交于点，， 由图象可得，当时，的取值范围是或． 24．二次函数中的，满足如下表. x … -1 0 1 2 3 … y … 0 -3 m -3 0 … (1)观察表中信息，发现______，抛物线的对称轴为_______． (2)求该抛物线的解析式，并求时的值． (3)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象，结合图象，请直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1)-3，直线 (2)抛物线的解析式为；当时， (3)画图象见解析，或． 【分析】（1）当时，，观察表格此时，∴， ∵和时，，∴根据对称性可知对称轴为直线； （2）代入两组数据，求出a、b的值即可，再代入，即可求出的值； （3）根据表中数据，在坐标系中描点、连线即可画出图象，再根据图象就能判断取值． 【详解】（1）（1）-3，直线 （2）设抛物线的解析式为： 分别代入，；， 得： 解得： ∴抛物线的解析式为 当时，，解得． （3） 根据图象可判断出当时，或． 【点睛】本题考查二次函数的性质和图象、二次函数与一元二次方程的关系、作函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 25．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的任意一点（不与点重合），且点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象． (1)求点的坐标； (2)当点到轴的距离为时，求的值； (3)当图象的最大值与最小值的差为时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或或或； (3)的取值范围是或． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标与图形，二次函数几何综合，二次函数的最值，以及二次函数图象与性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． （1）利用待定系数法求解二次函数，当时则，即可解题； （2）根据题意得到或，分别解一元二次方程即可求解； （3）根据图象的最大值与最小值的差为，分情况讨论①当点在点上方时，②当点在点下方时，结合二次函数的最值，以及二次函数对称性求解，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得， 抛物线的解析式为， 当时则， ∴； （2）解：点的横坐标为， ， ∴或， 当时，整理得， 解得或； 当时，整理得， 解得或； 综上，的值为或或或； （3）解：由（）得， 图象的最大值与最小值的差为， ①当点在点上方时， ， ， ， 解得或（舍去）， ， ②当点在点下方时， 若点在点左侧，不满足题意， 点在点右侧， ， 解得或（舍去）， 综上所述，的取值范围是或． 26．如图，抛物线与直线交轴、轴于、两点，与轴的另一个交点为，是直线上方抛物线上的一动点，轴于点，交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)连接、，求四边形面积最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可； （）设点，点，则点，可得，，列出方程解答即可求解； （）设，则，即得，再根据可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值和几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 将代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设点，点，则点， ∴，， 当时，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴； （3）解：设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，取最大值，最大值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 二次函数 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第二章（二次函数）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列函数中属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是 （   ） A． B． C． D． 3．将抛物线向上平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（      ） A．， B．，0 C．，0 D．3，0 5．若点、在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 6．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（） A．小球在空中经过的路程是 B．小球运动的时间为 C．小球抛出时，刚好到达最高点 D．小球所能到达的最大高度为 7．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．与y轴交点坐标为 B．与x轴有两个公共点 C．当时，y随x增大而减小 D．对称轴为直线 8．如图，同一平面直角坐标系中，抛物线与双曲线的图象大致为（   ） A． B． C． D． 9．已知，，抛物线（t为常数）与轴的交点中，有且只有一个点在线段上，则t的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 10．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为，经过点，有下列结论：①；②；③；④其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．若点是抛物线 上一点， ． 12．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是，运动2秒时，小球的高度是 米． 13．如图所示的抛物线过原点，将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为 ． 14．已知二次函数有最小值，则的取值范围是 ． 15．小狗跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系． 对某只小狗一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行测量，得到以下数据： 水平距离x 0 1 2 竖直高度y 0 根据上述数据，回答问题： 在小狗起跳点前方处有一条小溪，若小狗跳跃能跃过小溪，则可预估小溪的宽度未超过 m． 16．如图，直线与抛物线交于， 两点，如果，那么x的取值范围是 ．    17．若抛物线与x轴有两个交点，则m的取值范围是 ． 18．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D的下方），且，则的最小值是 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．已知抛物线经过点． (1)求a的值； (2)当时，求y的值． 20．已知二次函数． (1)点在此函数图象上，求m的值； (2)将此函数图象沿y轴向上平移3个单位，则平移后的抛物线表达式为_______． 21．我国是最早发明火箭的国家，制作火箭、模拟火箭升空是青少年喜爱的一项科技活动．已知学校航模组织设计制作的火箭的升空高度与飞行时间的关系是，如果火箭在点火升空的最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多少时间降落伞将打开？这时火箭的高度是多少？ 22．二次函数中的，满足下表． x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … (1)观察表中信息，发现_____，抛物线的对称轴为_____； (2)方程的解为_____； (3)当时，的取值范围为_____． 23．如图，二次函数的图象的对称轴为，与直线 相交于点和点，其中点轴上． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，根据图象写出的取值范围． 24．二次函数中的，满足如下表. x … -1 0 1 2 3 … y … 0 -3 m -3 0 … (1)观察表中信息，发现______，抛物线的对称轴为_______． (2)求该抛物线的解析式，并求时的值． (3)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象，结合图象，请直接写出当时，自变量的取值范围． 25．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的任意一点（不与点重合），且点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象． (1)求点的坐标； (2)当点到轴的距离为时，求的值； (3)当图象的最大值与最小值的差为时，求的取值范围． 26．如图，抛物线与直线交轴、轴于、两点，与轴的另一个交点为，是直线上方抛物线上的一动点，轴于点，交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)连接、，求四边形面积最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$