第一章 直角三角形的边角关系 单元测试-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

第一章 直角三角形的边角关系 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第一章（直角三角形的边角关系）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值问题，根据特殊角的三角函数值进行解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 2．下列四个数中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的比较大小，特殊角的三角函数值，解题的关键是两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小来进行比较即可． 【详解】解： ∴， 故选：D． 3．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，则高为（   ）cm． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，在中，根据可得答案． 【详解】解：在中，， ∵， ∴cm． 故选：D． 4．如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数，根据网格特点，先求得，再根据正弦定义求解即可． 【详解】解：如图，，， 在中，， 故选：D． 5．在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据三角函数的定义即可作出判断． 【详解】解：在中，， ∴，，，，故A、B、C错误， ，故D正确， 故选：D． 6．在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：如图，在中，，，， ∴， ； 故选：D． 7．在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的5倍，则的正切值（    ） A．扩大为原来的5倍 B．缩小为原来的5倍 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的表示是解题的关键，由于把直角三角形的三边都扩大为原来的5倍，那么的对边和邻边的比值是不变的，则的正切值也是不变的，从而得到答案． 【详解】解：在中，各边的长度都扩大为原来的5倍， ∴扩大后的三角形与原三角形相似，的度数不变， ∴的正切值不变， 故选：C． 8．如图，为测量建筑物的高，利用一架无人机A对建筑物的点B和点C进行观测，则下列说法错误的是（   ） A．仰角为 B．当无人机远离水平飞行时，仰角增大 C．俯角为 D．当无人机远离水平飞行时，俯角减小 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角性质，仰角和俯角的定义，仰视角线与水平线的夹角为仰角，俯视角线与水平线的夹角为俯角，据此即可作答． 【详解】解：∵利用一架无人机A对建筑物的点B和点C进行观测， ∴仰角为，俯角为， 故A和C选项是正确的，不符合题意； 如图： 当无人机远离水平飞行时，例如无人机飞行至时 则 ∴ ∴仰角减小 故选项是错误的，符合题意； 当无人机远离水平飞行时，例如无人机飞行至时 则 ∴ ∴俯角减小 故选项是正确的；不符合题意． 故选：． 9．如图，将菱形纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在射线上的点E处，折痕交于点P．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，作于，由菱形，，可得，，则，由折叠的性质可知，，则，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于， ∵菱形，， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质，余弦，正切等知识．熟练掌握菱形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质，余弦，正切是解题的关键． 10．已知在中，，，点是延长线上任意一点，作于点，于点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，用函数思想确定的表达式是解题的关键．设，则，则，在中，，则，由，即可求解． 【详解】解：过点作于点，设交于点，过点作于点， ，，， ，，， 则， 设，则， 则， 在中，， 则， 则， 故的最小值为， 故选：A 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．如果锐角满足，则的大小是 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值即可直接得出答案． 【详解】解：锐角满足， 锐角， 故答案为：． 12．如图，一根竖直的木杆在离地面1的A处折断，木杆顶端落在地面的B处上，与地面的夹角为，若，则木杆折断之前高度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握正弦的定义成为解题的关键． 由题意可得，进而解答，然后求出即可． 【详解】解：由题意可知： ∵， ∴，即，解得：， ∴木杆折断之前高度为． 故答案为． 13．小张沿着某斜坡前进后，高度上升了，那么该斜坡坡比 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、坡度比的定义等知识点，理解坡度的定义成为解题的关键． 先根据勾股定理求得，再根据坡度的定义求解即可． 【详解】解：如图：∵, ∴． ∴该斜坡坡比． 故答案为：． 14．小明在探究一个角的正弦值与余弦值之间的关系发现：．已知中，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同角三角函数的关系，根据，，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 15．如图，在中，，，D为AC上一点，，，则 ． 【答案】20 【分析】根据在中，，，为上一点，，，可以求得的长，的长．本题考查锐角三角函数，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】 解：在中，，，，， ， ，，， ， 故答案为：20． 16．如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，连接交边于点，连接．若，则的周长为 ． 【答案】/ 【分析】由作图知是的垂直平分线，则，，角度推导得到，继而求出，再解求出，即可求解． 【详解】解：由作图知是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴周长为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握知识点，发现是解题的关键． 17．如图，在等边三角形中，D是上的点，连接，，P在上，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查求角的正切值，等边三角形的性质以及勾股定理等知识，过点A作交的延长线于点H，求出，，过点A作于点G，求出，过点P作于点Q，运用等积关系得出，由勾股定理得出，再求出的正切值即可． 【详解】解：过点A作交的延长线于点H，如图， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 过点A作于点G， ∴即 ∴， 又, ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 又， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴， 过点P作于点Q， ∴ ∴ ∴； 在中，， ∴， 故答案为：． 18．如图，在矩形纸片中，，，点E是边上的点，连接，将沿翻折，使点B落在处；点F是边上的点，连接，将沿翻折，使点C恰好落在线段上，记作点，连接．如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】连接，设，先判断，再利用勾股定理通过进行等量代换列出关于x的方程，然后解方程求得x值，进而可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， 设，则， 由折叠性质得，，，，， ∴，则， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，又， ∴，即， 解得，， 当时，，，则，不满足题意，舍去； 当时，，，则，满足题意， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠性质、勾股定理、解直角三角形，一元二次方程的解法，也考查学生图形分析能力和逻辑推理能力．本题中根据折叠性质得到，利用勾股定理求解是解答的关键． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，负整数指数幂，二次根式的混合运算及实数的混合计算，先计算特殊角三角函数值和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可． 【详解】 ． 20．如图，在中，，，．求、、． 【答案】，， 【分析】本题考查解直角三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴，， 21．在如图的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A、在小正方形的格点上，在图1，图2中各画一个三角形，满足下列要求： (1)在图1中画一个，点在小正方形格点上，且的面积为5； (2)在图2中画一个，使中有一个角为，点在小正方形格点上，且的面积为3，请直接写出的值______． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析， 【分析】本题主要考查勾股定理及三角函数，熟练掌握勾股定理及三角函数是解题的关键； （1）根据勾股定理可进行作图； （2）根据题意可直接进行作图，然后由格点图结合角的正弦值可进行求解． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：所作图形如图所示： 由格点可知：， ∴； 故答案为． 22．跳楼机是游乐园常见的大型机动游戏设备（如图），小明同学想测算跳楼机的上升速度，将其抽象成如图所示的示意图，跳楼机从地面处发射，前以的平均速度竖直上升到达处．此时小明在处观测跳楼机的仰角为．跳楼机以不同的速度再继续上升后到达处，此时小明在处测得跳楼机的仰角为．求跳楼机在段的平均速度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，，） 【答案】跳楼机在段的平均速度约为 【分析】根据时间与速度计算出路程，通过三角函数计算出，即可得到的距离，最后用速度公式求解即可． 【详解】解：． 又，． ，， ，， 故跳楼机在段的平均速度约为． 【点睛】本题考查了仰角、解直角三角形的应用，解题的关键在于正确计算． 23．如图，考古人员在某古墓大门处探测到古墓内有一个青铜古物，但大门正北方向有一间封闭墓室，考古人员无法沿直线进行挖掘．经勘测，考古人员发现有两条挖掘线路可以到达青铜古物处，即线路①；线路②．其中点在点的正东方向处，点在点北偏西方向，点在点的正北方向，点在点的西北方向处，点在点的正西方向，点在点北偏东方向． (1)求点，之间的距离．（结果保留一位小数） (2)受周围环境的影响，考古人员挖掘线路①的平均速度是，挖掘线路②的平均速度是，请通过计算估计哪条挖掘线路能更快地到达青铜古物处．（参考数据：，， 【答案】(1) (2)估计挖掘线路①能更快地到达青铜古物处 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，理解题意，将问题转化为解直角三角形问题是解题的关键． （1）过点作交的延长线于点，在中，求出，，再在中求出，进而求出，之间的距离． （2）由（1）可求出线路①即的长度，证明是等边三角形，从而可求出线路②即的长度，进而根据路程÷速度求出选择两条线路挖掘所用的时间，再比较即可解决问题． 【详解】（1）如图，过点作交的延长线于点， 在中， ∵，， ∴， ∴，      ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，     ∴． 答：点，之间的距离约是． （2）在中，， ∴. 根据题意，可知， ∴是等边三角形， ∴，   由（1）可知， ∴线路①的总长度是， ∴挖掘线路①需要的时间是， ∵线路②的总长度是， ∴挖掘线路②需要的时间是， ∵， ∴估计挖掘线路①能更快地到达青铜古物处． 24．某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， (1)求山脚到河岸的距离； (2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 【答案】(1)山脚到河岸的距离为 (2)河宽的长度约 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键． （1）在中，根据的坡度求出，在中，根据等腰直角三角形的性质可得，由线段的和差即可求得； （2）在中，由三角函数的定义求出的长，根据线段的和差即可求出的长度． 【详解】（1）解：在中，， 的坡度， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 答：山脚到河岸的距离为； （2）解：在中，，，， ， ， ， 答：河宽的长度约． 25．综合与实践 【问题情境】 在数学活动课上，老师提出这样的一个问题：如图1，四边形中，平分，试说明线段和之间的数量关系． 【初步探究】 （1）针对老师提出的问题，小敏和小捷两位同学给出了不同的思路： 小敏：如图2，从结论的角度出发：在上截取，连接， 小捷：如图3，从平分这个条件出发，将沿翻折，即：延长线段到点使，……； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比探究】 （2）如图4，中，，平面内有点（点和点在的同侧），连接，猜想线段之间的数量关系，并说明理由． 【学以致用】 （3）如图5，在（2）的条件下，若，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）线段的长度是． 【分析】（1）延长线段到点，使，连接，可证明，得，而，所以，则，即可推导出；另一种证明方法是：在上截取，连接，可证明，得，再证明，则，则； （2）作交的延长线于点L，，所以，则，再证明，得，由，得． （3）由，，，求得，在上取一点H，连接，使，则，求得，则，所以，即可求得． 【详解】（1）证明：如图3，延长线段到点，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 证明：如图2，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图4，作交的延长线于点L，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：线段的长度是， 理由：∵，， ∴，， 在上取一点H，连接，使，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴线段的长度是． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、类比与转化数学 思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 26．（1）如图1，正方形和正方形，其中D，G，F三点共线，延长交于E，连接．若，，则______； （2）在（1）的条件下，如图1，求的值； （3）如图2，正方形和正方形，P是中点，连接，F恰在上，连接、，若，当最小时，求正方形的边长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过E作于M，根据正方形的性质和勾股定理可求，，判断是等腰直角三角形，则可求，然后根据正切的定义求解即可； （2）根据正方形的性质，余角的定义可得出，，然后证明，即可求解； （3）连接、连接，，同（2）可证，得出，证明，得出，则可判断点G在定直线上运动，故当时，最小，设直线与相交于M，过M作于N，根据正切定义可得，即，设，则，判断是等腰直角三角形，得出，则可求，，，，根据等面积法求出，过G作于O，同理可求，，则，，最后在中，根据余弦定义即可求解． 【详解】解：（1）过E作于M， ∵，， ∴， 在正方形中，，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵正方形， ∴， ∴， 同理，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，连接，连接， 同（2）可证， ∴， ∵正方形和正方形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点G在定直线上运动， ∴当时，最小， 设直线与相交于M，过M作于N， ∴，即， ∵P为中点， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得，即， ∴， ∴， ∴， ∵当时，最小， ∴， ∴， ∴， 过G作于O， 同理可求，， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识．明确题意，添加合适的辅助线，寻找相似三角形求解是解题的关键． 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15．如图，在中，，，D为AC上一点，，，则 ． 16．如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，连接交边于点，连接．若，则的周长为 ． 17．如图，在等边三角形中，D是上的点，连接，，P在上，连接，若，则 ． 18． 如图，在矩形纸片中，，，点E是边上的点，连接，将沿翻折，使点B落在处；点F是边上的点，连接，将沿翻折，使点C恰好落在线段上，记作点，连接．如果，那么 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．计算： 20．如图，在中，，，．求、、． 21．在如图的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A、在小正方形的格点上，在图1，图2中各画一个三角形，满足下列要求： (1)在图1中画一个，点在小正方形格点上，且的面积为5； (2)在图2中画一个，使中有一个角为，点在小正方形格点上，且的面积为3，请直接写出的值______． 22．跳楼机是游乐园常见的大型机动游戏设备（如图），小明同学想测算跳楼机的上升速度，将其抽象成如图所示的示意图，跳楼机从地面处发射，前以的平均速度竖直上升到达处．此时小明在处观测跳楼机的仰角为．跳楼机以不同的速度再继续上升后到达处，此时小明在处测得跳楼机的仰角为．求跳楼机在段的平均速度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，，） 23．如图，考古人员在某古墓大门处探测到古墓内有一个青铜古物，但大门正北方向有一间封闭墓室，考古人员无法沿直线进行挖掘．经勘测，考古人员发现有两条挖掘线路可以到达青铜古物处，即线路①；线路②．其中点在点的正东方向处，点在点北偏西方向，点在点的正北方向，点在点的西北方向处，点在点的正西方向，点在点北偏东方向． (1)求点，之间的距离．（结果保留一位小数） (2)受周围环境的影响，考古人员挖掘线路①的平均速度是，挖掘线路②的平均速度是，请通过计算估计哪条挖掘线路能更快地到达青铜古物处．（参考数据：，， 24．某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， (1)求山脚到河岸的距离； (2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 25．综合与实践 【问题情境】 在数学活动课上，老师提出这样的一个问题：如图1，四边形中，平分，试说明线段和之间的数量关系． 【初步探究】 （1）针对老师提出的问题，小敏和小捷两位同学给出了不同的思路： 小敏：如图2，从结论的角度出发：在上截取，连接， 小捷：如图3，从平分这个条件出发，将沿翻折，即：延长线段到点使，……； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比探究】 （2）如图4，中，，平面内有点（点和点在的同侧），连接，猜想线段之间的数量关系，并说明理由． 【学以致用】 （3）如图5，在（2）的条件下，若，请直接写出线段的长度． 26．（1）如图1，正方形和正方形，其中D，G，F三点共线，延长交于E，连接．若，，则______； （2）在（1）的条件下，如图1，求的值； （3）如图2，正方形和正方形，P是中点，连接，F恰在上，连接、，若，当最小时，求正方形的边长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$