2024—2025学年苏科版数学九年级上册数学第11周《抛物线的几何变换》

9上数学第11周《抛物线的几何变换》 【课前热身】 1．在平面直角坐标系中，函数y＝（x﹣1）（x+3）的图象经变换后得到函数y＝（x﹣3）（x+1）的图象，则这个变换可以是（　　） A．向左平移2个单位 B．向左平移4个单位 C．向右平移2个单位 D．向右平移4个单位 2．小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点（2，0）有4种方法： ①向右平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度；③向下平移4个单位长度；④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度。你认为小嘉说的方法中正确的是序号是 3．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣x﹣6向上（下）或向左（右）平移了|m|个单位长度，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为 　 　，最大值为 　 　． 4．将函数y＝﹣（x+1）2+2的图象分别作如下变换 （1）沿x轴翻折，得到的新图象的函数表达式为 　 　； （2）沿直线x=3翻折，得到的新图象的函数表达式为 　 　； （3）沿y轴翻折，得到的新图象的函数表达式为 　 　； （4）沿直线y=3翻折，得到的新图象的函数表达式为 　 　； （5）绕着原点旋转180°，得到的新图象的函数表达式为 　 　； （6）绕着点P（3，3）旋转180°，得到的新图象的函数表达式为 　 　； 再向右平移两个单位，得函数表达式为 　 　； （7）将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，当直线y＝m与新图象有2个交点时，m的取值范围是 . 有4个交点时，m的取值范围是 . 5．将二次函数y＝x2－4位于x轴下方的图象沿x轴翻折，再得到一个新函数的图象． （1）当x＝－3时，新函数值为  ，当x＝1时，新函数值为  ； （2）当x＝   时，新函数有最小值； （3）当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是  ； （4）若关于x的方程|x2－4|＝a有且只有两个解，则a的取值范围  ． 6．如图，在平面直角坐标系中，将函数y＝x2﹣2x的图象先沿x轴翻折，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线所对应的函数表达式是（　　） A．y＝﹣x2+2x+5 B．y＝﹣x2+2x﹣5 C．y＝﹣x2﹣2x+5 D．y＝﹣x2﹣2x﹣5 第6题 第7题 第8题 7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝kx的图象相交于点A，B，点A的横坐标为﹣1，点B的横坐标为5．下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③关于x的方程ax2+bx+c＝kx的两根为x1＝﹣1，x2＝5；④a＝2k，其中所有正确结论的序号是　 　 8．抛物线图象如图所示，根据图象，抛物线的解析式可能是（　　） A．y＝x2﹣x﹣2 B．y＝﹣x2+x+2 C．y＝﹣x2﹣x+2 D．y＝x2+x﹣2 9．如图，抛物线y＝﹣x2+2．将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作C1，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作C2，C1和C2构成的图形记作C3． 关于图形C3，给出如下四个结论：①图形C3关于y轴成轴对称；②图形C3有最小值，且最小值为0；③当x＞0时，图形C3的函数值都是随着x的增大而增大的；④当﹣2≤x≤2时，图形C3恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．以上四个结论中，所有正确结论的序号是 　 　． 10．如图，抛物线与x轴只有一个公共点A（3，0），与y轴交于点B（0，6），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移6个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为 　 　． 第9题 第10题 第11题 11．平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2﹣1在x轴和x轴下方的部分记作G1，将G1沿x轴翻折记作G2，G1和G2构成的图形记作G．关于图形G，如图所示，以下三个结论中，正确的序号是 　 　． ①图形G关于原点对称；②图形G关于直线y＝x对称；③图形G的面积为S，满足2＜S＜π． 12．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝a2﹣ab（a≤b）；a*b＝b2﹣ab（a＞b），关于x的方程（2x﹣3）*（x﹣2）＝m恰好有两个不相等的实数根，则m的值是 　 　． 13．已知二次函数y＝2x2+4x﹣3，点A（﹣2，1），B（2，3）． （1）函数y的最小值为 　 　． （2）若将二次函数沿y轴方向平移k个单位长度后与线段AB有两个交点，则k的取值范围为 　 　． 14．已知抛物线y＝x2+4x，点A（3，m）与点B（n，4）关于该抛物线的对称轴对称，那么m+n的值等于 　 　． 15．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2（h是常数），且﹣2≤x≤3． （1）当h＝﹣1时，求函数的最大值； （2）若函数的最大值为﹣1，求h的值． 16．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，求这个二次函数的解析式． 【典型例题】 1．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，3），B（3，3），将抛物线y＝﹣x2+1向上平移m个单位，使得平移后的抛物线与线段AB有公共点，求m的取值范围． 2．已知二次函数y＝x2﹣2（a+1）x+1﹣a． （1）如果直线y＝x+3经过二次函数y＝x2﹣2（a+1）x+1﹣a图象的顶点P，求此时a的值； （2）随着a的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数解析式；如果不是，请说明理由； （3）将该二次函数以x＝2为对称轴翻折后的图象顶点的横坐标为a，求原函数与y轴的交点纵坐标． 3．【概念认识】 已知m是实数，若某个函数图象上存在点M（m，m），则称点M是该函数图象上的“固定点”． 【数学理解】 （1）一次函数y＝﹣2x+3的图象上的“固定点”的坐标是 　 　； （2）求证：反比例函数y＝（k＞0）的图象上存在2个“固定点”； （3）将二次函数y＝x2+bx+1（b＜﹣2）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象在x轴上方的部分组成一个类似“W”形状的新图象．若新图象上恰好存在3个“固定点”，求b的值． 4．小明对二次函数y＝ax2+b|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请帮他补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … 其中，a＝　 　，b＝　 　． （2）根据表中数据，请画出该函数的图象； （3）探究与应用： ①若关于x的方程ax2+b|x|﹣t＝0有四个实数根，则t的取值范围是 　 　； ②结合图象，直接写出关于x的不等式ax2+b|x|＜x解集． 5．已知二次函数y＝x2+bx﹣3（b为常数）． （1）若该函数的图象经过点（3，0），则： ①b的值为 　 　； ②当﹣3＜y＜5时，x的取值范围为 　 　． （2）当m＜y＜n时（其中m，n为实数，m＜n），x的取值范围为﹣1＜x＜4．直接写出m，n的值或取值范围． （3）当﹣1≤x≤2时，y的最小值为﹣5，求b的值． 6．已知二次函数y＝x2﹣（k+3）x+3k． （1）求证：无论k为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2）已知该函数的图象在x轴上截出的线段长为8，且原点位于该图象的上方，求k的值． 【巩固练习】 1．将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（　　） A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变 2．已知二次函数的图象的顶点是（1，2），且经过点（0，5），则二次函数的解析式是（　　） A．y＝﹣3（x+1）2+2 B．y＝3（x+1）2+2 C．y＝﹣3（x﹣1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2 3．若将一个二次函数的图象向左平移2个单位，所得函数解析式是，那么这个二次函数的解析式为 　 　． 4．如果抛物线向右平移一个单位后，顶点落在抛物线上，那么a的值等于 　 　． 5．抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（0，﹣3），且对称轴到y轴的距离为2，则抛物线的函数表达式是 　 　． 6．已知y1，y2的图象由y＝2x2的图象平移得到，为了探究如何平移，小明列出了下表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y＝2x2 … 18 8 2 0 2 8 18 … y1 … 18 m 2 0 2 8 18 … y2 … 20 n 4 2 4 p 20 … （1）直接写出m的值和y1的函数表达式； （2）将二次函数y2的图象先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求得到的抛物线顶点坐标． 7．如图，二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣2），与y轴的交点坐标为（0，3）． （1）求二次函数的表达式； （2）当﹣2≤x≤3时，y的取值范围是 　 　； （3）将该二次函数图象向下平移 　 　个单位长度恰好经过点（﹣2，0）． 第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $$