精品解析：四川省成都市实验外国语学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

成都实外2024-2025学年度高二年级10月月考试卷 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240，90和120.现采用分层抽样的方法选出30位同学进行某项调查研究，则“史地政”组合中选出的同学人数为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义列出式子，进行求解. 【详解】由题意得，史地政”组合中选出的同学人数为. 故选：A 2. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理逐项进行判断即可. 【详解】因为构成空间的一个基底，所以不共面， 对于A，因为，所以共面，故A错误； 对于B，因为，所以共面，故B错误； 对于C，设，则，方程组无解，所以不共面，故C正确； 对于D，因为，所以共面，故D错误； 故选：C. 3. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得其斜率，即可得倾斜角. 【详解】. 设其倾斜角为，则，又， 则，即倾斜角为150°. 故选：D 4. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，由对立事件的概率性质可得答案． 【详解】根据题意，密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率为， 故该密码被成功破译的概率为． 故选：B. 5. 数据的第百分位数为（ ） A. 14 B. 9.5 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】由百分位数的概念求解即可. 【详解】数据从小到大依次排列为：，共个数据． 由于，所以第百分位数为第个数据，即为． 故选：D． 6. 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子出现的点数，事件“两个骰子点数之和是5”的概率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由随机事件概率公式可得. 【详解】记“两个骰子点数之和是5”为事件， 则包含的基本事件有Ⅰ号点数为1且Ⅱ号点数为4、Ⅰ号点数为2且Ⅱ号点数为3、Ⅰ号点数为3且Ⅱ号点数为2、Ⅰ号点数为4且Ⅱ号点数为1共4个， 所以， 故选：A. 7. 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将用表示，用表示，再利用向量法求解即可. 【详解】解：在正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中， ， 因为M，N分别为BC，AD的中点， 所以， 且， 则 ， 所以， 即直线AM和CN夹角的余弦值为. 故选：A. 8. 在等腰直角三角形中， 点 是边 上异于 的一点，光线从点 出发，经 反射后又回到原点 （如图）.若光线 经过 的重心，则 等于 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】建立如图所示的坐标系，可得， 故直线的方程为 ， 的重心为 ， 设，其中 ， 则点关于直线 的对称点， 满足， 解得，即 ， 易得关于 轴的对称点， 由光的反射原理可知 四点共线， 直线的斜率为， 故直线的方程为 ， 由于直线过的重心）， 代入化简可得， 解得，或 （舍去）， 故，故． 故选D． 考点：与直线关于点、直线对称的直线方程． 【思路点睛】建立坐标系，设点的坐标，可得关于直线的对称点的坐标，和关于轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程，由于过 的重心，代入可得关于的方程，解之可得的坐标，进而可得的值．本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. （教材第47页复习参考题1第1题） 9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件，“点数小于5”记为事件，“点数大于5”记为事件.下列说法正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的定义逐项分析判断. 【详解】事件，事件，事件， 对于A，事件没有公共元素，不可能同时发生，与互斥，A正确； 对于B，事件可以同时不发生，如点数5，与不对立，B错误； 对于C，，，与相互独立，C正确； 对于D，由选项C知，，则，D错误. 故选：AC （教材87-89课后作业） 10. 下列关于轨迹方程的说法，正确的是（ ） A. 与两定点，的距离的比为的动点的轨迹方程为 B. 长为2的线段的两个端点A和分别在轴和轴上滑动，则线段的中点M的轨迹方程为 C. 已知线段的端点的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为 D. 若圆的一条直径的端点分别是，.则此圆的方程是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用两点间距离公式结合条件化简可判定A，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判定B，利用相关点法计算可判定C，利用中点坐标公式结合圆的标准方程化简可判定D. 【详解】对于A，设，则，化简得， 故A正确； 对于B，设，若时，则为直角三角形， 易知，即此时， 若，此时， 若，此时，该两种类型均满足， 综上M的轨迹方程为，故B错误； 对于C，设，则由题意可知， 将代入得，故C正确； 对于D，取的中点C，则相应圆心为， 易知半径， 由圆的标准方程得， 整理得，故D正确. 故选：ACD 11. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是 B. 已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 已知正方体棱长为2，点在线段上运动，则的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间点对称特征求解判断A；根据空间向量基本定理求解判断B；利用空间向量投影向量的运算法则及数量积的坐标运算求解判断C；将放在同一个平面上，利用余弦定理求解最小值判断D. 【详解】点关于轴对称点的坐标是，故选项A为假命题； 由题意不共面，， 故选项B为真命题； 向量在向量上的投影向量为，故选项C为真命题； 由题可得示意图图一，将放在同一个平面上得图二， 当三点共线的时候有最小值为BD， 由题可知，， 由余弦定理可知，， 故选项D为假命题. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，构成空间的一个基底，将用基底表示，=__________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据向量的加减运算法则，求得，进而求得向量，得到答案. 【详解】由题意，，，， 连接，根据向量的线性运算法则，可得， 因为为中点，， 又由点在上，且，可得， 所以. （教材第84页例3） 13. 已知圆心为的圆经过、两点，且圆心在直线上.则圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设圆心，根据结合两点间的距离公式求出的值，再求出圆的半径，即可得出圆的标准方程. 【详解】因为圆心在直线上，设圆心， 由可得，解得，则， 所以，圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. 故答案为：. 14. 在如图的的方格表中随机选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则事件“选中方格中的4个数之和为”的概率为______. 11 13 13 15 20 22 23 24 31 32 33 35 41 42 42 44 【答案】##0.125 【解析】 【分析】由古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】在如图的的方格表中随机选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中， 则所有的可能为：, , ， ，共24种可能； 其中满足“选中方格中的4个数之和为”的可能为： ，共3种可能； 故所求为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的平均数和第75百分位数. 【答案】（1） （2）84 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1列出方程，求出； （2）利用中间数作代表求出平均数，判断出，设出第75百分位数为，得到方程，求出，得到答案. 【小问1详解】 由每组小矩形的面积之和为1得，， 解得. 【小问2详解】 平均数为， 所以样本成绩的平均数为74， 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第75百分位数为，则， 由，解得， 所以第75百分位数为84. 16. 在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点. （1）证明平面. （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 证明：以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系， 则，，，，. ，，，， . ，面面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标，求得直线的方向向量，以及的坐标，再由向量法即可证明； （2）求得平面的法向量，结合的坐标，利用向量的投影计算公式，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为， 则，，， 取，则，，， 又，， 点到平面的距离为. 17. 已知圆经过点，，三点，直线的方程为. （1）求圆的标准方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）当为何值时，直线被圆截得的弦长最短？并求出最短弦长. 【答案】（1） （2） 证明：直线的方程可化为， 联立，解得， 故直线恒过定点； （3）， 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）将直线方程化为关于的多项式等于0，联立方程组即可求解； （3）当直线时，直线被圆截得的弦长最短，求出此时圆心到直线的距离，结合弦长公式即可求解. 【小问1详解】 设圆的方程为，， 则，解得， 则圆的方程为， 即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，，当直线时，直线被圆截得的弦长最短， 则直线的斜率为， 由得直线的斜率为，解得， 此时的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 最短弦长. 18. 甲、乙二人进行一次羽毛球比赛，有五局三胜制和三局两胜制两种赛制.五局三胜制中，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束；三局两胜制中，约定先胜2局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束.假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立. （1）若采用五局三胜制，且已知前2局中，甲、乙各胜1局. ①求再赛2局结束这次比赛的概率； ②求甲获得这次比赛胜利的概率. （2）采用五局三胜制还是三局两胜制对甲更有利，并通过计算说明理由. 【答案】（1）①0.52；②0.648 （2）五局三胜制对甲更有利， 理由为：记“三局两胜制下甲获胜”为事件， 则 由于各局比赛结果相互独立，且事件，，互斥. ， 记“五局三胜制下甲获胜”为事件，比赛分3局赛完、4局赛完和5局赛完三种情况， ①若3局赛完，则甲获胜的情况有1种：“甲甲甲”（甲代表本局比赛甲胜）； ②若4局赛完，则甲获胜的情况有3种：“甲甲乙甲”、“甲乙甲甲”、“乙甲甲甲”； ③若5局赛完，则甲获胜的情况有6种：“甲甲乙乙甲”、“甲乙甲乙甲”、“甲乙乙甲甲”、 “乙甲甲乙甲”、“乙甲乙甲甲”、“乙乙甲甲甲”； 由于各局比赛结果相互独立，且以上事件均两两互斥， ， 因为，故五局三胜制对甲更有利. 【解析】 【分析】（1）由独立乘法公式、互斥加法公式即可求解； （2）算出两种赛制甲获胜的概率，比较大小即可得解. 【小问1详解】 ①用表示事件“第局甲胜”，表示事件“第局乙胜”， 设“再赛2局结束这次比赛”为事件，则， 由于各局比赛结果相互独立，且事件与事件互斥. 所以 . 故再赛2局结束这次比赛的概率为0.52. ②记“甲获得这次比赛胜利”为事件， 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局， 从而， 由于各局比赛结果相互独立，且事件，，两两互斥， 所以. 故甲获得这次比赛胜利的概率为0.648. 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，，，是中点，、分别是、边上的动点，且；将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥； （1）求证：； （2）若，二面角是直二面角，求锐二面角的正切值； （3）当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1） 证明：因为，， 所以，即，，，，平面， 平面，平面，所以 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面即可得到结果； （2）根据直二面角建立空间直角坐标系，求二面角余弦，进而求出正弦值，计算正切值即可； （3）先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用以及对勾函数单调性得出范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为二面角是直二面角， 所以平面平面，平面平面，， 平面，平面， 以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 设平面法向量为， ，，，， 设平面法向量为 ，令，得，，所以， 设二面角为， ， ， ； 【小问3详解】 分别以反方向和方向分别为，轴，过C做的垂线为轴， 设，，，，，显然， ，， ，得出，则，则， 根据翻折后勾股定理得， 化简得，因为构成直角三角形，则，且，解得， 设平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， ， 则， 令，，令，则，且， ， 根据对勾函数在上单调递减，且恒大于0， 则函数在单调递增，则，即， 则，即正弦值的取值范围. 【点睛】方法点睛：本题第三问先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用对勾函数的单调性得出范围即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都实外2024-2025学年度高二年级10月月考试卷 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240，90和120.现采用分层抽样的方法选出30位同学进行某项调查研究，则“史地政”组合中选出的同学人数为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 6 2. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 3. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 4. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 数据的第百分位数为（ ） A. 14 B. 9.5 C. 8 D. 9 6. 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子出现的点数，事件“两个骰子点数之和是5”的概率等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在等腰直角三角形中， 点 是边 上异于 的一点，光线从点 出发，经 反射后又回到原点 （如图）.若光线 经过 的重心，则 等于 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. （教材第47页复习参考题1第1题） 9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件，“点数小于5”记为事件，“点数大于5”记为事件.下列说法正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与对立 C. 与相互独立 D. （教材87-89课后作业） 10. 下列关于轨迹方程的说法，正确的是（ ） A. 与两定点，的距离的比为的动点的轨迹方程为 B. 长为2的线段的两个端点A和分别在轴和轴上滑动，则线段的中点M的轨迹方程为 C. 已知线段的端点的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为 D. 若圆的一条直径的端点分别是，.则此圆的方程是 11. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是 B. 已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 已知正方体棱长为2，点在线段上运动，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，构成空间的一个基底，将用基底表示，=__________. （教材第84页例3） 13. 已知圆心为的圆经过、两点，且圆心在直线上.则圆的标准方程为______. 14. 在如图的的方格表中随机选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则事件“选中方格中的4个数之和为”的概率为______. 11 13 13 15 20 22 23 24 31 32 33 35 41 42 42 44 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的平均数和第75百分位数. 16. 在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点. （1）证明平面. （2）求点到平面的距离. 17. 已知圆经过点，，三点，直线的方程为. （1）求圆的标准方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）当为何值时，直线被圆截得的弦长最短？并求出最短弦长. 18. 甲、乙二人进行一次羽毛球比赛，有五局三胜制和三局两胜制两种赛制.五局三胜制中，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束；三局两胜制中，约定先胜2局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束.假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立. （1）若采用五局三胜制，且已知前2局中，甲、乙各胜1局. ①求再赛2局结束这次比赛的概率； ②求甲获得这次比赛胜利的概率. （2）采用五局三胜制还是三局两胜制对甲更有利，并通过计算说明理由. 19. 如图，在中，，，是中点，、分别是、边上的动点，且；将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥； （1）求证：； （2）若，二面角是直二面角，求锐二面角的正切值； （3）当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $