精品解析：上海市延安初级中学2024-2025学年七年级上学期数学期中考试卷

上海市延安初级中学2024学年第一学期初一年级数学期中试卷 （考试时间：80分钟满分：100分） 班级________姓名________学号________成绩________ 一、填空题（第2，3，16题，每空1分，其余每题2分，共34分） 1. 用代数式表示：“的倍减去的差”是________． 2. 单项式﹣的系数是_____，次数是_____． 3. 在整式中，次数最高项是________；一次项系数是______． 4. 将整式按y降幂排列是_____________． 5. 若与的和是一个单项式，则______． 6. 在横线上填入正确的整式让等式成立：______． 7. 计算：__________． 8. 计算：______． 9. 计算：_______． 10. 因式分解：________． 11. 因式分解：__________． 12. 已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则______． 13. 若，，则的值为________． 14. 将关于的一次二项式与二次三项式相乘，积中不出现一次项，且二次项系数为，则______． 15. 已知：，则_____． 16. 利用完全平方公式和平方差公式都能对进行简便计算，请你写出相应的计算过程： ______________________________；（运用完全平方公式） ______________________________．（运用平方差公式） 17. 在长方形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为_______．（用a、b的代数式表示） 二、选择题（每题2分，共8分） 18. 下列说法正确的是（ ） A. 与是同类项 B. 是单项式 C. 是二次四项式 D. 的常数项是 19. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 20. 下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解（ ） A. B. C. D. 21. 已知，那么下列因式分解错误的是（ ） A. B. C. D. 三、计算（每题4分，共16分） 22. 计算： 23. 计算： 24. 计算： 25. 计算： 四、因式分解（每题4分，共16分） 26. 因式分解： 27. 因式分解： 28. 因式分解：． 29. 因式分解： 五、解答题（第30题4分，其余每题5分，共19分） 30. 解不等式： 31. 已知整式M，满足（n是正整数）， （1）求整式M； （2）当正整数x、z满足时，求M的值． 32. 已知，时，代数式的值为：当，时，求代数式的值． 33. 已知数、、、满足，，求的值． 六、综合与实践（共7分） 34. 我们知道一条直线（一维）被个点分割，最多可以分成部分；那么一个平面（二维）被条直线分割，最多可以分成多少部分?一个空间（三维）被个平面分割，最多可以分成多少部分？ 【探究】一个平面（用平行四边形表示）被条直线分割，（给出的图例如下） 直线条数 新直线被分成的份数 原平面被分成的份数 增加的平面份数 新平面被分成的份数 填空：________． 计算：，，，．．．．．，，这组差，再把这组差相加可得：_______．（用含的式子表示），进而得到的表达式． 【延伸】我们已知一条直线（一维）被个点分割，最多可以分成部分，即一维的分割数是的一次多项式．经过证明，我们了解到二维的分割数是的二次多项式，三维的分割数是的三次多项式．我们解决一个平面（二维）被条直线分割，最多可以分成多少部分的问题就有了新的办法． 令这个二维分割数为，代入，，得：________．（用含的式子表示） 【类比】一个空间（用球体表示）被个平面分割．（给出的图例如下） 请用以上两种方法分别得出三维分割数．（用含的式子表示） 方法一： 方法二： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市延安初级中学2024学年第一学期初一年级数学期中试卷 （考试时间：80分钟满分：100分） 班级________姓名________学号________成绩________ 一、填空题（第2，3，16题，每空1分，其余每题2分，共34分） 1. 用代数式表示：“的倍减去的差”是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了列代数式，以及代数式的书写规范；根据题意先求倍数后求差，列出代数式，将带分数写成假分数的形式即可求解． 【详解】解：根据：的倍减去的差 ∴ 故答案为：． 2. 单项式﹣的系数是_____，次数是_____． 【答案】 ①. ﹣ ②. 3 【解析】 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】根据单项式系数、次数的定义可知： 单项式﹣的系数是﹣；次数是2+1＝3． 故答案为：﹣；3． 【点睛】此题考查单项式的系数和次数，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键． 3. 在整式中，次数最高项是________；一次项系数是______． 【答案】 ①. ； ②. ． 【解析】 【分析】本题考查了多项式中项的系数和多项式的次数 ．组成多项式的每一个单项式叫做多项式的项，这一项中的数字部分就是这一项的系数；多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数 ． 【详解】解：在整式中， 的次数为， 的次数为， 的次数为， 的次数为， 这四项中次数最高为次， 次数最高的项是； 一次项是，一次项的系数为． 故答案为：； ． 4. 将整式按y降幂排列是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式的排列问题，按照y的次数从高到低重新排列多项式即可得到答案． 【详解】解：将整式按y降幂排列是， 故答案为：． 5. 若与的和是一个单项式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项中所含字母相同，相同字母的指数也相同．首先可判断单项式与是同类项，再由同类项的定义即可． 【详解】解：若与的和为单项式， 则与为同类项， ， ， ， 故答案为：． 6. 在横线上填入正确的整式让等式成立：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算．根据整式加减法则列出算式，计算即可． 【详解】解：根据题意： ， 则横线上应该填入：， 故答案为：． 7. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法混合运算．根据单项式乘以多项式运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 8. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式．掌握两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方的差，用字母表示为是解题关键．将改成，再根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 9. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是乘法公式的应用；本题利用完全平方公式进行计算即可，熟记乘法公式是解本题的关键． 【详解】解： ； 故答案为：． 10. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式法，公式法分解因式，掌握提取公因式公式法是关键． 根据题意，先提取公因式，再运用平方差公式计算即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 12. 已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：∵关于x的整式是某个关于x的整式的平方， ∴， ∴， 解得，或， 故答案为：或． 13. 若，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，先利用幂的乘方的逆运算法则和同底数幂的除法的逆运算法则将化简为，代入，求出，再利用幂的乘方的逆运算法则得到，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 14. 将关于的一次二项式与二次三项式相乘，积中不出现一次项，且二次项系数为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式．首先根据多项式乘多项式的法则进行计算可得，合并同类项可得，根据积中不出现一次项，且二次项系数为，可得方程组，两个方程相减可得结果 ． 【详解】解： ， 积中不出现一次项，且二次项系数为， ， 得：． 故答案为： ． 15. 已知：，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了运用公式法分解因式、解二元一次方程序组、求代数式的值．首先把拆成和两项，可以得到，然后用完全平方公式分解因式得到，根据平方的非负性可以得到二元一次方程组解方程组可以求出，然后代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ，， 解方程组， 得：， ． 故答案为： ． 16. 利用完全平方公式和平方差公式都能对进行简便计算，请你写出相应的计算过程： ______________________________；（运用完全平方公式） ______________________________．（运用平方差公式） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法公式，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （）根据完全平方公式即可求解； （）根据平方差公式即可求解． 【详解】解：； ； 故答案为：；． 17. 在长方形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为_______．（用a、b的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式和整式的混合运算，解题的关键是：能灵活运用整式的运算法则进行计算．设，则，根据图形得出，再根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：设，则， 故答案为：． 二、选择题（每题2分，共8分） 18. 下列说法正确的是（ ） A. 与是同类项 B. 是单项式 C. 是二次四项式 D. 的常数项是 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式的定义，多项式的项及其次数的定义，同类项的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数；所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 【详解】解：A、与所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，二者不是同类项，原说法错误，不符合题意； B、是单项式，原说法正确，符合题意； C、是三次四项式，原说法错误，不符合题意； D、的常数项是，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 19. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的混合和运算及合并同类项．根据幂的运算法则，合并同类项法则逐一计算，即可得出答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 20. 下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，理解分解因式概念是解题的关键． 【详解】解：A、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B、等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 21. 已知，那么下列因式分解错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法，分解因式的应用，利用整式乘法运算法则将右边的式子展开，根左边对比，等号成立则正确，等号不成立则错误，据此解答即可． 【详解】解：， ； A、，左边不等于右边，故本选项错误，符合题意； B、，左边等于右边，故本选项正确，不符合题意； C、，左边等于右边，故本选项正确，不符合题意； D、，左边等于右边，故本选项正确，不符合题意； 故选：A． 三、计算（每题4分，共16分） 22. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，单项式除以单项式，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 23. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式除以单项式，先计算多项式乘以多项式，然后利用多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加进行计算即可． 【详解】解： 24. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方、平方差公式、完全平方公式．首先逆用积的乘方可得，运用平方差公式计算可得，再利用完全平方公式展开即可． 【详解】解： ． 25. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】把看作一个整体，利用平方差公式计算，然后再利用完全平方公式展开即可； 【详解】解： 【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键，要注意整体思想的利用和运算符号的处理． 四、因式分解（每题4分，共16分） 26. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，平方差公式，熟练掌握以上知识是解题的关键．先提公因式法，再进行平方差公式即可因式分解． 【详解】解： ． 27. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先利用平方差公式分解因式，再合并同类项后提取公因数2分解因式即可． 【详解】解： ． 28. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用乘法公式进行因式分解．熟练掌握利用乘法公式进行因式分解是解题的关键． 利用平方差、完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 29. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式法与公式法的应用．根据完全平方公式和提取公因式法即可因式分解． 【详解】解： ． 五、解答题（第30题4分，其余每题5分，共19分） 30. 解不等式： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式，解一元一次不等式组是解题的关键．先利用完全平方公式和平方差公式去括号，然后移项合并，系数化为1即可． 【详解】解： ． 31. 已知整式M，满足（n是正整数）， （1）求整式M； （2）当正整数x、z满足时，求M的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式除以单项式，幂的乘方的逆运算： （1）先计算等式左边的积的乘方计算，再计算等式右边的单项式除以单项式，再把等式两边同时除以左边的单项式即可得到答案； （2）先根据幂的乘方的逆运算法则把所给式子变形为，进而求出x、z的值，再代值计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴， ∴， ∴． 32. 已知，时，代数式的值为：当，时，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，理解题意，根据已知条件得到代数式的值，并能整体代入是解题关键．先把，代入，整理得，再把，代入，整理得，变形为，再整体代入即可求解． 【详解】解：把，代入，得， 整理得， 把，代入， 得 ． 33. 已知数、、、满足，，求的值． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法和因式分解．首先根据可得，又因为，可得，把分解因式可得：，把代入可得，利用多项式乘多项式的法则展开可得，再把和代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 六、综合与实践（共7分） 34. 我们知道一条直线（一维）被个点分割，最多可以分成部分；那么一个平面（二维）被条直线分割，最多可以分成多少部分?一个空间（三维）被个平面分割，最多可以分成多少部分？ 【探究】一个平面（用平行四边形表示）被条直线分割，（给出的图例如下） 直线条数 新直线被分成的份数 原平面被分成的份数 增加的平面份数 新平面被分成的份数 填空：________． 计算：，，，．．．．．，，这组差，再把这组差相加可得：_______．（用含的式子表示），进而得到的表达式． 【延伸】我们已知一条直线（一维）被个点分割，最多可以分成部分，即一维的分割数是的一次多项式．经过证明，我们了解到二维的分割数是的二次多项式，三维的分割数是的三次多项式．我们解决一个平面（二维）被条直线分割，最多可以分成多少部分的问题就有了新的办法． 令这个二维分割数为，代入，，得：________．（用含的式子表示） 【类比】一个空间（用球体表示）被个平面分割．（给出的图例如下） 请用以上两种方法分别得出三维分割数．（用含的式子表示） 方法一： 方法二： 【答案】； ，； ； ， 方法一、个平面把一个空间分成个空间， 个平面把一个空间分成个空间， 个平面把一个空间分成个空间， 个平面把一个空间分成个空间， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴； 方法二、设， 把、、、代入， 可得：， 解方程组可得：， ． 【解析】 【分析】根据平面内有条直线、条直线、条直线时平面被分成的个数总结出规律，根据规律得到的值； 根据题目中提供的思路得到：，，，，，然后把这组差相加可得：，从而得到，计算可得结果； 把、、分别代入，得到三元一次方程组，解方程组求出、、的值即可； 仿照和提供的思路求解即可． 【详解】解：由题意可知：平面内有条直线时，平面被分成个平面， 平面内有条直线时，平面被分成个平面，增加了个平面， 平面内有条直线时，平面被分成个平面，增加了个平面， 根据规律可知：当平面内有条直线时，将增加个平面，平面被分成个平面， 故答案为：； 根据规律可知：，，，，， 把这组差相加可得：， ， ， ， ， ， 故答案为：，； 把、、分别代入， 可得：， 解方程组得：， ， 故答案为：； 略 【点睛】本题主要考查直线与平面的性质及根据已知条件找规律，解决本题的关键是理解题干中的解决问题的方法，根据题干中提供的思路解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $