第1章 二次函数 单元测试 2024-2025学年湘教版数学九年级下册

第1章二次函数 综合素质评价 限时: 120分钟 满分: 120分 一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列函数中，y一定是x的二次函数的是(　　) A．y＝ax2＋bx＋c　 B．y＝x(x2＋1)　 C．y＝x＋1　 D．y＝－3x2 2．二次函数y＝(x＋2)2－4的顶点坐标是(　　) A．(－2，－4) B．(2，－4) C．(－2，4) D．(2，4) 3．把抛物线y＝－x2＋1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为(　　) A．y＝－(x＋3)2＋1　　　 B．y＝－(x＋1)2＋3 C．y＝－(x－1)2＋4　　　　　 D．y＝－(x＋1)2＋4 4．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2－bx＋b－1(b为常数)的图象顶点在x轴上，当图象经过点(3，y1)，(m，y2)时，y1＞y2，则m的取值范围为(　　) A．m＞－1　 B．m＜3　　 　 C．－1＜m＜3 D．m＜－1或m＞3 5．函数y＝(a≠0)与y＝ax2－1(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 6．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … －2 －1 0 1 2 … y … 5 0 －3 －4 －3 … 从表中信息可知，下列说法中正确的是(　　) A．抛物线的对称轴是y轴 B．抛物线与x轴的一个交点坐标为(3，0) C．函数y＝ax2＋bx＋c的最小值为5 D．当x>2时，y随x的增大而减小 7．抛物线y1＝x2－2mx－m－3的顶点为A，过点A作y轴的平行线交直线y2＝x－1于点B，下列结论错误的是(　　) A．抛物线y1的对称轴为直线x＝m 　　　　 B．抛物线y1过定点 C．若抛物线y1与直线y2在第一象限有交点，则m＞－1 　　　　 D．线段AB的最小值为1 8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过(－3，0)与(1，0)两点，关于x的方程ax2＋bx＋c＋m＝0(m>0)有两个根，其中一个根是3.若关于x的方程ax2＋bx＋c＋n＝0(0<n<m)有两个整数根，则这两个整数根是(　　) A．－2，0 B．－4，2 C．－5，3 D．－6，4 9．如图①，在矩形ABCD中，动点E从点A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作FE⊥AE，交CD于点F，设点E的运动路程为x，FC＝y，如图②所示的是y与x的函数关系的大致图象(由线段和抛物线的一部分构成)，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是，则矩形ABCD的面积是(　　) A．20 B．16 C．6 D．8 10．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且该抛物线与x轴交于点A(1，0)，与y轴的交点B在(0，－2)，(0，－3)之间(不含端点)，则下列结论正确的个数为(　　) ①abc>0；②9a－3b＋c>0；③<a<1；④若方程ax2＋bx＋c＝x＋1的两根为m，n(m<n)，则－3<m<1<n. A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题(每题3分，共24分) 11．某厂的一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y(万件)将随计划所定的x值而确定，那么y与x之间的关系式应表示为________________． 12．已知抛物线y＝x2＋(a＋1)x＋a经过点(－1，m)，则m＝________. 13．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，且AC＋BD＝8，则四边形ABCD面积的最大值为________． 14．如果三点P1(1，y1)，P2(3，y2)和P3(4，y3)在抛物线y＝－x2＋6x＋c上，那么y1，y2，y3之间的大小关系是____________．(用“>”连接) 15．若抛物线y＝(a＋1)x2－2x＋3与x轴有交点，则整数a的最大值是________． 16．已知二次函数y＝ax2＋c(a＞0)的图象与直线y＝kx＋b(k＞0)交于M(－，m)，N(2，n)两点，则关于x的不等式ax2－kx＋(c－b)＜0的解集为____________________． 17．如图，当一喷灌架为一农田喷水时，喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线y＝－(x－5)2＋3.6，则该喷灌架喷出的水可到达的最远距离OA＝________米． 18．定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x＝m，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m的部分关于直线x＝m的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫作原函数关于直线x＝m的“镜面函数”．例如：函数y＝x＋1关于直线x＝0的“镜面函数”的表达式为y＝已知A(－1，0)，B(3，0)，C(3，－2)，D (－1，－2)，函数y＝x2－2nx＋2(n>0)关于直线x＝0的“镜面函数”图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，则n的取值范围是________________． 三、解答题(19，20题每题9分，21，22，23题每题11分，24题15分，共 66分) 19．已知二次函数的图象经过点(0，－4)，且当x＝2时，y有最大值－2，求该二次函数的表达式． 20．已知二次函数y＝ax2(a≠0)的图象经过点(2，－1)． (1)求该函数的表达式及对称轴； (2)试判断点P(－1，2)是否在此函数的图象上． 21．在平面直角坐标系xOy中，M(m，y1)，N(m＋2，y2)是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)上两点．设该抛物线的对称轴为直线x＝t. (1)若对于m＝1，有y1＝y2，求t的值； (2)若对于1＜m＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围． 22．投壶是中国古代士大夫宴饮时玩的一种投掷游戏，是把箭向壶里投，投中多的为胜．小明与小颖一起玩投壶游戏，使用底面边长为 0.2 m的正方形、高为0.5 m的长方体木桶作壶，投掷点O到壶中心的水平距离为4 m．下图抛物线是小明投出箭头的运动轨迹，已知箭离手时箭头的位置点A距离地面1.5 m，飞行到离小明的水平距离为1 m处达到最高点，箭头恰好穿过壶中心进入壶中． (1)求出小明投掷时，箭头运动路线对应的函数表达式； (2)小颖投掷时，箭头运动路线对应的函数表达式为y＝－(x－0.9)2＋1.676，请判断小颖此次投掷能否成功进壶，并说明理由；如果不能，小颖想把壶的位置移动一下，请你帮助小颖计算一下，这次投掷如果成功进壶，那么壶需要移动的方向以及移动距离d的范围． 23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(1，2)，B(2，1)． (1)抛物线的表达式为____________； (2)已知直线y＝x＋m经过点A，判断点B是否也在直线y＝x＋m上，并说明 理由； (3)平移抛物线y＝－x2＋bx＋c，使平移后的抛物线的顶点在直线y＝x＋m上，若平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为n，求n的取值范围． 24．如图，二次函数y＝(t－1)x2＋(t＋1)x＋2(t≠1)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于C点，x＝0与x＝3时的函数值相等． (1)二次函数的表达式为________________； (2)若点P是第一象限的抛物线上一点，求S△PBC最大时点P的坐标； (3)若点P是x轴上方抛物线上一点，∠CAP＝45°，求点P的坐标． 答案 一、1．D　2．A　3．D　4．C　5．D　6．B　7．C　8．B 9．A 【点拨】当点E在BC上时，如图， 由题意易知∠FEC＋∠AEB＝90°，∠FEC＋∠EFC＝90°， ∴∠EFC＝∠AEB， ∵在△CFE和△BEA中，∠EFC＝∠AEB，∠C＝∠B＝90°，∴△CFE∽△BEA.∴＝. 由图象易知AB＝5，由抛物线的对称性可得，当E为BC的中点时，CF有最大值，此时BE＝CE＝x－5，即＝，∴y＝(x－5)2， 将y＝代入，得＝(x－5)2，解得x1＝3(舍去)，x2＝7， ∴BE＝CE＝2，∴BC＝4， ∴矩形ABCD的面积为4×5＝20.故选A. 10．B 【点拨】∵抛物线开口向上，∴a>0. ∵对称轴为直线x＝－1<0，∴易得a，b同号，∴b>0， ∵与y轴的交点B在(0，－2)，(0，－3)之间， ∴－3<c<－2<0，∴abc<0，故①不正确； ∵对称轴为直线x＝－1，且该抛物线与x轴交于点A(1，0)， ∴该抛物线与x轴交于另一点(－3，0)， ∴当x＝－3时，y＝9a－3b＋c＝0，故②不正确； ∵抛物线与x轴交于点(1，0)，(－3，0)，∴方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1＝1，x2＝－3， ∴x1·x2＝＝－3，∴c＝－3a， ∵－3<c<－2，∴－3<－3a<－2， ∴<a<1，故③正确； 若方程ax2＋bx＋c＝x＋1的两根为m，n(m<n)，则直线y＝x＋1与该抛物线的两个交点的横坐标为m，n. ∵直线y＝x＋1过第一、二、三象限，且过点(－1，0)， ∴直线y＝x＋1与该抛物线的交点在第一、三象限， 由图象可知－3<m<1<n.故④正确． 综上所述，正确的结论有③④，故选B. 二、11．y＝2x2＋4x＋2或y＝2(1＋x)2 12．0　13．8　14．y2＞y3＞y1　15．－2 16．－＜x＜2 【点拨】∵二次函数y＝ax2＋c(a＞0)的图象与直线y＝kx＋b (k＞0)交于M(－，m)，N(2，n)两点，∴当－＜x＜2时，ax2＋c＜kx＋b，即ax2－kx＋(c－b)＜0，∴关于x的不等式ax2－kx＋(c－b)＜0的解集为－＜x＜2. 17．11 18．<n<2或n> 【点拨】如图，易得函数y＝x2－2nx＋2(n>0)关于直线x＝0的“镜面函数”的表达式为y＝ 当x＝－1时，令y<0，则1－2n＋2<0，解得n>，此时y＝x2＋2nx＋2(n>0)的图象与矩形ABCD的边2个交点． 当y＝x2－2nx＋2(n>0)的图象的顶点在CD上时，＝－2，解得n＝2或n＝－2(舍去)， 易知此时函数y＝x2－2nx＋2(n>0)关于直线x＝0的“镜面函数”图象与矩形ABCD的边有5个交点，不合题意；当y＝x2－2nx＋2(n>0)的图象的顶点在CD上方时，>－2，易得－2<n<2，∵n>0，∴0<n<2，要使上述“镜面函数”图象与矩形ABCD的边有4个交点，只需n>，∴<n<2； 当y＝x2－2nx＋2(n>0)的图象的顶点在CD下方时，<－2，解得n<－2或n>2， ∵n>0，∴n>2，要使上述“镜面函数”图象与矩形ABCD的边有4个交点，只需当x＝3时，y<－2， ∴9－6n＋2<－2，解得n>. 综上，n的取值范围为<n<2或n>. 三、19．【解】∵当x＝2时，y有最大值－2， ∴可设所求的二次函数的表达式为y＝a(x－2)2－2(a≠0)． ∵二次函数的图象经过点(0，－4)， ∴－4＝a×(0－2)2－2，解得a＝－. ∴该二次函数的表达式为y＝－(x－2)2－2. 20．【解】(1)把(2，－1)代入y＝ax2，得4a＝－1， 解得a＝－， ∴该函数的表达式是y＝－x2， 对称轴是y轴． (2)把x＝－1代入y＝－x2， 得y＝－≠2，∴点P不在此函数的图象上． 21．【解】(1)当y1＝y2时，M，N关于直线x＝t对称， ∴＝t，∴t＝m＋1，∵m＝1，∴t＝2. (2)∵M(m，y1)，N(m＋2，y2)是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)上两点，且对于1＜ m＜2，都有y1＜y2，∴点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，即M与N的中点在对称轴的右侧，∴t<.∵1＜m＜2，∴3＜m＋2＜4，∴2<<3，∴t≤2. 22．【解】(1)由题意可得抛物线的对称轴为直线x＝1，经过点(0，1.5)，(4，0.5)， 设小明投掷时箭头运动路线对应的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，由题意可得， 解得而由题意可知箭飞行的范围是0 m到 4 m，即0≤x≤4， ∴小明投掷时箭头运动路线对应的函数表达式为y＝－x2＋x＋(0≤x≤4)． (2)小颖此次投掷不能成功进壶，理由： 当y＝0.5时，－(x－0.9)2＋1.676＝0.5， 解得x1＝3.7，x2＝－1.9(不符合题意，舍去)， ∴4－3.7＝0.3>＝0.1， ∴小颖此次投掷不能成功进壶． 小颖这次投掷如果成功进壶，那么壶需要移动的方向是向小颖所在的方向移动，移动距离d的范围是(0.3－0.1)m<d<(0.3＋0.1)m，即0.2 m<d<0.4 m. 23．【解】(1)y＝－x2＋2x＋1 (2)点B不在直线y＝x＋m上． 理由：∵直线y＝x＋m经过点A(1，2)，∴1＋m＝2，∴m＝1，∴y＝x＋1， 把x＝2代入y＝x＋1，得y＝3≠1， ∴点B(2，1)不在直线y＝x＋m上． (3)∵平移抛物线y＝－x2＋2x＋1，使平移后的抛物线的顶点在直线y＝x＋1上， ∴可设平移后的抛物线的表达式为y＝－(x－p)2＋p＋1. ∵抛物线y＝－(x－p)2＋p＋1与y轴的交点的纵坐标为n， ∴易得n＝－p2＋p＋1＝－＋，∴当p＝时，n有最大值，最大值为.∴n的取值范围是n≤. 24．【解】(1)y＝－x2＋x＋2 (2)如图①，过点P作PD∥y轴，交BC于点D. 令y＝0，得－x2＋x＋2＝0，解得x1＝－1，x2＝4， ∴B(4，0)，∴OB＝4. 又易知C(0，2)，∴易得直线BC的表达式为y＝－x＋2， 设点P， ∴点D的坐标为∴PD＝－a2＋2a， ∴S△PBC＝PD·OB＝××4＝－a2＋4a＝－(a－2)2＋4， ∴当a＝2时，S△PBC有最大值，最大值为4，此时－a2＋a＋2＝3， ∴点P的坐标为(2，3)， (3)如图②，将AC绕点A顺时针旋转90°得到AC′，易得C′(1，－1)，连接CC′，取CC′的中点H，作直线AH交抛物线于点P，则∠CAP＝45°. 由(2)得A(－1，0)，且易得H， ∴易得直线AH的表达式为y＝x＋， 联立解得或 ∴P. 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