福建省莆田第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

第 1页，共 4页 莆田一中 2024~2025学年度上学期第一学段考试试卷 高二 数学 选择性必修一第一、第二章、第三章 3.1、3.2 考试时间 120 分钟 试卷满分 150 分 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.椭圆 2 2 1 4 x y  的焦距是( ) A. 3 B. 2 3 C. 2 D. 4 2.直线 1 0x y   关于 y轴对称的直线的方程为( ) A. 1 0x y   B. 1 0x y   C. 1 0x y   D. 1 0x y   3.已知直线 l经过两点 ( 1,2), (3,4)A B ，则直线 l的一个方向向量是( ) A.  2,4 B. (1,2) C.  4, 2  D.  4, 2 4．已知直线 2y x 是双曲线 :C   2 2 2 1 04 y x b b    的一条渐近线，则C的离心率等于( ) A． 5 2 B． 3 2 C． 5 D． 5 2 或 5 5.已知圆 1C : 2 2( 3) 1x y   和圆 2C : 2 2( 3) 9x y   ，动圆 M同时与圆 1C 及圆 2C 相外切，则动圆圆心 M的轨迹方程是( ) A. 2 2 1 8 x y  B. 2 2 1 8 yx   C.   2 2 1 1 8 x y x  … D. 2 2 1( 1) 8 yx x  „ 6.在两条异面直线 a，b上分别取点 A，E和点 A，F，使 AA a  ，且 .AA b  已知 2A E  ， 3AF  ， 5EF  ， 6AA  ，则两条异面直线 a，b所成的角为( ) A. 6  B. 4  C. 3  D. 2  7.在平面直角坐标系 xOy中，A为直线 : 3l y x 上在第一象限内的点, (10, 0)B ，以 AB为直径的圆 C与直 线 l交于另一点 .D 若 0AB CD    ，则点 A的横坐标为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第 2页，共 4页 8．已知椭圆 E： 2 2 2 2 1 x y a b   （ 0a b  ）的左焦点为 F ，过焦点 F作圆 2 2 2x y b  的一条切线 l交椭圆 E的 一个交点为 A，切点为Q，且 2OA OF OQ     （O为坐标原点），则椭圆 E的离心率为( ) A． 5 3 B． 3 3 C． 6 3 D． 3 2 二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6分， 部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9．若{ }, ,a b c    是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有( ) A． , 2 ,3a b c    B． 2 ,2 3 , 4 3a b b c a b c           C． , ,a b b c a c         D． 2 , ,a b c b a c         10. 已知椭圆 2 2 1 4 3 x y   的左右焦点分别为 1 2,F F ，直线 l交椭圆于 ,P Q两点，则( ) A. 2PF Q 的周长为 4 B. 当 3 π 21  PFF 时， 1 2PF F 的面积为 3 C. 若直线 l经过点 1F ，则 PQ的最小值是 3 D. 若线段 PQ中点为  1,1 ，则直线 l的方程为 0743  yx 11．如图，在棱长为 1的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，点 P在侧面 1 1AAD D内运动（包括边界），Q为棱DC中 点，则下列说法正确的有（ ） A．存在点 P满足平面 / /PBD 平面 1 1B DC B．存在点 P满足 DBCCP 1平面 C．当 P为线段 1DA中点时，三棱锥 1 11P A B D 的外接球体积为 4 2 π 9 D．若 QPD BPA  ，则点 P的轨迹长为 2 π 9 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12.方程 2 2 1 4 10 x y k k     表示焦点在 x轴上的椭圆，则实数 k的取值范围是__________. 13．已知 (3,1, 0)A ， (5,2,2)B ， (2,0,3)C ，则点 C到直线 AB的距离为__________. 第 3页，共 4页 14.在平面直角坐标系中， 1 1( , )P x y ， 2 2( , )Q x y ，定义 1 2 1 2( , )d P Q x x y y    为两点之间的“折线距 离”.坐标原点 O与直线 2 2 5 0x y   上一点的“折线距离”的最小值是__________；圆 2 2 1x y  上 一点与直线 2 2 5 0x y   上一点的“折线距离”的最小值是__________ 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. (本小题 13分 ) 已知 a为实数，设直线 1l ： ( 2) 1 0a x y    ， 2l ：3 (4 3) 0.x ay a    (1)若 1 2l l ，求 a的值及 1l 与 2l 的交点坐标； (2)若 1 2/ /l l ，求 1l 与 2l 的距离． 16. (本小题 15分 ) 已知圆 1C 与 y轴相切于点 (0,3)，圆心在经过点 (2,1)与点 ( 2, 3)  的直线 l上． (1)求圆 1C 的方程； (2)证明圆 1C 与圆 2C : 2 2 2 2 9 0x y x y     相交于 M、N两点，并求线段 MN的长度． 17. (本小题 15分 ) 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     ，四点 1P (1,1)， 2P (0,1)， 3 2P (-1, ) 2 ， 4 2P (1, ) 2 中恰有三点在椭圆 C上. (1)求椭圆 C的方程； (2)设 1F 、 2F 为椭圆的左、右焦点，过 2F 的直线 l交椭圆 C于 A、B两点，若 1ABF 的面积是 6 2 ，求直线 l的方程． 第 4页，共 4页 18. (本小题 17分 ) 在三棱锥D ABC 中， 3AC  ， 2 2DC  ， 45DCA  ，CB AB ， 6.BC BD  (1)证明：平面 ADC 平面 ;ABC (2)点 E在棱 DC上，若 BC与平面 EAB所成角的正弦值为 33 11 ，求 DE的长. 19. (本小题 17分 ) 已知圆O： 2 2 1x y  与 x正半轴交于点 A，与直线 3y x 在第一象限的交点为 B．点C为圆 O上任一点， 且满足OC xOA yOB     ，以 x，y为坐标的动点  ,D x y 的轨迹记为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若两条直线 1l ： y kx 和 2l ： 1  y x k 分别交曲线于点 E、F和 M、N，求四边形 EMFN 面积的最大值， 并求此时的 k的值； (3)研究曲线的对称性并证明为椭圆，并求椭圆的焦点坐标． 莆田一中20242025学年度上学期第一学段考试参考答案 -、BACA DCDA 二、AC BCD ABD 三、(7,10). o 四、15.【详解】(I)因为直线4：(a+2)x+y+1=0,4:3x+ay+(4a-3)=0,1⊥2， 当a=0时，直线l:2x+y+1=0,12:3x-3=0,不符合题意…1分 3 当a≠0时，直线4斜率为k=-(a+2),直线l2斜率为k,=- 2分 a 由上h可得：k-k=(+2列2=-小…3分 a 3 即3(a+2)+a=0,解得a=- ……4分 则1：x+2y+2=0,1:2x-y-6=0… 5分 x+2y+2=0.x=2 联立方程组 2x-y-6=0y=-2 …6分 则l与l的交点坐标为(2，-2).……7分 (2)因为直线4：(a+2)x+y+1=0,4:3x+ay+(4a-3)=0,11/, 由(1)知：a=0时，不符合题意 当a≠0时，由(11h可得：k=太，即9+2_1 3 a …8分 解得a=1或a=-3,……9分 当a=1时，两直线方程均为3x+y+1=0,不合题意，…10分 当a=-3时，1方程为-x+y+1=0,即x-y-1=0, 2方程为3x-3y-15=0,即x-y-5=0,… ……11分 故L与L的距离为d=5tl=22.…13分 6【详】0路过点2与点(-2，-3到的直线有车为-11分 所以直线方程为y=x一1，…2分 第1页，共7页 由题意可得，圆心在直线y=3上， y=3 由 y=x-1 解得圆心坐标为(4,3)，……………4分 故圆C的半径为4，…5分 则圆C的方程为(x-4)+(y-3)2=16:……6分 (2)依题意圆C的圆心C(4,3),半径片=4， 圆C,:x2+y2-2x+2y-9=0化为标准方程(x-1+(y+1=11…7分 圆C的圆心C2(,-1),半径5=√1，… 因为CC2上5，片-5=4-而，+5=4+…9分 片一5<CC,<片+5，所以圆G与曲线C,相交，…10分 又圆C的方程为(x-4)2+0y-3)2=16,即x2+y2-8x-6y+9=0,…11分 圆C2:x2+y2-2x+2y-9=0, 两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为3x+4y-9=0.…12分 圆C的圆心到直线3x+4-9=0的距离d-L2+2-9=3.…13分 V32+4 所以两圆的公共弦的长为2V2-d严=216-9=2√万.…15分 17.【详解】(1)根据椭圆的对称性， BL马，0号)两点必在稀圆C上，1分 又P的横坐标为1，所以椭圆必不过PL,), )三点在椭圆C上…2分 把R0,),BL5代入椭圆C,得： b=1 11 …4分 la 261 第2页，共7页 解得a2=2,b2=1,…5分 所以椭圆C的方程为号+y=1. …6分 (2)由(1)知F(1,0), 当直线1斜率为0时，不符合题意，……7分 当直线1斜率不为0时，可设直线1的方程为：x=my+1,A(x,y),B(x,), …8分 x=my+I 联立 +2=1’ 消x得：(m2+2）y2+2my-1=0。 …9分 A=8m2+8>0, -2m 片+少2= 则 m2+2 ,…10分 -1 =m+2 又5号2--对=6+广-4 …11分 …12分 化简得3m4-4m2-4=0…13分 解得m=士√2，…14分 所以直线1的方程为：x-√2y-1=0或x+√2y-1=0…15分 18.【详解】()证明：过D作DH⊥AC,垂足为H,…1分 由AC=3,DC=2V5,∠DCA=45°，得DH=CH=2,…2分 因为CB⊥AB,得AB=√3， 所以cos∠ACB=AC2+BC-AB-CH+BC2-BH ，………3分 2AC·BC 2CH.BC 由题意可知AC=3,BC=√6，AB=√5，CH=2,所以BH=√24分 在△BDH中，BH+DH=DB,所以DH⊥BH,…5分 又DH⊥AC,AC∩BH=H,AC,BHC平面ABC,…6分 所以DH⊥平面ABC,DHC平面ADC,平面ADC⊥平面ABC;·7分 第3页，共7页 (2)如图以H为原点，HB所在直线为x轴，HC所在直线为y轴，HD所在直线为z轴， 建立空间直角坐标系H一灯z… …8分 得A(0,-1,0),B(√2,0,0)，C(0,2,0),D(0,0,2)…9分 设DE=1DC,0≤1≤1，则DE=(0,22,-2), AE=4AD+DE=(0,L,2)+(0,21,-2)=(0,1+2元，2-22)，AB=(W2,L,0)…10分 设平面ABE的一个法向量为m=(x,y,z), 则 m.AB=0∫N2x+y=0 小小小小小…11分 m.AE=01+22)y+(2-2)z=0 m=0,-2, 1+2元) 1111””1111”]2分 20-)1 BC=(-√2,2.0)设直线BC与平面EAB所成角为0， BC.m 1-3W21 √33 sin= 8C-1m63+(20-万 1+222 11,……14分 斯-8 1+21 =22 √21-) …15分 又0<<1，则2=2' …16分 所以DE=(0,l-1),DE=√2. …17分 t1aa8m6每m-a-传哥 …1分 由OC=x0A+0B得，0C=6x+2”2m …2分 则将C+宁列代入+1，化商得产++行山 第4页，共7页 故曲线厂的方程为x2+y2+y=1.…3分 y=k (2)由 1 ++=消y得+k+0r=山，解得x=√+ ，…4分 由已知直线I交曲线于E,F,不妨设E 1 所以EF=2OE=2 k2+1 同理MW=2 *1 k2+1 。**…5分 2+k+1 由题意知41山，所以四边形EMFN的面积S=EFMN, 6分 4 k2+k+1 k2-k+1 S EF-MNV R+1 k2+1 (2+ +2 …7分 因为k2+京+2≥2k. …8分 2 当且仅当k=京 1 时等号成立，此时k=1. ·当k=1时，四边形EMFV的面积最大值为4 4小…9分 2 (3)曲线「的方程为x2+y2+y=1,它关于直线y=x、y=-x和原点对称 下面证明： 设曲线厂上任一点的坐标为P(xo,yo), 则x,2+2+x,=1,点P关于直线y=x的对称点为P(y,x), 因为。2+x,2+x。=1,所以点P在曲线「上，故曲线「关于直线y=x对称，…10分 同理可得点P(xay)关于直线y=-x的对称点P(-o,-x)也在曲线「上， 故曲线「关于直线y=一x对称，同理可证曲线「关于原点对称.…山分 下面证明T为椭圆 证明：①联立曲线「x2+y2+y=1和直线y=x方程， 3V3 解得交点坐标为B, .B 33 33 联立曲线厂x2+y2+y=1和直线y=-x方程， 第5页，共7页 解得交点坐标为A(-l,1),4(L,-1),…12分 则o4-5.1o=.o4-oar-29,yo4oaT.6 √2 在y=-x上取点F }9 …13分 设P(xy)为曲线「上任一点，则 p-哥-+ ………14分 +号2列号2列-2-列32列 +-号2-+2得-可 僧w+4哥-2g+周 因为o =22=44…15分 的距离之和为定值2√互 ②若点P到两定点 (}5 的距离之和为定值2√2， 设P(xy)为曲线「上任一点，则 阴m-t-哥r哥 移项得 +2哥 平方整理得，少=6-+产+0-0+号 第6页，共7页 再移顶平方得+y户+2-动小6- 33 化简可得x2+y2+y=1……16分 故点P的轨迹方程为x2+y2+y=1, 综上所述曲线「是椭圆，其焦点坐标为 (9}59}-分 第7页，共7页