2025届福建省永春第一中学高三一模数学试题

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B B C A B c BD ACD 题号 11 答案 BCD 1.A利用复数的模公式及复数除法法则即可得解因为+V3例=P+小=2， 所以由00-风，得：=后1-放速： 2.C根据指数函数的性质判断A,根据对数函数的性质判断B,利用特殊值判断C,根据幂函数的性 质判断D.因为y=0.3在定义域R上单调递减且a>b>0,所以03°<0.3，故A正确：因为y=gx在定 义域(0，+o)上单调递增且a>b>0,所以lga>lgb,故B正确； 当a>16>0时，高>06，放C不正确：因为y=G在定义域Q网)上单调递增且a>b>0,所 以√a>√6，故D正确故选：C 3.B根据题意，利用指数函数与对数函数的性质，分别求得x的范围，结合充分、必要条件的判定 方法，即可求解.因为P:p:(2+12-2)<0,可得2-2<0，解得x<1, 又由q:lgx<0,可得0<x<1,所以P是9的必要不充分条件故选：B. 4.B求出4B后利用交集的定义可求anB.4=红eN她-x-15s吲-xeN-sx≤3-OL2,3,而 B={川y=sinx={y-1≤y≤1}，故AnB=0,),故选：B 5.C由题意列方程组可求出a,d,再由等差数列的前n项和公式求解即可.设等差数列(a的首项为 ,公差为d,所以由马4=号可得： 9+2a=1 4= 3 9+5a2’解得， 9 1 d= 3 9 所以=17a+25d=7×时+746对-7.放选：C 9 6.A根据给定条件；利用辅助角公式，结合诱导公式及二倍角的余弦公式计算即得.由 2sina=3+2W5cosa，得 21 4 ，即a争-，所以 s2a-孕=sn2a-争+经=os20a-3=1-2sma-孕1-2x2}=号 7.B根据奇函数的定义可判A:根据复合函数的单调性并求出最值判断B、C,D因为x∈[-2，-[1,2]， 答案第1页，共8页 所以定义域关于原点对称，且八=如x+日m（-】nx-网，所以f是奇函 数：故A对令x-x2小所以h在1,2]单调递增，所以0sx-士号号即0su号经， 又y=sn“在0单调递增，所以fy=sim-在[1,2]单调递增，故D对：因为（似是奇函数，所 以)在2-上递增，故c对，综上，f)=-0-0,则=/@--》 sm号,故B 错；故选：B 8.C由功=炉得-，构造函数了倒-（≥2），利用导数求得的单调性，求得%的取值 x y 范围，结合不等式的知识即可得解因为2s￥<，功=疗，所以血三=义 x y 设f问-hx≥2到，则了1n,令f>0,则2<x<e,令r()<0,则x>C, 所以了在2，上单调递增，在e+*)上单调递减，因为f包=f4=,25<,f()-f心)， 所以2≤x<e<y≤4，所以片++…+y>©(n-),又y,≤4,20y,≤80， 要使得片+2++y4≤20，成立，只需e(n-)<80,即n<1+80≈304，所以正整数n的最大值为30. 选：C关键点点睛：本题解恩的关键是由中=力变换得=，从而得以构造函数 f倒=（≥2列，由此得解。 9.BD根据空集的定义判断A,根据集合元素的特征判断B,根据所给函数解析式判断C,将函数写 成分段函数、再分析函数在各段的单调性即可判断D对于A:⑦≤{0}或⑦{O},故A错误； 对于B:x=2%ne2=,64,-20,2468,又e2,令=keZ,所以x=2k,kez, 2 即{5e2-体=2，te2-f,64-202468,所以x=2%ne2-行e2, 故B正确： 对于C:因为四-6Q所以79的值装为，故C错误 对好D.阳-仁。因为y在回上单调笔指。-在可上单调瑞 且f(x)为连续函数，所以f(x)在R上单调递增，故D正确；故选：BD 10.ACD令f)-5求得xpe根据剧BC-Al-骨求得0=4，根据/司 =0求得()的解析式， 2 再逐项验证BCD选项令1=血(@r+)-号得，or+p=了+2江或ox+p 2 +2k,k∈Z, 3 答案第2页，共8页 由图可知：+p=号+2m,@x+p=号+2m+2,ox+p=2+2m, 所以d=-{骨+2，h=-=号所以写-G-h-音+2， 所以w=4,故 03 A选项正确，所以因=(x+p,由/(-0且x=受处在减区间，得n（-骨+p-0, 所以-+p=x+2，ke2， 所 以 kEZ 所以 2 =+智+2x+号}-红+引得)s竖+引-分，故B错误 当x引时，4+肾(2+引，因为y=-咖：在r(任2x+骨为减函数，故fy在上单调 递减，故C正确：将函数f闪)的图象沿x轴平移9个单位得g(x)=sn4x+40+,(0<0时向右平移， 0>0时向左平移，网为偶函数得40+号-受+，2，所以0京+誓，ks2,则9的最小值为会， 32 故D正确.故选：ACD 11.BCD先根据函数解析式判断对称性，再结合导数判断单调性，根据对称性和单调性得出答案.因 为f(x)=e+e+x2-2x,所以f(2-x)=e+e+(2-x}-2(2-x)=f(x),即函数f()的图象关于直线 x=1对称当x>1时，y=x2-2x=(x-)2-1为增函数：令g(x)=e+e,则g(x)=e-e, x>1时，e>1,e<1,所以gx)>0,所以g(x)=e+e为增函数，所以当x>1时，fx)为增函数 由对称性可知，当x<1时，fx)为减函数.因为f(2-a)<f(x2+3)恒成立，所以1-d<x2+2恒成立， 即1-d<2,解得-l<a<3.故选：BCD 12.名由向量的夹角和模长公式求解即可因为5=，22)，所以=VP+22=3, 所以响量5夹角的余这值为：55：骨弱动言故苦案为专 13.[0,80W]由已知设甲乙两人坐上摩天轮的时间分别为t,t+10,得到甲乙两人坐上摩天轮转过的 角度，分别列出甲乙离地面的高度-0-0，店=80-80c后+到)， 然后得到 A-小-0wm后+引 由t的取值范围即可求解设甲乙两人坐上摩天轮的时间分别为t,t+10, 则甲乙两人坐上摩天轮转过的角度分别为受1=芹，箭+10)-+号。 则甲距高地面的高度为A=-0-0cas,乙距离地面的高度为=0-0co(+)， 则 答案第3页，共8页 A-0-0a2-0+0a(信r+号】 -0eorg+}-0eas0om4os号-m管sn号-co 3-9m9抽m后+写 因为0s1s30,所以0≤+号s警，所以0sn(+引}S1,即4-4[0w].故答案为：[0]， 14.16184先利用复合函数的导数与g(x)的奇偶性判断g(x)的奇偶性，进而推得g'(x)与f(x)的周期性， 再利用赋值法求得f2),f(④)，f0+f3)的值，从而得解.因为g(x)是偶函数，则g(-x)=gx), 两边求导得-g(-x)=g(),所以g(x)是奇函数，故g'(0)=0, 由fm)+g(x)-8=0→fx-2)+g(x-2)-8=0→fx-2)=8-g'(x-2), 代入f(x-2)-g'(6-x)-8=0,得8-g(x-2)-g(6-x)-8=0, 则g-2)+g(6-x)=0,所以g(x+4)+g(-x)=0,又g(x)是奇函数，所以g(x+4)=-g(-)=g(), 所以g(x)是周期函数，且周期为4，又f()+g(x)-8=0,可知f()也是以4为周期的周期函数， 令x=4,得f(4)+g(4)-8=f4)+g(0)-8=0,故f(4)=8,而g(2)=g(2-4)=g(-2)=-g(2)所以8'(2)=0， 令x=2,得f2)+g2)-8=0,则f2)=8,而f0+g0-8=0,f3)+g3)-8=0, 又ge)=g-)=-g0,则0+f=16,是f)=50f0+fa+fe)+11+f0+fa+fe) =505×(8+16+8)+(8+16=16184,故答案为：16184. 15.（1)由己知，B=AC-co8∠BMC=10x分5,4D=4C:cos∠DaC=10x9=55, 2 因为aD-∠nC+DCBc-号号所以a<aD=am行+-omos导-n写号 1x2522-6 =2222 4 所以在△ABD中由余弦定理可得BD2=AB2+AD2-2ABAD.0s∠BAD=25+50-2x5x52x√5-Y6 =50+25V5. C2)解法1：因为血<4D=如（行+引-血as子ose子n子-6：三， 344 又因为Sm-8s+a,所以号AB:AD-sin∠BMD=AB:AEsin∠BMB+分AB,AD:sin∠BD, 即时5xi62-5x5马+8xx号解得服=55-5， 4 2 3 答案第4页，共8页 解法2：因为LBAD+LBCD=π，所以sin∠BAD=sin(π-LBCD)=sin∠BCD, 又DCD5E,c=,所以BD咖C即 x5x5vn∠aAD EC S.8CD C.CD.sin∠BCD x5V5x5N2sin∠BCD 3 21 又因为AC=10,所以AE+EC=10,则AE+V5AE=10,所以AE=55-5. 16①因为后问}是首现为时公滋为的等老数列，故高分计与-)行， 即8-仔a+-=2+a,当22时，5,2-a-, 6 6 放3，-8=4-a2+a*l2a-a-_2+3n+1-2r+3-l-2, 6 6 6 当m=1时，4=8=32=1，符合上式，故4，=， 6 (2)由a,=,S=a2m+a+l,故6=2m-1.62m=r2m-ln 6 Snn(2n+1)(n+(2n+1)(n+1) 则7=44…6=6x1x1.6x3x2.6x5x362n-ln 6” 3x25×37×4(2n+0(m+(2n+1)(n+1) 因为2m+la+2≥3x2=6,故rs号-6. 17.(1)设AD,BC的中点分别为O,E,连接OP,OE,PE 因为PA=PD,所以OP⊥AD.因为PB=PC,所以BC⊥PE. 在梯形ABCD中，AD=V4+4-2y=25,所以0P=V32-5=2,0E=(AB+DC)=3, PE=7-2=,因此0p2+02=PE2, 所以OP⊥OE,又OP⊥AD,OE,ADc平面ABCD,OEAD=O,所以OP1平面ABCD. 又因为OPc平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD, (2)如图，以O为原点，OE,OP所在直线分别为y轴，z轴，作出x 轴， 建立空间直角坐标系0-yr,则4(2，-1,0，C(-2,3,0),D(-21,0,P(0,0,2) 则亚=(-2,12)，AD=（-42,0),AC=(-4,4,0), 设平面PAD的法向量m=(:,), m.AP=0 即 -2x+4+23=0 (m:D=0' -4%+2y=0 令x=1,得到片=2，=0，即m=(1,2,0). 答案第5页，共8页 设平面PAC的法向量n=(,y,),则 i·AP=0 -2x2+y2+2z2=0 AC=0 则 -x+y2=0 令名1，得到为=1，马=克，即-01.0s成万=3-25 因为二面角C-PA-D是锐二面角，所以二面角C-PA-D的余弦值是25 5 18.（1)若a=-1,则f(x)=xhx+2x2+l,所以f"(x)=lnx+1+4x,所以f()=1+4=5,又f()=2+1=3, 所以f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-3=5(x-1),即5x-y-2=0. (2)①由题意知f国=hx+1-4a令gy=f-=hx-4+l,则g因-士4a. 因为(x)有两个极值点x,(x<x2),所以g(x)=0有两个不等正实根x,(<x）· 若a≤0，g'(x)>0,则g(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以g(x)在(0，+∞)上至多有一个零点，不符合题意： 若a>0,令8(=0，解得x=,所以当0<x<a时，8'(>0， 当x>石时，8(<0，所以在0上单调递增，在（石m上单调递减 所以x=石时，8()取得极大值，即最大值为-h,所以8分)-b(o>0,解得0<a< 当0<a<时，a>0,又得g0,所以目0， 由零点存在性定理知：存在唯-的x很，使得8)0。 又g君)=n2-4a1=-2a-+1,令倒=-2hx+1, 所以4(-子+兰4空，所以当0<x<2时，0，当x>2时，(0， x=- 所以4(x)在(0,2)上单调递增，在(2+o)上单调递减，所以μ(a)=-2ha-4+1su2)=-2n2-1<0, 所以白)0，所以)》0，由零点存在性定理知：存在唯一的5品》使得%)=0， 所以当0<a<时，g=0有两个不等正实根，综上，的取值围是(》】 ②证明：由①知0<a分且0名<，所似名>1， 因为8()在(0，分)上为增函数，及0=1-40>0，所以<1，又>石所以-4>行1 因为g(x)=0,g(3)=0,所以nx-4c+1=0,nx-42+1=0, 所以n名-n-a(g-动.所以名房益 答案第6页，共8页 令的2h-20<r<1,所以因之0，所以阳在0则上单调递姐 x+1 2-1 因为5<6，所以经<，所以}40-0，所以总-会0，所以2-品兰， x2五+1 X2 n名<左，所以名+> 所以anx-nx 2a 所以4-6*2%动少a+六-2=2 Q 20.(1)B是完美自相加集合，C不是完美自相加集合理由如下： 集合B={L,2,3,4}→B*={3,4,5,6,7},由此可知集合自相加后，新的集合的元素中最小的元素为自相加之 前的集合中的最小两个元素之和，所以显然集合B={1,2,3,4}的最小两个元素为1,2，所以B的最小元 素为1+2=3…对集合B={1,2,3,4进行任意次自相加操作后，最小值在变大，故不可能有相等集合， 所以B是完美自相加集合： 集合C={k=2n+1,n∈Z表示所以奇数构成的集合，任何两个奇数相加都是偶数， 所以C*={=2n,n∈Z,为所有偶数构成集合；所以对C*={k=2n,n∈Z再进行一次自相加操作，所 有偶数相加还是会是所有偶数，故后面集合不管进行多少次相加都是与C*={k=2n,n∈Z相同： 故C不是完美自相加集合 (2)由自相加性质可知，对于集合B={1,2,3,4,进行一次自相加，得到集合的最小值必然是原来集 合的两个最小元素值之和，得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，且中间必然是连续的整 数元素： 所以对集合B={1,2,3,4进行一次自相加之后，得到的集合最小两个元素为3,4，最大的两个元紊为6,7： 进行第二次自相加，得到的集合最小两个元素为7,8，最大的两个元素为12,13： 进行第三次自相加，得到的集合最小两个元素为15,16，最大的两个元素为24,25： 进行第四次自相加，得到的集合最小两个元素为31,32，最大的两个元素为18,49； 进行第五次自相加，得到的集合最小两个元素为63,64，最大的两个元素为96,97： 进行第六次自相加，得到的集合最小两个元素为127,128，最大的两个元素为192,193： 进行第七次自相加，得到的集合最小两个元素为255,256，最大的两个元素为384,385： 进行第八次自相加，得到的集合最小两个元素为511,512，最大的两个元素为768,769： 进行第九次自相加，得到的集合最小两个元素为1023,1024，最大的两个元素为1536,1S37: 进行第十次自相加，得到的集合最小两个元素为2047,2048，最大的两个元素为3072,3073： 答案第7页，共8页 进行第十一次自相加，得到的集合最小两个元素为4095,4096，最大的两个元素为6144,6145： 因为集合元素都是连续的整数，所以集合B进行11次自相加操作后的元素个数为6145-4095+1=2051. (3)因为0sns2024且neN,集合A={:n≤x≤2024，xeN, 所以A={x2n+1sx≤4047，x∈N,A={h≤x≤2024-n,x∈N, 要使nf=8则2m+1>2024-a白>2g,又因为meN 故n的最小值为675. 答案第8页，共8页 永春一中2024-2025学年高三年11月数学科考试试卷（2024.11） 考试时间120分钟 ，试卷总分150分 一、单选题 1．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．若实数，则下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知命题：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．51 B．34 C．17 D．1 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则下列结论中错误的是（    ） A．是奇函数 B． C．在上递增 D．在上递增 8．在满足，的实数对中，使得成立的正整数的最大值为（    ） A．22 B．23 C．30 D．31 二、多选题 9．下列说法正确的是（　　） A． B．集合 C．函数的值域为 D．在定义域内单调递增 10．如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（    ） A． B． C．函数在上单调递减 D．若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为 11．已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 三、填空题 12．已知向量满足，且，则向量夹角的余弦值为 . 13．“南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一.已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲乙两人相差10分钟坐上摩天轮，那么在摩天轮上，他们离地面高度差的绝对值的取值范围是 . 14．已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，求= ． 四、解答题 15．如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边，，交于点. (1)求； (2)求. 16．设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列． (1)求的通项公式; (2)令，为数列的前项积，证明：． 17．已知四棱锥的底面是一个梯形，，，，，，.    (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 18．已知函数（）. (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若有两个极值点，（）. ①求的取值范围； ②求证：. 19．已知集合为非空数集，对于集合，定义对中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合的1次自相加集合”，再次进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的次自相加集合”，若集合的任意次自相加集合都不相等，则称集合为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“的1次自相减集合”，集合的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：. (1)已知有两个集合，集合，集合，判断集合和集合是否是完美自相加集合并说明理由； (2)对（1）中的集合进行11次自相加操作后，求：集合的11次自相加集合的元素个数； (3)若且，集合，求：的最小值. 试卷第1页，共3页 高三数学试卷 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$