专题06 勾股定理中的折叠、最短路径与勾股树（五大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（沪教版）

专题06 勾股定理中的折叠、最短路径与勾股树 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、长方体与最短路径 2 类型二、圆柱与最短路径 3 类型三、将军饮马与最短路径 5 类型四、折叠问题 7 类型五、勾股树 8 压轴能力测评 10 一、长方体中的最短路径 已知:在一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体中,一只蚂蚁沿着长方体的表面爬行,求蚂蚁从点P到点Q的最短路径 结论：长方体中，蚂蚁爬行的最短路径为 二、圆柱中的最短路径 已知:在底面半径为r,高为h圆柱中，求蚂蚁从点P沿圆柱表面螺旋爬行到点Q的最短路径 最短路径为 最短路径为 三、将军饮马中的最短路径 已知：如图，定点和定点在定直线的同侧 要求：在直线上找一点，使的值最小（或的周长最小） 解法：作点关于直线的对称点，连接交于，点即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线为线段的中垂线， 由中垂线的性质得：，要使最小，则需值最小， 类型一、长方体与最短路径 【例1】棱长分别为，的两个正方体如图放置，点A，B，C在同一直线上，顶点E在棱BF上，点P是棱DK的靠近点D的三等分点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，在长方体中，，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁怎样走路程最短，最短路程是（   ） A． B． C． D．10 【变式1-1】如图，由20个边长为1的小正方体搭成一个组合体，蚂蚁从左下角点A爬到右上角点B的最短路线长度是 ． 【变式1-2】如图，长方体盒子的长、宽、高分别为、、，在中点M处有一滴蜜糖，有一只小虫沿盒子表面（每个面均可爬）从G点爬到M点去吃，则最短路线长为 ． 【变式1-3】如图，某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的三棱柱型灯笼，在灯笼的侧面上，从顶点到顶点缠着一圈彩带，已知此灯笼的高为，底面边长为，则这一圈彩带的长度至少为 ．    类型二、圆柱与最短路径 【例3】如图，一圆柱体的底面圆周长为12，高为8，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D．10 【例4】如图所示，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一高线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，圆柱形容器高，底面周长，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟沿杯内壁下滑，3秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是 ． 【变式2-2】如图，圆柱形透明容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是 ． 【变式2-3】如图①，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图（图③）是______； (2)求该长度最短的金属丝的长； (3)如图②，若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝的最短长度为，则的值为______． 类型三、将军饮马与最短路径 【例5】如图，在公路l的一侧有A，B两个工厂，A，B到公路的垂直距离分别为和，A，B之间的水平距离为．现要在公路l上建一个运输点，使A，B两厂到运输点的总路线最短，则最短总路线为 km． 【例6】将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离公里，B到河岸的距离公里，公里，求将军最短需要走多远． 【变式3-1】如图，A，B两地被大山阻隔，C地在A地的北偏东的方向上，在B地西北方向上，且A，C两地间距离为，若要从A地到B地，现只能沿着的公路先从A地到的C地，再由C地到B地．计划开凿隧道，使A，B两地直线贯通，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少？（结果精确到，参考数据，） 【变式3-2】如图，中，D是上的一点，若，，，， (1)求的面积； (2)如图②，为的角平分线，点O为线段上的动点，点G为线段上的动点，请直接写出的最小值． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，依已知，，． (1)作出关于轴对称的； (2)求的面积； (3)若点在轴上，求的最小值． 类型四、折叠问题 【例7】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，将沿直线折叠，使得点A落在点D处，与交于点E，则 ． 【例8】如图，在中，，，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ． 【变式4-1】如图，中，分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ． 【变式4-2】如图，在中，，，，是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点． （1）的长为 ． （2）当是直角三角形时，的长为 ． 【变式4-3】如图，已知中，，点P从A点出发，沿的方向以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，设P的运动时间为t秒． (1)当点P运动7秒时，的面积为______； (2)当为等腰三角形时，求t的值； (3)若沿着过点P的直线，能将折叠到上，直接写出此时的长为___． 类型五、勾股树 【例9】如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中最大正方形边长为1．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．重复上述操作2024次，则此时形成的图形中所有正方形的面积之和为 ．    【例10】我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．据我国西汉时期算书《周髀算经》记载，约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则称为弦）．在西方，也有“勾三股四弦五”的定理，《周髀算经》比西方早了五百多年，这一定理在西方称为“毕达哥拉斯定理”． 勾股定理本身就是一个关于，，的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数，如：，． 下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题： 3 5 7 4 12 5 13 25 （1）________；若为奇数，则________，________（用含的代数式表示）． 【知识迁移】 （2），，（是正整数）是一组勾股数吗？请说明理由； 【知识应用】 （3）如图所示，有一张直角三角形纸片，，直角边，，现将纸片沿直线折叠，使落在斜边上，点与点重合，则的长为多少？ 【变式5-1】世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：，其中是互质的奇数，则为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： ①， ②， ③， ④， … 根据规律写出第⑩个等式为 ． 【变式5-2】据我国古代某数学著作记载，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”． (1)观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…．发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没有间断过，计算，与，，并根据你发现的规律，分别写出能用7，24，25中的勾表示股和弦的算式． (2)根据（1）的规律，用含n（n为奇数且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦．猜想它们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明． (3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…．可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述探索的方法，直接用含m（m为勾，m为偶数且）的代数式来表示它们的股和弦． 【变式5-3】法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如的方程，显然，这个方程有无数组解，我们把满足该方程的正整数的解叫做勾股数，如就是一组勾股数． (1)在研究勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，，，，那么，以x，y，z为三边的三角形为直角三角形(即x，y，z为勾股数)，请你加以证明； (2)探索规律：观察下列各组数，，，…，直接写出第5个数组为______． 1．如图，底面圆的半径为，高为的无盖圆柱形容器的外部点A处有一只蚂蚁，想快速去容器内部的点B处吃到食物，则从点A处爬到点B处的最短路线长是 ． 2．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（   ）米．（边缘部分的厚度忽略不计） A．25 B．24 C．26 D． 3．如图，教室的墙面与地面垂直，点在墙面上，若，点到的距离是，有一只蚂蚁要从点爬行到点，则它的最短行程是 m． 4．如图，在中，，，点D是上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点E处，连接交于点F，当是直角三角形时，的长为 ． 5．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒器爬行的最短路径的长 6．如图，在边长为4米的正方形场地内，有一块以为直径的半圆形激光发射器接收“感应区”，边上的P处有一个激光发射器，红外线从点P发射后，经平面镜、反射后到达“感应区”，若米，激光途经的最短路线长 米． 7．如图，三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是 ． 8．如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点的位置上． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的面积． 9．阅读材料：勾股定理本身就是一个关于、、的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进一步了解勾股数的奥秘，数学刘老师给出下面的两个表格．（以下，，为的三边，且） 表1               表2 (1)请你根据上述表格的规律写出勾股数：11、________、________； (2)当（为奇数，且）时，若________，________时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；并证明你的猜想； (3)构造勾股数的方法很多，请你寻找当或时，________．（写出所有满足条件的）． 10．如图1，A村和B村在一条大河的同侧，它们到河岸的距离分别为1千米和4千米，又知道的长为4千米． 现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选 方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即）．（如图2） 方案2：作A点关于直线的对称点，连接交于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道和．（即）（如图3） 从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 勾股定理中的折叠、最短路径与勾股树 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、长方体与最短路径 2 类型二、圆柱与最短路径 6 类型三、将军饮马与最短路径 10 类型四、折叠问题 14 类型五、勾股树 20 压轴能力测评 25 一、长方体中的最短路径 已知:在一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体中,一只蚂蚁沿着长方体的表面爬行,求蚂蚁从点P到点Q的最短路径 结论：长方体中，蚂蚁爬行的最短路径为 二、圆柱中的最短路径 已知:在底面半径为r,高为h圆柱中，求蚂蚁从点P沿圆柱表面螺旋爬行到点Q的最短路径 最短路径为 最短路径为 三、将军饮马中的最短路径 已知：如图，定点和定点在定直线的同侧 要求：在直线上找一点，使的值最小（或的周长最小） 解法：作点关于直线的对称点，连接交于，点即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线为线段的中垂线， 由中垂线的性质得：，要使最小，则需值最小， 类型一、长方体与最短路径 【例1】棱长分别为，的两个正方体如图放置，点A，B，C在同一直线上，顶点E在棱BF上，点P是棱DK的靠近点D的三等分点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，，有两种展开方法： 方法一：， 方法二：． 故需要爬行的最短距离是． 故选：D． 【例2】如图，在长方体中，，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁怎样走路程最短，最短路程是（   ） A． B． C． D．10 【答案】D 【详解】解：如图1所示： 由题意得：，， 在中，由勾股定理得， 如图2所示： 由题意得：，， 在中，由勾股定理得， ． 第一种方法蚂蚁爬行的路线最短，最短路程是10． 故选：D． 【变式1-1】如图，由20个边长为1的小正方体搭成一个组合体，蚂蚁从左下角点A爬到右上角点B的最短路线长度是 ． 【答案】 【详解】解：将组合体展开，如图， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】如图，长方体盒子的长、宽、高分别为、、，在中点M处有一滴蜜糖，有一只小虫沿盒子表面（每个面均可爬）从G点爬到M点去吃，则最短路线长为 ． 【答案】/厘米 【详解】解：①如图1，连接， 在中，，， 由勾股定理得：， 此时； ②如图2，连接， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴； 如图3， 在中，，， 由勾股定理得：； ， 从处爬到处的最短路程是， 故答案为：． 【变式1-3】如图，某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的三棱柱型灯笼，在灯笼的侧面上，从顶点到顶点缠着一圈彩带，已知此灯笼的高为，底面边长为，则这一圈彩带的长度至少为 ．    【答案】 【详解】解：将三棱柱沿展开，其展开图如图，    ∴， 故答案为：． 类型二、圆柱与最短路径 【例3】如图，一圆柱体的底面圆周长为12，高为8，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D．10 【答案】D 【详解】解：由题意可得，圆柱展开图如图所示，根据两点间线段距离最短，连接，即为最短距离， ∵圆柱体的底面圆周长为12，高为8，， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 故选：D． 【例4】如图所示，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一高线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：圆柱体的展开图如下图所示，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到的运动最短路线是：，即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成个小长方形，从点沿着个长方形的对角线运动到的路线最短， ∵圆柱底面半径为， ∴长方形的宽即圆柱体的底面周长为， 又∵圆柱高为， ∴小长方形的一条边长是， 根据勾股定理求得，， ∴， ∴这根棉线的长度最短为， 故选：． 【变式2-1】如图，圆柱形容器高，底面周长，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟沿杯内壁下滑，3秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是 ． 【答案】/ 【详解】解：假设在杯内壁点处吃到蜂蜜， 如图，圆柱的侧面展开，点与关于点对称，连接，则为蚂蚁走的最短距离， 由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴蚂蚁的平均速度至少是， 故答案为：． 【变式2-2】如图，圆柱形透明容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是 ． 【答案】20 【详解】解：作点关于的对称点， 如图所示， 则蜘蛛所走的最短路线长度为． 故答案为：20． 【变式2-3】如图①，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图（图③）是______； (2)求该长度最短的金属丝的长； (3)如图②，若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝的最短长度为，则的值为______． 【答案】(1)A (2)20 (3)2368 【详解】（1）解：根据两点之间线段最短可得：所得的圆柱侧面展开图为A． 故选A． （2）解：∵圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴金属丝的长为． （3）解：根据勾股定理可得： 类型三、将军饮马与最短路径 【例5】如图，在公路l的一侧有A，B两个工厂，A，B到公路的垂直距离分别为和，A，B之间的水平距离为．现要在公路l上建一个运输点，使A，B两厂到运输点的总路线最短，则最短总路线为 km． 【答案】 【详解】解：作A点关于直线的对称点C，连接交直线于点P，则此时最小， 过点作交的延长线于点D， ∵，，， ∴，， 则， ∴， ∴在中，， 即的最小值为， 故答案为：． 【例6】将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离公里，B到河岸的距离公里，公里，求将军最短需要走多远． 【答案】13公里 【详解】作点关于河岸的对称点，连接交河岸与，连接，则， 则最短，故将军应将马赶到河边的地点． 作，且， ，，， 四边形是矩形， ， 在中， ， 答：将军最短需要走13公里． 【变式3-1】如图，A，B两地被大山阻隔，C地在A地的北偏东的方向上，在B地西北方向上，且A，C两地间距离为，若要从A地到B地，现只能沿着的公路先从A地到的C地，再由C地到B地．计划开凿隧道，使A，B两地直线贯通，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少？（结果精确到，参考数据，） 【答案】 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，如图所示：    有题意可得：，， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 即从地到地的路程将缩短约． 【变式3-2】如图，中，D是上的一点，若，，，， (1)求的面积； (2)如图②，为的角平分线，点O为线段上的动点，点G为线段上的动点，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， 在中，， ∴， ∴． （2）解：作点关于的对称点，连接，如图： ∵为的角平分线， ∴， ∴， 当在同一直线上且时，的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为：． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，依已知，，． (1)作出关于轴对称的； (2)求的面积； (3)若点在轴上，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）的面积为：； （3）解：如图，连接， ∴的最小值即为的长， 由勾股定理得，， ∴的最小值为． 类型四、折叠问题 【例7】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，将沿直线折叠，使得点A落在点D处，与交于点E，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴轴，轴，， ∴轴，， ∴ 由折叠可得，， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴； 故答案为：． 【例8】如图，在中，，，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴当、、三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为； 故答案为：． 【变式4-1】如图，中，分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ． 【答案】3或 【详解】解：∵点落在边的三等分点处，， ∴或， 由折叠可知：， ∴， 当时，在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 当时，在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 综上所述：的长为3或； 故答案为3或． 【变式4-2】如图，在中，，，，是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点． （1）的长为 ． （2）当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】 或 【详解】解：（1） ， 由折叠性质得：， 故答案为：； （2）当时，如图 ， 设， ，， ， ， ∵折叠 ∴，， ， 在中，， ， 解得：， ； 当，如图 过点C作，垂足为H， ， ，， ， ， ， ∵折叠， ∴，，， ， ， ， ， ， 是一个外角，， ， ， ， ， ， ， 综上所述的长为或， 故答案为：或 ． 【变式4-3】如图，已知中，，点P从A点出发，沿的方向以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，设P的运动时间为t秒． (1)当点P运动7秒时，的面积为______； (2)当为等腰三角形时，求t的值； (3)若沿着过点P的直线，能将折叠到上，直接写出此时的长为___． 【答案】(1)3 (2)3或6或或 (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当点P运动7秒时，点移动的距离为，此时点在上，且， ∴， ∴的面积为：； 故答案为：3． （2）解：当为等腰三角形时，分中情况进行讨论： ①，此时点在上，，则； ②，当点在上时，过点作， 则：，， ∴， ∴， ∴， 当点在上时，如图： ∵， ∴， ∴； ③当时，过点作，由②知：， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴； 综上：t的值为：3或6或或； （3）∵沿着过点P的直线，能将折叠到上， ∴平分， 过点作，则：， ∵， ∴，即：， ∴， ∵，平分， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的判断和性质，三线合一，角平分线的性质，等积法求线段的长，熟练掌握相关知识点和分类讨论的思想，是解题的关键． 类型五、勾股树 【例9】如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中最大正方形边长为1．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．重复上述操作2024次，则此时形成的图形中所有正方形的面积之和为 ．    【答案】2025 【详解】解：如图，    由勾股定理得， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 第1次操作后，图形中所有正方形的面积之和为， 同理正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积之和等于1， 第2次操作后，图形中所有正方形的面积之和为， …… 以此类推，重复上述操作n次形成的图形中所有正方形的面积之和为， 重复上述操作2024次，则此时形成的图形中所有正方形的面积之和为2025． 故答案为：2025． 【例10】我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．据我国西汉时期算书《周髀算经》记载，约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则称为弦）．在西方，也有“勾三股四弦五”的定理，《周髀算经》比西方早了五百多年，这一定理在西方称为“毕达哥拉斯定理”． 勾股定理本身就是一个关于，，的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数，如：，． 下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题： 3 5 7 4 12 5 13 25 （1）________；若为奇数，则________，________（用含的代数式表示）． 【知识迁移】 （2），，（是正整数）是一组勾股数吗？请说明理由； 【知识应用】 （3）如图所示，有一张直角三角形纸片，，直角边，，现将纸片沿直线折叠，使落在斜边上，点与点重合，则的长为多少？ 【答案】（1）24，，；（2），，（是正整数）是一组勾股数，理由见解析；（3）3 【详解】解：（1）根据勾股数的定义，得， 观察表格知：当时，，； 当时，，； 当时，，； …… ∴当时，，； 故答案为：24，，； （2），，（是正整数）是一组勾股数， 理由如下： ∵，， ∴， ∵是正整数 ∴，，（是正整数）是一组勾股数； （3）∵， ，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， 解得． 【变式5-1】世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：，其中是互质的奇数，则为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： ①， ②， ③， ④， … 根据规律写出第⑩个等式为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴第一个数的底数是，指数是2， ∵， ∴第二个数的底数是，指数是2， ∵第三个数的底数比第二个数的底数大1，指数是2， ∴第n个等式为， ∴第⑩个等式为， 故答案为：． 【变式5-2】据我国古代某数学著作记载，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”． (1)观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…．发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没有间断过，计算，与，，并根据你发现的规律，分别写出能用7，24，25中的勾表示股和弦的算式． (2)根据（1）的规律，用含n（n为奇数且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦．猜想它们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明． (3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…．可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述探索的方法，直接用含m（m为勾，m为偶数且）的代数式来表示它们的股和弦． 【答案】(1)股：，弦： (2)它们之间的关系为：①弦股；②勾股弦；说明见解析 (3)股：，弦： 【详解】（1）解：，；，； 表示7、24、25这一组数的股与弦的算式股：，弦：； （2）解：当为奇数且时，勾、股、弦的代数式分别为：，，， 猜想他们之间的关系为：①弦股；②勾股弦； 证明：①弦股； ②勾股弦； （3）解：用为偶数，且的代数式来表示，股：，弦：． 【变式5-3】法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如的方程，显然，这个方程有无数组解，我们把满足该方程的正整数的解叫做勾股数，如就是一组勾股数． (1)在研究勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，，，，那么，以x，y，z为三边的三角形为直角三角形(即x，y，z为勾股数)，请你加以证明； (2)探索规律：观察下列各组数，，，…，直接写出第5个数组为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ， ∴， ∴以x，y，z为三边的三角形为直角三角形(即x，y，z为勾股数)； （2）∵①，，； ②，，； ③，，； ④，，； 则⑤，，， ∴第5组勾股数是：． 1．如图，底面圆的半径为，高为的无盖圆柱形容器的外部点A处有一只蚂蚁，想快速去容器内部的点B处吃到食物，则从点A处爬到点B处的最短路线长是 ． 【答案】100 【详解】解：如图， ∵底面圆的半径为， ∴底面圆的周长为， 将圆柱形容器侧面展开，作A关于的对称点， 连接，则即为最短距离， ∵圆柱形容器高为，即， ∴， ∴， 即蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为：， 故答案为：． 2．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（   ）米．（边缘部分的厚度忽略不计） A．25 B．24 C．26 D． 【答案】A 【详解】解：如图是其侧面展开图：，，， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为． 故选：A． 3．如图，教室的墙面与地面垂直，点在墙面上，若，点到的距离是，有一只蚂蚁要从点爬行到点，则它的最短行程是 m． 【答案】 【详解】解：如图，将教室的墙面与地面展成一个平面， 过P作于G，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故这只蚂蚁的最短行程应该是． 故答案为：． 4．如图，在中，，，点D是上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点E处，连接交于点F，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或6 【详解】解：分三种情况：①当时，则，此时点与点重合，如图1所示， 在中，， 由翻折的性质可知；，，则， 设，则． 在中，，即． 解得：． ． ②当时，如图2所示：． 由翻折的性质可知：，，． ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ③若时，如图， ∵，则 ， ∴之间的距离为， ∴ 而， 所以矛盾，故不存的情形， 综上，的长为3或6． 故答案为：3或6．． 5．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒器爬行的最短路径的长 【答案】 【详解】解：如图， 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， 将容器侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离， ， ， 即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是． 6．如图，在边长为4米的正方形场地内，有一块以为直径的半圆形激光发射器接收“感应区”，边上的P处有一个激光发射器，红外线从点P发射后，经平面镜、反射后到达“感应区”，若米，激光途经的最短路线长 米． 【答案】/ 【详解】设半圆的圆心为O， 作半关于对称的半，点P关于对称点，连接，分别交、、于点E、F、H，连接交于点G， 则，， 激光途经的最短路线为：， 正方形中，,， ∴， ∵， ∴,， ∴， ∴， ∴激光途经的最短路线为米． 故答案为：． 7．如图，三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故答案为：． 8．如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点的位置上． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）∵, ∴, 根据翻折不变性得到， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）设, 根据翻折不变性， 在中, 解得： , 即, ∴, 又∵, ∴, ∴, 则． 9．阅读材料：勾股定理本身就是一个关于、、的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进一步了解勾股数的奥秘，数学刘老师给出下面的两个表格．（以下，，为的三边，且） 表1               表2 (1)请你根据上述表格的规律写出勾股数：11、________、________； (2)当（为奇数，且）时，若________，________时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；并证明你的猜想； (3)构造勾股数的方法很多，请你寻找当或时，________．（写出所有满足条件的）． 【答案】(1)， (2)，，证明见解析 (3)，， 【详解】（1）解：∵ ∴勾股数：，， （2）解：根据表，，，，…… ∴，且， ∴当时，又， ∴，， 故答案为：，． 证明：∵，， ∴ ∴ ∴； （3）解：当时，∵， ∵， ∴，，，，…… ∴，，，（舍去）， 当时， 同理可得，，， 故答案为：，，． 10．如图1，A村和B村在一条大河的同侧，它们到河岸的距离分别为1千米和4千米，又知道的长为4千米． 现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选 方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即）．（如图2） 方案2：作A点关于直线的对称点，连接交于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道和．（即）（如图3） 从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适． 【答案】方案1路线短，更合适．理由见解析 【详解】解：方案1：过点A作于点E， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 方案2：过作交延长线于点H， ， ， ， ， 同理， ， ， ， ， ∵， ∴方案1路线短，更合适． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$