专题05 角平分线、垂直平分线的判定与性质（六大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（沪教版）

专题05 角平分线、垂直平分线的判定与性质 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用线段垂直平分线的性质求解 2 类型二、线段垂直平分线的判定 3 类型三、利用角平分线的性质求解 5 类型四、角平分线的判定 7 类型五、尺规作图的综合 8 类型六、垂直平分线与角平分线的综合 11 压轴能力测评 13 一、垂直平分线的性质： （1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； （2）与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； （3）线段垂直平分线的作图步骤： ①分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点； ②作直线为所求直线 二、角平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：，求作：的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C。 3、画射线，射线即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵是的平分线，是上一点，，垂足分别为。 三、角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示：∵点是内的一点，，垂足分别为，且， ∴点在的平分线上。 类型一、利用线段垂直平分线的性质求解 例1．如图，在四边形中，，P为边的中点，连接．若，，且，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 例2．如图，在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线正好经过点，与相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．在中，，的垂直平分线交直线于点，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 变式1-2．如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且． (1)若，求的度数； (2)若周长为，，求长． 变式1-3．在中，AB边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O．的周长为．    (1)求的长； (2)分别连接、、，若的周长为，求的长． 类型二、线段垂直平分线的判定 例3．如图，将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图，正六边形边长为且各有一个顶点在直线上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图，其中，中间正六边形的一边与直线平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则度数是（   ） A． B． C． D． 例4．如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，求的面积． 变式2-1．如图，已知中，，点，分别为，上的点，．    (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 变式2-2．如图，中，，D、E分别是、上的点，且，连接、交于点P． (1)求证：； (2)连接，求证：所在直线垂直平分． 变式2-3．如图，在中，平分，，于点，点在上，． (1)求证：． (2)连接，求证垂直平分． 类型三、利用角平分线的性质求解 例5．如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为E、F，，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 例6．如图，在的边上取点．连接平分，平分，若，的面积是，的面积是5，则的值是 ． 变式3-1．如图，在中，， 过点的直线， 若点在的平分线上，并且点到三边所在直线的距离相等， 则点到直线的距离是 ． 变式3-2．如图，平分，过点D作于点M，的延长线于点N，且． (1)证明：． (2)若，求的长． 变式3-3．已知：如图，在中，，是的角平分线，，垂足为点，． (1)求的度数； (2)如果，，求的面积． 类型四、角平分线的判定 例7．如图，于，于，． (1)求证：平分； (2)直接写出与之间的等量关系． 例8．如图，在和中，，，，，连接，交于点M，连接． (1)证明：； (2)求的度数； (3)问是否平分？并说明理由． 变式4-1．如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，三角形的面积是16，求的长度． 变式4-2．如图，于E，于F，若； (1)求证：； (2)已知，求的长． 变式4-3．如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 类型五、尺规作图的综合 例9．如图中，，． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点D，交于点E．（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：平分． 例10．如图，射线平分． (1)按要求尺规作图：作线段的垂直平分线交射线于点，连接、．（保留作图痕迹） (2)请把以下解题过程补充完整： 求证：． 证明：在上截取，连接． 平分 在与中： （②） ， 点在线段的垂直平分线上 （③） （④） 点在射线上 变式5-1．已知，按下列要求画图：（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (1)作的角平分线，交于点； (2)若的高线为，当，，时，的面积是_____， 与的面积比是______． 变式5-2．利用垂直平分线将三角形分割出等腰三角形： (1)如图1所示，中，，的垂直平分线交于点，连接，那么图中出现的等腰三角形是 ； (2)如图2所示，中，，的垂直平分线交于点，连接，那么图中出现的等腰三角形是 ； (3)请利用上述方法，将图3中的直角三角形分割成三个等腰三角形． 变式5-3．已知：如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点D． (1)用直尺和圆规在图中作出点D（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，垂足分别是E、F．求证：． 类型六、垂直平分线与角平分线的综合 例11．如图，在四边形中，，延长，交于点，所在的直线垂直平分线段，过点作交于点． (1)试说明：； (2)若，的面积为，求的长． 例12．如图，已知，是的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G． (1)求证：垂直平分； (2)若，，则的面积为　　　． 变式6-1．如图，在中，平分，过点D作于M，的延长线于N，且． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)若，，求的长． 变式6-2．如图，，平分交于D，，点M在的垂直平分线上，交于O，于点G，于点F．    (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若点D在的垂直平分线上，试判断的形状，并说明理由． 变式6-3．如图，在四边形中，所在的直线垂直平分线段，过点作交于，延长、交于点． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，，的面积为求的长． 1．如图，，和分别平分和，过点且与垂直．若，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，平分，点在上，若，，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，M为边上的点，连接，如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，平分，交于，点G是上的一点，且，连交于P，连，下列结论： ①，②，③，④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 5．如图，在中，，，D为的中点，，垂足为E．过点B作交的延长线于点F，连接，．现有如下结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．如图，在中，是角平分线．若，，，则线段的长为 ． 7．如图，在中，，于点，点为上一点，，若的面积是，，则的长是 ． 8．如图，在中，，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)求证：． (3)连接，试判断的形状，并说明理由． 9．如图，在中，边的垂直平分线交边于点，交于点F，过点作于点，且为线段的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 10．如图，在中，点是边上的一点，连结，垂直平分，垂足为，交于点．连结． (1)若的周长为，的周长为，求的长． (2)若，，求的度数． 11．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且是的中点，连接． (1)若，求的度数； (2)若的长为，求的周长． 12．如图所示，在中，． (1)尺规作图，过顶点作的角平分线； （保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若上 存在一点， 连接， 当时．求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 角平分线、垂直平分线的判定与性质 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用线段垂直平分线的性质求解 2 类型二、线段垂直平分线的判定 7 类型三、利用角平分线的性质求解 12 类型四、角平分线的判定 17 类型五、尺规作图的综合 22 类型六、垂直平分线与角平分线的综合 27 压轴能力测评 33 一、垂直平分线的性质： （1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； （2）与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； （3）线段垂直平分线的作图步骤： ①分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点； ②作直线为所求直线 二、角平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：，求作：的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C。 3、画射线，射线即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵是的平分线，是上一点，，垂足分别为。 三、角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示：∵点是内的一点，，垂足分别为，且， ∴点在的平分线上。 类型一、利用线段垂直平分线的性质求解 例1．如图，在四边形中，，P为边的中点，连接．若，，且，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：延长和相交于点， ∵， ∴，， ∵P为边的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即是线段的垂直平分线， ∴， 故选：C． 例2．如图，在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线正好经过点，与相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，    ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 变式1-1．在中，，的垂直平分线交直线于点，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：如图1，当的垂直平分线交的延长线于点时，连接， ∵在线段的垂直平分线上， ， ， ， ， 又， ， 即， 解得：； 如图2，当的垂直平分线交线段于点时，连接， ∵在线段的垂直平分线上， ， ， ， ， 又， ， 解得：； 综上可知为或， 故选：C． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键，注意三角形内角和定理及外角性质的利用． 变式1-2．如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且． (1)若，求的度数； (2)若周长为，，求长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， 垂直平分， ， ， ， ； （2）解：周长，， ， ，， ， ，， ， 即， ， 即． 变式1-3．在中，AB边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O．的周长为．    (1)求的长； (2)分别连接、、，若的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：边的垂直平分线交于，边的垂直平分线交于， ，， 的周长为， ， ， ， 的长为； （2）解：如图：   是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， 的周长为， ， ， ， 的长为． 类型二、线段垂直平分线的判定 例3．如图，将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图，正六边形边长为且各有一个顶点在直线上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图，其中，中间正六边形的一边与直线平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，，延长交直线于点， 由题意可得，， ∴，点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分线段， ∴， 如图，延长交直线于点，在点右侧取一点，延长交于点，由图得， ∵， ∴， 由题意得， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质，平行线的性质，多边形的内角和定理，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质，平行线的性质是解题的关键． 例4．如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)9 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （2）解：∵，， ∴ ． 变式2-1．如图，已知中，，点，分别为，上的点，．    (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【详解】（1）解： 与全等； 理由：，， 即， 在与中， ， ； （2）解：如图：连接，    由（1）， 在的中垂线上， ， ， 在与中， ， ， ， 在的中垂线上， 垂直平分． 变式2-2．如图，中，，D、E分别是、上的点，且，连接、交于点P． (1)求证：； (2)连接，求证：所在直线垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴，，即：， ∴，即：， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴所在直线垂直平分． 变式2-3．如图，在中，平分，，于点，点在上，． (1)求证：． (2)连接，求证垂直平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵平分，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 类型三、利用角平分线的性质求解 例5．如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为E、F，，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】D 【详解】解：如图所示，连接， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵垂直平分， ∴， 在和中， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴． 故选D． 例6．如图，在的边上取点．连接平分，平分，若，的面积是，的面积是5，则的值是 ． 【答案】6 【详解】解：如图，连接，过点作，，， 平分，平分， ，， ， 的面积是， ， ， ， 的面积是，的面积是5， 四边形的面积， 又四边形的面积， ， ， 故答案为： 变式3-1．如图，在中，， 过点的直线， 若点在的平分线上，并且点到三边所在直线的距离相等， 则点到直线的距离是 ． 【答案】或/4或12 【详解】解：点在的平分线上，并且点到三边所在直线的距离相等，过点D作，，，垂足分别为，，，连接，，， ∴ ∴ 设 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴点到直线的距离是， 当点在三角形的外部时，辅助线如图所示， 依题意，， ∵， ∴， 则， 同理可得，， 设， ∴， 解得：， ∴到的距离， 故答案为：或． 变式3-2．如图，平分，过点D作于点M，的延长线于点N，且． (1)证明：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 变式3-3．已知：如图，在中，，是的角平分线，，垂足为点，． (1)求的度数； (2)如果，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：且， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ； （2）解：，是的角平分线，， ， 在与中， ， ∴， ∴，， ， ， ． 类型四、角平分线的判定 例7．如图，于，于，． (1)求证：平分； (2)直接写出与之间的等量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：于，于， ， ∴与均为直角三角形， ， ∴， ，， 平分； （2）解：． 理由：， 在与中， ， ∴， ， ． 例8．如图，在和中，，，，，连接，交于点M，连接． (1)证明：； (2)求的度数； (3)问是否平分？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)平分，理由见解析 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，令与的交点为， 由（1）得， ∴，， 又， ； （3）解：平分，理由如下： 如图所示，作于，于， 则， 在和中， ， ∴， ， 平分． 变式4-1．如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，三角形的面积是16，求的长度． 【答案】(1) (2)见详解 (3)2 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ， 即． （2）证明：过点作交于点交于点， ， ， 由（1）可知，， ， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分． （3）解：， ， ， ， ， ， ． 变式4-2．如图，于E，于F，若； (1)求证：； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 变式4-3．如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ， ∵，， 平分； （2）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴． 类型五、尺规作图的综合 例9．如图中，，． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点D，交于点E．（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图所示，就是要求作的边上的中垂线； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 是边上的中垂线， ， ， ， ， ， ， 平分． 【点睛】本题考查了尺规基本作图-作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，难度不大，需熟练掌握． 例10．如图，射线平分． (1)按要求尺规作图：作线段的垂直平分线交射线于点，连接、．（保留作图痕迹） (2)请把以下解题过程补充完整： 求证：． 证明：在上截取，连接． 平分 在与中： （②） ， 点在线段的垂直平分线上 （③） （④） 点在射线上 【答案】(1)见解析 (2)；；线段垂直平分线的性质；等边对等角 【详解】（1）解：如图； ． （2）证明：在上截取，连接． 平分 在与中： ， 点在线段的垂直平分线上 （线段垂直平分线的性质） （等边对等角） 点在射线上 故答案为：；；线段垂直平分线的性质；等边对等角 变式5-1．已知，按下列要求画图：（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (1)作的角平分线，交于点； (2)若的高线为，当，，时，的面积是_____， 与的面积比是______． 【答案】(1)见解析 (2)， 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）如图，过点作于点， 是的高， ， 是的角平分线，， ， ，， ，， 故答案为：，． 变式5-2．利用垂直平分线将三角形分割出等腰三角形： (1)如图1所示，中，，的垂直平分线交于点，连接，那么图中出现的等腰三角形是 ； (2)如图2所示，中，，的垂直平分线交于点，连接，那么图中出现的等腰三角形是 ； (3)请利用上述方法，将图3中的直角三角形分割成三个等腰三角形． 【答案】(1) (2)， (3)作图见解析 【详解】（1）解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴是等腰三角形， ∴图中出现的等腰三角形是， 故答案为：； （2）解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴图中出现的等腰三角形是，， 故答案为：，； （3）解：如图，作的垂直平分线交于点，连接，作的垂直平分线交于点，连接， ∴，， ∴，都是等腰三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴图中出现的等腰三角形是，和． 变式5-3．已知：如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点D． (1)用直尺和圆规在图中作出点D（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，垂足分别是E、F．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解∶如图，点D即为所求， （2）证明：连接，， 由作图知：平分，点D在的垂直平分线上， ∵，， ∴， ∵点D在的垂直平分线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 类型六、垂直平分线与角平分线的综合 例11．如图，在四边形中，，延长，交于点，所在的直线垂直平分线段，过点作交于点． (1)试说明：； (2)若，的面积为，求的长． 【答案】(1)见详见 (2) 【详解】（1）解：∵所在的直线垂直平分线段， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 过点作，垂足为， ∵的面积为， ∴， 又∵， ∴， 由（1）知， ∴平分， 又∵，， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的性质等知识，熟知相关知识并根据图形特点灵活应用是解题关键． 例12．如图，已知，是的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G． (1)求证：垂直平分； (2)若，，则的面积为　　　． 【答案】(1)见解析 (2)27 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴，，即垂直平分； （2）解：由（1）可知． ∵，，， ∴． 故答案为：27． 变式6-1．如图，在中，平分，过点D作于M，的延长线于N，且． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【详解】（1）证明：如图，连接，， 是的平分线，，， ， 在和中， （）， ， 点D在的垂直平分线上． （2）解：在和中， （）， ，， ． ， ． 变式6-2．如图，，平分交于D，，点M在的垂直平分线上，交于O，于点G，于点F．    (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若点D在的垂直平分线上，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)2； (3)是等边三角形，理由见解析． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴，， ∵点M在的垂直平分线上， ∴，且， ∴， ∴，， ∴； （3）∵点D在的垂直平分线上， ∴， ∴，且，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，证明全等三角形是本题的关键． 变式6-3．如图，在四边形中，所在的直线垂直平分线段，过点作交于，延长、交于点． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，，的面积为求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：∵所在的直线垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分； （2）证明：∵所在的直线垂直平分线段， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 过点作，垂足为， ∵的面积为， ∴， 又∵， ∴， ∵平分，，， ． 1．如图，，和分别平分和，过点且与垂直．若，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点作于， ，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．如图，在中，平分，点在上，若，，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设，， 过点作于点，过点作于点，过点作于点，设， ∵平分，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：B． 3．如图，在中，，，M为边上的点，连接，如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图：作于，于， ， ∵在中，， ∴由折叠的性质可得：，， ∵，， ∴， ∵将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 4．如图，在中，，，平分，交于，点G是上的一点，且，连交于P，连，下列结论： ①，②，③，④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：如图，设与交于点， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故①正确，符合题意； ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确，符合题意； ， ， 垂直平分， ， ，，， ， ， ， 故③错误，不符合题意； ， ， 由上可知：， 在和中， ， ， ， 故④正确，符合题意； 综上：①②④正确，符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，熟练掌握有关知识点是解题的关键． 5．如图，在中，，，D为的中点，，垂足为E．过点B作交的延长线于点F，连接，．现有如下结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：∵D为的中点，， ∴， 若平分，而 ， ∴， 又∵， ∴不可能平分，故①错误； ∵，，， ∴，， ∴， 是等腰直角三角形， ∴，故②正确． ，，， ， ， ， ， ，故③正确． ，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ，故④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质、角平分线的定义与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6．如图，在中，是角平分线．若，，，则线段的长为 ． 【答案】8 【详解】解：在上截取线段，使，连接，如图： ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， 设，则，，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，在中，，于点，点为上一点，，若的面积是，，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：过点分别作，， ，， 垂直平分， ，， ， ， ，， ，， ，即， ， ，即、分别平分、， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 8．如图，在中，，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)求证：． (3)连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等腰三角形，见解析 【详解】（1）证明：，且， ， 又， ， ， ， ， ； （2）证明：由（1）可知， 且，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（2）可知， ， 由（）可知垂直平分， ， ， 为等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 9．如图，在中，边的垂直平分线交边于点，交于点F，过点作于点，且为线段的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接，如下图， ∵于点D，且D为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 10．如图，在中，点是边上的一点，连结，垂直平分，垂足为，交于点．连结． (1)若的周长为，的周长为，求的长． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：垂直平分， ，， 的周长为，的周长为， ，， ， ． （2）解：∵，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，三角形内角和，三角形外角，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且是的中点，连接． (1)若，求的度数； (2)若的长为，求的周长． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：（1）∵，且是的中点，垂直平分， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴ （2）解：∵是的中点， ∴， ∵，且， ∴的周长． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，外角的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．如图所示，在中，． (1)尺规作图，过顶点作的角平分线； （保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若上 存在一点， 连接， 当时．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图1，作的平分线，即为所作；                  图1 （2）解：如图2，延长交于，           图2 ∵，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$