第十九章 几何证明压轴训练-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（沪教版）

第十九章 几何证明压轴训练 一、选择压轴 1．如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线正好经过点，与相交于点，则的度数是(    )    A． B． C． D． 3．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，点B是x轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，等边中，点D为外一点，连接、、，交于点F，，点E为上一点，连接，点G为上一点，平分，下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．等腰三角形的底边长为6，面积是21，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（　　）． A．4 B． C．5 D． 8．如图，在中，，，；D为上一点．若是的平分线，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，在和中，，，，且C，D，E三点在同一条直线上，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点G，交于点H；再分别以点G，H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点O；连接并延长交于点D．点P是上的一点，过点P分别作，，交于点E，过点D作于点M，于点N，交于点K，于点L．下列线段的数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空压轴 11．如图，在四边形中，，对角线相交于点，且分别平分和，若，则的值为 ． 12．在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则底角为 ． 13．如图，在中，面积是20，的垂直平分线分别交边于点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 14．如图，都是等腰直角三角形，，，．将绕点B逆时针方向旋转后得，当点恰好落在线段上时，则 ． 15．如图，四边形中，点E是对角线上一点，连接，若，，，，，则的面积= ． 16．如图，钝角三角形的面积为14，最长边，平分，点M、N分别是、上的动点，则的最小值为 ． 17．如图，，点A是射线上定点，点B是射线上动点（点B不与点O重合），C为的中点，连接，将沿直线翻折得，交边于点E，若是等腰三角形，则 °． 18．如图，在中，，，，已知D是上一动点，将点A沿翻折，若A落到形内（不包括边），则的取值范围为 ． 三、解答压轴 19．已知，如图，在中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，，连接，过作于，交于，连接． (1)求证：； (2)用等式表示，和的数量关系，并证明． 20．如图，已知四边形中 ． (1)尺规作图：作的平分线，交线段于E，（保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接，若恰好平分，求证：． 21．如图，在中，平分交于点，过点作于点，点在上，使． (1)求证：． (2)若，求的长． 22．如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 23．如图， 在中， 垂直平分，分别交、于点D，E，垂直平分，分别交、于点M，N． (1)如图1若， 求的度数； (2)如图2若， 则的度数； (3)若，直接写出用α表示大小的代数式． 24．如图，已知在中，，，，D为的中点，E为射线上一点，将沿翻折得到．    (1)连接，求的长； (2)若点F落在上，求的长； (3)连接，若，求的长． 25．如图，射线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度在射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)的度数为________； (2)若，试求动点、的运动时间的值； (3)试问当动点、在运动过程中，存在某个时间，使得，直接写出的值． 26．如图，等腰直角三角形中，，，点是边上的一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结，． (1)如图，线段与之间的关系是 ；并证明结论成立． (2)如图，是的中点，连结交于，若，时，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十九章 几何证明压轴训练 一、选择压轴 1．如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接， ，为的平分线， ． 又， ． 是的垂直平分线， ， ， ． 为的平分线，， 直线垂直平分， ， ， 点C沿折叠后与点O重合， ，， ， 在中，， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关知识来分析、判断． 2．如图，在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线正好经过点，与相交于点，则的度数是(    )    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接，   是的垂直平分线， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选D． 3．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，点B是x轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：如图，以为边向左侧作等边三角形，连接， ∴，． ∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． ∴当轴时，最短，即此时最小． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，即在运动过程中，的最小值为3． 故选B． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 4．如图，等边中，点D为外一点，连接、、，交于点F，，点E为上一点，连接，点G为上一点，平分，下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：在上截取， ∵， ∴是等边三角形，则，， ∵是等边三角形， ∴，，则， ∴， ∴，， 则，故①正确； 则，故②正确； 设边上的高为，点到，的距离分别为，， ∵，即平分， ∴， 则， ∴，故③正确； ∵平分， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， 由上可知，，则， ∴，故④正确； 综上，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 5．等腰三角形的底边长为6，面积是21，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：如图，连接，． ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴， ∴， ∴当A，M，D三点共线时最小， ∴的长为的最小值， ∴的最小值为； 故选：B． 6．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积的面积的面积 故选：B． 7．如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（　　）． A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解：连接，如图； ，，， ，，， ， 是直角三角形，且， 由折叠的性质得：， 顶点B恰好与点A重合， ， 是的垂直平分线， ， 设，则， 在中，， ， , ， 故选：B． 8．如图，在中，，，；D为上一点．若是的平分线，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：如图，过点D作的垂线，垂足为P，    在中，∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， 在中，∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9．如图，在和中，，，，且C，D，E三点在同一条直线上，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：①∵, ∴， 即， 在和中, ， ∴, ∴，故A正确； ∵, ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确； ③∵，但，不一定具有， ∴不一定相似，故C错误； ， ， ， ， ∵， ，故D正确， 故选：C． 10．如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点G，交于点H；再分别以点G，H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点O；连接并延长交于点D．点P是上的一点，过点P分别作，，交于点E，过点D作于点M，于点N，交于点K，于点L．下列线段的数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据作图可知∶平分， 即， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 同理， ∴， ∴， 即，故选项D正确， 当L为中点时，，故选项C错误， 无法证明，，故选项A、B错误， 故选：D． 二、填空压轴 11．如图，在四边形中，，对角线相交于点，且分别平分和，若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：如图：在上截取，连接， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴（三角形外角的性质）， ∴ ∵, ∴， ∴，即平分， 设的边的高为，边的高为，设的边的高为，AB边的高为，则，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 同理∶ ， ∴， ∴， ∵平分， 同理∶， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则底角为 ． 【答案】或/或 【详解】解：分两种情况： ①当为锐角三角形时，如图， ∵是垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当为钝角三角形时，如图， ∵是垂直平分线， ∴.， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，底角为或， 故答案为：或． 13．如图，在中，面积是20，的垂直平分线分别交边于点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】12 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，点是边的中点，， ，， ∵的面积是20， ， 解得， 是线段的垂直平分线， ， ， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：12． 14．如图，都是等腰直角三角形，，，．将绕点B逆时针方向旋转后得，当点恰好落在线段上时，则 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接，过作于， 、都是等腰直角三角形，，，，， ，， 将绕点逆时针方向旋转后得， ，，， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 15．如图，四边形中，点E是对角线上一点，连接，若，，，，，则的面积= ． 【答案】 【详解】解：在上截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理以及直角三角形的性质，二次根式的混合运算．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 16．如图，钝角三角形的面积为14，最长边，平分，点M、N分别是、上的动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，过点作于点， 平分，，， ， 当、、三点共线时，有最小值， ， 三角形的面积为14，， ， ． 即的最小值为4． 故答案为：4． 17．如图，，点A是射线上定点，点B是射线上动点（点B不与点O重合），C为的中点，连接，将沿直线翻折得，交边于点E，若是等腰三角形，则 °． 【答案】45或54 【详解】解∶∵，C为的中点， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， 设，则， ∴，，， ①当时，则， ∴， 解得， ∴； ②当时，则， ∴， 解得， ∴； ③当时，则， ∴， 解得（舍去）， 综上，的度数为或， 故答案为：45或54． 18．如图，在中，，，，已知D是上一动点，将点A沿翻折，若A落到形内（不包括边），则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：当点落在上时，此时最短，如图2，则， ， ，，， ， ， ， ， ， 当点落在上时，此时最长，如图3，则， 作于点，于点，则，， ， ， ， ， ， ， ， 的取值范围为， 故答案为：． 三、解答压轴 19．已知，如图，在中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，，连接，过作于，交于，连接． (1)求证：； (2)用等式表示，和的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由如下见解析． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，在上截取，连接，，，延长，交于点，交于点，连接， ∵，， ∴，， ∴， 由，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴． 20．如图，已知四边形中 ． (1)尺规作图：作的平分线，交线段于E，（保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接，若恰好平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图：射线即为所求． （2）解：如图：延长交相交于F ∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵的平分线， ∴， ∴， ∴，即 ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∴． 21．如图，在中，平分交于点，过点作于点，点在上，使． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【详解】（1）证明：， ． 平分， ． 又， ． （2）解：， ． 平分， ． ， ． ， ． ． ， ∴． ， ． 设， 则． ∴在中，， ， 解得． ． 22．如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵D是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 即； （2）解：∵D是斜边的中点，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即，解得： ∴． 23．如图， 在中， 垂直平分，分别交、于点D，E，垂直平分，分别交、于点M，N． (1)如图1若， 求的度数； (2)如图2若， 则的度数； (3)若，直接写出用α表示大小的代数式． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 在中，， ∴； （2）∵垂直平分， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 在中，， ∴； （3）解：∵， 由（1）（2）得： 当时，； 当时，． 综上，当时，；当时，． 24．如图，已知在中，，，，D为的中点，E为射线上一点，将沿翻折得到．    (1)连接，求的长； (2)若点F落在上，求的长； (3)连接，若，求的长． 【答案】(1)5 (2)2 (3)或10 【详解】（1）解：如图，连接，   ，D为的中点， ， ，， ； （2）解：当点F落在上时，如图，    由折叠知， 又D为的中点， ， ，， 又， ， 由折叠知， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：当点E在线段上时，如图：    由折叠知，，， ， ， 点D，F，B三点共线， 设，则， 由（1）知， ， 在中，， ， 解得， 即的长为； 当点E在延长线上时，如图：    由折叠知，，，， ，， 点F，D，B三点共线， 设， 在中，， ， 解得， ； 综上可知，的长为或10． 25．如图，射线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度在射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)的度数为________； (2)若，试求动点、的运动时间的值； (3)试问当动点、在运动过程中，存在某个时间，使得，直接写出的值． 【答案】(1) (2)当或12时， (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①当点在线段上时，过作于，于，如图所示： ∵平分， ∴， 由题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点运动到点的右侧时， ， 解得：， 综上分析可知：当或12时，． （3）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当在线段上，且时，， ∴， 解得：， ∴当时，． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，以及一元一次方程的应用，进行分类讨论是解答本题的关键． 26．如图，等腰直角三角形中，，，点是边上的一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结，． (1)如图，线段与之间的关系是 ；并证明结论成立． (2)如图，是的中点，连结交于，若，时，求的长． 【答案】(1)，；见解析； (2)． 【详解】（1）解：且． 证明：如下图所示， 由旋转可知，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， ， ，； （2）解：如图所示，延长到，使，连接并延长交于点， ，， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，，， ，，， 在中根据勾股定理得， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，解决本题的关键是根据旋转的性质和全等三角形的性质找到相等的边和角，构造等角三角形利用勾股定理求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$