黑龙江省绥化市绥棱县第一中学2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题

2024一2025学年度上学期高三11月月考试卷 数 学 2024.11 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上 对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题 的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答 裂 无效。 3.本试卷命题范围：集合与逻辑、不等式、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、复 都 数、数列、空间向量与立体几何、直线与圆、椭圆。 散 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 长 是符合题目要求的， 1.“a=0”是“复数a十bi(a,b∈R)是纯虚数”的 ☒ A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 舒 2.设集合P=(yly=c+1},M={x|y=log2(x一2)}，则集合M与集合P的关系是 A.M=P B.P∈M C.MCP D.PCM 南 3.记Sn为等差数列{am}的前n项和.若a2十a6=8,a12=16,则S1s= 湘 A.140 B.150 C.160 D.180 4已知椭圆C:后+芳-1(a>6>0)的右焦点为R,过原点的直线1与C交于A,B两点，若 AF⊥BF,且|AF=3|BF,则C的离心率为 A项 B.10 5 c号 n号 5已知cs asin,g-日，tana=3tanA,则inla-D= A- B吉 c logx,x≥1， 6.已知函数∫(x)= a>0且a≠1)在定义域内是增函数，则a -x2+2(a-1)x+a-6,x<1 的取值范围是 A.(2,3) B.(1,4) C[2,3] D.(2,十∞) 【高三月考·数学第1页（共4页）】 10056C 7.已知圆C的圆心为原点O,且与直线x十y十4√2=0相切.点 P在直线x=8上，过点P引圆C的两条切线PA,PB,切点分 别为A,B,如图所示，则直线AB恒过定点的坐标为 A.(0,2) B.(2,0) C.(0,w5) D.(5,0) 8.中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1所示的五脊殿是中国 传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所 示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，EF∥AB,AB=2EF=2,△ADE与△BCF 都是边长为1的等边三角形，若点A,B,C,D,E,F都在球O的球面上，则球O的表面积为 A. a晋 c 竖 图1 图2 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.对于△ABC,有如下判断，其中正确的判断是 A.若cosA=cosB,则△ABC为等腰三角形 B.若A>B,则sinA>sinB C.若b=8,c=10,B=60°，则符合条件的△ABC有两个 D.若sin2A十sinB<sinC,则△ABC是钝角三角形 10.如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形 轨道工上绕月球飞行，然后在P点处变轨进以F为一个焦点的椭圆 轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道 Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道I的半径为R,圆形轨道Ⅲ的半径为r,则 A.轨道Ⅱ的焦距为R一7 B.若R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越短 C.轨道Ⅱ的长轴长为R十r D.若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大 11.已知函数f(x)=ax3一6ax2十1(a≠0)有且仅有三个不同的零点分别为1，x2,x2,则 Aa的取值范图是（一∞，2】 Ba的取值范围是（位2，十∞） C.x1x2x3=-1 D.x1十x2十x3=6 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.平面向量a,b为单位向量，且(a一2b)·(a十b)=1,则1a十2b|= 13.已知函数f(x)=cos(a-牙)u>0),将f(x)的图象向右平移答个单位长度得到函数 g(x)的图象，若g(x)是偶函数，f(x)在(0，π)上恰有4个零点，则w 14.以maxM(minM)表示数集M中最大（小）的数.设a>0,b>0,c>0,已知ac十bc=1,则 mmmx2} 【高三月考·数学第2页（共4页）】 10056C 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(13分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=(a,c-b),B=(sinC+sinB,sinA十 sinB)且a∥B. (1)求角C; (2若c=3万，△ABC的面积为39，求△ABC的周长 16.(15分) 已知等差数列{an}前n(n∈N*)项和为Sn,又a2=4,Sg=90 (I)求数列{an}的通项公式a.; (2)设bn=|9一an|,求数列{bn}的前n项和T. 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形，PA=AB=2,∠BAD =60°. (1)求证：直线BD⊥平面PAC; (2)若点M为线段PC的中点，求二面角C-MB-A的正弦值. 【高三月考·数学第3页（共4页）】 10056C 18.(17分) 已知函数f(x)=e2r一ax一1. (1)讨论f(x)的单调区间： (2)若f(x)在区间(0，十∞)上存在唯一零点x,证明：x<a一2. 裂 19.(17分) 姿 已知椭圆E若十芳-1(a>6>0)的离心率。=号】 2 的 (1)若椭圆E过点(2，√2)，求椭圆E的标准方程. (2)若直线l1,2均过点P(pm,0)(0<p.<a,n∈N')且互相垂直，直线l交椭圆E于A,B 长 两点，直线l2交椭圆E于C,D两点，M,N分别为弦AB和CD的中点，直线MN与x ☒ 轴交于点Q(,0),设p,=3 都 ①求tn; ②记a.=PQ1,求数列公}的前n项和S. 部 糊 【高三月考·数学第4页（共4页）】 10056C2024-2025学年度上学期高三11月月考试卷·数学 参考答案、提示及评分细则 1.A若复数a十bi(a,b∈R)是纯虚数，则a=0,b≠0.故“a=0”是“复数a十bi(a,b∈R)是纯虚数”的必要不充 分条件. 2.C函数y=e+1的值域为(1，十∞)，函数y=log2(x一2)的定义域为(2，+∞)，故P=(1,+∞)，M=(2, 十∞)，则有M二P. 3.Ba2十as=2a4=8,∴.a1=4,又a12=16,.a4十a12=2as=20.∴.a%=10,∴.S15=-15a8=150. 4.A设左焦点为F,由O是FF',AB的中点，∴.|AF|=|BF,AF⊥AF.设|BF|=m,则|AF=3m,又 1AP1+AF-2am-含aAP=aAr1=a(合a)+(a)厂-(2号-8e ￡= 4 5.D因为ana=3tanB,所g-o号，即sino月3 sin.所以snaB=sin acos-cos asin= 3 os asin月-sin=2 in,又cos esin-名，所以sin(a-gD=2 cossin=2X言=子. 6.C由函数f(x)= logr,x≥1， 一+2(a-1Dx十a一6.r<1,因为函数f(x)在定义域内是增函数，则满足 a>1, a-1>1, 解得2≤a≤3，即实数a的取值范围为[2,3]. -1+2(a-1)+a-6≤log1, 7.B依题意得圆C的半径r=4区 =4,所以圆C的方程为x2+y2=16.因为PA,PB是圆C的两条切 √1+1 线，所以OA⊥AP,OB⊥BP,所以A,B在以OP为直径的圆上，设点P的坐标为(8，b),b∈R,则线段OP的 中点坐标为(4，合)，所以以0P为直径的圆的方程为(x-4)+(-号）广=4+（号）广，6∈R,化简得+ y2一8x-by=0,b∈R,因为AB为两圆的公共弦，所以直线AB的方程为8x+y=16,b∈R,即8(x-2)+by =0,所以直线AB恒过定点(2,0). 8.D如图，连接AC,BD,设AC∩BD=O,因为四边形AB CD为矩形，所以O为矩形ABCD外接圆的圆心.连接 OO,则OO⊥平面ABCD,分别取EF,AD,BC的中点M, P,Q,根据几何体ABCDEF的对称性可知，直线OO交EF 于点M.连接PQ,则PQ∥AB,且O为PQ的中点，因为EF ∥AB,所以PQ∥EF,连接EP,FQ,在△ADE与△BCF中， 易知EP=FQ=√下P-(合)=号，所以梯形EFQP为等 腰梯形.所以M01PQ,且M0=√()-(2，)'-号设00=m,球0的半径为R,连接OE.OA, 当0在线段0，M上时，由球的性质可知R=OE=OA,易得QA=√P+(合)-号，则（停-m)十 (2)=(气）十m,此时无解当0在线段M0,的延长线上时，由球的性质可知，()】 十m2 (受+m)°+（合）广，解得m=,所以R=OE-号，所以球0的表面积S=4R-要 2 9.ABD对于A,若cosA=cosB,因为函数y=cosx在(0，x)上为单调函数，所以A=B,所以△ABC为等腰三 b 角形，所以A正确：对于B,若A>B,可得a>b,由正弦定理A-B2R,可得2 Rsin A>2 Rsin B,可得 【高三月考·数学参考答案第1页（共4页）】 10056C 血A>mB所以B正确：对于C.因为mC=B-5>1,所以符合条件的△ABC有0个，所以C不正 确：对于D,若simA十simB<simC,由正弦定理得a+<,则cosC=+C<0,因为C∈(0，，所 2ab 以C∈（交，x),所以△ABC是钝角三角形，所以D正确.故选ABD. 10.ACDA由椭圆的性质知，a十c=R,a一C=,解得2c=R-,故正确：B由A知a=R,c-R,,所以 2 2 2弘=2V后一元=2√牛P-R严=2v,若R不变r越大，2b越大，轨道Ⅱ的短轴长越长，赦错 4 4 R-r 误：C由①知2a=R+,故轨道Ⅱ的长轴长为R+r,故正确：D,因为e=石=R是R号 2 RL=1一R千=1一 2若下不变，R越大，则飞越小，所以越大，执道Ⅱ的离心率越大故正酮 ®十1 11.BD(x)=3a.x2-12a.x=3a.x(x-4)(a≠0)，令f(x)=0,解得x=0或x=4,当a<0时，当x∈(4，十∞) 时，f(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(-o∞，0)时，f(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(0,4)时，f(x)>0,f(x) 单调递增，所以f(x)版小恤=f(0)=1>0,f(x)极大推=f(4)=64a一96a+1=1一32a>0,此时函数f(x)只 有一个零点，不符合题意：当a>0时，当x∈(4，十∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增，当x∈（一∞，0）时， f(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(0,4)时，f(x)<0,f(x)单调递减，f(x)大值=f(0)=1>0,要使f(x)有 三个不同的零点，则f(=f代4)=64a一96a十1=1一32a<0,解得a>2,故A错误，B正确：因为函 数f(x)=a.x3一6a.x2+1(a≠0)有且仅有三个不同的零点分别为x,2,,则f(x)=a(x一)(x一x2)(x -x)=ax-a(.x+x十x3).x2十a(xnx3十x1x十xex).x-ax1x2x3=a.x2-6a.x2十1，即有-a,x1x2x=1, 十2+x=6,x1x十x12十x2x=0,故C错误，D正确. 12.5因为平面向量a,b为单位向量，所以a=b=1,因为(a-2b)·(a十b)=一1，所以a2一a·b一2b= |a2-a·b-2|b2=-1,所以a·b=0:所以|a十2b2=a2+4a·b十4b=a2+4a·b十4|b2=5,即a +2b=5. 13.4f八x)=cos(or-晋)(>0)，将f(x)的图象向右平移否个单位长度得到函数g(x)的图象.则g(x)- cos(a(r一晋）一号）=cos(a一晋-号)gr)是偶函数，则-肾-号=km,解得w=-60-2k∈Z),因 为w>0,则-6的-2>0，即K-3,因为。>0，则om-号∈（一号om一吾），因为f八x)在(0，x)上恰有4 个零点，则受<m一青<受，解得器<w≤号则号<一6k-2<得，-品<<一需结合k<一子，则 一器<长一器因为k∈Z则=-1时，=4 14.拒由ac+c=1,得d+G=是，设mx合，方，}=M.则MD女MD右MD=d+6≥2ao, 由M-2,+M2启洁+2高+23后 ·2ab=32,当且仅当 √ab a=6=c=方时.取等号，所以min max合，方，}-泛。 2 15.解：(1)由a∥B可知a(sinA十sinB)=(c-b)(sinC+sinB),…1分 由正弦定理，得a(a+b)=(c一b)(c十b),即a2+一2=一ab. …3分 所以osC-d+=一之又Ce0x.所以C-号” 2ab 6分 (2)由(1)知a2十-c2=-ab,所以(a十b)2-ab=c2=18,…8分 又ShinC-停h-所以h-6.10分 【高三月考·数学参考答案第2页（共4页）】 10056C 所以(a+b)2=18+ab=24,即a+b=2√6. 11分 所以△ABC的周长为a十b十c=32+2√6.…13分 16.解：(1)设等差数列的公差为d,首项为a1, 因为S=90,所以S-9〔a十a）-9a6=90. 2 所以a=10,由a6一a2=3d=10-4=6,解得d=2, 又a2=4,所以am=a2十(n-2)d=4十(n-2)X2=2n…6分 (26,=9-a.=19-2ml,设6=9-2，c的前n项和为S.,得S=7+(92m×n=8,一心， 2 =9-2n>0,得m<号 当1≤n≤4时，cm>0,即bn=cm,所以1≤≤4，T。=S=8n-2. …9分 当n≥5时，得cm<0,所以bn=一cm, 则Tn=(c1十c2十…十c)一(c十ca十…十Cm)》 =S4-(Sn-S4)=2S,-Sn=32-(8n-n2)=n2-8m+32. 综上所法：-E …15分 17.(1)证明：由PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,得PA⊥BD, 由底面ABCD是菱形，得BD⊥AC,又PA∩AC=A,AC,PAC平面PAC, 所以直线BD平面PAC.………4分 (2)解：在菱形ABCD中，AD=AB=2,∠BAD=60°，则△BAD为正三角形，BD=2, AC=2 ABcos30°=2√3，在平面ABCD内作Ax⊥AD,则直线Ax,AD,AP两两垂直， 以点A为坐标原点，直线Ax,AD,AP分别为x,y,~轴建立空间直角坐标系，如图： 则A0,0.0.B5,1.0.P(0,0.2.C,30.M(停，2,1小，M迹= (--1).Ci=0-2.0.Ai=31,0… …6分 设平面MBC的法向量为u=(x,y,),则 Mi.M= 2x- 2y-=0. CB.u=-2y=0, 令x=2,得=(2,0,5).…8分 设平面MBA的法向量为v=(a,b,c),则 流a-=0, AB.v=3a十b=0, 令a=1,得v=(1,一5，w3),… 10分 设二面角C-MB-A的平面角为a,则cosa=|cos(u.m=M:- 5 Hv7X7 7· 0044++04440004t 13分 则sma=V一cosa-√-（停）-2，所以二面角C-MB-A的正弦值为5， 15分 18.(1)解：由题意可知：f(x)的定义域为R,且(x)=2e2一a,…1分 若a≤0，则(x)=2e-a>0对任意x∈R恒成立， 可知f(x)的单调递增区间为R,无单调递减区间：…2分 若a>0,令f(x)>0,解得x>2lh号：令f(x)<0,解得<2n受： 4 可知f(x)的单调递增区间为（受ln受，十o∞），单调递减区间为(-c∞，2n号)： …4分 综上所述：若a≤0，f(x)的单调递增区间为R,无单调递减区间： 若a>0,fx)的单调递增区间为（分n号，十o∞），单调递减区间为（一o©，2n号） …6分 (2)证明：因为f(x)在区间(0，十o∞)上存在唯一零点x0, 【高三月考·数学参考答案第3页（共4页）】 10056C 所以存在唯一的x∈(0，十∞)，有f()=e一a。-1=0,化简得a=6-」 …8分 To 若要证明<a一2，则只需<-2，即只需4一（十1）>0(>0.…9分 不妨设h(.x)=e2-(x十1)，x>0,求导得h'(x)=22一2(x十1)，x>0,…10分 令u(.x)=h'(x)=2e2-2(x十1)，x>0,求导得(x)=4e2-2>4-2=2>0,x>0, 11分 所以当x>0时，h(x)=22-2(x+1)单调递增，所以h'(x)=2e2一2(x+1)>h'(0)=0,…12分 所以当x>0时，h(.x)=2r一(x十1)2单调递增，所以h(.x)=一(.x十1)2>h(0)=0,…13分 即当>0时，有不等式20一（十1）2>0成立，…15分 综上所述：若f(x)在区间(0，十o)上存在唯一零点o,则n<a一2. 17分 19.解：(1)因为e=C=2」 右=2，a2=+c2,所以a2=26， 所以椭圆E的方程为示+芳-1，因为椭圆E过点（2②)，所以》十是=1，解得：=4， 所以椭圆E的方程为后+号 =1. 4 …3分 (2)①当直线，2中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，直线 MN与x轴重合，不符合题意.故直线4，l2的斜率均存在且不为0. 设直线l1的方程为y=k(x一pn)(k≠0)，A(x1,),B(x2,2),M(xM,yM), N(IN.yN). x2 远十，消去y并警理得1十2农)x一红十2居一2号 联立方程 y=k(I-P), 因为直线与椭圆相交于两个不同的交点，所以△>0， Ap.k2 根据韦达定理得西十一半2 2k2p房-2厉 1十2k2· 2pk2 TM= IN 2pn 1+2k” k+2” 则 同理可得 …8分 一bk pak yM= 1+2k2 w一+2' 因为M,N,Q三点共线，所以yx(xN一xr)=(yw一y)(xv一tm),易知yw一yw≠0， 2p.k2 pk 2p4 一pwk 则1，=MYN-TNYM yN一M 远正远-2华，因为-京所以，一品.…18分 p k 一pk k2+21十2k ②结合①可知a,=PQ=p-33时，所以。=3，……… 14分 所以数列品}是首项为9，公比为3的等比数列， 15分 所以数列 的前n项和S.=992=号（3-1D. 1-3 17分 【高三月考·数学参考答案第4页（共4页）】 10056C