二倍角公式专项特训-2025届高三数学一轮复习

（冲刺高考）二倍角公式专项特训-2025年高三数学上学期复习专题 一、单选题 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，角所对的边分别为，已知，点在所在的平面内，满足，且，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 4．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D．1 7．已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，则（   ） A． B． C． D．2 二、多选题 9．下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 10．已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．的值域为 C．的图象关于直线对称 D．以为周期 三、填空题 12．若钝角满足，则 . 13．在中，、、分别为内角、、的对边，，，面积为12，则 . 14．在中，内角A，B，C所对的边分别为（）.已知，则的最大值是 . 四、解答题 15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求； (2)若的面积为，求BC边上中线的长. 16．记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的角平分线交AB于点D，，且. (1)求； (2)求的取值范围. 17．△的内角的对边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若是△边上的中线，且，求△面积的最大值． 18．在中，角，，所对的边分别是，，，已知. (1)求角的大小； (2)设， （i）求的值； （ii）求的值. 19．在中，为的中点，，记，. (1)证明：或； (2)若，且，求的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D C C C D A AD BCD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】由诱导公式得到，进而由诱导公式和二倍角公式求出答案. 【详解】， . 故选：C 2．A 【分析】由直线平行可得，再由二倍角的余弦公式得解. 【详解】向量，，且， 可得，， ， 故选：A. 3．D 【分析】由，结合向量线性运算可得平分，即可得，再结合余弦定理及基本不等式计算即可得. 【详解】由，则，即， ， 故，由、都为单位向量，故平分， 故， 则，则， 当且仅当时，等号成立， 即，即有最小值. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助，结合向量线性运算得到平分. 4．C 【分析】根据以及倍角公式，结合充要条件分析判断即可. 【详解】因为， 则，等价于， 等价于， 所以 “”是“”的充要条件. 故选：C. 5．C 【分析】根据同角三角函数的平方关系与商数关系分别求，，再根据角度之间的和差倍关系，利用诱导公式与二倍角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则，所以， 所以. 故选：C. 6．C 【分析】首先利用诱导公式将已知条件化简，求出的值，再将所求式子利用二倍角公式化简，最后将的值代入化简后的式子进行计算. 【详解】根据诱导公式，，则，即. 根据二倍角公式，则. 将其分子分母同时除以得到，进一步化为. 把代入上式，可得. 故选：C. 7．D 【分析】根据和差角公式可得，，即可由正弦的二倍角公式求解. 【详解】根据题意可得，， 则，， . 故选：D 8．A 【分析】化简条件式求出，再将求解式子弦化切，代入运算. 【详解】由，得，则， 所以. 故选：A. 9．AD 【分析】利用两角和的正切可判断A的正误，利用辅助角公式可判断B的正误，利用两角差的余弦可判断C的正误，利用倍角公式和辅助角公式可判断D的正误， 【详解】因为， 所以， 所以，故A正确； ，故B错误； 而，故C错误； ，故D正确. 故选：AD. 10．BCD 【分析】由正切关系得到正余弦关系，结合，分别求出和，判断出AB选项，再由二倍角公式和和差角公式判断出CD选项. 【详解】∵，即， ∴， ∴， ∴，B选项正确， ∴，A选项错误， ∴ ，C选项正确 ， ∵，∴，∴，D选项正确. 故选：BCD 11．ACD 【分析】首先化简函数，再根据奇函数的定义，判断A，通过换元分析函数的单调性，即可求函数的值域，判断B，证明，判断C，根据，即可判断D. 【详解】， ，则，，则函数的定义域为，函数的定义域关于原点对称，且满足，所以函数是奇函数，故A正确； 设，在区间单调递减，，因为函数是奇函数，所以函数的值域是，故B错误； ，所以函数关于对称，故C正确； ，所以函数的周期为，故D正确. 故选：ACD 12．5 【分析】根据为钝角易得，进而结合正切的二倍角公式求解即可. 【详解】由题意，，则，所以， 由，解得. 故答案为：5. 13． 【分析】结合三角形的面积公式求，再根据二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】由，又，， 则可得， 又， 故答案为：. 14．/ 【分析】利用正弦边角关系、三角恒等变换得到、，再应用和角正弦公式、倍角公式，将目标式化为，应用换元法及导数研究其最大值即可. 【详解】由，则，， 所以或，而，且，即， 所以，且，即， ， 令，则，， 当时，则在上递增； 当时，则在上递减； 故为的极大值点， 的最大值为. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式结合恒等变换，再结合余弦定理求解； （2）利用面积公式，结合（1）中角，由余弦定理，解三角形求边上中线的长. 【详解】（1）由题设得 于是故 由正弦定理得 又， 故. （2）由（1）知， 所以是顶角为，底角为的等腰三角形，即， ， 设BC边上中线的长为，则有 . . 16．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角可得，再由诱导公式和二倍角的正弦公式化简即可得出答案. （2）令，利用正弦定理求出，再化简的表达式，最后再利用对勾函数单调性即可得到范围. 【详解】（1）由正弦定理可得：， 因为，所以，即， 所以， 因为，所以， ，即，所以，即. （2）锐角中，令，则，则， 在中，，， 在中，，则， 所以 令， 因为，则， 则，根据对勾函数的单调性知 在上单调递减，在单调递增， 且，， 则的值域为. 即的取值范围为. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，再由二倍角正弦公式化简即可得解； （2）根据中线的向量表示，两边平方后利用基本不等式求最值，再由三角形面积公式得解. 【详解】（1）在△中，由， 根据正弦定理可得， 因为为△的内角可知，，且， 所以，即， 因为为△的内角，，故， 所以，即. （2）由题知是边的中线，所以． 两边平方得：，即， 又，故，当且仅当时等号成立． 所以， 所以△面积的最大值为. 18．(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，再运用正弦的和角公式求得，根据角的范围可求得答案； （2）（i）运用余弦定理求得；（ii）再运用正弦理求得，利用同角三角函数间的关系，正弦的二倍角公式，以及两角差的正弦公式可求得答案. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 则， 因为在中，， 所以， 则有， 因为，所以，， 故； （2）（i）由（1）知：，在中，因为，， 由余弦定理可得：， 则. （ii）在中，由正弦定理可得：， 即，所以， 因为，所以，则为锐角，所以， 则， ， 所以 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，在与中分别用正弦定理即可得到，再结合正弦的二倍角公式，即可证明； （2）分别讨论与，结合列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）∵， ∴， ∴，    在中，则； 在中，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴或，即或. （2）时，    ∵， ∴， ∴， 由已知，矛盾； 时，，    ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最大值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$