2024年九年级数学二次函数中的存在性问题中考专项练习

二次函数中的存在性问题中考专项练习 一、解答题 1．在平面直角坐标系中，设直线的解析式为： (为常数且．)，当直线与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”． (1)求直线：与双曲线的切点坐标； (2)已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，使得直线 与都相切于同一点? 若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由； (3)已知直线，直线是抛物线 的两条切线，当与的交点的纵坐标为4时，试判断是否为定值，并说明理由． 2．如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点． (1)求二次函数的解析式； (2)若点C是抛物线上的一点且横坐标为3，当的值最小时，求点M的坐标； (3)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，求的最大面积； (4)在二次函数图象上是否存在点N，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，三角形是以为底边的等腰三角形，点A、分别是一次函数的图象与轴、轴的交点，点在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点使四边形能构成平行四边形． (1)求、坐标，并写出该二次函数表达式； (2)动点从A到，同时动点从到A都以每秒个单位的速度运动，问： 当运动到何处时，有？ 当运动到何处时，四边形的面积最小？此时四边形的面积是多少？ 4．如图，顶点为的抛物线的图象与直线交于为，两点，，直线与轴交于点，点的纵坐标为3．    (1)求抛物线和直线解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在二次函数图象上是否存在点，使，若存在直接写出点的坐标，不存在请说明理由． 5．二次函数的图象交轴于原点及点．    (1)当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表： … （___，___） … … … ①补全表格； ②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为． 形成概念 我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称是L的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线L的“孔像抛物线”． 探究问题 (2)①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为______． ②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）； ③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值． 6．规定：若一个四边形中，有且仅有三条边相等，那么我们称这个四边形为“准菱形” (1)若二次函数的顶点为，且与轴交于点及点． ①求二次函数表达式． ②轴上是否存在点，使得四边形为“准菱形”，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (2)已知四边形，点为对角线上一点，，，且， 求证：四边形为“准菱形”．    (3)利用无刻度的直尺及圆规按要求进行作图：分别在线段、上找点、，使得． 提示：小红同学已写了一些步骤，请你按照小红的思路继续完成（保留作图痕迹；也可作自己的方法） 步骤一：分别以、为圆心，相同长度为半径画圆，交、于点、；    7．二次函数的图象交轴于原点及点． 【感知特例】 (1)当时，如图1，抛物线：上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如表： … （___，___） … … … ①补全表格； ②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为． 【形成概念】 我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”． 【探究问题】 (2)①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为______； ②若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，直接写出的值______； ③在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”都有唯一交点，这条抛物线的解析式为____________． 8．如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点. (1)求二次函数的表达式； (2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求当S取最大值时点P的坐标，并且求S的最大值； (3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由． 9．已知二次函数的图像与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)D是二次函数图像上位于第三象限内的点，求的面积最大时点D的坐标； (3)M是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点N，使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标．（不写求解过程） 10．如图是二次函数的图像，其顶点的坐标为． (1)求出图像与x轴的交点A，B的坐标； (2)在二次函数的图像上是否存在点P，使?若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)在y轴上是否存在一点Q，使得的和最小，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由． 11．已知二次函数图象的顶点坐标为，且与x轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点旋转，此时点A、B的对应点分别为点C、D． ①连结，当四边形为矩形时，求m的值； ②在①的条件下，若点M是直线上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象经过点和点，与一次函数的图象交于点，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点B． (1)求一次函数与二次函数的解析式； (2)在二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由． 13．若一个函数图像上存在横纵坐标互为相反数的点，我们将其称之为“反值点”，例如直线的图像上的即为反值点． (1)判断反比例函数的图像上是否存在反值点？若存在，求出反值点的坐标，若不存在，说明理由； (2)判断关于x的函数（a是常数）的图像上是否存在反值点？若存在，求出反值点的坐标，若不存在，说明理由； (3)将二次函数的图像向上平移m（m为常数，且）个单位后，若在其图像上存在两个反值点，求m的取值范围． 14．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； (3)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 15．二次函数的图象经过点A（－1，0）和点C（0，－3）与x轴的另一交点为点B． (1)求b，c的值； (2)定义：在平面直角坐标系xOy中，经过该二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．问：在该二次函数图象的对称轴上是否存在一点Q，以点Q为圆心，为半径作⊙Q，使⊙Q是二次函数的坐标圆？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图所示，点M是线段BC上一点，过点M作MPy轴，交二次函数的图象于点P，以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出的值． 16．已知：二次函数y＝ax2+bx+6（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点A、点B的横坐标是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的两个根．      （1）请直接写出点A、点B的坐标． （2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标． （3）如图，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，那个说明理由． 17．如图，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（2，0），点B（0，2），动点D以1个单位长度/秒的速度从点A出发向x轴负半轴运动，同时动点E以个单位长度/秒的速度从点B出发向y轴负半轴运动，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F （1）求∠OAB度数； （2）当t为何值时，四边形ADEF为菱形，请求出此时二次函数解析式； （3）是否存在实数t，使△AGF为直角三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 18．在综合实践课上，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究．把“”形尺按图1摆放，水平宽的中点为，图象的顶点为，测得为厘米时，为厘米． 【猜想】 （1）探究小组先对的图象进行多次测量，测得与的部分数据如表： … … 描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的直角坐标系内描出相应的点．连线：用光滑的曲线顺次连接各点．猜想：与的关系式是_______________； 【验证】 （2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的与也存在类似的关系式，并针对二次函数（）的情况进行了推理验证．请你补全下表中两种方法的推理过程； 方法1 方法2 如图3，平移二次函数图象，使得顶点移到原点的位置，则：，，，所以点的坐标为________；将点的坐标代入，得到与的关系式是_______________． 如图4，顶点的横坐标加个单位，纵坐标加个单位得到点的坐标，所以点的坐标为________； 将点的坐标代入，得到与的关系式是_______________． 【应用】 （3）已知轴且，两个二次函数和（）的图象都经过，两点．当两个函数图象的顶点之间的距离为10时，求的值． 19．已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标． 20．定义：对于一次函数（k，m是常数，）和二次函数（a，b，c是常数，），如果，，那么一次函数叫做二次函数的牵引函数，二次函数叫做一次函数的原函数． (1)若二次函数（a是常数，的图象与其牵引函数的图象有且只有一个交点，求a的值； (2)已知一次函数是二次函数的牵引函数，在二次函数上存在两点，．若也是该二次函数图象上的点，记二次函数图象在点A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图象G上任意一点纵坐标的最大值与最小值的差为t，且，求m的取值范围． 21．如图，平面直角坐标系中，，，，点为上一点，交于点，且，点是点关于原点的对称点．    (1)求点的坐标； (2)求的值； (3)已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，且对于任意实数的同一个值，这三个函数所对应的函数值，，，都有成立？若存在，求出函数的解析式；若不存在，请说明理由． 22．如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（﹣3，﹣3）． （1）求正比例函数和反比例函数的表达式； （2）把直线OA向上平移后与反比例函数的图象交于点B（﹣6，m），与x轴交于点C，求m的值和直线BC的表达式； （3）在（2）的条件下，直线BC与y轴交于点D，求以点A，B，D为顶点的三角形的面积； （4）在（3）的条件下，点A，B，D在二次函数的图象上，试判断该二次函数在第三象限内的图象上是否存在一点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1=S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图1，已知二次函数y=mx2+3mx﹣m的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D和点B关于过点A的直线l：y=﹣x﹣对称． （1）求A、B两点的坐标及二次函数解析式； （2）如图2，作直线AD，过点B作AD的平行线交直线1于点E，若点P是直线AD上的一动点，点Q是直线AE上的一动点．连接DQ、QP、PE，试求DQ+QP+PE的最小值；若不存在，请说明理由： （3）将二次函数图象向右平移个单位，再向上平移3个单位，平移后的二次函数图象上存在一点M，其横坐标为3，在y轴上是否存在点F，使得∠MAF=45°？若存在，请求出点F坐标；若不存在，请说明理由． 24．已知关于x的二次函数y=x2+（k2﹣3k﹣4）x+2k的图象与x轴从左到右交于A，B两点，且这两点关于原点对称． （1）求k的值； （2）在（1）的条件下，若反比例函数y=的图象与二次函数y=x2+（k2﹣3k﹣4）x+2k的图象从左到右交于Q，R，S三点，且点Q的坐标为（﹣1，﹣1），点R（xR，yR），S（xs，ys）中的纵坐标yR，ys分别是一元二次方程y2+my﹣1=0的解，求四边形AQBS的面积S四边形AQBS； （3）在（1），（2）的条件下，在x轴下方是否存在二次函数y=x2+（k2﹣3k﹣4）x+2k图象上的点P使得S△PAB=2S△RAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25．如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形． （1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式； （2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？ ②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？ 26．定义：对于二次函数，当自变量x满足时，函数值y的取值范围也为，则称二次函数．是上的“等域函数”．已知抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B． (1)若，且抛物线经过点，． ①求a，c的值； ②若是上的“等域函数”，求t的值： (2)在的情况下，记点B的横坐标为，经过点B的直线与抛物线交于点．若，是否存在二次函数是或上的“等域函数”的情形？若存在，求出抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由． 27．如图1，已知二次函数的图象与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求该二次函数的表达式； (2)点D是二次函数图象上位于第三象限内的点． ①如图2，当点D是抛物线的顶点时，连接，求的面积； ②当点D到直线的距离为最大值时，求此时点D的坐标； (3)若点M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使得以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标（不写求解过程）． 28．阅读与思考 下面是小涵同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 年月日  星期六 “用函数思想解决生活中的实际问题” 五一假期，我班数学作业是“用函数思想解决生活中的实际问题”，并参与解决问题的全过程．今天、爸爸计划在农村老家用栅栏围建一块的蔬菜种植基地，于是我也积极参与了基地的设计建设．在规划“蔬菜基地形状”时、爸爸根据实际情况将基地设计为矩形，以便分割区域进行种植．现遇到的问题是：是否存在满足上述条件的矩形呢？我想到了如下解决方法： 办法一：利用一次函数与反比例函数图象解决．假设存在这样的矩形，设矩形相邻两边长分别为，，可得与的一次函数和反比例函数的表达式，再通过列表、描点、连线可得如图图象、两个函数的图象在第一象限内有交点，于是可以确定存在满足上述条件的矩形． 办法二：利用二次函数表达式解决，假设存在这样的矩形、设矩形的其中一条边长为，矩形的面积为，根据题意，可得到二次函数，当时，通过判断方程是否有解即可确定是否存在这样的矩形． 任务： (1)小涵同学解决矩形蔬菜基地问题中的“办法一”和“办法二”，主要体现的数学思想有______；（从下面选项中选出两个即可） A．方程思想    B．统计思想    C．函数思想    D．数形结合思想 (2)请你直接写出“办法一”中一次函数的表达式为：______，反比例函数的表达式为：______． (3)按照小涵日记中的“办法二”解决问题：是否存在满足上述所给条件的矩形？请说明理由． 29．如图，二次函数的对称轴是，图象与x轴相交于点和点，交轴于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)点是对称轴上一点，当时，求点的坐标（请在图1中探索）； (3)二次函数图象上是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）． 30．如图，已知二次函数图象与坐标轴分别交于、、三点．    (1)求二次函数的解析式； (2)在二次函数图象位于轴上方部分有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，求该矩形周长的最大值； (3)当矩形的周长最大时，在二次函数图象上是否存在点，使的面积是矩形面积的？若存在，直接写出该点的横坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)切点坐标为 (2) (3)是定值， 【分析】（1）联立直线和双曲线解析式得到关于的一元二次方程，由相切的定义得出的值，解之可得； （2）联立可得切点为，从而得出经过点，，利用待定系数法得出，联立，得：，利用得出，，，即可得解； （3）由与的交点的纵坐标为4，可令，则直线，直线 ，联立，得：，由直线是抛物线的切线，可得，同理可得：，从而得出为的两根，最后由一元二次方程根与系数的关系即可得出答案． 【详解】（1）解：联立，得：， 解得：， 切点坐标为； （2）解：直线与二次函数相切， 联立，得：， 解得：， 切点为， 与都相切于同一点， 经过点，， 解得：， ， 联立，得：， ， 解得：， ，， 的解析式为：； （3）解：是定值，， 理由如下： 与的交点的纵坐标为4， 令， 直线，直线 ， ，， 直线，直线 ， 联立，得：， 直线是抛物线的切线， ， 同理可得：， 为的两根， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了新定义、二次函数的性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题． 2．(1) (2) (3) (4)或或 【分析】（1）根据题意设二次函数解析式为，将点代入即可求函数的解析式； （2）点A关于对称轴的对称点为点O，连接，与对称轴的交点即为所求的点M，使得的值最小，求出直线与对称轴的交点即为M点； （3）设，过点P作x轴的垂线交于点Q，则点Q的坐标为，可得，当时，有最大值，此时的最大值为； （4）设N点坐标为，根据平行四边形对角线的性质，分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程求n的值即可求N点坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点， ∴二次函数顶点为， 设二次函数解析式为， 将点代入得，， ∴， ∴； （2）解：由题意知点C坐标为， 点A关于对称轴的对称点为点O，连接，与对称轴的交点即为所求的点M，使得的值最小， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点M的坐标为； （3）解：设，过点P作x轴的垂线交于点Q，则点Q的横坐标为a， 令抛物线解析式的，得到， 解得， ∴A的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴点Q的坐标为， ∴， ∴当时，有最大值， ∴面积的最大值为； （4）解：存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 设N点坐标为， 当为对角线时，由中点坐标公式得：， ∴， ∴， 当为对角线时，由中点坐标公式得： ， ∴， ∴， 当为对角线时，由中点坐标公式得：， ∴， ∴， 综上所述：或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质，平行四边形的存在性问题，轴对称求最短距离等知识点，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 3．(1)；； (2)当点运动到距离点个单位处时，四边形面积最小，最小值为 【分析】（1）根据一次函数解析式求出点、点坐标，再由是等腰三角形可求出点坐标，根据平行四边形的性性质求出点坐标，利用待定系数法可求出、的值，继而得出二次函数表达式． （2）设点运动了秒时，，此时，，，再由∽，利用对应边成比例可求出的值，继而确定点的位置； 只需使的面积最大，就能满足四边形的面积最小，设底边上的高为，作于点，由∽，利用对应边成比例得出的表达式，继而表示出的面积表达式，利用配方法求出最大值，即可得出四边形的最小值，也可确定点的位置． 【详解】（1）解：由， 令，得，所以点； 令，得，所以点， 是以为底边的等腰三角形， 点坐标为， 又四边形是平行四边形， 点坐标为， 将点、点代入二次函数得： ， 解得：， 故该二次函数解析式为：． （2）解：，， ． 设点运动了秒时，，如图，此时，，， ， ，， ∽， ，即， 解得：． 即当点运动到距离点个单位长度处，有． ，且， 当的面积最大时，四边形的面积最小， 当动点运动秒时，，，， 设底边上的高为，作于点， 由∽可得：， 解得：， ， 当时，达到最大值， 此时， 故当点运动到距离点个单位处时，四边形面积最小，最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是找到满足题意时的相似三角形，利用对应边成比例的知识得出有关线段的长度或表达式，难度较大． 4．(1)抛物线，直线 (2)直角三角形，理由见解析 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先根据题意得到，然后利用勾股定理的逆定理求解即可； （3）首先求出，然后得到，得到点D和点B重合，此时点D的坐标为，然后过点B作交抛物线于点，求出直线得解析式为，然后和抛物线联立得到，进而求解即可． 【详解】（1）∵顶点为的抛物线的图象与直线交于为，两点， ∴将代入，得， 解得， ∴； ∵点的纵坐标为3 ∴将代入，得 解得 ∴ ∴将，，代入得， ，解得 ∴； （2）将代入得， ∴ ∵， ∴，，， ∴ ∴ ∴是直角三角形； （3）∵，， ∴ ∵ ∴ ∴当点D和点B重合时，， ∴此时点D的坐标为； 过点B作交抛物线于点， ∴设直线得解析式为 将代入得， 解得 ∴ ∴联立直线和抛物线得，，整理得 解得， ∵ ∴将代入，得 ∴， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，坐标与图形的性质，勾股定理逆定理，三角形的面积，一元二次方程的解法．解决本题的关键是掌握二次函数的性质． 5．(1)①2，0②见解析 (2)①②③ 【分析】（1）①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可； （2）①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②结合（1）②的图象以及（2）①的图象即可回答；③根据“孔像抛物线”的性质求得图象L的顶点为，则图象的顶点为 ，再根据题意即可求解． 【详解】（1）（1）①∵点与点关于点A中心对称， ∴点的坐标为(，)，即， 故答案为：，； ②描点，连线，得到的图象如图1所示．    （2）①当时，抛物线为，对称轴为， 它的“孔像抛物线”的解析式为，对称轴为． 画出草图如图2所示：    ∴抛物线L与它的“孔像抛物线”的函数值都随着x的增大而减小． 则x的取值范围为． ②画出草如图3所示．    由图象知，这条抛物线的解析式只能是．故答案为． （3），设顶点为， 过点作轴于点，“孔像抛物线”的顶点为，过点作⊥x轴于点，    由题意，可知．得， ∴． ∵抛物线及“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点， ∴或． 解得或0． 当时，与只有一个交点，不合题意，舍去． ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键． 6．(1)①，②或 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）①设出函数的顶点式，再将点的坐标代入，求出的值即可得出结论； ②由二次函数的对称性可知，，若存在，则需要分两种情况：或，求出的长，即可得出点的坐标； （2）由可得，再结合可得出结论； （3）由（2）的提示可知，找到点“ “是关键，步骤二：过点作，以点为圆心，长为半径画圆交于点；步骤三：作射线交于点，过点作交于点，由（2）的证明可得四边形为“准菱形”． 【详解】（1）解：①二次函数的顶点为， 可知抛物线的解析式为：， 抛物线与轴交于点， ， 解得， 抛物线的解析式为：； ②存在； 令，可得或， ， ， 若四边形为“准菱形”，则需要分两种情况：或， 设， 当时，则， 解得或（舍去）， 此时； 当当时，则， 解得或（舍去）； 此时； 综上，轴上存在点，使得四边形为“准菱形”，此时或； （2）如图1，， ， ， ， ， ， ，即四边形为“准菱形”； （3）如图2，    步骤一：分别以、为圆心，相同长度为半径画圆，交、于点、； 步骤二：过点作，以点为圆心，长为半径画圆交于点； 步骤三：作射线交于点，过点作交于点， 由（2）的证明可得四边形为“准菱形”． 【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查二次函数的性质，平行线分线段成比例等相关问题，关键是理解“准菱形”的定义． 7．(1)①；②见解析； (2)①；②；③ 【分析】（1）①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可； （2）①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②根据“孔像抛物线”的性质求得图象L的顶点为，则图象L′的顶点为，再根据题意即可求解；③根据题意得：二次函数的“孔像抛物线”为，设符合条件的抛物线M的解析式为，，再由抛物线M与有唯一交点，分两种情况：当时，无论取任何值，都会存在对应的m使得，此时符不符合题意；当时，有，根据当m取何值时，两抛物线都有唯一的交点，可得当m取任意实数时，上述等式成立，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：①∵点与点关于点A中心对称， ∴点A的坐标为，即， 故答案为：2，0； ②描点，连线，得到的图象如图所示： （2）解：①当时，抛物线L为，对称轴为， ∴它的“孔像抛物线”的解析式为，对称轴为， 画出草图如图所示： ∴抛物线L与它的“孔像抛物线”的函数值都随着x的增大而减小， 则x的取值范围为：； ②L：，设顶点为，过点P作轴于点M，“孔像抛物线”的顶点为，过点作轴于点， 由题意得：， ∴， ∴ ， ∵抛物线L及“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点， ∴或， 解得m=0， 当时，与只有一个交点，不合题意，舍去， ∴． ③根据题意得：二次函数的“孔像抛物线”为， ∴设符合条件的抛物线M的解析式为， ∴， 整理得：， ∵抛物线M与有唯一交点， 当时，无论取任何值，都会存在对应的m使得， 此时方程无解或有无数解，不符合题意，舍去； 当时， ， 即， 整理得：， ∵当m取何值时，两抛物线都有唯一的交点， ∴当m取任意实数时，上述等式成立， ∴， 解得：， ∴该函数解析式为． 故答案为： 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键． 8．(1) (2)， (3)存在，点N的坐标为或或 【分析】（1）由二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，得二次函数顶点为，故可设顶点式，最后将点代入即可求出函数解析式； （2）连接，根据求出S与t的函数关系式，再根据二次函数的性质即可解答； （3）设，分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，结合平行四边形的性质，由中点坐标公式求出n即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点， ∴二次函数顶点为， ∴可设二次函数解析式为， 将点代入得，， 解得：， ∴二次函数解析式为； （2）如图，连接， 对于，当时，即， 解得：，， ∴． ∵点P在抛物线上， ∴点P的纵坐标为． ∵点P在第四象限， ∴， ∴ ， ∴当时，S取最大值，最大值为． ， ∴此时； （3）设， 分类讨论：①当为对角线时， ∵，，， ∴由中点坐标公式得， ∴ 解得：， ∴， ∴； ②当为对角线时， 同理可得， 解得：， ∴； ③当为对角线时， 同理可得， 解得：， ∴． 综上可知点N的坐标为：或或． 【点睛】此题考查待定系数法求抛物线的解析式，抛物线与图形面积，平行四边形的性质等知识．熟练掌握待定系数法及平行四边形的性质是解题的关键． 9．(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）运用待定系数法进行计算即可； （2）先求出点的坐标，过点作轴交于点，用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标为，则点，则，然后表示的面积的表达式，根据二次函数求最大值即可； （3）由题意可知点的横坐标为，设点，分三种情况讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形的对角线时；③当为平行四边形的对角线时；分别讨论即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：令，则， 解得：或， ∴点， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵D是二次函数图像上， ∴设点，则， ∴， ∴， 即， ∴时，有最大值， 此时，点； （3）存在点，使以为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点的横坐标为， 设点， ①当为平行四边形的对角线时，， ∴， ∴； ②当为平行四边形的对角线时，， ∴， ∴； ③当为平行四边形的对角线时，， ∴， ∴； 综上所述：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图像和性质，平行四边形的性质是解本题的关键． 10．(1)A（﹣1，0），B（3，0）； (2)（﹣2，5）或（4，5）； (3)存在，Q点坐标为（﹣2，5）或（4，5）； 【分析】（1）由M（1，﹣4）是二次函数y＝的顶点坐标，得到y＝，令，解得＝﹣1，＝3．得到答案； （2）设P（x，y），则＝|AB|×|y|＝2|y|，＝|AB|×|﹣4|＝8，则2|y|＝×8，即y＝±5，进一步确定y的值，解即可得到答案； （3）作B（3，0）关于y轴对称点为（﹣3，0），连接M交y轴于Q，此时QM+QB的值最小．求出直线M的解析式为：y＝﹣x﹣3，令x＝0，y＝﹣3，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵M（1，﹣4）是二次函数y＝的顶点坐标， ∴y＝， 令， 解之得＝﹣1，＝3． ∴A，B两点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0）； （2）在二次函数的图像上存在点P，使， 设P（x，y）， 则＝|AB|×|y|＝2|y|， 又∵＝|AB|×|﹣4|＝8， ∴2|y|＝×8，即y＝±5， ∵二次函数的最小值为﹣4， ∴y＝5． 当y＝5时，， 解得x＝﹣2或x＝4． 故P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）； （3）存在．作B（3，0）关于y轴对称点为（﹣3，0），连接M交y轴于Q，此时QM+QB的值最小． 设直线M为y＝ax+b，把（﹣3，0），M（1，﹣4）代入得， ， 解得， ∴直线M的解析式为：y＝﹣x﹣3， 令x＝0，y＝﹣3， 所以Q（0，﹣3）． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了顶点式，二次函数图像与x轴的交点问题，三角形的面积，二次函数图像上点的坐标特征，利用轴对称确定最短路线问题，综合性较强． 11．(1)（或） (2)①，②存在符合条件的点Q，其坐标为或或 【分析】（1）根据二次函数的图象的顶点坐标，设二次函数的表达式为，再把代入即可得出答案； （2）①过点作轴于点E，根据，又因为，证明出，从而得出，将，，代入即可求出m的值； ②根据上问可以得到，点M的横坐标为4，，要让以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，所以分为三种情况讨论：1）当以为边时，存在平行四边形为；2）当以为边时，存在平行四边形为；3）当以为对角线时，存在平行四边形为；即可得出答案． 【详解】（1）∵二次函数的图象的顶点坐标为， ∴设二次函数的表达式为， 又∵，∴， 解得：， ∴（或）； （2）①∵点P在x轴正半轴上， ∴， ∴， 由旋转可得：， ∴， 过点作轴于点E， ∴，， 在中，， 当四边形为矩形时，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 解得； ②由题可得点与点C关于点成中心对称， ∴， ∵点M在直线上， ∴点M的横坐标为4， 存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形， 1）、当以为边时，平行四边形为， 点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同， ∴将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同， ∴代入， 解得：， ∴， 2）、当以为边时，平行四边形为， 点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同， ∴将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同， ∴代入， 解得：， ∴， 3）、当以为对角线时， 点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同， ∴点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同， ∴代入， 得：， ∴， 综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，中心对称，平行四边形的存在性问题，矩形的性质，熟练掌握以上性质并作出辅助线是本题的关键． 12．(1)y=x-1，y=-x2-2x+3 (2)（-1，1+ ）（-1，1−），（-1，−5+）（-1，−5-）． 【分析】（1）分别利用利用待定系数法求出一次函数和二次函数的解析式； （2）首先表示出AB2，AM2、BM2的长，再分AB=AM、AB=BM、AM=BM三种情况列方程求解． 【详解】（1）解：把点A坐标代入y=kx−1得 -5=-4k-1， 解得k=1， ∴一次函数解析式为y=x−1， 把点(1,0)、点(0,3)、点（-4,-5）分别代入二次函数解析式得 解得 ∴二次函数解析式为 ； （2）因为抛物线的对称轴为 ， 令  得 或 （舍去）， ∴点B坐标为（2，1），设点M（-1，t）， 则 ， ， ， 当AB=AM时，有 ， 解得t= , 故点M坐标为（-1，）（-1，）， 当AB=BM时，有 ， 解得t= , 故点M坐标为（-1，）（-1，）， 当MB=AM时，有 ， 解得t=-2, 故点M坐标为（-1，-2）， 此时点M在AB上，三角形不存在，故舍去， 故点M坐标为（-1，）（-1，），（-1，）（-1，）． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式和等腰三角形的分类讨论，解决问题的关键是掌握待定系数法和两点间距离公式． 13．(1)存在反值点，(3，-3)或(-3,3) (2)不存在反值点，理由见解析 (3) 【分析】(1) 当y=-x时，由“反值点”的定义列出方程，解方程即可得出结论； (2) 若y=-x，可得，即可判定此方程无解，据此即可解答； (3)首先根据在其图象上存在两个反值点，可得x2-2x-3+m=-x，再根据一元二次方程根的判别式及，即可求得m的取值范围． 【详解】（1）解：反比例函数的图象上存在反值点． 理由如下： ∵一个函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，我们将其称之为"反值点"， ∴当y=-x时，即， 解得：x=3或x=-3， 当x=3时，， 当x=-3时，， ∴反值点的坐标为(3，-3)或(-3,3)； （2）解：关于x的函数(a是常数)的图象上不存在反值点． 理由如下： ∵一个函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，我们将其称之为“反值点， ∴若y=-x，则， 整理，得：， ， ， ， ∴此方程无实数根， ∴假设不成立， ∴关于x的函数 (a是常数)的图象上不存在反值点； （3）解：由题意可知： 将二次函数y=x2-2x-3的图象向上平移m(m为常数，且m>0)个单位后所得函数的解析式为y=x2-2x-3+m， ∵在其图象上存在两个反值点， ∴x2-2x-3+m=-x， 整理，得：x2-x+m-3=0， ∴， 解得：， ∵m>0， ∴m的取值范围是． 【点睛】本题考查了新定义，坐标与图形，一元二次方程根的判别式，二次函数的平移，本题是阅读型题目，理解新定义并熟练应用是解题的关键． 14．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，分情况讨论，①过点作关于的对称点，即可求P的坐标，②轴上取一点，使得，则，设，根据勾股定理求得，建列方程，解方程求解即可； （3）设，，过点作轴于点，则，证明，根据相似三角形的性质列出比例式求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵由二次函数，令，则， ， 过点，， 设二次函数的表达式为， 将点代入得， ， 解得， ， （2）二次函数的图象经过点，， 抛物线的对称轴为， ①如图，过点作关于的对称点， ， ， ， ， ②轴上取一点，使得，则，设， 则， ， 解得， 即， 设直线CD的解析式为， ， 解得， 直线CD的解析式为， 联立， 解得或， ， 综上所述，或， （3）的值是定值， 设，， 过点作轴于点，则， ， ， ， ， ， 即， ，， ， ， ． 即的值是定值 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，角度问题，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质是解题的关键． 15．(1)，c=－3 (2)存在，圆心Q的坐标为(，) (3)值是2或 【分析】（1）把点坐标代入解析式求解即可； （2）先求出二次函数与坐标轴的交点坐标，在通过△ABC两边中垂线的交点确定圆心Q，在计算半径即可； （3）分两种情况设出点坐标，利用坐标表示出线段，再分别计算出结果即可． 【详解】（1）解：把点A (－1，0)和点C (0，－3)代入 得： ， 解方程组得：， ∴，c=－3； （2）存在，理由如下： 如图所示， 由（1）可知二次函数的解析式为：， 令， 解得：，， 所以点A (－1，0)，点B (4，0) ∵点C (0，－3) ∴AB=BC=5 ∴△ABC是等腰三角形 根据坐标圆的定义，⊙Q经过点A、B、C ， ∴圆心Q为AB的垂直平分线与AC的垂直平分线的交点． ∵AB的垂直平分线即为二次函数的对称轴，可求得AC的中点F的坐标为， 所以AC垂直平分线BF的解析式为，求得点Q坐标为(，) 在Rt△QNB中，根据勾股定理求得QB=． 所以存在符合题意的坐标圆，其圆心Q的坐标为(，)． （3）设BC直线的解析式为：y＝kx+b， 把B (4，0)、C (0，3)的坐标代入y＝k+b得： 解得：， ∴BC直线的解析式为：， ⊙M与坐标轴相切，有两种情况， ①当⊙M与y轴相切时，如图所示： 过点M作MD⊥y轴，垂足为点D， 则点D为⊙M与y轴的切点，即PM＝DM=， 设P，M， 则PM＝() － ()， ∴()－()＝ 解得：1＝，2＝0， 当=0时，点M与点C重合，不合题意舍去； ∴⊙M的半径为DM＝， ∴M（，1） ∵△CDM∽△COB，根据相似三角形的性质，解得CM =， ∴ MB= ∴=2 ②当⊙M与x轴相切时，如图所示： 延长PM交x轴于点E，由题意可知： 点E为⊙M与x轴的切点，所以PM＝ME， 设P，M， 则PM＝() － ()，PE=－+3 ∴()－()＝－+3， 解得：1＝1，2＝4 当=4时，点M与点B重合，所以不合题意舍去， ∴⊙M的半径为：PM=ME＝+3＝；∴M（1，） △MEB∽△COB，根据相似三角形的性质，解得CM = ∴MB= ∴= 综上所述，值是2或． 【点睛】本题考查二次函数综合，圆切线的性质，确定圆的条件，理清知识点，求出点坐标，转化为线段，结合函数表达式进行求解是解题的关键． 16．（1）A（﹣2，0），B（6，0）；（2）y＝﹣x2+2x+6，抛物线的对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，8）；（3）P（2，4）． 【分析】（1）解一元二次方程x2-4x-12=0，求出点A和点B的横坐标，进而得到答案； （2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，得到a和b的二元一次方程组，求出a和b的值即可，进而求出顶点坐标； （3）作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，求出C′坐标，求出直线AC′解析式，进而求出点P的坐标． 【详解】（1）解方程x2﹣4x﹣12＝0得x1＝﹣2，x2＝6， 即A（﹣2，0），B（6，0）； （2）将A、B两点坐标代入二次函数y＝ax2+bx+6， 得到， 解得， 即y＝﹣x2+2x+6， 由于y＝﹣x2+2x+6＝-（x﹣2）2+8， 即抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，8）； （3）如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP， ∵C（0，6）， ∴C′（4，6）， 设直线AC′解析式为y＝kx+n， 则， 解得， ∴y＝x+2， 当x＝2时，y＝4， 即P（2，4）．    【点睛】本题主考查了二次函数的综合题，此题涉及到待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、解一元二次方程以及轴对称轴的性质，解答本题的关键是作出点C关于抛物线对称轴的对称点C′，此题难度不大． 17．（1）∠OAB＝60°；（2）t＝或t＝4，四边形ADEF为菱形，；（3）存在，t＝，使△AGF为直角三角形，见解析. 【分析】（1）在Rt△BOA中，OA＝2，OB＝2，根据锐角三角函数的定义即可得出tan∠OAB的值，进而得出∠OAB的度数； （2）证明DE∥AB，可得四边形ADEF为平行四边形，当AD＝DE时，四边形ADEF为菱形，用t表示出AD，DE的长，解方程即可得出t的值，再设顶点式可求得此时二次函数的解析式； （3）由题意可得∠GFA＝∠BAO＝60°，∠FGA≠90°，所以使△AGF为直角三角形，只能是∠FAG＝90°，用t分别表示出AF，FG的长，根据FG＝2AF，即可得出t的值． 【详解】解：（1）∵直线AB与x轴，y轴分别交于点A（2，0），点B（0，2），∠BOA＝90°， ∴OA＝2，OB＝2， ∴tan∠OAB＝， ∴∠OAB＝60°； （2）∵AD＝t，BE＝tm ∴， ∴DE∥AB， ∴∠EDO＝∠BAO＝60°， ∵过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F， ∴四边形ADEF为平行四边形， 当AD＝DE时，四边形ADEF为菱形， ∵OD＝2﹣t或OD＝t﹣2，DE＝2OD， ∴DE＝4﹣2t或DE＝2t﹣4， ∴t＝4﹣2t或t＝2t﹣4， 解得：t＝或t＝4， 当t＝时，点E坐标为（0，）， 设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2， 将点E坐标代入，可得a＝， ∴二次函数解析式为y＝（x﹣2）2； 当t＝4时，点E坐标为（0，）， 设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2， 将点E坐标代入，可得a＝， ∴二次函数解析式为y＝（x﹣2）2； （3）∵EG∥OA， ∴∠GFA＝∠BAO＝60°， ∵G在二次函数图象上， ∴∠FGA≠90°， ∴使△AGF为直角三角形，只能是∠FAG＝90°， 由对称性可得，EG＝4， ∵四边形ADEF为平行四边形， ∴EF＝AD＝t，AF＝DE＝2（2﹣t）， ∵FG＝2AF， ∴4﹣t＝4（2﹣t）， 解得：t＝， ∴存在实数t＝，使△AGF为直角三角形． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的表达式，锐角三角函数的定义，平行四边形、菱形的判定，本题需注意分类讨论，不要漏解． 18．（1）图见解析，；（2）方法1：，；方法2：，；（3）． 【分析】本题主要考查了二次函数综合．熟练掌握描点法画二次函数图象，二次函数图象和性质，二次函数的平移，是解本题的关键． （1）用描点连线法画函数图象，代入即得； （2）方法一，点，代入即得；：方法二，点代入即得； （3）第一个二次函数：，可得，顶点距为8．根据两个二次函数图象的顶点的距离为10，第二个二次函数的图象，顶点在之上2，得，不合；故顶点在之下，到线段的距离18，得． 【详解】解：（1）以表中各组对应值为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，连线：用光滑的曲线顺次连接各点．绘制函数图象如下： 由题意得，点， 将点的坐标代入函数表达式得：； 故答案为：； （2）方案1：点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 故答案为：，； 方案2：点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 故答案为：，； （3）对于第一个二次函数：， 由， 得， 即该二次函数图象的顶点距的距离为8． 由题，两个二次函数图象的顶点的距离为10， 则对于第二个二次函数的图象， 其顶点在之上到的距离为2， 此时， 不符合题意； 故其顶点在之下，距线段的距离为， 此时． 19．(1)，； (2)面积最大值为，； (3)点的坐标为或或． 【分析】（）利用待定系数法求出二次函数表达式，进而可求出点坐标； （）连接，求出直线的表达式为，过点作轴的垂线，交于点，得，可知当取最大值时，的面积最大，设，则，可得，，即得，最后利用二次函数的性质解答即可求解； （）先求出的长及二次函数的对称轴，再分为平行四边形的边和对角线两种情况，根据平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质及运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为， 当时，， 解得，， ∴； （2）解：连接， 设直线的表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 过点作轴的垂线，交于点， 则， ∴当取最大值时，的面积最大， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴，， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时，点的坐标为； （3）解：∵， ∴， 由得，抛物线的对称轴为直线， ∵以为顶点的四边形是平行四边形， 当为平行四边形的边时，， 设点的横坐标为， ∵轴， ∴， 解得或， ∵点在抛物线上， ∴点的坐标为或； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 20．(1)或 (2)或 【分析】（1）首先表示出二次函数（a是常数，）的牵引函数，联立两函数解析式得到一元二次方程，根据只有一个交点令，即可求出a的值； （2）首先求出一次函数的原函数，得到，，对称轴为直线，顶点坐标为．得到，，当点M在点A的左侧，即时，y随x的增大而减小，得到，解得；设点A的对称点为，当点M在点A与点之间时， ，不符合题意；当点M在点的右侧，即时．y随x的增大而增大，，解得． 【详解】（1）由题意，得二次函数的牵引函数为， 联立， 得． ∵二次函数（a是常数，）的图象与其牵引函数的图象有且只有一个交点， ∴ 解得或． （2）由题意可知原函数的解析式为， ∴当时，；当时，． ，，原函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． ∴， 当时，， ∴． ①如答图①，当点M在点A的左侧，即，时，y随x的增大而减小， ∴M点的纵坐标最大，A点的纵坐标最小， ∴， 解得或（舍去）． ②如答图②，设点A的对称点为，当点M在点A与点之间时，，即，而，不符合题意； ③如答图③，当点M在点的右侧，即，时．y随x的增大而增大， ∴M点的纵坐标最大，点的纵坐标最小， ∴， 解得（舍去）或． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了新定义——牵引函数和原函数，熟练掌握新定义，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和二次函数的图象唯一交点性质，二次函数的对称性和增减性，是解题的关键． 21．(1) (2)3 (3)存在，． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，进而在中，解直角三角形得，从而即可得解； （）由点是点关于原点的对称点得，利用待定系数法求得直线：，直线为：，联立求得，从而根据，列方程求解得，，利用面积公式即可得解； （）由得，由二次函数，其图象经过点，得，当时，，，对于任意实数的同一个值，都有成立．从而得，，于是二次函数，当时，，同理，当时，解得，进而即可求得二次函数． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：点是点关于原点的对称点． ∴， ∵， ∴，， 设直线为：， 把，代入得， ， 解得， ∴直线：， 设直线为：， 把，代入得， ， 解得， ∴直线为：， 联立和得， ，解得， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 经检验是原方程的解， ∴， ∴； （3）解：存在满足条件的二次函数． 由得， ∴二次函数，即 ∵， ∴对于取任意实数时，总有，二次函数，其图象经过点， ∴， 当时，，，对于任意实数的同一个值，都有成立． ∴， 解得，， 二次函数， 当时，，即 ∴>，， ∴ ∴， 同理，当时，解得 综述：，，， 所以，存在二次函数，其图象经过点，且对于任意实数的同一个值，这三个函数所对应的函数值，都有成立． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，待定系数法求一次函数，求二次函数的解析式，一元二次方程根的判别式，解直角三角形，等腰三角形的性质，二元一次方程组的解与两直线交点，熟练掌握二次函数的图像及性质，待定系数法求一次函数，求二次函数的解析式，一元二次方程根的判别式以及解直角三角形是解题的关键． 22．（1） ，；（2） ,；（3）；（4）不存在． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）把B（﹣6，m）代入反比例函数解析式即可求出m的值，再根据直线平移的性质即可求直线BC的表达式； （3）作AM⊥y轴于点M，作BN⊥y轴于点N，根据S四边形ABDM=S梯形ABNM+S△BDN，S△ABD=S四边形ABDM﹣S△ADM即可求解； （4）设二次函数的解析式是y=ax2+bx+，然后利用待定系数法求得二次函数的解析式，根据S1=S即可求得S1的值，根据S1=S△OCD+S△OCE列方程求出y0的值，再由E（x0，y0）在二次函数的图象上，即可求得x0的值，进而求得E的坐标． 【详解】解：（1）设正比例函数的解析式是y=kx，代入（﹣3，﹣3），得：﹣3k=﹣3，解得：k=1， 则正比例函数的解析式是：y=x； 设反比例函数的解析式是y=，把（﹣3，﹣3）代入解析式得：k1=9， 则反比例函数的解析式是：y=； （2）m==﹣，则点B的坐标是（﹣6，﹣）， ∵y=k3x+b的图象是由y=x平移得到， ∴k3=1，即y=x+b， 故一次函数的解析式是：y=x+； （3）∵y=x+的图象交y轴于点D， ∴D的坐标是（0，）， 作AM⊥y轴于点M，作BN⊥y轴于点N． ∵A的坐标是（﹣3，﹣3），B的坐标是（6，﹣）， ∴M的坐标是（0，﹣3），N的坐标是（0，﹣）． ∴OM=3，ON=． 则MD=3+=，DN=+=6，MN=3﹣=． 则S△ADM=×3×=，S△BDN=×6×6=18，S梯形ABNM=×（3+6）×=． 则S四边形ABDM=S梯形ABNM+S△BDN=+18=， S△ABD=S四边形ABDM﹣S△ADM=﹣=； （4）设二次函数的解析式是y=ax2+bx+， 则， 解得：， 则这个二次函数的解析式是：y=x2+4x+； 点C的坐标是（﹣，0）． 则S= 假设存在点E（x0，y0），使S1=S=×． ∵四边形CDOE的顶点E只能在x轴的下方， ∴y0＜0， ∴S1=S△OCD+S△OCE= ∴ ∴y0=﹣4， ∵E（x0，y0）在二次函数的图象上， ∴ 此时，方程无解 ∴不存在 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式是基本方法，掌握待定系数法是解（1）的关键，掌握平移的性质是解（2）的关键，正确作出辅助线是解（3）的关键，根据四边形CDOE的面积求得E的纵坐标是解决（4）的关键． 23．（1）A（﹣，0），B（，0）；抛物线解析式y=x2+x﹣；（2）12；（3）（0，），（0，﹣） 【分析】（1）在y=mx2+3mx﹣m中令y=0，解方程求得x的值即可求得A、B的坐标，继而根据已知求出点D的坐标，把点D坐标代入函数解析式y=mx2+3mx﹣m利用待定系数法求得m即可得函数解析式； （2）先求出直线AD解析式，再根据直线BE∥AD，求得直线BE解析式，继而可得点E坐标，如图2，作点P关于AE 的对称点P'，作点E关于x轴的对称点E'，根据对称性可得PQ=P'Q，PE=EP'=P'E'，从而有DQ+PQ+PE=DQ+P'Q+P'E'，可知当D，Q，E'三点共线时，DQ+PQ+PE值最小，即DQ+PQ+PE最小值为DE'，根据D、E'坐标即可求得答案； （3）分情况进行讨论即可得答案. 【详解】（1）∵令y=0， ∴0=m x2+3mx﹣m， ∴x1=，x2=﹣， ∴A（﹣，0），B（，0）， ∴顶点D的横坐标为﹣， ∵直线y=﹣x﹣ 与x轴所成锐角为30°，且D，B关于y=﹣x﹣对称， ∴∠DAB=60°，且D点横坐标为﹣， ∴D（﹣，﹣3）， ∴﹣3=m﹣m﹣m， ∴m=， ∴抛物线解析式y=x2+x﹣； （2）∵A（﹣，0），D（﹣，﹣3）， ∴直线AD解析式y=﹣x﹣， ∵直线BE∥AD， ∴直线BE解析式y=﹣x+， ∴﹣x﹣=﹣x+， ∴x=， ∴E（，﹣3）， 如图2，作点P关于AE 的对称点P'，作点E关于x轴的对称点E'， 根据对称性可得PQ=P'Q，PE=EP'=P'E'， ∴DQ+PQ+PE=DQ+P'Q+P'E'， ∴当D，Q，E'三点共线时，DQ+PQ+PE值最小， 即DQ+PQ+PE最小值为DE'， ∵D（﹣，﹣3），E'（，3）， ∴DE'=12， ∴DQ+PQ+PE最小值为12； （3）∵抛物线y=（x+）2﹣3图象向右平移个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后解析式y=x2， 当x=3时，y=3， ∴M  （3，3）， 如图3 若以AM为直角边，点M是直角顶点，在AM上方作等腰直角△AME，则∠EAM=45°， 直线AE交y轴于F点，作MG⊥x轴，EH⊥MG，则△EHM≌△AMG， ∵A（﹣，0），M（3，3）， ∴E（3﹣3，3+）， ∴直线AE解析式：y=x+， ∴F（0，）， 若以AM为直角边，点M是直角顶点，在AM上方作等腰直角△AME， 同理可得：F（0，﹣）. 【点睛】本题考查了待定系数法、轴对称的性质、抛物线的平移、线段和的最小值问题、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，准确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键. 24．（1）－1；（2）；（3）不存在，理由见解析 【详解】试题分析：（1）设A点坐标为（x1，0），B点坐标为（x2，0），由A、B两点关于原点对称，即可得x1+x2=0，又由x1+x2=﹣（k2﹣3k﹣4），即可求得k的值； （2）由Q点的坐标求出m的值，从而确定一元二次方程y2﹣my﹣1=0即为y2+y﹣1=0，解得：y= ，因为点R在点S的左边，所以yR= ，由（1）得二次函数y=x2﹣2，令x2﹣2=0，解得：x1=-,x2=，所以A（﹣，0），B（，0），即可求得AB的长，又由四边形AQBS的面积为：S△AQB+S△ASB求得答案； （3）由抛物线的顶点坐标为（0，﹣2），假设满足条件的点P存在，由S△PAB=2S△RAB，可得点P的纵坐标，即可得即在x轴下方抛物线上不存在点P，使S△PAB=2S△RAB． 试题解析： （1）设A点坐标为（x1，0），B点坐标为（x2，0）， ∵A、B两点关于原点对称， ∴x1+x2=0， 又x1+x2=﹣（k2﹣3k﹣4）， 则k2﹣3k﹣4=0， 解得k1=﹣1，k2=4， 当k=4时，抛物线为y=x2+8，此时△=﹣32＜0，舍去； 当k=﹣1时，抛物线为y=x2﹣2，此时△=8＞0，则抛物线与x轴交于两点， 故所求k值为﹣1． （2）如图： ∵Q的坐标为（﹣1，﹣1），在y=上， ∴-1= ， 解得：m=1， ∴一元二次方程y2﹣my﹣1=0即为y2+y﹣1=0， 解得：y= ， ∵点R在点S的左边， ∴yR=， 由（1）得二次函数y=x2﹣2，令x2﹣2=0，解得：x1=-,x2=， ∴A（﹣，0），B（，0）， ∴AB=|-(-)|=2， 则四边形AQBS的面积为： S△AQB+S△ASB= （3）∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣2），假设满足条件的点P存在， 则∵S△PAB=2S△RAB， ∴点P的纵坐标为：2×（）=﹣1- ， 而﹣1﹣， ∴P点不存在． 即在x轴下方抛物线上不存在点P，使S△PAB=2S△RAB． 25．（1）（2）当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为 【详解】解：（1）由，令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；令y=0，得x=4，所以点C（4，0）． ∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（－4，0）． 又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为（8，3）． 将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数，可得 ，解得：． ∴该二次函数解析式为：． （2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5－t， ∵PQ⊥AC，∴△APQ∽△CAO．∴，即． 解得：，即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC． ②∵，且， ∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小． 当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5－t， 设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H， 由△AQH∽CAO可得：，解得：． ∴． ∴当t=时，S△APQ达到最大值， 此时． ∴当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为． （1）根据一次函数解析式求出点A．点C坐标，再由△ABC是等腰三角形可求出点B坐标，根据平行四边形的性性质求出点D坐标，利用待定系数法可求出b、c的值，从而得出二次函数表达式． （2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，再由△APQ∽△CAO，利用对应边成比例可求出t的值，从而确定点P的位置． ②只需使△APQ的面积最大，就能满足四边形PDCQ的面积最小，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽△CAO，利用对应边成比例得出h的表达式，从而表示出△APQ的面积表达式，利用配方法求出最大值，即可得出四边形PDCQ的最小值，也可确定点P的位置． 26．(1)①；② (2)不存在二次函数是或上的“等域函数”的情形．理由见解析 【分析】（1）①利用待定系数法求解即可； ②在上，当时，函数取得最大值；由题意得，据此求解即可； （2）根据题意求得，分①当时，②当时，两种情况讨论，得到不存在二次函数是或上的“等域函数”的情形． 【详解】（1）解：①当时， ∵抛物线经过点，， ∴，解得； ②∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴在上， 当时，函数取得最大值； 当时，函数取得最小值0； 若是的“等域函数”， ∴， ∴，（舍去）， ∴； （2）解：∵抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线，交抛物线于点， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴，即， ∴， ∵经过点B的直线与抛物线交于点， 联立， ∴，即， ∴， ∴，， ∵直线与轴交点的纵坐标为，其中了， ∴， 又∵， ∴， ∴； ①当时，则， 解得，即， ∵， ∴，此时函数解析式为， ∵函数在上随的增大而增大，在上随的增大而减少， ∴当时，， 当时，， 解得，，， 不满足， ∴不是在上的“等域函数”； ②当时，则， 解得，即， ∵， ∴， 此时函数解析式为， ∵函数在上随的增大而减少， 在上随的增大而增大， ∴当时，， 当时，， 解得，，， 不满足， ∴不是在上的“等域函数”； 综上，不存在二次函数是或上的“等域函数”的情形． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，理解“等域函数”的概念是解题的关键． 27．(1)二次函数的解析式为； (2)①；②点到直线的距离取得最大时，； (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可； （2）①求得直线的解析式，再求得直线与对称轴直线的交点坐标，再利用列式计算即可求解； ②如图1中连接，．由题意点到直线的距离取得最大，推出此时的面积最大．过点作轴的垂线交于点，设点的坐标为，则，推出，利用二次函数的性质求解即可； （3）分两种情形：是平行四边形的边或对角线分别求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 则有， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：①令，得到， ∴， ，则顶点，抛物线的对称轴为直线， 设直线解析式为：， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线与对称轴直线的交点为， ∴， ∴； ②如图，连接，． 点到直线的距离取得最大， 此时的面积最大， 过点作轴的垂线交于点，设点的坐标为， 则， 点在第三象限， ， ， 当时，，点， 点到直线的距离取得最大时，； （3）解：存在． 如图2中，抛物线的对称轴为直线， 当是平行四边形的边时， ，， ∴点的横坐标为0或， 时，， 时，， ∴或， 当为对角线时，点的横坐标为2， 时，， ． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值、平行四边形的性质，明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想是解答本题的关键． 28．(1)C、D (2)， (3)存在，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数、一次函数、反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识，解题的关键是： （1）根据题意直接解答即可； （2）利用矩形的周长、面积即可求解； （3）先求出，把代入，得出方程，根据根的判别式判定即可． 【详解】（1）解：根据题意知：“办法一”和“办法二”，主要体现的数学思想有函数思想、数形结合思想． 故答案为：C、D； （2）解：假设存在这样的矩形，设矩形相邻两边长分别为，， 则，， ∴，， ∴“办法一”中一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为：， 故答案为：，； （3）解：假设存在这样的矩形，且相邻两边的长分别为和， 根据题意，可得， 当时， 化简，得． 在这里，，， ． 原方程有实数根． 存在满足学校所给条件的矩形． 29．(1) (2)点的坐标是或 (3)存在，点的坐标是或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、相似三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由抛物线的对称轴为得出，将代入抛物线求出的值即可得解； （2）设对称轴与轴交于点，求出，，从而得出是等腰直角三角形，由相似三角形的性质得出是等腰直角三角形，，从而得出，即可得解； （3）根据轴对称的性质，结合三角形的面积，分情况得出坐标即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴是， ， ， 由已知得，点是二次函数上一点， 把代入中得：， 解得：， ∴二次函数的解析式是； （2）解：设对称轴与轴交于点， ， ∵二次函数的对称轴是，， ，， 在中，当时，， ， ， 是等腰直角三角形， 又∵点在对称轴上，且， 是等腰直角三角形，， ， 当点在轴上方时，坐标是，当点在轴下方时，坐标是； ∴综上，点的坐标是或． （3）解：存在， ∵点和点关于对称轴对称， ∴点的坐标是， ∵点关于轴的对称点，， ， ， 解得： ∴使得的点的坐标是或． 30．(1) (2)10 (3)存在；，， 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）设点M的坐标为，则点，利用m的代数式分别表示出矩形的边长，利用矩形的周长的公式求得矩形的周长，利用配方法解答即可得出结论； （3）利用（2）的结论求得点N的坐标，可得点N与点A重合，设点P的坐标为，过点P作轴于点D，交于点E，利用含n的代数式表示出，利用，求得的面积，利用已知条件得到关于n的方程，解方程即可求得n值；再利用平行线的距离相等，当直线向下平移个单位长度时，该直线与抛物线的交点也满足条件，求得平移后的直线解析式，与抛物线的解析式联立，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）设二次函数解析式为， ∵二次函数图象过、、三点， ∴， 解得， 即二次函数解析式为． （2）设点的坐标为，则点， ∴，， 矩形的周长， ， ∵ ∴当，有最大值，最大值为10． 即矩形周长的最大值为10． （3）由（2）知：当时，矩形的周长有最大值， ∴， ∴当矩形的周长最大时，点N与点A重合， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 设当矩形的周长最大时，在二次函数图象上存在点P，使的面积是矩形面积的，点P的坐标为，过点P作轴于点D，交于点E，如图，    则， ∴， ∴ ∵ 当矩形的周长最大时，， ∴矩形面积为， ∴的面积为． ∴， 解得：， ∴点P的横坐标为； 此时， ∵平行线之间的距离相等， ∴当直线向下平移个单位长度时，该直线与抛物线的交点也满足条件． 平移后的直线的解析式为． 联立：， 解得：或． ∴点P的横坐标为或． 综上，当矩形的周长最大时，在二次函数图象上存在点P，使的面积是矩形面积的，点P的横坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了抛物线的有关性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，函数的极值，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，矩形的性质，平行线的性质，三角形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$