精品解析：江苏省常州市新北区北郊中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年江苏省常州市新北区北郊中学八年级（上）期中数学试卷 一.选择题（每小题2分，共16分）. 1. 下列图形是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用轴对称图形的定义分析得出答案． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不合题意； D．是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的识别，正确把握轴对称图形的定义是解题关键． 2. 如图，在四边形中，，要使，可添加下列选项中的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．根据已知可得到，，然后根据各个选项中的条件，分别判断即可． 【详解】解：A、添加，不能证明，不符合题意； B、添加，不能证明，不符合题意； C、添加，得出，利用证明，符合题意； D、添加，不能证明，不符合题意； 故选：C． 3. 点P在的平分线上，点P到边的距离等于5，D是边上的任意一点，则下列选项正确的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点到的距离为5，再根据垂线段最短解答． 【详解】解：∵点在的平分线上，点到边的距离等于5， ∴点到的距离为5， ∵点是边上的任意一点， ∴． 故选：B． 4. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. 8， 15， 17 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，根据勾股数的定义逐一判断即可求解，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、勾股数是一组正整数，则原选项不是勾股数，故不符合题意； B、勾股数是一组正整数，则原选项不是勾股数，故不符合题意； C、，则不是勾股数，不符合题意； D、，则是勾股数，故符合题意； 故选D． 5. 下列整数中，最接近的是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查无理数的估算，解题的关键是熟知实数的性质． 根据无理数的估算方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴与最接近的整数是4． 故选C． 6. 如图，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高线的交点处 D. 三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等， ∴超市应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：D 7. 如图，在中，，，与关于直线成轴对称，，连接，则的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形的性质；由轴对称图形的性质可得，进而结合三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：与关于直线成轴对称， ， ，， ， ， ，与关于直线成轴对称， ， ， ． 故选：C． 8. 如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、垂线段最短等知识．连接，过点作，交的延长线于，和交于点，当点与点重合时，取最小值，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，再证明是等边三角形，进而可得的值，然后计算的周长即可． 【详解】解：如下图，连接，过点作，交的延长线于，和交于点， ∵是等边三角形，点是的中点， ∴， ∴点在射线上运动， 当点与点重合时，取最小值，此时点重合， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：C． 二.填空题（每小题2分，共20分）. 9. 16的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义，若一个数满足，则称为的平方根，据此找出平方等于的数即可． 【详解】解：， 的平方根是． 10. 等腰三角形的顶角为，底角的度数为_______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等， ∴底角为， 故答案为：． 11. 如图，，且，， 则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理计算出的度数，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和，全等三角形的性质的综合，理解并掌握三角形的内角和等于，全等三角形中对应角的度数相等是解题的关键． 12. 已知一个正数的两个平方根分别是x和，则这个正数等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平方根．一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，根据这个特点列方程求解 从而可得答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴这个正数等于， 故答案为：． 13. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积为_______． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图和性质，过点D作于点H，根据作图可得平分，再根据角平分线的性质可得，即可求解，熟练掌握知识点并作出适当的辅助线是解题的关键． 【详解】过点D作于点H， 由作图可得，平分， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴的面积为， 故答案为：50． 14. 如图，为等边三角形．若以BC为直角边向外作等腰，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，，进而可得，，问题随之解得． 【详解】∵为等边三角形， ∴，， ∵等腰，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，得出，，是解答本题的关键． 15. 如图，在四边形中，，分别以四边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，则丁的面积为______． 【答案】29 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据正方形的面积公式可得，再利用勾股定理可得的值，由此即可得出答案． 【详解】如图，连接AC， 由题意得：， 在中，， ， 在中，， ， 则正方形丁的面积为， 故答案为：29． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 16. 如图，在中，，为边上的高，为边上的中线，，，则的长度是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的高、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．首先根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进而可得的值，然后在的值，由勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴． 故答案为：4． 17. 我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为，那么该三角形的面积等于___． 【答案】1或2 【解析】 【分析】设最小角为x，则最大角为x+45°，再分情况讨论：当顶角为x+45°时，由三角形内角和可求得x=45°，由此得到三角形为等腰直角三角形，从而求得三角形的面积；当顶角为x时，由三角形内角和定理可求得x=30°，再求得CD的长度，再从而求得三角形的面积． 【详解】设最小角为，则最大角为， ①当顶角为时，则， 解得， ∴三角形为等腰直角三角形，则三角形的面积； ②当顶角为时，则， 解得， ∴三角形为顶角为30度的等腰三角形， 如图所示：作于，则，， ， ， 三角形的面积； 综上所述，三角形的面积为：1或2． 故答案是：1或2． 【点睛】考查了解直角三角形的应用，解题关键是利用解直角三角形的方法求得三角形的边长． 18. 如图，中，，，，点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作于E，于F．设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为________． 【答案】或6或8 【解析】 【分析】先求出点从点出发到达点和点所需要的时间，点从点出发到达点和点所需要的时间，然后根据、所在的位置分类讨论，分别画出对应的图形，找出全等三角形的对应边并用时间表示，然后列出方程即可得出结论． 【详解】解：由题意知，点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为： 点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为： 当，点在上，点在上，如图所示： 此时 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 （不符合题意，舍去）； 当，点在上，点在上，如图所示： 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 和重合，和重合 （符合题意） 当，点在上，点在上，如图所示： 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 （符合题意）； 当，点在上，点与点重合，如图所示： 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 （符合题意）； 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则或或 故答案为：或6或8 . 【点睛】本题考查的是全等三角形与动点问题，掌握全等三角形的判定定理、方程思想和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 三.解答题（共64分） 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂： （1）先计算算术平方根，立方根和乘方，再计算加减法即可得到答案； （2）先计算算术平方根和零指数幂，再去绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 求x的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键． （1）利用平方根的性质解方程即可得； （2）利用立方根的性质解方程即可得． 【小问1详解】 解：， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ． 21. 如图，△ABC与△DEF中，B、E、C、F在同一条直线上，BE＝CF，∠A＝∠D，，求证：AC＝DF． 【答案】 ∵AC∥DF， ∴∠ACB=∠DFE， ∵BE=CF， ∴BE+CE=CF+CE即BC=EF， 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（AAS）， ∴AC=DF． 【解析】 【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定证明△ABC≌△DEF即可证得结论解答． 【详解】略 【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． 22. 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，求此时木马上升的高度． 【答案】木马上升的高度为1米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．过点C作于点F，则米，在中，由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点F，则米， 由题意得：米， 在中，由勾股定理得： 米， 则米， 即木马上升的高度为1米． 23. 已知，如图，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）作的平分线，交于点D； （2）在线段上求作一点E，使得． 【答案】（1）如图，即为所求； （2） 如图，点E即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键． （1）根据角平分线的作图方法进行解答即可； （2）作的垂直平分线，交于点E，连接，由垂直平分线的性质可得，再根据等边对等角得，再根据三角形外角的性质得出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在中，是高，E、F分别是的中点，．求四边形的周长． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键． 根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得，再由，可得答案； 【详解】解：∵是高， ∴， ∵E、F分别是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形的周长为． 25. 如图，在中，，点P在上运动，点D在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）求的度数； （2）若，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，得到，根据四边形内角和等于计算即可； （2）根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【小问1详解】 解：在中，， 则， ∵， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 则，即， 解得：． 26. 折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图1），怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图．于是，由，，可得． 【感知】 （1）如图2，在中，若，，则______． 【探究】 （2）若将图2中是角平分线的条件改成是高线，其他条件不变（图3），即在中，，，请探索线段、、之间的等量关系，并说明理由． 【拓展】 （3）如图4，在中，，，，点是边上的一个动点（不与、重合），将沿翻折，点的对应点是点．若以、、为顶点的三角形是直角三角形，直接写出的长度______． 【答案】（1）35； （2），理由： 如图，将沿折叠， ∵， ∴点落在上的点处， ∴，，， ∵，， ∴ ∴， ∴， 即； （3）或2 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得，根据三角形外角的性质，可得，即可求解； （2）将沿折叠，根据折叠的性质与三角形外角的性质得出，根据等角对等边得出，进而根据等量代换可得结论 （3）根据折叠的性质，结合图形可知点不能为直角顶点，分两种情况讨论，①若，过点作于点，在中，，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解；②若，根据等腰三角形的性质与判定得出，即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， 故答案为： ，理由如下， （2）略 （3）依题意，∵点在上，以为顶点的三角形若为直角三角形，则点不为直角顶点，分两种情况讨论， ①若，如图，过点作于点， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得， 即， ②若，如图， ∵， ∴ ∴，， ∴ ∴ ∴， 综上所述，或 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，掌握折叠的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省常州市新北区北郊中学八年级（上）期中数学试卷 一.选择题（每小题2分，共16分）. 1. 下列图形是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在四边形中，，要使，可添加下列选项中的（ ） A. B. C. D. 3. 点P在的平分线上，点P到边的距离等于5，D是边上的任意一点，则下列选项正确的是 A. B. C. D. 4. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. 8， 15， 17 5. 下列整数中，最接近的是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高线的交点处 D. 三条边的垂直平分线的交点处 7. 如图，在中，，，与关于直线成轴对称，，连接，则的度数是( ) A. B. C. D. 8. 如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 二.填空题（每小题2分，共20分）. 9. 16的平方根是______． 10. 等腰三角形的顶角为，底角的度数为_______°． 11. 如图，，且，， 则______． 12. 已知一个正数的两个平方根分别是x和，则这个正数等于______． 13. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积为_______． 14. 如图，为等边三角形．若以BC为直角边向外作等腰，，则______． 15. 如图，在四边形中，，分别以四边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，则丁的面积为______． 16. 如图，在中，，为边上的高，为边上的中线，，，则的长度是_____． 17. 我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为，那么该三角形的面积等于___． 18. 如图，中，，，，点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作于E，于F．设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为________． 三.解答题（共64分） 19. 计算 （1）； （2）． 20. 求x的值： （1）； （2）． 21. 如图，△ABC与△DEF中，B、E、C、F在同一条直线上，BE＝CF，∠A＝∠D，，求证：AC＝DF． 22. 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，求此时木马上升的高度． 23. 已知，如图，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）作的平分线，交于点D； （2）在线段上求作一点E，使得． 24. 如图，在中，是高，E、F分别是的中点，．求四边形的周长． 25. 如图，在中，，点P在上运动，点D在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）求的度数； （2）若，求线段的长． 26. 折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图1），怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图．于是，由，，可得． 【感知】 （1）如图2，在中，若，，则______． 【探究】 （2）若将图2中是角平分线的条件改成是高线，其他条件不变（图3），即在中，，，请探索线段、、之间的等量关系，并说明理由． 【拓展】 （3）如图4，在中，，，，点是边上的一个动点（不与、重合），将沿翻折，点的对应点是点．若以、、为顶点的三角形是直角三角形，直接写出的长度______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $