江西省新余市第五中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年上学期新余五中初三年级期中亏讽 数学试卷 考试范围：第21章-第23章 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1,没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形展现一系列完备且完美的世界。下面是由 4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是( 2.下列方程中，是一元二次方程的是() A.ax+bxtc=0 B.x4}= C.x2-1=0 D.2x+3y-5=0 3.将抛物线y=-x向左平移3个单位，再向上平移5个单位，则平移后的抛物线解析式为 () A,y=(x+3)+5 B.y=(x+3y2-5C.y=-(x-3y+5 D.y=x-3-5 4,已知抛物线y=x+x和直线y=mr+n在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是(。) 5,某开发公到今年一月份收益达50万元，且一月份、二月份、三月份的收益共为175万元，间 二、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x,根据题意可列方程() A.501+x7=175 B.50+501+x)2=175 C.50(1+x)+50(1+x)=175 D50+50(1+x)+501+x}2=175 6.如图，抛物线y=ax2+bx十c(a≠0)的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为（一2， 0),其部分图象如图所示，下列结论：①4ac<b:②方程ax+bx十c=0的两 个根是x=一2，=6：③12a十c>0；④当y>0时，x的取值范围是-2≤x< 2:⑤当x<0时，y随x增大而增大.其中结论正确的个数是() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 第6题图 ,+:速大共5小妈，每题3分，共8行： 7.己知点a,l)与点B队-3，-)关于原点对称，则a= 8.已知x=1是方程x2-3x+c=0的一个根，则实数c的值是 9.设x、,2是方程x2+4x-5=0的两个根，则号+2-x2= 10.如图，把R△ABC绕点A逆时针旋转44，得到Rt△AB'C,点C恰好落在边AB上，连接 BB,则∠BBC= 度 1l.如图，抛物线y=_ax2与直线ybx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则不等式ax2 >bx+c的解集是 第10题图 第11题图 12抛物线y一宁-3与轴的负半轴交于点，与轴交于点，连接，点D,E分别是 直线x=-2与抛物线上的点，若点A,B,D,E围成的四边形是平行四边形，则点E的坐标为 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.选择适当的方法解下列方程： (1)(x-2）=4 (2)x2-3x+1=0. 14.抛物线y=a(x-2)经过点(1-) (1)求a的值： (2)写出该抛物线顶点坐标，对称轴。 15.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB 的三个顶点0(0,0)，A(4,1),B(4,4)均在格点上. 4“ (1)画出△OAB关于y轴对称的△OAB,并写出点A的坐标： (2)画出△0AB绕原点O顺时针旋转90后的△O46,并写出点439：·T广 的坐标 3 第15题图 2页 I6.如图，D为等边AA5C内一点.线段AD绕点A逆时针旋转60得到AB,连 接CE,BD的延长线与AC交于点G,与CE交于点F.求证：BD=CE. 第6题图 17.如图，在宽为20m,长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的 大块作试验田，要使试验田面积为570m',求道路的宽度。 第17题 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.已知关于x的一元二次方程x2-2红+2+k+1=0有两个实数根. (1)试求k的取值范围： (2)若+号=10，求k的值. 19.如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=3,PB=4,PC=5,将aPAC绕点A逆时针旋 转后，得到△PAB. (1)求点P与点P之间的距离： (2)求∠APB的度数. 第19题图 20.姐密，在平面直角坐标系y中，一次函数y可x的图象与二次函数y二x2+x(b为常数)的图 像相交于O,A两点，点A坐标为(3，m) (1)求m的值以及二次函数的表达式： (2)若点P为抛物线的顶点，连结OP,AP,求APOA的面积. 五、（本大题2小愿，每小题9分，共18分） 第20题图 2】,杭州亚运会期间，某商店销售一批亚运会吉样物挂件，每个进价13元，规定销售单价不低于 20元。试销售期间发现，当销售单价定为20元时，每天可售出200个，销售单价每上涨1元，每 天销售量减少10个，现商店决定提价销售. (1)涨价多少时，利润为1620元： (2)将亚运会吉祥物挂件销售单价定为多少元时，商店每天销售亚运会吉祥物挂件获得的利润y最 大？最大利润是多少元？ 22.如图1，将一把含45角的三角尺放在边长为2的正方形ABCD上，并使它的直角顶点始终与A 点重合，其一条直角边与CB的延长线交于点E,另一条直角边与DC交于点F· (1)在三角尺绕着点A旋转的过程中。 ①请判断AE与AF的数量关系，并加以证明. ②四边形4CF的面积是否为定值？如果是，求出这个值：如果不是，试说期理由. (2)如图2，将这把三角尺45°角的顶点始终与点A重合，角的一边与BC交于点E,另一边与DC 交于点F,在旋转的过程中，求点A到线段EF的距离。 图1 第22题图 图2 六、（本大题12分） 23.如图，已知抛物线y=x2+bx+5与x轴交于4A(-1,0),B50)两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C. (1)求抛物线的解析式： (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C,B不重 合)，过点D作DF⊥x轴于点F,交直线BC于点B,连接BD、 CD,能否使△CDE与△BDE的面积之比为2：3？若能，请求出点D 的坐标和△CDE的面积：若不能，请说明理由： (3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形， 请直接写出点M的坐标 第23题图 .其：员答案第 1 页，共 9 页 2024-2025 学年上学期新余五中初三年级期中考试数学试卷答案 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 1-6 DCABDB 分） 7．3 8. 2 9. 1 10. 22 11. x＜-2 或 x＞1 12．(−5,7)或(1,−2)或(−1,−3)（答错不给分，答对 1个给 1分，答全给 3分） 三、解答题（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分） 13．(1)𝑥1 = 4,𝑥2 = 0 （3分） (2)𝑥1 = 3+ 52 ,𝑥2 = 3− 5 2 （3分） 【详解】（1）解：(𝑥−2)2 = 4 𝑥−2 =± 2， 解得：𝑥1 = 4,𝑥2 = 0； （2）解：𝑥2−3𝑥 + 1 = 0 𝑥2−3𝑥 + 3 2 2 = 3 2 2 −1， 𝑥− 3 2 2 = 5 4 ， 𝑥−3 2 =± 5 2 ， 解得：𝑥1 = 3+ 52 ,𝑥2 = 3− 5 2 ． 14．(1)𝑎 = −1 (2)顶点坐标为(2,0)，对称轴为直线𝑥 = 2 【详解】（1）解：把（1，-1）代入𝑦 = 𝑎(𝑥−2)2得𝑎 × (1−2)2=-1， 解得𝑎 = −1； （3分） （2）∵抛物线解析式为𝑦 = −(𝑥−2)2， ∴顶点坐标为(2,0) （5分） 对称轴为直线𝑥 = 2． （6分） 15．（1）作图见解析，点𝐴1的坐标是 ( 4,1) ； （作图 2 分，坐标 1 分） （2）作图见解析，点 2A 的坐标是(1,−4)． （作图 2 分，坐标 1 分） 答案第 2 页，共 9 页 【详解】（1）作图如图所示， 点𝐴1的坐标是 ( 4,1) ； （2）作图如图所示， 点 2A 的坐标是(1,−4)． 16．证明：∵线段𝐴𝐷绕点 A 逆时针旋转60°得到𝐴𝐸， ∴𝐴𝐷 = 𝐴𝐸，∠𝐷𝐴𝐸 = 60°， （1 分） ∵ 60BAC  ， ∴∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐷𝐴𝐸， （2 分） ∴∠𝐵𝐴𝐷 = ∠𝐶𝐴𝐸， （3 分） 在 △ 𝐴𝐵𝐷和 △ 𝐴𝐶𝐸中， 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐷 = ∠𝐶𝐴𝐸 𝐴𝐷 = 𝐴𝐸 ， ∴ △ 𝐴𝐵𝐷≌ △ 𝐴𝐶𝐸(SAS)， （5 分） ∴𝐵𝐷 = 𝐶𝐸． （6 分） 17．【详解】解：设道路宽为 mx ， 根据题意，得： 220 32 20 2 32 2 570x x x     ， 或（32-2x）（20-x）=570 （2 分） 整理，得： 2 36 35 0x x   ， 解得： 1 1x  ， 2 35x  ， （4 分） 答案第 3 页，共 9 页 经检验 1 1x  ， 2 35x  是原方程的解，但 35 20x   ，不符合题意，舍去； （5 分） 答：道路的宽为1m． （6 分） 四、（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 18．(1)𝑘 ≤ −1 (2)𝑘 = −2 【详解】（1）∵关于 x 的一元二次方程𝑥2−2𝑘𝑥 + 𝑘2 +𝑘 + 1 = 0有两个实数根， ∴𝛥 = 𝑏2−4𝑎𝑐 = (−2𝑘)2−4 × 1 × (𝑘2 + 𝑘 + 1) ≥ 0， （2 分） 解得：𝑘 ≤ −1； （4 分） （2）∵方程𝑥2−2𝑘𝑥 + 𝑘2 +𝑘 + 1 = 0的两个实数根为𝑥1，𝑥2， ∴𝑥1 + 𝑥2 = 2𝑘， 2 1 2 1x x k k   ， （5 分） ∵𝑥21 + 𝑥22 = 10， ∴𝑥21 + 𝑥22 = (𝑥1 + 𝑥2)2−2𝑥1𝑥2 = 10， （6 分） ∴(2𝑘)2−2(𝑘2 + 𝑘 + 1) = 10， 整理得：𝑘2−𝑘−6 = 0， 解得：𝑘 = 3或者𝑘 = −2， （7 分） ∵根据（1）有𝑘 ≤ −1， 即𝑘 = −2； （8 分） 19．(1)3 (2)150° 【详解】（1）解：如图，连接𝑃𝑃′， 由旋转的性质得，𝐵𝑃′ = 𝑃𝐶 = 5，𝐴𝑃′ = 𝐴𝑃 = 3，∠𝑃𝐴𝐶 = ∠𝑃′𝐴𝐵， （1 分） ∵ 60PAC BAP     ， ∴∠𝑃𝐴𝑃′ = ∠𝑃′𝐴𝐵 + ∠𝐵𝐴𝑃 = 60°， （2 分） 答案第 4 页，共 9 页 ∴ △ 𝐴𝑃𝑃′是等边三角形， （3 分） ∴𝑃𝑃′ = 𝐴𝑃 = 3， ∴点 P 与点𝑃′之间的距离为 3； （4 分） （2）解：在 △ 𝐵𝑃𝑃′中， ∵𝑃𝑃′2 +𝐵𝑃2 = 32 + 42 = 52 = 𝐵𝑃′2， （5 分） ∴ △ 𝐵𝑃𝑃′是直角三角形，且∠𝐵𝑃𝑃′ = 90°， （6 分） ∴∠𝐴𝑃𝐵 = ∠𝐴𝑃𝑃′ + ∠𝐵𝑃𝑃′ = 60° + 90° = 150°， （8 分） ∴∠𝐴𝑃𝐵的度数为150°． 20．(1)m 的值为 3，二次函数的表达式为：y=-x2+4x； (2)△POA 的面积为 3． 【详解】（1）解：把点 A 坐标为（3，m）代入一次函数 y=x 中可得： m=3， ∴A（3，3）， （1 分） 把点 A 坐标为（3，3）代入二次函数 y=-x2+bx 中可得： 3=-9+3b， 解得：b=4， （2 分） ∴y=-x2+4x， （3 分） 答：m 的值为 3，二次函数的表达式为：y=-x2+4x； （2）解：过点 P 作 PC⊥x 轴，垂足为 C，交 OA 于点 D，过点 A 作 AE⊥PC，垂足为 E， ∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4， ∴顶点 P（2，4）， （4 分） 把 x=2 代入 y=x 中得： y=2， ∴D（2，2）， （5 分） ∴PD=4-2=2， （6 分） ∵△POA 的面积=△OPD 的面积+△APD 的面积， ∴△POA 的面积= 1 2 PD•OC+ 1 2 PD•AE = 1 2 PD（OC+AE） （7 分） 答案第 5 页，共 9 页 = 1 2 ×2×3 =3， （8 分） 答：△POA 的面积为 3． 五、（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 21．(1)涨价 11 元或 2 元时，利润为 1620 元 (2)售单价定为53 2 元时，商店每天销售亚运会吉祥物挂件获得的利润最大，最大利润是 3645 2 元 【详解】（1）解：设上涨 x 元，则每个纪念品利润为(20 + 𝑥−13)元，销售量为(200−10𝑥) 个，由题意得：(20 + 𝑥−13)(200−10𝑥) = 1620， （2 分） 整理得：𝑥2−13𝑥 + 22 = 0，即(𝑥−2)(𝑥−11) = 0， 解得：𝑥1 = 11,𝑥2 = 2， 答：涨价 11 元或 2 元时，利润为 1620 元； （4 分） （2）解：由（1）知当上涨 x 元，则每个纪念品利润为(20 + 𝑥−13)元，销售量为 (200−10𝑥)个， 则𝑦 = (20 + 𝑥−13)(200−10𝑥)，即𝑦 = −10𝑥2 +130𝑥 + 1400， （6 分） ∵ 𝑦 = −10𝑥2 +130𝑥 + 1400 = −10 𝑥− 13 2 2 + 3645 2 ， （7 分） ∴ 当 13 2 x  时，y 有最大值，最大值为3645 2 ， （8 分） ∵ 20 + 13 2 = 53 2 ∴ 售单价定为53 2 （26.5）元时，商店每天销售亚运会吉祥物挂件获得的利润最大，最大利 润是 3645 2 （1822.5） 答案第 6 页，共 9 页 元． （9 分） 22．（1）① AE AF ；证明见解析；②四边形 AECF 的面积的值始终保持不变，值为 4； 理由见解析；（写对结论给 1 分） （2）2 【详解】解：（1）① AE AF ；理由如下： （1 分） ∵四边形 ABCD为正方形， ∴ 90D ABC AD AB     ， ， ∴ 90ABE D    ， ∵ 90EAF  ， ∴ 90 90DAF BAF BAE BAF         ， ， ∴   DAF BAE ， （2 分） 在 AEBV 和 AFD△ 中， BAE DAF AB AD ABE D         ， ∴  ASAAEB AFDV V≌ ， （3 分） ∴ AE AF ； ②四边形 AECF 的面积的值始终保持不变，值为 4；理由如下： （4 分） ∵正方形 ABCD的边长为 2， ∴ 4ABCDS 正方形 ， ∵ AEB AFD≌△ △ ， ∴ AEB AFDS S△ △ ， （5 分） ∴ AEB AFD ABCDABCF ABCFS S S S S    正方形四边形 四边形V V ， ∴ 4ABCDAECFS S 正方形四边形 ； （6 分） 即四边形 AECF 的面积的值始终保持不变，值为 4； （2）延长FD 至 G，使DG BE ，连接 AG ，作 AM EF 于 M，如图 2 所示， 答案第 7 页，共 9 页 ∵四边形 ABCD是正方形， ∴ 90AB AD ABE ADG DAB      ， ， ∴ 90ADG  ， ∴ ABE ADG   ， 在 ABEV 和 ADG△ 中， AB AD ABE ADG BE DG       ， ∴  SASABE ADGV V≌ ， （7 分） ∴ AE AG DAG EAB   ， ， ∵ 45EAF  ， ∴ 45DAF EAB    ， ∴ 45DAF DAG    ， ∴ 45GAF EAF    ， 在 AEF△ 和 AGFV 中， AE AG EAF GAF AF AF       ， ∴  SASAEF AGFV V≌ ， （8 分） ∴ 2AM AD  （全等三角形对应边上的高相等）， （9 分） 即点 A 到线段EF 的距离为 2． 六、（本大题 12 分） 23．(1)𝑦 = −𝑥2 +4𝑥 + 5(3分) (2)D 的坐标为(2,9)， △ 𝐶𝐷𝐸的面积为6(5分) 答案第 8 页，共 9 页 (3)(2,7)，(2,−3)，(2,6)，(2,−1)（写对一个给 1 分，写全给 4分） 【详解】（1）将𝐴(−1,0)，𝐵(5,0)代入𝑦 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 + 5， 得： 𝑎−𝑏 + 5 = 0 25𝑎 + 5𝑏 + 5 = 0， 解得 𝑎 = −1 𝑏 = 4 ， 则抛物线解析式为𝑦 = −𝑥2 +4𝑥 + 5； （3 分） （2）能． 当𝑆△𝐶𝐷𝐸:𝑆△𝐵𝐷𝐸=2:3时， 设直线𝐵𝐶的解析式为𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑚， 把𝐶(0,5)，𝐵(5,0)代入得 𝑚 = 55𝑘 + 𝑚 = 0， 解得 𝑘 = −1 𝑚 = 5 ， 所以直线𝐵𝐶的解析式为𝑦 = −𝑥 + 5. ∵𝐷𝐸为公共边，𝐵(5,0)， =(9−3)×2 2 （3）抛物线的对称轴为直线𝑥 = − 42×(−1 ∴D 点横坐标为 2， ∴𝑦𝐷 = −22 +4 × 2 + 5 = 9，𝑦𝐸 = −2 + 5 = 3（6分） ∴D 的坐标为(2,9)， △ 𝐶𝐷𝐸的面积 = 6； （8分） ) = 2，如图， 设𝑀(2,𝑡)， ∵𝐵(5,0)，𝐶(0,5)， ∴𝐵𝐶2 = 52 + 52 = 50， 𝑀𝐶2 = 22 + (𝑡−5)2 = 𝑡2−10𝑡 + 29， 𝑀𝐵2 = (2−5)2 + 𝑡2 = 𝑡2 +9， 当𝐵𝐶2 +𝑀𝐶2 = 𝑀𝐵2时， BCMV 为直角三角形，∠𝐵𝐶𝑀=90°， （5 分） 答案第 9 页，共 9 页 即50 + 𝑡2−10𝑡 + 29 = 𝑡2 +9， 解得 7t  ， 此时 M 点的坐标为(2,7)； （9 分） 当𝐵𝐶2 +𝑀𝐵2 = 𝑀𝐶2时， BCMV 为直角三角形，∠𝐶𝐵𝑀 = 90°， 即50 + 𝑡2 +9 = 𝑡2−10𝑡 + 29， 解得𝑡 = −3， 此时 M 点的坐标为(2,−3)； （10 分） 当𝑀𝐶2 +𝑀𝐵2 = 𝐵𝐶2时， BCMV 为直角三角形，∠𝐶𝑀𝐵 = 90°， 即𝑡2−10𝑡 + 29 + 𝑡2 +9 = 50， 解得 1 6t  ，𝑡2 = −1， 此时 M 点的坐标为(2,6)或(2,−1)， （12 分） 综上所述，满足条件的 M 点的坐标为(2,7)，(2,−3)，(2,6)，(2,−1)．