精品解析：北京交通大学附属中学2024—2025学年上学期期中数学试卷

北京交大附中2024－2025学年第一学期期中练习 初二数学 说明：本试卷共6页，共100分，考试时长90分钟. 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 在中作边上的高，下列画法正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，若，则根据图中提供的信息，可得出的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ） A. ∠B=∠C B. AD=AE C. BD=CE D. BE=CD 6. 已知一个等腰三角形一内角的度数为80°，则这个等腰三角形底角的度数为（ ） A. 100° B. 80° C. 20°或80° D. 50°或80° 7. 要使多项式不含x的一次项，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC．若，，，则的周长等于（ ） A. 11 B. 16 C. 17 D. 18 9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 10. 如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段的延长线上，且，点D从C运动到B的过程中，周长的变化规律是（ ） A. 先变大后变小 B. 不变 C. 先变小后变大 D. 一直变小 二、填空题（每题2分，共12分） 11. 点关于轴对称的点的坐标是_____． 12. 计算：________． 13. 等腰三角形的两条边的长分别是和，则其周长是______． 14. 已知，，则______． 15. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是__________． 16. 如图，等腰直角中，，，为中点，，为上一个动点，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共58分，第17题6分；第18、19题5分；第22题4分；第20、21、23、24题6分；第25、26题分7分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，点A、B、C、D在同一直线上，．求证： ． 19. 已知，求的值． 20. 下面是小东设计的尺规作图过程． 已知：如图，在中，， 求作：点D，使点D在边上，且到和的距离相等． 作法：①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧， 分别交，于点M、N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧， 两弧交于点P； ③画射线，交于点D． 所以点D即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：过点D作于点E，连接，． 在与中， ∵，，， ∴． ∴ ． ∵， ∴． 又∵， ∴（ ）（填推理的依据） 21. 如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE． （1）求证：△AEB ≌△ADC； （2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数． 22. 如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出关于直线l对称的；（要求点A与，点B与，点C与分别对应） （2）若有一格点P到点A，B的距离相等，则网格中满足条件的点P有______个； （3）在直线l上找到一点Q，使的值最小（保留作图痕迹）． 23. 已知：如图，，点C，D分别在的两条边上，是的平分线，点P在射线上，且． （1）直接写出与的数量关系； （2）判断线段与的数量关系，并证明． 24. 已知：如图，，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，且，连接交于点G． （1）若，求线段的长； （2）作的平分线交于点M，交线段的延长线于点N，若，，直接写出线段的长（用含a，b的式子表示）． 25. 如图，在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接． （1）如图1，射线，都在的内部． ①设，则 （用含有的式子表示）； ②作点关于直线的对称点，则线段与图1中已有线段 的长度相等； （2）如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于y轴．给出如下定义：点先关于y轴对称得点，再将点关于直线l对称得点，则称点是点P关于y轴和直线l的二次反射点． （1）已知，，，则它们关于y轴和直线l的二次反射点，，的坐标分别是______，______，______； （2）若点D的坐标是，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点，求线段的长； （3）已知点，，，，以线段为边在x轴上方作正方形，若点P，Q关于y轴和直线l的二次反射点分别为，，且线段与正方形的边有公共点，直接写出a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京交大附中2024－2025学年第一学期期中练习 初二数学 说明：本试卷共6页，共100分，考试时长90分钟. 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 在中作边上的高，下列画法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高的概念，解题的关键是正确作三角形一边上的高；作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可． 【详解】解：过点作边的垂线段，即画边上的高， 所以画法正确的是C选项； 故选：C． 3. 下列运算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方以及幂的乘方法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是正确的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是错误的； 故选：B 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方以及幂的乘方法则，难度较小，如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项． 4. 如图，若，则根据图中提供的信息，可得出的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，即可求解． 【详解】解：， ， 即， 故选：A． 5. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ） A. ∠B=∠C B. AD=AE C. BD=CE D. BE=CD 【答案】D 【解析】 【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可． 【详解】解：∵AB＝AC，∠A为公共角， A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意； D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理． 6. 已知一个等腰三角形一内角的度数为80°，则这个等腰三角形底角的度数为（ ） A. 100° B. 80° C. 20°或80° D. 50°或80° 【答案】D 【解析】 【分析】已知给出了等腰三角形的一个内角的度数，但没有明确这个内角是顶角还是底角，因此要分类讨论． 【详解】解：（1）若等腰三角形一个底角为，顶角为； （2）等腰三角形的顶角为，底角为． 因此这个等腰三角形的底角的度数为或． 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理．解答此类题目的关键是要注意分类讨论，不要漏解． 7. 要使多项式不含x的一次项，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据多项式乘多项式进行展开，再根据不含x的一次项，可得． 【详解】解： ∵多项式不含x的一次项， ∴， 故选：B 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，合并同类项，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解题的关键． 8. 如图，在中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC．若，，，则的周长等于（ ） A. 11 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到CA=CE，所以AB=AC=5，据此可计算出的周长． 【详解】解：垂直平分AE， ， ， ， ， 的周长=AB+AC+BC=5+5+6=16， 故选：B． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形． 分两种情况进行讨论，即为腰和底时，找出合适的点即可． 【详解】解：如图，分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个． 故选：C． 10. 如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段的延长线上，且，点D从C运动到B的过程中，周长的变化规律是（ ） A. 先变大后变小 B. 不变 C. 先变小后变大 D. 一直变小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，由“”可证，由全等三角形的性质可得，可得周长，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 则周长为， 在点D从B运动到C的过程中，长不变，长先变小后变大，其中当点D运动到的中点位置时，最小， 在点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是先变小后变大， 故选：C． 二、填空题（每题2分，共12分） 11. 点关于轴对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反，即可得到答案． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 12. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则、单项式乘单项式运算法则求解即可． 【详解】解：=， 故答案为：． 【点睛】本题考查单项式乘多项式、单项式乘单项式，算熟练掌握运算法则是解答的关键． 13. 等腰三角形的两条边的长分别是和，则其周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，题中没有指明哪个是底哪个是腰，故应该分两种情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当为腰时，，不能构成三角形， 当为腰时，由三角形的三边关系可以构成三角形， ∴周长为：， 故答案为：． 14. 已知，，则______． 【答案】24 【解析】 【分析】先根据幂的乘方求出，再由进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 15. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是__________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和和三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 利用三角形的外角及等腰三角形的性质表示出，求得的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由三角形的外角定理得，， ， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，等腰直角中，，，为中点，，为上一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于的对称点，连接，，依据轴对称的性质，即可得到，，，根据，可得当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，根据全等三角形的对应边相等，即可得出的最小值为． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，， 则，，，， 是的中点， ， ， ， 当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，此时，最小， ，为的中点， ， 又， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了轴对称线路最短的问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 三、解答题（本大题共58分，第17题6分；第18、19题5分；第22题4分；第20、21、23、24题6分；第25、26题分7分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据多项式除以单项式运算法则进行计算即可； （2）原式先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得到答案． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 如图，点A、B、C、D在同一直线上，．求证： ． 【答案】 证明：， ， 即：， 在和中， ∵， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形 的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定和性质定理和平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】略 19. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，根据，代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴的值为． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，代数式求值．解题的关键在于正确的化简求值． 20. 下面是小东设计的尺规作图过程． 已知：如图，在中，， 求作：点D，使点D在边上，且到和的距离相等． 作法：①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧， 分别交，于点M、N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧， 两弧交于点P； ③画射线，交于点D． 所以点D即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：过点D作于点E，连接，． 在与中， ∵，，， ∴． ∴ ． ∵， ∴． 又∵， ∴（ ）（填推理的依据） 【答案】（1） 如图，即为补全的图形； （2） ；；角平分线上的点到角的两边的距离相等 【解析】 【分析】本题考查了作图—复杂作图，全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据 过程即可补全图形； （2）根据全等三角形的性质和角平分线的性质即可完成证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE． （1）求证：△AEB ≌△ADC； （2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数． 【答案】 （1）证明：是等边三角形， ，． 线段AD绕点A顺时针旋转，得到线段AE， ，． ． ． 在△EAB和△DAC中， ， ≌． （2）45° 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得，，再由旋转的性质，可得，，从而得到，再证≌即可； （2）根据题意可得为等边三角形．可得，根据三角形全等可得，然后利用两角之差即可求解． 【详解】（1）略 解： ，， 为等边三角形． ， ≌． ． ∴∠BED=∠AEB-∠AED=105°-60°=45°， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 22. 如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出关于直线l对称的；（要求点A与，点B与，点C与分别对应） （2）若有一格点P到点A，B的距离相等，则网格中满足条件的点P有______个； （3）在直线l上找到一点Q，使的值最小（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见图，即为所求 （2）4 （3）见图，点Q即为所求 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称的性质以及线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用网格，作线段的垂直平分线，所经过的格点即为满足条件的点P的位置； （3）连接，交直线l于点Q，连接，此时的值最小． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：由图可知，，，，满足到点A，B的距离相等， ∴网格中满足条件的点P有4个． 故答案为：4． 【小问3详解】 如图，点Q即为所求． 23. 已知：如图，，点C，D分别在的两条边上，是的平分线，点P在射线上，且． （1）直接写出与的数量关系； （2）判断线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2） ，证明： 过点P作于点E，作于点F． ∵，， ∴． ∵OM是的平分线， ∴． ∵四边形PFOE中，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴≌， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）利用四边形内角和求出结果； （2）过点P作于点E，作于点F，根据角平分线的性质得到，根据，，得到，得到≌，即可求出结果； 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 略 24. 已知：如图，，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，且，连接交于点G． （1）若，求线段的长； （2）作的平分线交于点M，交线段的延长线于点N，若，，直接写出线段的长（用含a，b的式子表示）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，，由是的垂直平分线得到，则，那么，则在中，，故，则； （2）由（1）知，而，则，证明，则，那么，故． 【小问1详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴ ∴ 【小问2详解】 解：如图， 由（1）知，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 25. 如图，在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接． （1）如图1，射线，都在的内部． ①设，则 （用含有的式子表示）； ②作点关于直线的对称点，则线段与图1中已有线段 的长度相等； （2）如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）①；② （2）， 证明如下： 作点关于直线的对称点，连接，如下图， 由对称的性质可得，，， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）①根据，即可获得答案； ②连接，证明，即可获得答案； （2）作点关于直线的对称点，连接，设，证明，由全等三角形的性质可得，即可获得结论． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， ∵， ∴； ②如下图，连接， 由对称的性质可得，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：①；②； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于y轴．给出如下定义：点先关于y轴对称得点，再将点关于直线l对称得点，则称点是点P关于y轴和直线l的二次反射点． （1）已知，，，则它们关于y轴和直线l的二次反射点，，的坐标分别是______，______，______； （2）若点D的坐标是，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点，求线段的长； （3）已知点，，，，以线段为边在x轴上方作正方形，若点P，Q关于y轴和直线l的二次反射点分别为，，且线段与正方形的边有公共点，直接写出a的取值范围． 【答案】（1），，； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题，新定义——二次反射点．熟练掌握新定义，关于坐标轴对称的点坐标特征，关于平行于坐标轴的直线对称的点坐标特征，平行于坐标轴的动线段相交特征，是解题的关键． （1）由，得，得； 由，得，得，由，得，得，； （2）根据D，得，得，得； （3）根据，，二次反射点的定义得出，根据，，求出，或． 【小问1详解】 解：∵， ∴点A关于y轴对称点的坐标为， ∵关于直线l对称的点， ∴关于y轴和直线l的二次反射点的坐标， ∵， ∴点B关于y轴对称点的坐标为， ∵直线l经过点，且平行于y轴． ∴关于直线l对称的点为， ∴关于y轴和直线l的二次反射点的坐标， ∵， ∴点C关于y轴对称点的坐标为， ∵关于直线l对称的点， ∴关于y轴和直线l的二次反射点的坐标； 故答案为：（3，0）；； 【小问2详解】 解：∵点D的坐标是， ∴点D关于y轴对称点的坐标为， ∴关于直线l对称的点， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，或， ∴，或． 故a的取值范围为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $