专题10 正多边形和圆【挑战压轴题】（尖子生拔高卷）-2024-2025学年人教版数学九年级上册培优专题真题讲练

2024-2025学年人教版数学九年级上册【挑战压轴题】培优专题真题培优卷 专题10 正多边形和圆 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.37（较难） 题目来源：全国各地名校真题 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024秋•秦淮区期中）如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．（2分）（2024•成都模拟）如图，正八边形内接于，连接，，若，则的半径为　　 A．1 B． C． D．2 3．（2分）（2024•庐江县二模）如图，正五边形的外接圆为，点是劣弧上一点，连接、、，则的度数是　　 A． B． C． D． 4．（2分）（2024•焦作模拟）如图，正六边形的边长为，是对角线上一动点，动点从点出发且以的速度在点和点间往返匀速平移．过点作直线与垂直，设直线被正六边形区域截得的长度为 ，当点的运动时间为时，的值为　　 A． B． C． D． 5．（2分）（2024•长沙模拟）正六边形结构在自然界是广泛存在的．如图，将一个正六边形放在平面直角坐标系中，其中心与原点重合．若正六边形的边长是2，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 6．（2分）（2023秋•赵县期末）如图，在正六边形中，，是对角线上的两点．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是　　 A．①②④ B．①③④ C．①②③④ D．①④ 7．（2分）（2023春•上虞区期末）如图，在边长为的正八边形中，已知，，，分别是边，，，上的动点，且满足，则四边形面积的最大值为　　 A． B． C． D． 8．（2分）（2020秋•柯桥区期中）如图，、、、、是上的5等分点，连接、、、、，得到一个五角星图形和五边形．有下列3个结论：①，②，③．其中正确的结论是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．（2分）（2022秋•西乡塘区校级月考）如图，边长为4的正方形内接于，点是上的一动点（不与，重合），点是上的一点，连接，，分别与，交于点，，且，有以下结论：①；②是等腰三角形；③四边形的面积随着点位置的变化而变化；④周长的最小值为．其中正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2分）（2023秋•临海市校级期中）由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图，则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为　　 A． B． C． D． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024•青岛二模）如图，与正五边形的两边、分别相切于、两点，则的度数为 　　． 12．（2分）（2024•安徽模拟）如图，与正六边形的两边，分别相切于，两点，则　　． 13．（2分）（2024•榆阳区三模）如图，花园边墙上有一边长为的正六边形门，现准备打掉部分墙体，使其变成以为直径的圆弧形门，那么要打掉墙体的总面积是 　　（用表示）． 14．（2分）（2024•思明区二模）周末小明过生日，家里来了些亲朋好友，需要将生日蛋糕（如图，蛋糕的截面是正六边形切成完全相同的8块．他先沿着线段切了第一刀，接着沿线段切了第二刀，已知他一共切了五刀，那么　　． 15．（2分）（2024•江西二模）如图，已知正六边形的边长为6，连接，，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，是射线上的点，若是等腰三角形，则点的坐标可能是 　　． 16．（2分）（2024•冷水滩区校级模拟）如图①②③④分别是的内接正三角形、正方形、正五边形、正边形，点、分别从点、开始以相同的速度在上逆时针运动，连接、交于点．在图①②③中，的度数分别为、、，则在图④中　　（用含的代数式表示） 17．（2分）（2024•莘县二模）如图，点是正六边形内部一个动点，，则点到这个正六边形六条边的距离之和为 　　． 18．（2分）（2023•河北）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中： （1）　　度； （2）中间正六边形的中心到直线的距离为 　　（结果保留根号）． 19．（2分）（2024•淮安）如图，点是正六边形的边的中点，一束光线从点出发，照射到镜面上的点处，经反射后恰好经过顶点．已知正六边形的边长为2，则　　． 20．（2分）（2020秋•崇川区期末）如图1，中，，，，为边上的一动点，设的值为，如图2，是正方形的内切圆，，点是上一个动点，设的值为，如图3，，，．点是内一点，设点到三个顶点的距离和的值为，则的最小值为　　． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024秋•台江区校级月考）如图，正方形内接于，是的中点，连接，，．求证：． 22．（6分）（2023秋•缙云县期末）如图1，小吴同学在陶艺课中为八角花盆制作“圆形托盘”，已知八角花盆底部截面是一个正八边形（如图，请根据下列信息解决问题． （1）求八角花盆底部截面正八边形一个内角的度数； （2）若八角花盆底部截面正八边形的边长是，小吴同学制作的圆形托盘半径是，问：这个托盘是否适用于此八角花盆？（图3中边长的数据为近似值，供选用） 23．（8分）（2023秋•北林区校级期末）如图，在正六边形中，，分别是边，上的点，且，与交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 24．（8分）（2022秋•宽城县期末）如图，的半径为5，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为为的整数），过点作的切线交延长线于点． （1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长； （2）连接，则和有什么特殊位置关系？请简要说明理由； （3）求切线长的值． 25．（8分）（2019秋•东台市期中）如图，的周长等于，正六边形内接于． （1）求圆心到的距离； （2）求正六边形的面积． 26．（8分）（2018秋•仪征市校级月考）如图，是正方形与正六边形的外接圆． （1）正方形与正六边形的边长之比为 　　； （2）连接，是否为的内接正边形的一边？如果是，求出的值；如果不是，请说明理由． 27．（8分）（2022秋•尧都区期末）七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下： （1）如图1，等边三角形中，在、边上分别取点、，使，连接、，发现，且，试说明：． （2）如图2，正方形中，在、边上分别取点、，使，连接、，那么　　度，并说明理由． （3）如图3，正五边形中，在、边上分别取点、，使，连接、，那么　　，且　　度．（正边形内角和，正多边形各内角相等） 28．（8分）（2024•义乌市模拟）在直角坐标系中，正方形的两边、分别在轴、轴上，点的坐标为、． （1）将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，边交于．求点的坐标； （2）如图，与正方形四边都相切，直线切于点，分别交轴、轴、线段于点、、．求证：平分． （3）若、，为延长线上一动点，过、、三点作，交于．当运动时（不包括点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学九年级上册【挑战压轴题】培优专题真题培优卷 专题10 正多边形和圆 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.37（较难） 题目来源：全国各地名校真题 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024秋•秦淮区期中）如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 解：作正八边形的外接圆， ，且，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 点与点关于点对称， 为正八边形的中心，即正八边形的外接圆的圆心， 、都是的直径， ， ， ，， ， 故①正确； 在上截取，连接，则，， ， ， ， ， ， ， ， 故②错误； ， ， 故③正确； 连接，作于点，则， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 同理， 四边形是矩形， ， ， ， 故④正确， 故选：． 2．（2分）（2024•成都模拟）如图，正八边形内接于，连接，，若，则的半径为　　 A．1 B． C． D．2 解：连接，过点作于点， 设的半径为， 在正八边形中，， ， 在△中，， 是的直径， ， ， 解得或（舍， 故选：． 3．（2分）（2024•庐江县二模）如图，正五边形的外接圆为，点是劣弧上一点，连接、、，则的度数是　　 A． B． C． D． 解：正五边形的内角和为， ， 四边形是圆的内接四边形， ， 在三角形中， ， 故选：． 4．（2分）（2024•焦作模拟）如图，正六边形的边长为，是对角线上一动点，动点从点出发且以的速度在点和点间往返匀速平移．过点作直线与垂直，设直线被正六边形区域截得的长度为 ，当点的运动时间为时，的值为　　 A． B． C． D． 解：如图，正六边形的中心为，连接，，， 六边形是正六边形，点是中心， ， ， ，，是正三角形， ， ， 直线的位置如图所示，此时，， 在中，，， ， ， 即， 故选：． 5．（2分）（2024•长沙模拟）正六边形结构在自然界是广泛存在的．如图，将一个正六边形放在平面直角坐标系中，其中心与原点重合．若正六边形的边长是2，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 解：连接，如图所示： 由正六边形是轴对称图形知： 在中，，． ，， ， 故选：． 6．（2分）（2023秋•赵县期末）如图，在正六边形中，，是对角线上的两点．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是　　 A．①②④ B．①③④ C．①②③④ D．①④ 解：①连接，交于点， 正六边形中，， 和是等边三角形， ，， ， ， 四边形是平行四边形，故①符合题意； ②，， ， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形，故②符合题意； ③，，， 与不一定全等，不能得出四边形是平行四边形，故③不符合题意； ④，，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形，故④符合题意， 综上所述：符合题意的是①②④． 故选：． 7．（2分）（2023春•上虞区期末）如图，在边长为的正八边形中，已知，，，分别是边，，，上的动点，且满足，则四边形面积的最大值为　　 A． B． C． D． 解：连接Ⅰ，， 正八边形，， ，， 四边形为正方形， 四边形的面积为， 当最大时，四边形的面积最大， 即为正八边形的对角线时，四边形的面积最大， 如图，连接，交于点，连接，交于点， 则为等腰直角三角形，为正八边形的中心， ，垂直平分， ， 设， 则， ， 在 中，， 即， 解得： （负值不合题意，舍去）， ， 四边形的最大面积为， 故选：． 8．（2分）（2020秋•柯桥区期中）如图，、、、、是上的5等分点，连接、、、、，得到一个五角星图形和五边形．有下列3个结论：①，②，③．其中正确的结论是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 解：、、、、是上的5等分点， ， ，故①正确； 、、、、是上的5等分点， 的度数， ， ， ； 连接 、、、、是上的5等分点， ， ， ， ，故②正确； 连接，， ， ， ，， ， ③错误！则， ， ， ， ， ，③错误． 故选：． 9．（2分）（2022秋•西乡塘区校级月考）如图，边长为4的正方形内接于，点是上的一动点（不与，重合），点是上的一点，连接，，分别与，交于点，，且，有以下结论：①；②是等腰三角形；③四边形的面积随着点位置的变化而变化；④周长的最小值为．其中正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：如图， ， ， ， ， 故①正确， ， 点、、、共圆， ，， ， 故②正确； ，，， ， 四边形的面积等于三角形的面积， 故③错误， 是等腰直角三角形， 当最小时，的周长最小， 当时，周长最小是：， 故④错误， 故选：． 10．（2分）（2023秋•临海市校级期中）由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图，则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为　　 A． B． C． D． 解：过图2中菱形的顶点作于，设图3中正八边形的中心点为点，一边为，连接、，过点作于， 设正八边形的边长为，则， 由正八边形的性质可得，，， ， ， ， ， 空白部分面积的面积为， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 正八边形的面积为：， 阴影部分的面积为：， 阴影部分面积与空白部分面积之比为． 故选：． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024•青岛二模）如图，与正五边形的两边、分别相切于、两点，则的度数为 　　． 解：正五边形的内角， ， 连接、， 、分别与相切于、两点， ， ， 故答案为：． 12．（2分）（2024•安徽模拟）如图，与正六边形的两边，分别相切于，两点，则　120　． 解：正六边形的内角， ， ，分别相切于，两点， ， 正五边形的内角和是， ， 故答案为：120． 13．（2分）（2024•榆阳区三模）如图，花园边墙上有一边长为的正六边形门，现准备打掉部分墙体，使其变成以为直径的圆弧形门，那么要打掉墙体的总面积是 　　（用表示）． 解：如图，设正六边形的中心为，连接，，过点作于， 六边形是正六边形， ，， ， 是正三角形， ，， 在中，，， ， ， 要打掉墙体的总面积为． 故答案为：． 14．（2分）（2024•思明区二模）周末小明过生日，家里来了些亲朋好友，需要将生日蛋糕（如图，蛋糕的截面是正六边形切成完全相同的8块．他先沿着线段切了第一刀，接着沿线段切了第二刀，已知他一共切了五刀，那么　　． 解：如图，线段，，分别是剩下的三刀，共五刀，满足切成完全相同的8块， 图中的8个梯形全等， 设，， ， 六边形为正六边形， ， ， 作， 得四边形为矩形， ，， ， ，即， ， ， 故答案为：． 15．（2分）（2024•江西二模）如图，已知正六边形的边长为6，连接，，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，是射线上的点，若是等腰三角形，则点的坐标可能是 　，或，或，　． 解：如图，在正六边形中，， ， 当时，在△中，， ， 点的坐标为，； 当时，在△中，， ，， 点的坐标为，； 当时，即， ， 在△中，， ， 点的坐标为，； 综上所述，符合条件的点的坐标为，或，或，． 故答案为：，或，或，． 16．（2分）（2024•冷水滩区校级模拟）如图①②③④分别是的内接正三角形、正方形、正五边形、正边形，点、分别从点、开始以相同的速度在上逆时针运动，连接、交于点．在图①②③中，的度数分别为、、，则在图④中　　（用含的代数式表示） 解：如图①，、分别以相同的速度运动， ， ， 为正三边形， ， ， ， 如图②，同理， 四边形为正四边形， ，， ， 如图③，同理， 图④中， 正边形内角和为， ． 故答案为：． 17．（2分）（2024•莘县二模）如图，点是正六边形内部一个动点，，则点到这个正六边形六条边的距离之和为 　　． 解：如图，当点是正六边形的中心时， 连接、，过点作于点，延长交于点， 则点到这个正六边形六条边的距离之和即为的长． 根据正六边形的性质可知： 是等边三角形， ， ， ，， ， ． 点到这个正六边形六条边的距离之和为． 故答案为：． 18．（2分）（2023•河北）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中： （1）　30　度； （2）中间正六边形的中心到直线的距离为 　　（结果保留根号）． 解：（1）作图如图所示， 多边形是正六边形， ， 直线， ， ； 故答案为：； （2）取中间正六边形的中心为， 作图如图所示，由题意得，，，， 四边形为矩形， ， ，， ， ， 在中，，， 由图1知，， ， ， ， ， ， ． 中间正六边形的中心到直线的距离为， 故答案为：． 19．（2分）（2024•淮安）如图，点是正六边形的边的中点，一束光线从点出发，照射到镜面上的点处，经反射后恰好经过顶点．已知正六边形的边长为2，则　　． 解：如图，延长、交于点，作于点，于点，则， 由反射光线的性质可知， ， 即， ， ， ， 设，则， ， 六边为正六边形， ， ， 是中点， ， 在△中，，， ， 在正六边形中，， ，， △△， ，即， 解得， ， 连接， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ． 故答案为：． 20．（2分）（2020秋•崇川区期末）如图1，中，，，，为边上的一动点，设的值为，如图2，是正方形的内切圆，，点是上一个动点，设的值为，如图3，，，．点是内一点，设点到三个顶点的距离和的值为，则的最小值为　　． 解：①如图1中，过点作，交的延长线于点， ， ， ， 当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为， ， ， 的最小值为27， ②如图2中，连，，，在上取一点，使，连，． ，， ， ， ， ， ， ， ， 即的最小值为， 的最小值为10， 如图3中：以为边作等边三角形，以为边作等边．连接，作，交的延长线于． 和是等边三角形 ，，， 在和中， ， ， 当、、、四点共线时，值最小， ，， ， ， ． ， ， 的最小值为， 的最小值为． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024秋•台江区校级月考）如图，正方形内接于，是的中点，连接，，．求证：． 证明：连接， 是的中点， ， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ． 22．（6分）（2023秋•缙云县期末）如图1，小吴同学在陶艺课中为八角花盆制作“圆形托盘”，已知八角花盆底部截面是一个正八边形（如图，请根据下列信息解决问题． （1）求八角花盆底部截面正八边形一个内角的度数； （2）若八角花盆底部截面正八边形的边长是，小吴同学制作的圆形托盘半径是，问：这个托盘是否适用于此八角花盆？（图3中边长的数据为近似值，供选用） 解：（1）正八边形的外角， 正八边形的内角． （2）如图2中，连接，，过点作于点． ，， ，， 由题意， ， ， 这个托盘不适用于此八角花盆． 23．（8分）（2023秋•北林区校级期末）如图，在正六边形中，，分别是边，上的点，且，与交于点． （1）求证：； （2）求的度数． （1）证明：六边形为正六边形， ，． ， ，即． 在和中， ， ； （2）解：由（1）知， ，， 根据多边形内角和公式，得， ， ． 24．（8分）（2022秋•宽城县期末）如图，的半径为5，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为为的整数），过点作的切线交延长线于点． （1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长； （2）连接，则和有什么特殊位置关系？请简要说明理由； （3）求切线长的值． 解：（1）由题意，， 的长， 比直径长． （2）结论：． 理由：如图连接， 圆周被12等分，将圆周分成相等的两条弧， 是的直径， ， ． （3）是的切线， ， ， ，， ． 25．（8分）（2019秋•东台市期中）如图，的周长等于，正六边形内接于． （1）求圆心到的距离； （2）求正六边形的面积． 解：（1）连接、，作于， 的周长等于， 半径， 六边形是正六边形， ， ， 圆心到的距离， 圆心到的距离为； （2）正六边形的面积． 26．（8分）（2018秋•仪征市校级月考）如图，是正方形与正六边形的外接圆． （1）正方形与正六边形的边长之比为 　　； （2）连接，是否为的内接正边形的一边？如果是，求出的值；如果不是，请说明理由． 解：（1）设此圆的半径为， 则它的内接正方形的边长为， 它的内接正六边形的边长为， 内接正方形和内接正六边形的边长比为． 故答案为：； （2）是的内接正十二边形的一边， 理由：连接，，， 在正方形中，， 在正六边形中，， ， ， 是正十二边形的边． 27．（8分）（2022秋•尧都区期末）七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下： （1）如图1，等边三角形中，在、边上分别取点、，使，连接、，发现，且，试说明：． （2）如图2，正方形中，在、边上分别取点、，使，连接、，那么　90　度，并说明理由． （3）如图3，正五边形中，在、边上分别取点、，使，连接、，那么　　，且　　度．（正边形内角和，正多边形各内角相等） （1）证明：是正三角形， ，， 在和中，， ， ， 又， ， ； （2）解：四边形是正方形， ，， 又， ， ，， 又， ；即； （3）解：五边形是正五边形， ，， 又， ， ， ， ． 故答案为：，，． 28．（8分）（2024•义乌市模拟）在直角坐标系中，正方形的两边、分别在轴、轴上，点的坐标为、． （1）将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，边交于．求点的坐标； （2）如图，与正方形四边都相切，直线切于点，分别交轴、轴、线段于点、、．求证：平分． （3）若、，为延长线上一动点，过、、三点作，交于．当运动时（不包括点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 解：（1）连接， ，由轴对称可得， 又， ， ； （2）， ， 根据切线长定理，， ， 由切线长定理， 平分． （3）的值是定值为， 在上取点，使，即， ， ， 、，、， ； 又， ， ， ， ； 又，， ， 为等腰直角三角形， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$