专题09 直线与圆的位置关系【挑战压轴题】（尖子生拔高卷）-2024-2025学年人教版数学九年级上册培优专题真题讲练

2024-2025学年人教版数学九年级上册【挑战压轴题】培优专题真题培优卷 专题09 直线与圆的位置关系 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.33（较难） 题目来源：全国各地名校真题 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024秋•海淀区校级期中）如图，是的切线，点是上的一点，连接，，交于点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 解：连接， 是的切线， ， ，， ， ， ； 故选：． 2．（2分）（2024秋•长安区校级期中）有一题目：“，分别切于，两点，点为上不同于，的任意一点，若，求．”嘉嘉的解答是：“如图，取上一点，连接，，，，得，所以．”而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是　　 A．淇淇说得对，且的另一个值是 B．淇淇说得不对，就得 C．嘉嘉求的结果不对，应得 D．两人都不对，应有3个不同值 解：、由题意可知，当点在优弧上时，就是嘉嘉的求解过程；当点在劣弧上时，由圆周角定理及其推论可知的另一个值是，该选项正确，符合题意； 、由选项的求解过程可知，该选项错误，不符合题意； 、由选项的求解过程可知，该选项错误，不符合题意； 、由选项的求解过程可知，该选项错误，不符合题意； 故选：． 3．（2分）（2024秋•锡山区期中）如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为　　 A．9 B．10 C． D．12 解：连接，延长交于点， 与相切， ， 又矩形中，， ， ， 矩形绕点旋转所得矩形为， ，，， 四边形为矩形， ， 设，则， ， ， 解得， ． 故选：． 4．（2分）（2024春•澄海区校级月考）如图，是的直径，、是的两条切线，、是切点，若，，则的长度为　　 A．1 B． C． D． 解：连接， 、是的两条切线， ， ， 是等边三角形， ，， 是的直径， ， ， ， 在中，， 即， ． 故选：． 5．（2分）（2024秋•南京期中）如图，已知，是的两条切线，，为切点，线段交于点．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④是△的内心．其中所有正确说法的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 解：，是的两条切线， ，，故①正确； ， △△， △，△关于对称， ，故②正确； 连接，，如图所示： 则， ， ， ， ， ， 即：平分； 同理可得：平分； 是△的内心．故④正确； 取的中点，连接，，如图所示： 则， 即， 以为圆心，为半径，则，，，四点共圆，故③正确； 故选：． 6．（2分）（2024•岱岳区校级模拟）如图，点为的内心，连接并延长，交的外接圆于点，点为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为　　 A．5 B．4.5 C．4 D．3.5 解：延长到，使，连接． 是的内心， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， 故选：． 7．（2分）（2024•武汉模拟）如图，在中，，于，为的内切圆，设的半径为，的长为，则的值为　　 A． B． C． D． 解：如图所示：为中、、的角平分线交点，过点分别作垂线相交于、、于点、、， ， ， ， 的长为， ， ， ， ， 故选：． 8．（2分）（2024•连云区二模）如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段、上，且与相切．若的面积为6，则的半径为　　 A． B． C． D． 解：设与相切于点，设正方形的边长为， 、、是切线， ，，，设，， 在中， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为， 故选：． 9．（2分）（2024•旌阳区模拟）如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段、上，且与相切．若的面积为4，则的半径为　　 A． B． C． D．2 解：设与相切于点，设正方形的边长为， 、、是切线， ，，，设，， 在中， ，，， ， ， ， ， ， ， （负值已经舍去）， ， 的半径为2， 故选：． 10．（2分）（2023秋•滨湖区期末）如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，是该直线上的任一点，过点向以为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为、，则四边形面积的最小值为　　 A． B． C． D． 解：如图，连接， 直线与轴、轴分别相交于、两点， 当时，，当时，， ，， ， 过点向以为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为、， ，， ，， ， 的半径为， ， 当时，最小，此时， 四边形面积， 四边形面积的最小值为． 故选：． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024秋•仓山区校级期中）如图，在△中，，，，经过点且与边相切的动圆与，分别相交于点，，则线段长度的最小值为 　　． 解：过点作于点，以为直径作圆与、分别相交于点、，连接、，过点作于点，如图， ，此时圆的直径最小，为定值， 线段此时长度最小． ，，， ． ， ， 于点， ． ，， ， ． 故答案为：． 12．（2分）（2024秋•秦淮区期中）如图，，分别与相切，切点分别为，，点在上，过点的切线分别交，于点，．若，则△的周长为　20　． 解：、是的切线，切点分别为、， ， 过点的切线分别交、于点、， ，， △的周长． 故答案为：20． 13．（2分）（2023秋•昌平区期末）小明同学测量一个圆形零件的半径时，他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上，零件与直尺，三角板均相切，测得点与其中一个切点的距离为，则这个零件的半径是 　　． 解：设圆形零件的圆心是，连接，， 与直尺，三角板均相切，切点分别是和， ，平分， ， ， ， ， ， 这个零件的半径是． 故答案为：． 14．（2分）（2023秋•江阴市期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心．直线、分别经过点、，且．若直线关于对称的直线为，直线关于对称的直线为，直线、交于点，则的最大值为 　　． 解：作的内切圆分别与、、相切于点、、， 点是的内心， 点是的内切圆的圆心， 连接、、，则，，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，，， ，， ， ，， ， ， ， ， 设直线交轴于点，为直线上一点， ， ， ， ， 直线关于对称的直线为，直线关于对称的直线为， ，， ，， ，， ，， ， ， 取的中点，连接、，则， ， ， ， ，且， ， 的最大值为， 故答案为：． 15．（2分）（2024秋•兴化市校级月考）如图，，点是射线上一点，，以点为圆心，为半径作，若与射线有两个公共点，则半径的取值范围是 　　． 解：作于点，则， ， ， ， ， ， 当时，与射线相切，此时与射线只有一个公共点；当时，与射线有两个公共点， 若与射线有两个公共点，则， 半径的取值范围是， 故答案为：． 16．（2分）（2024•南昌县校级模拟）如图，菱形的边长为4，，是边上的一动点，以为圆心，线段的长为半径画圆，当与△边所在的直线相切时，的半径为 　或或　． 解：菱形，， ，， 如图1，当与直线相切时，切点为，连接，则， 设，则， ， ， ， 解得； 如图2，当与直线相切时，切点为，连接，则， 设，则， ， ， ， 解得； 如图3，当与直线相切时，切点为，连接，作于点，则，四边形是矩形， 设，则， ， ， ， 解得； 综上，的半径为或或． 故答案为：或或． 17．（2分）（2024•中阳县三模）如图，在△中，以边为直径的恰好经过点，过点作的切线，交的延长线于点，平分，分别交，边于点，，连接．若，，则的长为 　　． 解：连接，，则：， ， ， △为等边三角形， ，， 为切线， ， ， ， ， ，， 平分， ， ，， ， ； 故答案为：． 18．（2分）（2023•成都模拟）如图，已知正方形的边长为，在正方形内以点为圆心，长为半径作弧，即，点是上的一个动点，过点作的切线交于点，以为对称轴，作点的对称点，连接．若，则的长为 　2或　． 解：如图，连接，，， 设与的切点为， 连接， 四边形是正方形， ， ， 则点落在对角线上， ，， ， ， 点，，，点共图或点，，，四点共圆， 如图，若点，，，四点共圆， ， 为圆的直径， ， ，，三点共线． ， ． 若，，，四点共圆，则， 点，，三点共线，则， ，， ， ， 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 19．（2分）（2023•庆云县校级模拟）已知，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，以为直径作，下列结论：（1）抛物线的对称轴是直线；（2）的面积是；（3）抛物线上存在一点，使四边形为平行四边形；（4）直线与相切．其中正确的结论 　（1）（4）　．（填序号） 解：在中，当时，或， 点、， 抛物线的对称轴为，故（1）正确； 的直径为，即半径为5， 的面积为，故（2）错误； 在中，当时，， 点， 当时，， 解得：、， 所以点， 则， ， ， 四边形不是平行四边形，故（3）错误； ， 点， 设直线解析式为， 将点、代入，得：， 解得：， 所以直线解析式为； 设直线解析式为， 将点、代入，得：， 解得：， 所以直线解析式为， 由知于点， 直线与相切，故（4）正确； 故答案为：（1）（4）． 20．（2分）（2023秋•旌阳区校级期中）如图，为的直径，、为的切线，、为切点，连接、，交于点，交于，的延长线交于点，以下结论：①；②点为△的内心；③；④；⑤．其中正确的有 　①②④⑤　． 解：如图，连接，，， 、是的切线， ，， ， △△， ， ， ，故①正确； 是的切线， ， ， ， ， ， ，即是的角平分线，同理可证得是的平分线， 为△的内心，故②正确； 若，则应有，应有， ， ， 而的度数不一定是60度，故③不正确； 为△的内心， 是的角平分线， 为的直径， ，即， △△， ，，故④正确； ， ， ，故⑤正确； 因此正确的结论有：①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024秋•无锡期中）如图，是△的外接圆，，点是上的一点，且，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点．求证：； 证明：， ，， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， △△， ． 22．（6分）（2024秋•昆明期中）如图，点为圆心，为半圆的直径，在上取一点，延长至点，连接，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为3，求的长． （1）证明：连接，，如图， 为直径， ，即， 又， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ， ， ， ，是的直径， 是的切线， 是的切线； ， ， ， 解得． 23．（8分）（2024秋•大连期中）如图1，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，点在延长线上，且． （1）求证：为的切线； （2）如图2，连接，若，，求的长． （1）证明：如图1，连接，， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图2，连接， 是切线，是割线， ， 设直径为，由， 解得， ， 连接，， 是的中点， ， ， 是的直径， ， 在△中，，， ． 24．（8分）（2024秋•溧阳市期中）如图，在△中，，点是边的中点，点在边上，经过点且与边相切于点，若． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径及的长． （1）证明：如图，作，垂足为点，连接， ，是的中点， ， ， 又， ， 即是的平分线， 点在上，与相切于点， ，且是的半径， ，是的半径， 是的切线； （2）解：如图，在△中，，，， ， ，是的切线， ， ， 设的半径为，则， 在△中，由勾股定理得：， ， ． 的半径长为3， ， ． 25．（8分）（2024•红桥区三模）在中，，以边上一点为圆心，为半径的圆与相切于点，分别交，于点，． （1）如图①，连接，若，求的大小； （2）如图②，若点为的中点，的半径为2，求的长． 解：（1）连接， 为半径的圆与相切于点， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ； （2）连接，， 由（1）得：， ， ，点为的中点， ，， ， ， ， ， ． 26．（8分）（2024•锦江区校级模拟）如图，为的直径，为上一点，连接、，为延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径5，的面积为24，为上一点，连接交线段于点，若，求的长． （1）证明：连接，如图： 为的直径， ，， ， ， 又， ，即， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：过作于，过作于，连接，如图： 的半径为5， ， 的面积为24， ，即， ， 中，， 中，， ， ，即， ， 解得，舍去）， ，， ， ， ， 由（2）知， ，， 中，， ， 设，则， 由可得：， 解得：， ，， ． 27．（8分）（2024•东海县模拟）如图，中，，以为直径的与相交于点，与的延长线相交于点，过点作的切线交于点． （1）求证：； （2）如果，的长为2．求的半径． （1）证明：如图1所示：连接． 是的切线， ． ， ． ． ． ． ． ． （2）解：连接，． 是直径， ， ． ， ． 可得点是的中点． 设的半径为，则．则， ． ． ， ． ． ． 28．（8分）（2022秋•亭湖区期末）数学活动旋转变换 （1）如图①，在中，，将绕点逆时针旋转，得到△，连接，求的大小； （2）如图②，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到△，连接，以为圆心，长为半径作圆． （Ⅰ）猜想：直线与的位置关系，并证明你的结论； （Ⅱ）连接，求线段的长度． 解：（1）由旋转变换的性质可知，，，， ， ； （2）（Ⅰ）直线与相切， ，，， ， ， 直线与相切； （Ⅱ）在△中，，，， 由勾股定理得， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学九年级上册【挑战压轴题】培优专题真题培优卷 专题09 直线与圆的位置关系 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.33（较难） 题目来源：全国各地名校真题 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024秋•海淀区校级期中）如图，是的切线，点是上的一点，连接，，交于点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 2．（2分）（2024秋•长安区校级期中）有一题目：“，分别切于，两点，点为上不同于，的任意一点，若，求．”嘉嘉的解答是：“如图，取上一点，连接，，，，得，所以．”而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是　　 A．淇淇说得对，且的另一个值是 B．淇淇说得不对，就得 C．嘉嘉求的结果不对，应得 D．两人都不对，应有3个不同值 3．（2分）（2024秋•锡山区期中）如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为　　 A．9 B．10 C． D．12 4．（2分）（2024春•澄海区校级月考）如图，是的直径，、是的两条切线，、是切点，若，，则的长度为　　 A．1 B． C． D． 5．（2分）（2024秋•南京期中）如图，已知，是的两条切线，，为切点，线段交于点．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④是△的内心．其中所有正确说法的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2分）（2024•岱岳区校级模拟）如图，点为的内心，连接并延长，交的外接圆于点，点为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为　　 A．5 B．4.5 C．4 D．3.5 7．（2分）（2024•武汉模拟）如图，在中，，于，为的内切圆，设的半径为，的长为，则的值为　　 A． B． C． D． 8．（2分）（2024•连云区二模）如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段、上，且与相切．若的面积为6，则的半径为　　 A． B． C． D． 9．（2分）（2024•旌阳区模拟）如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段、上，且与相切．若的面积为4，则的半径为　　 A． B． C． D．2 10．（2分）（2023秋•滨湖区期末）如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，是该直线上的任一点，过点向以为圆心，为半径的作两条切线，切点分别为、，则四边形面积的最小值为　　 A． B． C． D． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024秋•仓山区校级期中）如图，在△中，，，，经过点且与边相切的动圆与，分别相交于点，，则线段长度的最小值为 　　． 12．（2分）（2024秋•秦淮区期中）如图，，分别与相切，切点分别为，，点在上，过点的切线分别交，于点，．若，则△的周长为　　． 13．（2分）（2023秋•昌平区期末）小明同学测量一个圆形零件的半径时，他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上，零件与直尺，三角板均相切，测得点与其中一个切点的距离为，则这个零件的半径是 　　． 14．（2分）（2023秋•江阴市期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心．直线、分别经过点、，且．若直线关于对称的直线为，直线关于对称的直线为，直线、交于点，则的最大值为 　　． 15．（2分）（2024秋•兴化市校级月考）如图，，点是射线上一点，，以点为圆心，为半径作，若与射线有两个公共点，则半径的取值范围是 　　． 16．（2分）（2024•南昌县校级模拟）如图，菱形的边长为4，，是边上的一动点，以为圆心，线段的长为半径画圆，当与△边所在的直线相切时，的半径为 　　． 17．（2分）（2024•中阳县三模）如图，在△中，以边为直径的恰好经过点，过点作的切线，交的延长线于点，平分，分别交，边于点，，连接．若，，则的长为 　　． 18．（2分）（2023•成都模拟）如图，已知正方形的边长为，在正方形内以点为圆心，长为半径作弧，即，点是上的一个动点，过点作的切线交于点，以为对称轴，作点的对称点，连接．若，则的长为 　　． 19．（2分）（2023•庆云县校级模拟）已知，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，以为直径作，下列结论：（1）抛物线的对称轴是直线；（2）的面积是；（3）抛物线上存在一点，使四边形为平行四边形；（4）直线与相切．其中正确的结论 　　．（填序号） 20．（2分）（2023秋•旌阳区校级期中）如图，为的直径，、为的切线，、为切点，连接、，交于点，交于，的延长线交于点，以下结论：①；②点为△的内心；③；④；⑤．其中正确的有 　　． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024秋•无锡期中）如图，是△的外接圆，，点是上的一点，且，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点．求证：； 22．（6分）（2024秋•昆明期中）如图，点为圆心，为半圆的直径，在上取一点，延长至点，连接，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为3，求的长． 23．（8分）（2024秋•大连期中）如图1，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，点在延长线上，且． （1）求证：为的切线； （2）如图2，连接，若，，求的长． 24．（8分）（2024秋•溧阳市期中）如图，在△中，，点是边的中点，点在边上，经过点且与边相切于点，若． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径及的长． 25．（8分）（2024•红桥区三模）在中，，以边上一点为圆心，为半径的圆与相切于点，分别交，于点，． （1）如图①，连接，若，求的大小； （2）如图②，若点为的中点，的半径为2，求的长． 26．（8分）（2024•锦江区校级模拟）如图，为的直径，为上一点，连接、，为延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径5，的面积为24，为上一点，连接交线段于点，若，求的长． 27．（8分）（2024•东海县模拟）如图，中，，以为直径的与相交于点，与的延长线相交于点，过点作的切线交于点． （1）求证：； （2）如果，的长为2．求的半径． 28．（8分）（2022秋•亭湖区期末）数学活动旋转变换 （1）如图①，在中，，将绕点逆时针旋转，得到△，连接，求的大小； （2）如图②，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到△，连接，以为圆心，长为半径作圆． （Ⅰ）猜想：直线与的位置关系，并证明你的结论； （Ⅱ）连接，求线段的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$