专题08 圆周角【挑战压轴题】（尖子生拔高卷）-2024-2025学年人教版数学九年级上册培优专题真题讲练

2024-2025学年人教版数学九年级上册【挑战压轴题】培优专题真题培优卷 专题08 圆周角 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.40（较难） 题目来源：全国各地名校真题 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024秋•海安市期中）如图，是的直径，，点是上一点，则的度数是　　 A． B． C． D． 解：如图，连接． ， ， ， ． 故选：． 2．（2分）（2024秋•玄武区期中）如图，是半圆的直径，弦，点在上（不与点，重合），点在上，连接，，，且，若，，，则的值为　　 A． B． C． D． 解：补全下部半圆如图所示，连接，， 弦， ． 延长交于点， ， 又， ． 由圆的对称性可知，，， ， ， 点、、三点共线， 点、、三点必共线， 即为直径，， 由直径所对的圆周角是直角可得， 由勾股定理可得： ． 故选：． 3．（2分）（2024秋•潍坊期中）如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点对应的刻度值为，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：直角三角板的斜边与量角器的直径重合，且， 点、、、在同一圆上，如图所示： 设圆心为点，连接． ， ， ． 故选：． 4．（2分）（2024•重庆）如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：， ． ， 点为的中点， ， ， ． ， ． 故选：． 5．（2分）（2024•十堰模拟）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为，且，的直径为20，则的长等于　　 A．8 B．12 C．16 D．18 解：连接，过作，垂足为， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，． ， 设，则， 的直径为20， ， ， 在中，由勾股定理得． 即， 解得，． 大于0，故舍去， ， ，， ，由垂径定理知，为的中点， ． 故选：． 6．（2分）（2023•南岗区校级二模）如图，四边形是的内接四边形，连接、，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：， ， ， ， ． 故选：． 7．（2分）（2022•泸县校级一模）如图，点、分别在轴、轴上，以为直径的圆经过原点，是的中点，连结，．下列结论：①；②；③若，，则的面积等于5；④若，则点的坐标是．其中正确的结论有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 解：是直径， ，故①符合题意； 是中点， ，故②符合题意； ， ， 是等腰直角三角形， ， 的面积为，故③符合题意； 作轴于，轴于， ， ， ， ， ， ，， 是正方形， 设正方形的边长为， ， ， ， 点坐标为：， 故④符合题意， 故选：． 8．（2分）（2021•拱墅区校级四模）如图，在中，，，，是上的一点，于点，以为直径作，当与的交点落在上时，的值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 解：如图所示，当与的交点落在上时， 是直径， ， ， ， 又，， ， ， ， ， 同理可证， ， 垂直平分， ， 在中， ， ， ，， ， ， 即， ， 故选：． 9．（2分）（2024秋•西湖区校级期中）如图，已知中，直径于点，点在上，且，过点作于点，已知的周长为，且，则的半径长为　　 A． B． C． D． 解：如图， 设与交于点，延长至，使，连接，，，， ， ， ， 直径， ， ，， ，，， ， ， ， ， 点、、、共圆， ， ， ， ， ， 的周长为，， ， ， ， 在中，，， ， ， 设，则， ， ， ， 故选：． 10．（2分）（2020•昆山市一模）已知的半径为2，为圆内一定点，．为圆上一动点，以为边作等腰，，，的最大值为　　 A． B． C． D． 解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，．则，， ，都是顶角为的等腰三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的最大值为， 故选：． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024秋•乐清市期中）如图，为的直径，且，点为上半圆的一点，于点，的角平分线交于点，弦，那么△的面积是　85　． 解：连接，过点作，垂足为， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 在△中，， ， ， 在△中，， ， ， ， △的面积． 故答案为：85． 12．（2分）（2024•连云港）如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点、，则 　90　． 是圆的直径， 所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为， 、、、所对的弧的和为半圆， ， 故答案为：90． 13．（2分）（2024秋•永嘉县期中）如图以为直径的半圆上，，点是半圆弧上的任意点，为弧上的中点，连结交于点，作于点，连结，若为的角平分线，则 　4　； 　　． 解：连接，，设于交于点，过点作于，如图所示： 是半圆的直径，点是弧上的中点， ， ， ，， 又， 是△的中位线， ， 为的角平分线， ， △是等腰直角三角形， ， ， 即， 在△中，， 由勾股定理得：， ， ； ， ， 点是弧上的中点， 根据垂径定理得：，， ， ，， ， ． 故答案为：4；． 14．（2分）（2023秋•扬州校级月考）如图，在△中，，，点在上，且，点是线段上一个动点，以为直径作，点为直径上方半圆的中点，连接，则的最小值为 　　． 解：如图，连接，，过点作交的延长线于． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 15．（2分）（2020•泉州模拟）如图，在平行四边形中，以对角线为直径的圆分别交，于点，．若，，，则线段的长为　　． 解：如图，连接，． ，， ， 是直径， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为． 16．（2分）（2019秋•新昌县期末）如图，在矩形中，，，点，分别为，上的动点（不含端点），，连接点与矩形的一个顶点，以该线段为直径作，当点和矩形的另一个顶点也在上时，线段的长为　或　． 解：如图1中，当点在为直径的圆上时，设． 四边形是矩形， ，，， ， ，， ， ， ， 解得， 如图2中，当点在为直径的圆上时，设与圆的交点为，连接，．设． 是直径， ， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， 解得， ， 故答案为或． 17．（2分）（2021秋•鹿城区校级期中）如图，在中，已知，，，是线段上的一点，以为圆心，为半径的半圆交边于点，交的延长线于点，射线交于点，则的最大值为 　32　． 解：如图，过点作于点． ， ， ，， ， ， ， ， ， 设， 在中，， ， ， 时，的值最大，最大值为32， 故答案为：32． 18．（2分）（2024•永昌县三模）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是上的一个动点，连接．过点作于，连接，则的最小值是　　． 解：如图，取的中点，连接、． ， ， 在点移动的过程中，点在以为直径的圆上运动， 是直径， ， 在中，，， ， 在中，， ， 当、、共线时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 19．（2分）（2021秋•启东市校级月考）已知：如图，圆的半径为15，点是圆内的一点，且，以弦为斜边作，使，则弦的长为 　　． 解：如图， 作于，连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ，（舍去）， ， ， 故答案为：． 20．（2分）（2020秋•开福区校级月考）如图，在中，，，，点是上一点，，点是线段上一个动点，以为直径作，点为的中点，连接，则的最小值为　　． 解：如图，连接，，过点作交的延长线于． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024秋•和平区期中）已知是的直径，，是上一点，延长交于点． （Ⅰ）如图①，当点是弦的中点时，求的大小； （Ⅱ）如图②，当时，求的大小． 解：（Ⅰ）是直径，点是弦的中点， ， ， ， ， ， ； （Ⅱ）如图②，连接， ，， ， ， ， ， ， ． 22．（6分）（2024秋•嵊州市期中）已知是的直径，点在上，为弧的中点． （1）如图①，连接，，．求证：； （2）如图②，过点作交于点，直径交于点，若为中点， ①求证：； ②若的半径为2，求的长． （1）证明：为弧的中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：①为中点，为直径， ， ， ， ， 是的直径，， ， ； ②， ， ， ，是等腰直角三角形， ， ． 23．（8分）（2024•雁塔区校级一模）如图，是的直径，弦于点，点在上，， （1）求证：； （2）若，，求的直径． （1）证明：， 而， ， ； （2）解：连接，如图， ， ， ， ， ， △为等边三角形， ， 的直径为6． 24．（8分）（2024•武威二模）如图，的直径垂直弦于点，是圆上一点，是的中点，连结交于点，连结． （1）求证：； （2）若，，求的长． （1）证明：是的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 由（1）知， ， ， 直径， ． 25．（8分）（2023秋•金昌期末）如图，四边形内接于，为延长线上一点，连接、，若，求证：平分． 证明：四边形内接于， ． ， ， ． 与是同弧所对的圆周角， ， ，即平分． 26．（8分）（2024•台江区校级模拟）如图，四边形内接于，对角线是的直径，平分，交于点，过点作，交延长线于点． （1）求证：； （2）过点作交延长线于点，求证：． 证明：（1）是的直径， ， 又平分， ， ， ， ， ， 四边形内接于， ， 又， ， ， ； （2）设交于点，在上截取，连接，，， 由（1）知：，， ， ，， ， ， 四边形内接于， ， 又， ， ，， ， ，， ， 又， ， ， ， ． 27．（8分）（2023•合肥模拟）如图，四边形内接于，，对角线为的直径，为外一点，平分，，连接． （1）求的度数； （2）连接，求证：． （1）解：连接， 平分， ， ，， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ； （2）证明：延长交于，连接，， 是圆的直径， ， ， 由（1）知， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 28．（8分）（2022秋•望城区期末）已知四边形是的内接四边形，是的直径，，垂足为． （1）延长交于点，延长，交于点，如图．求证：是等腰三角形； （2）过点作，垂足为，交于点，连接，且点和点都在的左侧，如图．若，，， ①求的半径； ②求的大小． （1）证明：是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）连接，；和交于点， ①是直径， ， ， ， 同理：， 四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ， 的半径长是1； ②， ， ， ， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学九年级上册【挑战压轴题】培优专题真题培优卷 专题08 圆周角 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.40（较难） 题目来源：全国各地名校真题 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024秋•海安市期中）如图，是的直径，，点是上一点，则的度数是　　 A． B． C． D． 2．（2分）（2024秋•玄武区期中）如图，是半圆的直径，弦，点在上（不与点，重合），点在上，连接，，，且，若，，，则的值为　　 A． B． C． D． 3．（2分）（2024秋•潍坊期中）如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点对应的刻度值为，则的度数为　　 A． B． C． D． 4．（2分）（2024•重庆）如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．（2分）（2024•十堰模拟）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为，且，的直径为20，则的长等于　　 A．8 B．12 C．16 D．18 6．（2分）（2023•南岗区校级二模）如图，四边形是的内接四边形，连接、，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 7．（2分）（2022•泸县校级一模）如图，点、分别在轴、轴上，以为直径的圆经过原点，是的中点，连结，．下列结论：①；②；③若，，则的面积等于5；④若，则点的坐标是．其中正确的结论有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．（2分）（2021•拱墅区校级四模）如图，在中，，，，是上的一点，于点，以为直径作，当与的交点落在上时，的值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2分）（2024秋•西湖区校级期中）如图，已知中，直径于点，点在上，且，过点作于点，已知的周长为，且，则的半径长为　　 A． B． C． D． 10．（2分）（2020•昆山市一模）已知的半径为2，为圆内一定点，．为圆上一动点，以为边作等腰，，，的最大值为　　 A． B． C． D． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024秋•乐清市期中）如图，为的直径，且，点为上半圆的一点，于点，的角平分线交于点，弦，那么△的面积是　　． 12．（2分）（2024•连云港）如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点、，则 　　． 13．（2分）（2024秋•永嘉县期中）如图以为直径的半圆上，，点是半圆弧上的任意点，为弧上的中点，连结交于点，作于点，连结，若为的角平分线，则 　　； 　　． 14．（2分）（2023秋•扬州校级月考）如图，在△中，，，点在上，且，点是线段上一个动点，以为直径作，点为直径上方半圆的中点，连接，则的最小值为 　　． 15．（2分）（2020•泉州模拟）如图，在平行四边形中，以对角线为直径的圆分别交，于点，．若，，，则线段的长为　　． 16．（2分）（2019秋•新昌县期末）如图，在矩形中，，，点，分别为，上的动点（不含端点），，连接点与矩形的一个顶点，以该线段为直径作，当点和矩形的另一个顶点也在上时，线段的长为　　． 17．（2分）（2021秋•鹿城区校级期中）如图，在中，已知，，，是线段上的一点，以为圆心，为半径的半圆交边于点，交的延长线于点，射线交于点，则的最大值为 　　． 18．（2分）（2024•永昌县三模）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是上的一个动点，连接．过点作于，连接，则的最小值是　　． 19．（2分）（2021秋•启东市校级月考）已知：如图，圆的半径为15，点是圆内的一点，且，以弦为斜边作，使，则弦的长为 　　． 20．（2分）（2020秋•开福区校级月考）如图，在中，，，，点是上一点，，点是线段上一个动点，以为直径作，点为的中点，连接，则的最小值为　　． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024秋•和平区期中）已知是的直径，，是上一点，延长交于点． （Ⅰ）如图①，当点是弦的中点时，求的大小； （Ⅱ）如图②，当时，求的大小． 22．（6分）（2024秋•嵊州市期中）已知是的直径，点在上，为弧的中点． （1）如图①，连接，，．求证：； （2）如图②，过点作交于点，直径交于点，若为中点， ①求证：； ②若的半径为2，求的长． 23．（8分）（2024•雁塔区校级一模）如图，是的直径，弦于点，点在上，， （1）求证：； （2）若，，求的直径． 24．（8分）（2024•武威二模）如图，的直径垂直弦于点，是圆上一点，是的中点，连结交于点，连结． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25．（8分）（2023秋•金昌期末）如图，四边形内接于，为延长线上一点，连接、，若，求证：平分． 26．（8分）（2024•台江区校级模拟）如图，四边形内接于，对角线是的直径，平分，交于点，过点作，交延长线于点． （1）求证：； （2）过点作交延长线于点，求证：． 27．（8分）（2023•合肥模拟）如图，四边形内接于，，对角线为的直径，为外一点，平分，，连接． （1）求的度数； （2）连接，求证：． 28．（8分）（2022秋•望城区期末）已知四边形是的内接四边形，是的直径，，垂足为． （1）延长交于点，延长，交于点，如图．求证：是等腰三角形； （2）过点作，垂足为，交于点，连接，且点和点都在的左侧，如图．若，，， ①求的半径； ②求的大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$