专题07 垂径定理【挑战压轴题】（尖子生拔高卷）-2024-2025学年人教版数学九年级上册培优专题真题讲练

2024-2025学年人教版数学九年级上册【挑战压轴题】培优专题真题培优卷 专题07 垂径定理 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.40（较难） 题目来源：全国各地名校真题 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024秋•昆明期中）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为　　． A．2 B．2.5 C．2.6 D．3 解：连接． 设 ． ，， ， ， ， 在△中利用勾股定理，得， ， ， 拱门所在圆的半径为． 故选：． 2．（2分）（2024秋•硚口区期中）如图，经过点，交轴于点，若，则点的纵坐标是　　 A． B． C． D． 解：过点作于点，如图，则， ， ， ， 点的纵坐标是． 故选：． 3．（2分）（2024•柯桥区二模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为　　 A． B． C． D． 解：如图，，过圆心，连接，， ， ，纸条的宽为，，， ， ，， 设 ， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 故选：． 4．（2分）（2024秋•临潼区期中）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，那么球的半径长是　　 A．4 B．5 C．6 D．8 解：过点作，垂足为，连接， 四边形是矩形， ． 设，则，， 在直角三角形中，，即， 解得，即球的半径为5． 故选：． 5．（2分）（2024•康县模拟）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为　　 A． B． C． D． 解：，， ， ， ， ． 故选：． 6．（2分）（2024•湖南模拟）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径，水面宽是，则截面水深是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 解：由题意知，交于点， ， ， 在中， ，， ， ． 故选：． 7．（2分）（2024秋•云龙区校级月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是　　 A．① B．② C．③ D．④ 解：第①块的弧上可以确定三个点，根据垂径定理作出外接圆，继而可确定半径，得到半径的长． 故选：． 8．（2分）（2024秋•新市区校级期中）如图是唐代亭皋发明了“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线为10，轮子的吃水深度为3，则该桨轮船的轮子半径为　　 A． B． C． D．6 解：由垂径定理，得， 设该桨轮船的轮子半径为， 在△中，，， 由勾股定理可知，得 ， 解得， 该桨轮船的轮子半径为， 故选：． 9．（2分）（2022•包河区校级二模）如图，在中，直径，于点，．点是弧上动点，且与点、不重合，是直径上的动点，设，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 解：如图，连接，，， 为的直径，， ， 当为在点位置，点在点时，有最小值，此时， ； ， ， ， ． ． 是直径上的动点，， 是的垂直平分线， ． 当为在点位置，点在点时，有最小值，此时， ． 故选：． 10．（2分）（2024•玄武区二模）如图，的直径与弦相交于点，且，若，则的半径为　　 A． B．2 C． D．4 解：作于，于，连接，， 又， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 又， ， ， ， 故选：． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024秋•思明区校级期中）如图，为的直径，弦于，连接，若，，则的长为 　8　． 解：为的直径，弦， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：8． 12．（2分）（2024秋•海淀区校级期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，当筒车工作时，则盛水桶在水面以下的最大深度为　1　． 解：过点作，交于点，交于点，如图2所示： ， ， ； 故答案为：1． 13．（2分）（2024秋•建邺区期中）如图，的直径为10，弦，在圆心的两侧，且，，，则图中阴影部分的面积为 　　． 解：过点作交于点，延长交于点，连接、． ， ， ， ， ， ，，， ，， 在△中利用勾股定理，得， 同理，在△中利用勾股定理，得， ， ， ， ． 故答案为：． 14．（2分）（2024秋•洪山区期中）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱高长，则该拱门的半径是 　　． 解：如图，连接． 设该拱门的半径 ． ， ， ， ， 在△中利用勾股定理，得， ， ， 该拱门的半径是． 故答案为：． 15．（2分）（2024•浙江校级模拟）如图，在△中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，以为直径的圆交直线于点，．若为的中点，，则　　． 解：连接，， 四边形和四边形均为正方形， ，，，，， 在△中，， ， 点，，在同一条直线上， 过点，作直线的垂线，垂足为，，设的中点为，过点作于，连接，如图所示： 四边形和四边形均是正方形， ，，，， ， 又， ， 在△和△中， ， △△， ， 点为的中点， ， ， ， 在△中，由勾股定理得：， 即， ，， 在△中，， 由勾股定理得：， 在△中，， 由勾股定理得：， ， 为的直径， ， ，， ，， ， 又， △△， ， 即， ， 同理可证：△△， ， 即， ， ，，，点为的中点， 为梯形的中位线， ， 在△中，，， 由勾股定理得：， 点为的圆心，， ． 故答案为：． 16．（2分）（2024秋•西城区校级期中）如图，以点为圆心，2为半径的圆与轴交于，两点，与轴交于，两点，为上一动点，于点，连接，则弦的长度为 　　；点在上运动的过程中，线段的长度的最小值为 　　． 解：作于，连接． ， ， 在△中， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 点在以为直径的上， 当点在的延长线上时，的长最小，最小值． 故答案为：，． 17．（2分）（2023•遵义模拟）为测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示（单位：，则该铁球的直径为 　　． 解：如图，连接，作于，连接，则， ， 解之得， 直径． 故答案为：． 18．（2分）（2021秋•新市区校级期末）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水面宽度变为8，则此时排水管水面上升了 　1或7　． 解：过作于，交于，连接，如图所示： 则，， ， ， ， ， ， ， ， 当水面没过圆心时，， 当水面超过圆心时，， 即水管水面上升了1或7． 故答案为：1或7． 19．（2分）（2021•青山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，半径为3的与轴的负半轴交于点，点是上移动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别相交于点、，则面积的最小值为　　． 解：如图，连接，取的中点，连接，过点作于． ，， ， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的，设交于． 直线与轴、轴分别交于点、， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， 当点与重合时，△的面积最小，△的面积最小值， 故答案为：． 20．（2分）（2024秋•西湖区校级期中）已知的直径，是的弦，，垂足为点，，垂足为点，且，则的长为　6　． 解：如图，作于，连接，延长交于，连接． ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为6． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024秋•工业园区期中）苏州是一座拥有4000多年历史的文化名城，苏州古城座落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面． （1）求此圆弧形拱桥的半径； （2）若有一艘宽的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 解：连接，，则，． 设 ． ，， ， ， ， 在△中利用勾股定理，得， ， ． 答：此圆弧形拱桥的半径是． （2）该船不能否安全穿过桥洞．理由如下： 如上图，矩形，与交于点，，连接． ， ， 在△利用勾股定理，得， ， ， ， 该船不能否安全穿过桥洞． 22．（6分）（2023秋•百色期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 解：（1）如图，过点作，垂足为点，交以点，由题意可知，，， ，， ， 设圆的半径为 ，即 ，， 在中， ，即， 解得， 即该圆的半径为； （2）设水面升到如图的位置，则，与相交于点， ， ， 连接，在中，，， ， ， 即水面上涨的高度为 1 米． 23．（8分）（2024秋•洛南县期中）玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆形器物，据《尔雅释器》记载“肉好若一，谓之环”，其中“肉”指玉质部分（边，“好”指中央的孔．结合图1“肉好若一”的含义可以表示为：中孔直径，图2是一枚破损的汉代玉环，为器物原貌，需推算出该玉环的孔径尺寸．如图3，文物修复专家将破损玉环的外围边缘表示为弧，设弧所在圆的圆心为，测得弧所对的弦长，半径于点，测得，连接，求该玉环中孔半径的长． 解：如图3中，， ， 由题意得 ，， ， ， ． 答：该玉环的中孔半径的长． 24．（8分）（2024秋•潍坊期中）某隧道口是圆弧形拱顶，圆心为，隧道口的水平宽为，离地面的高度，连接，拱顶最高处离地面的高度为，在拱顶的，处安装照明灯，且，离地面的高度均为． （1）求的长； （2）求的长． 解：（1）如图，设交于点、交于点． 根据题意，得， ， ， 设 ， ，， ， ， 在△中利用勾股定理，得， ， ， 的长是． （2）如上图，连接． ，离地面的高度均为， ， ，， ， ， 在△中利用勾股定理，得， ． 25．（8分）（2024秋•肇源县期中）已知在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点，（如图）． （1）求证：； （2）若大圆的半径，小圆的半径，且圆心到直线的距离为6，求的长． （1）证明：过作于点， 则，， ，即； （2）解：由（1）可知，且，连接，， ， ，， ． 26．（8分）（2023秋•博兴县期中）如图，为的直径，，垂足为，，垂足为，． （1）求的长； （2）求的半径． 解：（1）如图连接， ，过， ， ， 同理， ； （2）， 是等边三角形， ， ，， ， 在中，， 即的半径为2． 27．（8分）（2022秋•嵊州市校级期中）一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽为0.6米． （1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）； （2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度． 解：（1）作半径于，连接， 由垂径定理得：， 在中， ， 此时的水深为0.1米； （2）当水位上升到圆心以下时水面宽0.8米 则， 水面上升的高度为：米； 当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：米， 综上可得，水面上升的高度为0.1米或0.7米． 28．（8分）（2016秋•婺源县期末）用工件槽（如图可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为，尺寸如图（单位：．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的、、三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心及、、三点的截面示意图，求这种铁球的直径． 解：连接、，设与交于点，如图 ，， 四边形是矩形 ， ，， 在中，由勾股定理得 即 解得：． 答：这种铁球的直径为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学九年级上册【挑战压轴题】培优专题真题培优卷 专题07 垂径定理 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.40（较难） 题目来源：全国各地名校真题 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024秋•昆明期中）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为　　． A．2 B．2.5 C．2.6 D．3 2．（2分）（2024秋•硚口区期中）如图，经过点，交轴于点，若，则点的纵坐标是　　 A． B． C． D． 3．（2分）（2024•柯桥区二模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为　　 A． B． C． D． 4．（2分）（2024秋•临潼区期中）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，那么球的半径长是　　 A．4 B．5 C．6 D．8 5．（2分）（2024•康县模拟）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为　　 A． B． C． D． 6．（2分）（2024•湖南模拟）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径，水面宽是，则截面水深是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2分）（2024秋•云龙区校级月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是　　 A．① B．② C．③ D．④ 8．（2分）（2024秋•新市区校级期中）如图是唐代亭皋发明了“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线为10，轮子的吃水深度为3，则该桨轮船的轮子半径为　　 A． B． C． D．6 9．（2分）（2022•包河区校级二模）如图，在中，直径，于点，．点是弧上动点，且与点、不重合，是直径上的动点，设，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 10．（2分）（2024•玄武区二模）如图，的直径与弦相交于点，且，若，则的半径为　　 A． B．2 C． D．4 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024秋•思明区校级期中）如图，为的直径，弦于，连接，若，，则的长为 　　． 12．（2分）（2024秋•海淀区校级期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，当筒车工作时，则盛水桶在水面以下的最大深度为　　． 13．（2分）（2024秋•建邺区期中）如图，的直径为10，弦，在圆心的两侧，且，，，则图中阴影部分的面积为 　　． 14．（2分）（2024秋•洪山区期中）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱高长，则该拱门的半径是 　　． 15．（2分）（2024•浙江校级模拟）如图，在△中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，以为直径的圆交直线于点，．若为的中点，，则　　． 16．（2分）（2024秋•西城区校级期中）如图，以点为圆心，2为半径的圆与轴交于，两点，与轴交于，两点，为上一动点，于点，连接，则弦的长度为 　　；点在上运动的过程中，线段的长度的最小值为 　　． 17．（2分）（2023•遵义模拟）为测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示（单位：，则该铁球的直径为 　　． 18．（2分）（2021秋•新市区校级期末）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水面宽度变为8，则此时排水管水面上升了 　　． 19．（2分）（2021•青山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，半径为3的与轴的负半轴交于点，点是上移动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别相交于点、，则面积的最小值为　　． 20．（2分）（2024秋•西湖区校级期中）已知的直径，是的弦，，垂足为点，，垂足为点，且，则的长为　　． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024秋•工业园区期中）苏州是一座拥有4000多年历史的文化名城，苏州古城座落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面． （1）求此圆弧形拱桥的半径； （2）若有一艘宽的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 22．（6分）（2023秋•百色期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 23．（8分）（2024秋•洛南县期中）玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆形器物，据《尔雅释器》记载“肉好若一，谓之环”，其中“肉”指玉质部分（边，“好”指中央的孔．结合图1“肉好若一”的含义可以表示为：中孔直径，图2是一枚破损的汉代玉环，为器物原貌，需推算出该玉环的孔径尺寸．如图3，文物修复专家将破损玉环的外围边缘表示为弧，设弧所在圆的圆心为，测得弧所对的弦长，半径于点，测得，连接，求该玉环中孔半径的长． 24．（8分）（2024秋•潍坊期中）某隧道口是圆弧形拱顶，圆心为，隧道口的水平宽为，离地面的高度，连接，拱顶最高处离地面的高度为，在拱顶的，处安装照明灯，且，离地面的高度均为． （1）求的长； （2）求的长． 25．（8分）（2024秋•肇源县期中）已知在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点，（如图）． （1）求证：； （2）若大圆的半径，小圆的半径，且圆心到直线的距离为6，求的长． 26．（8分）（2023秋•博兴县期中）如图，为的直径，，垂足为，，垂足为，． （1）求的长； （2）求的半径． 27．（8分）（2022秋•嵊州市校级期中）一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽为0.6米． （1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）； （2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度． 28．（8分）（2016秋•婺源县期末）用工件槽（如图可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为，尺寸如图（单位：．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的、、三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心及、、三点的截面示意图，求这种铁球的直径． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$