2024年九年级中考数学复习 二次函数中的四边形问题专项练习

二次函数中的四边形问题专项练习 一、单选题 1．下列命题是真命题的是（　　） A．同弧所对的圆心角相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．二次函数的图象与坐标轴有两个交点 D．若，则 二、填空题 2．二次函数的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…， Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3，…， Cn在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3，…，四边形An-1BnAnCn都是菱形，∠A0B1A1=∠A1B2A2=∠A2B3A3…=∠An-1BnAn=120°．则A1的坐标为 ；菱形An-1BnAnCn的边长为 ． 3．二次函数y=x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数y=x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为 ． 4．二次函数的图象如图，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，点在二次函数位于第二象限的图象上，四边形，四边形，四边形…四边形都是正方形，则正方形的周长为 . 5．二次函数y=x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数y=x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积是 ． 三、解答题 6．如图，三角形是以为底边的等腰三角形，点A、分别是一次函数的图象与轴、轴的交点，点在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点使四边形能构成平行四边形． (1)求、坐标，并写出该二次函数表达式； (2)动点从A到，同时动点从到A都以每秒个单位的速度运动，问： 当运动到何处时，有？ 当运动到何处时，四边形的面积最小？此时四边形的面积是多少？ 7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点（点在点的左侧），顶点为，经过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为． (1)直接写出点的坐标、点的坐标 (2)如图（1），若顶点的坐标为，连接、、，请求出二次函数及一次函数的解析式，并求出四边形的面积； (3)如图（2），连接，当为何值时直线与轴的夹角为？ (4)如图（3），点是直线上方的抛物线上的一点，若的面积的最大值为时，请直接写出此时点的坐标． 8．如图，直线y=与x轴，y轴分别交于A，C两点，二次函数的图象与x轴交于点B，且AC=BC，点D为该二次函数图象上一点，四边形ABCD为平行四边形． （1）求该二次函数的表达式； （2）动点M沿线段CD从C到D，同时动点N沿线段AC从A到C都以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒. ①当点M运动过程中能否存在MN⊥AC？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由； ②当点M运动到何处时，四边形ADMN的面积最小？并求出其最小面积． 9．已知二次函数的图象与轴交于点(，0)、点，与轴交于点． （1）求点坐标； （2）点从点出发以每秒1个单位的速度沿线段向点运动，到达点后停止运动，过点作交于点，将四边形沿翻 折，得到四边形，设点的运动时间为． ①当为何值时，点恰好落在二次函数图象的对称轴上； ②设四边形落在第一象限内的图形面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值． 10．如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形． （1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式； （2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？ ②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？ 11．如图，二次函数的图象交轴于，，交轴于．    (1)求二次函数的解析式； (2)若点为该二次函数图象在第四象限内的一个动点，当四边形的面积最大时求出此时点的坐标及四边形面积的最大值； (3)二次函数的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？如果存在，请直接写出答案，如果不存在，请说明理由． 12．如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，点为线段上方的抛物线上的一点，过点作垂直于轴的直线交线段于点．    (1)求出二次函数的表达式； (2)当四边形为平行四边形时，求点的坐标； (3)连接，，抛物线上是否存在点，使？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 13．如图，点A、C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B与点C关于原点对称，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点B，且该二次函数图象上存在一点D，使四边形ABCD能构成平行四边形． （1）求二次函数的表达式； （2）动点P从点A到点D，同时动点Q从点C到点A都以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t秒． ①当t为何值时，有PQ丄AC？ ②当t为何值时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？ 14．如图，是以为底边的等腰三角形，A，C分别是一次函数的图象与y轴，x轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形能构成平行四边形． （1）求该二次函数的表达式； （2）动点P在线段上从点A至点D运动，同时动点Q在线段上从点C到点A运动，两点都是以每秒1个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止． ①当是直角三角形时，求P的坐标； ②四边形的面积是否有最小值？若有，求出面积的最小值和点P的坐标；若没有，请说明理由． 15．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+k（a、k为常数，a≠0），线段AB的两个端点坐标分别为A(﹣1，2)，B(2，2)． （1）该二次函数的图象的对称轴是直线　 　； （2）当a＝﹣1时，若点B(2，2)恰好在此函数图象上，求此二次函数的关系式； （3）当a＝﹣1时，当此二次函数的图象与线段AB只有一个公共点时，求k的取值范围； （4）若k＝a+3，过点A作x轴的垂线交x轴于点P，过点B作x轴的垂线交x轴于点Q，当﹣1＜x＜2，此二次函数图象与四边形APQB的边交点个数是大于0的偶数时，直接写出k的取值范围． 16．如图，三角形是以为底边的等腰三角形，点、分别是一次函数的图象与轴、轴的交点，点在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点使四边形能构成平行四边形. （1）试求、的值，并写出该二次函数表达式； （2）动点沿线段从到，同时动点沿线段从到都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当运动过程中能否存在？如果不存在请说明理由；如果存在请说明点的位置？ ②当运动到何处时，四边形的面积最小？此时四边形的面积是多少？ 17．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），顶点为M，经过点A的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D． (1)直接写出点的坐标_______；点的坐标________； (2)如图（1），若顶点的坐标为，连接、、，请求出二次函数及一次函数的解析式，并求出四边形的面积； (3)如图（2），点是直线上方的抛物线上的一点，若的面积的最大值为时，请直接写出此时点的坐标． 18．如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=-x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形． （1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式； （2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？ ②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？ 19．二次函数的图象，与轴交于原点和点，顶点的坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)大家知道二次函数的图象是一条抛物线，过，两点可画无数条抛物线，设顶点为，过点向轴、轴作垂线，垂足为点，．求当所得的四边形为正方形时的二次函数表达式； (3)点在（1）中求出的二次函数图象上，且点的坐标为，是否存在的面积为2，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 20．二次函数的图象，与轴交于原点和点，顶点的坐标为． （1）求二次函数的表达式； （2）大家知道二次函数的图象是一条抛物线，过两点可以画无数条抛物线，设顶点为，过点向轴、轴作垂线，垂足为点．求当所得的四边形为正方形时的二次函数表达式； （3）点在（1）中求出的二次函数图象上，且点的横坐标为1，点是坐标平面上一点，点在轴上，是否存在以四点为顶点的四边形是正方形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 21．二次函数经过点，点，点C，点D分别二次函数与y轴的交点和顶点，点M为二次函数图象上第一象限内的一个动点. (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，连接，过点作的平行线交二次函数于点，连接，，，．求四边形面积的最大值以及此时点的坐标； (3)如图2，过点作轴，交于点（点不与点重合），过点作轴，交于点，当时，直接写出点的坐标． 22．若凸四边形的两条对角线所夹锐角为，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形” (1)①在“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有_________； ②若矩形ABCD是“美丽四边形”，且，则_______； (2)如图1，“美丽四边形”ABCD内接于，AC与BD相交于点P，且对角线AC为直径，，求另一条对角线BD的长； (3)如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”ABCD的四个顶点，B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，且四边形ABCD的面积为，若二次函数（a、b、c为常数，且）的图象同时经过这四个顶点，求a的值． 23．若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．    （1）若矩形ABCD是“美丽四边形”，且AB＝3，则BC＝　 　； （2）如图1，“美丽四边形”ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点P，且对角线AC为直径，AP＝1，PC＝5，求另一条对角线BD的长； （3）如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”ABCD的四个顶点A（﹣3，0）、C（2，0），B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，且四边形ABCD的面积为，若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a的值． 24．二次函数经过点，点，点C，点D分别二次函数与y轴的交点和顶点，点M为二次函数图象上第一象限内的一个动点．​ (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，连接，过点A作的平行线交二次函数于点E，连接，．求四边形面积的最大值以及此时点M的坐标； (3)如图2，过点M作轴，交于点N（点M不与点D重合），过点D作轴，交于点H，当时，求出点M的坐标． 25．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，线段，二次函数与y轴交于A点，与x轴分别交于B点、E点（B点在E点的左侧） (1)分别求A、B、E点的坐标； (2)连接、，请判断与是否相似并说明理由； (3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由． 26．平面直角坐标系中，已知二次函数的图像顶点为P；四边形 AOBC 为矩形，且A、B分别在x轴、y轴上，C点坐标为（6，-3） （1）试用含的代数式表示P的坐标． （2）若抛物线与矩形AOBC有4个交点，求的取值范围． （3）设M（x1，y1），N（x2，y2）（x1<x2）为抛物线上的两点，且x1 +x2 =． ①  比较y1、y2的大小，并说明理由． ②  判断线段MN与线段AB的公共点的个数，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 答案 C 1．C 【分析】利用圆心角的知识、菱形的判定、二次函数的图像与性质及不等式的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、在圆中，同一条弧对的圆心角只有一个，因此A选项说法有问题，是假命题； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项是假命题； C、∵二次函数中， ∴图象与坐标轴有两个交点， 故C选项是真命题，符合题意； D、当、b=-1时，满足，但，故D选项是假命题， 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆心角，菱形的判定方法，二次函数的图象与性质以及不等式的性质. 2． ； 【详解】试题分析：已知四边形A0B1A1C1是菱形，∠A0B1A1=120°，可得△A0B1C1是等边三角形． 设四边形A0B1A1C1的边长为m1，则B1，代入抛物线的解析式中得：（）2=， 解得m1=0（舍去），m1=2；故四边形A0B1A1C1的边长为1，B1，根据菱形的性质可得； 设四边形A1B2A2C2，的边长为m2，则B2，代入抛物线的解析式中得：（）2=，解得m2=-2（舍去），m2=4；可求得四边形A1B2A2C2的边长4，…依此类推，四边形An-1BnAnCn的边长为2n． 考点：菱形的性质；二次函数图象上点的特征；规律探究题． 3．． 【详解】试题分析：连结BC交OA于D，如图，根据菱形的性质得BC⊥OA，∠OBD=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得OD=BD，设BD=t，则OD=t，B（t，t），利用二次函数图象上点的坐标特征得t2=t，进而可求出BD，OD的长，然后根据菱形性质得BC=2BD，OA=2OD，再利用菱形面积公式计算即可． 解：连结BC交OA于D，如图， ∵四边形OBAC为菱形， ∴BC⊥OA， ∵∠OBA=120°， ∴∠OBD=60°， ∴OD=BD， 设BD=t，则OD=t， ∴B（t，t）， 把B（t，t）代入y=x2，得t2=t，解得t1=0（舍去），t2=， ∴BD=，OD=， ∴BC=2BD=，OA=2OD=， ∴菱形OBAC的面积=×AO•BC=． 故答案为． 考点：菱形的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 4． 【分析】因为四边形A0B1A1C1是正方形，所以A0B1=A1B1,又因为∠A0B1A1=90°。所以△A0B1A1是等腰直角三角形,可知点B1的坐标为(1,1),则A0B1 =，所以四边形A0B1A1C1周长为，同理可得四边形A1B2A2C2的周长为8，所以四边形An-1BnAnCn的周长为. 【详解】因为四边形A0B1A1C1是正方形，所以A0B1=A1B1,又因为∠A0B1A1=90°。所以△A0B1A1是等腰直角三角形,可知点B1的坐标为(1,1),则A0B1 =，所以四边形A0B1A1C1周长为，同理可得四边形A1B2A2C2的周长为8…同理可得四边形An-1BnAnCn的周长为. 【点睛】本题的考点是规律探索，方法是列出前面几个图形的结果，根据结果得出规律，最后求出答案即可. 5．． 【详解】试题分析：连结BC交OA于D，如图，∵四边形OBAC为菱形，∴BC⊥OA，∵∠OBA=120°， ∴∠OBD=60°，∴OD=BD，设BD=t，则OD=t，∴B（t， t）， 把B（t， t）代入y=x2得t2=t，解得t1=0（舍去），t2=1，∴BD=1，OD=， ∴BC=2BD=2，OA=2OD=2，∴菱形OBAC的面积=×2×2=2． 故答案为2． 考点：菱形的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 6．(1)；； (2)当点运动到距离点个单位处时，四边形面积最小，最小值为 【分析】（1）根据一次函数解析式求出点、点坐标，再由是等腰三角形可求出点坐标，根据平行四边形的性性质求出点坐标，利用待定系数法可求出、的值，继而得出二次函数表达式． （2）设点运动了秒时，，此时，，，再由∽，利用对应边成比例可求出的值，继而确定点的位置； 只需使的面积最大，就能满足四边形的面积最小，设底边上的高为，作于点，由∽，利用对应边成比例得出的表达式，继而表示出的面积表达式，利用配方法求出最大值，即可得出四边形的最小值，也可确定点的位置． 【详解】（1）解：由， 令，得，所以点； 令，得，所以点， 是以为底边的等腰三角形， 点坐标为， 又四边形是平行四边形， 点坐标为， 将点、点代入二次函数得： ， 解得：， 故该二次函数解析式为：． （2）解：，， ． 设点运动了秒时，，如图，此时，，， ， ，， ∽， ，即， 解得：． 即当点运动到距离点个单位长度处，有． ，且， 当的面积最大时，四边形的面积最小， 当动点运动秒时，，，， 设底边上的高为，作于点， 由∽可得：， 解得：， ， 当时，达到最大值， 此时， 故当点运动到距离点个单位处时，四边形面积最小，最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是找到满足题意时的相似三角形，利用对应边成比例的知识得出有关线段的长度或表达式，难度较大． 7．(1) (2)，， (3) (4) 【分析】（1）根据二次函数的表达式，即可写出点A和点B的坐标； （2）把点代入，求出a的值，即可求出二次函数解析式，再把点A的坐标代入，求出b的值，即可求出一次函数解析式，根据即可求出四边形的面积； （3）根据将一次函数和二次函数联立，得出点D的坐标，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，根据直线与轴的夹角为，可得，即可求出a的值； （4）过点E作轴，交直线于点F，设，根据求出面积的表达式，将其化为顶点式，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴当或时，， ∴； （2）把代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为： ， 把代入得：， ∴， ∴一次函数的解析式为：， 联立一次函数和二次函数表达式为： ，解得：，， ∴， ∴； （3）由（2）可得，， ∴一次函数解析式为：， ∵二次函数解析式为：， ∴二次函数顶点坐标为： 联立得二次函数和一次函数得：， 解得：，， ∴， 过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为N， ∵与轴的夹角为， ∴， ∴，解得：； （4）过点E作轴，交直线于点F， ∵点E在抛物线上， ∴设点， 则点， ∴， ∵， ∴点A到直线的距离为：， 把代入得：， ∴， ∴点C到直线的距离为t， ∴ ， ∴当时，最大值为， ∵的面积的最大值为， ∴，解得：， 把，代入得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握先关知识点，灵活运用方程和函数的关系，正确画出辅助线求解． 8．（1）；（2）①存在，t＝，②CM=时，四边形ADMN面积最小，最小面积为 【分析】（1）根据一次函数解析式求出点A、点C坐标，则可求出点B坐标，根据平行四边形的性质求出点D坐标，用待定系数法可求出a、c的值，则可得出二次函数表达式； （2）①设点M运动了t秒时，MN⊥AC，此时CM＝t，AN=t，CN＝5﹣t，再由△CMN∽△ACO，可得到关于t的等式，即可求解； ②作NE⊥CD，垂足为E，可得到△CNE∽△CAO，进而EN=，可求得S△MCN，继而S四边形ADMN，再利用配方法即可求解． 【详解】解：（1）由直线y=，得A（-4，0），C（0，3）， ∵AC=BC， ， ∴ ， ∴点B坐标为（4，0）， ∴AB=8， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，CD=AB， ∴D点坐标为（-8，3）， 将点B（4，0）、点D（-8，3）分别代入，得 ∴ 解得 故该二次函数的表达式为； （2）①∵OA＝4，OC＝3， ∴AC＝5． 设点M运动了t秒时，MN⊥AC，此时CM＝t，AN=t，CN＝5﹣t， ∵MN⊥AC， ∴∠CNM＝∠AOC＝90°， ∵∠MCN＝∠CAO， ∴△CMN∽△ACO， ∴即 解得t＝． ②作NE⊥CD，垂足为E， ∵∠CEN＝∠AOC＝90°，∠NCE＝∠CAO， ∴△CNE∽△CAO， ∴，即， ∴EN=， ∵S△ACD＝×8×3＝12， S△MCN＝CMNE=×t＝-， ∴S四边形ADMN＝S△ACD-S△MCN=12-（-）== 当t=时，S四边形ADMN最小，S四边形ADMN的最小值为， 故当CM=时，四边形ADMN面积最小，最小面积为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 9．解：（1）将A(，0)代入解得………1分 ∴函数的解析式为 令，解得： ∴B(，0) ……………………………………………………………………2分 （2）①由解析式可得点 二次函数图象的对称轴方程为 △中 ∵ ∴ ∴， 过点A′作轴于点，则 ∴………………………3分 解得 则， ∴……………………………………………………4分 ②分两种情况： ⅰ）当时，四边形PQA′C′落在第一象限内的图形为等腰三角形QA’N． 当时，有最大值S ⅱ）当时，设四边形PQA′C′落在 第一象限内的图形为四边形M O QA′． 当时，有最大值 综上：当时，四边形PQA’ C’落在第一象限内的图形面积有最大值是． 【详解】略 10．（1）（2）当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为 【详解】解：（1）由，令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；令y=0，得x=4，所以点C（4，0）． ∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（－4，0）． 又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为（8，3）． 将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数，可得 ，解得：． ∴该二次函数解析式为：． （2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5－t， ∵PQ⊥AC，∴△APQ∽△CAO．∴，即． 解得：，即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC． ②∵，且， ∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小． 当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5－t， 设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H， 由△AQH∽CAO可得：，解得：． ∴． ∴当t=时，S△APQ达到最大值， 此时． ∴当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为． （1）根据一次函数解析式求出点A．点C坐标，再由△ABC是等腰三角形可求出点B坐标，根据平行四边形的性性质求出点D坐标，利用待定系数法可求出b、c的值，从而得出二次函数表达式． （2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，再由△APQ∽△CAO，利用对应边成比例可求出t的值，从而确定点P的位置． ②只需使△APQ的面积最大，就能满足四边形PDCQ的面积最小，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽△CAO，利用对应边成比例得出h的表达式，从而表示出△APQ的面积表达式，利用配方法求出最大值，即可得出四边形PDCQ的最小值，也可确定点P的位置． 11．(1) (2)当点的坐标为时，四边形的面积最大，最大值为4 (3)或或或 【分析】（1）运用待定系数法解二次函数解析式即可求解； （2）如图，连接，作轴交于点，可求出直线的解析式，设点的坐标为的坐标为，用含的式子表示四边形的面积，根据二次函数图象的性质即可求解． （3）由抛物线解析式可求得其对称轴，则可设出点的坐标，则可表示出、和，分、和三种情况，分别根据勾股定理得到关于点坐标的方程，可求得点的坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于点，交轴于点，代入得： 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）如图，连接，作轴交于点， 设直线的解析式为，将点和点的坐标代入， 代入得： 解得， ∴设点的坐标为的坐标为，， ∵， ∴， ， ∴当时，四边形的面积取得最大值， 此时， ∴， ∴当点的坐标为时，四边形的面积最大，最大值为4．    （3）∵， ∴对称轴为， ∴可设点坐标为， ∵， ∴， ∵为直角三角形， ∴有、和三种情况， ①当时，则有， 即， 解得或， 此时点坐标为或； ②当时，则有， 即， 解得， 此时点坐标为； ③当时，则有， 即， 解得， 此时点坐标为； 综上可知点的坐标为或或或． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识，本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 12．(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由题意得出方程组，即可求出二次函数的解析式为； （2）由待定系数法求出直线的解析式，证，只要，四边形即为平行四边形，由二次函数解析式求出点的坐标，由直线的解析式求出点的坐标，则，设点的横坐标为，则的坐标为：，的坐标为：，由得出方程，解方程进而得出答案； （3）由平行线的性质得出，当时，∽，则，得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点， ∴把，，代入得：， 解得， 二次函数的表达式为：； （2）解：设所在直线的表达式为：， 将、代入， 得， 解得， 所在直线的表达式为：； 轴，轴， ∴， 只要，四边形即为平行四边形， ， 点的坐标为：， 将代入，即， 点的坐标为：， ∴， 设点的横坐标为， 则的坐标为：，的坐标为：， ∴， 由得：， 解得：（合不题意舍去），， 当时，， 点的坐标为； （3）解：存在，理由如下： 由（2）得：， ， 又∵与有共同的顶点，且在的内部， ∴， ∴当时，∽， ∴， 、， ∴， 由（2）得：，，的坐标为：， ∴， ∴， ， ∴， 解得：， 当时，， 点的坐标为：； 【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性质是解题的关键． 13．（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）①当t＝秒时，PQ⊥AC，②当t＝时，四边形PDCQ的面积最小，最小面积为 【分析】（1）先利用一次函数的解析式确定A点和C点坐标，再利用点B与点C关于原点对称得到点B点坐标和BC的长，接着利用平行四边形的性质求出D点坐标，然后把点B和点D的坐标代入二次函数y＝x2+bx+c得关于b、c的方程组，再解方程组求出b、c即可得到二次函数表达式； （2）①先利用勾股定理计算出AC＝5，再利用t表示出AP＝t，CQ＝t，AQ＝5﹣t，当PQ⊥AC时可证明△APQ∽△CAO，则利用相似比得到，解得t＝，然后解方程求出t即可； ②作QH⊥AD于H，如图，先证明△AQH∽△CAO，利用相似比可表示出QH＝（5﹣t），再根据三角形面积公式，利用S四边形PDCQ＝S△ACD﹣S△AQP得到四边形PDCQ的面积＝t2﹣t+12，然后根据二次函数的性质求解． 【详解】解：（1）当x＝0，y＝﹣x+3＝3，则点A（0，3）， 当y＝0，﹣x+3＝0，解得x＝4，则点C（4，0）， ∵点B与点C关于原点对称， ∴点B（﹣4，0），BC＝8， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥x轴，AD＝BC＝8， ∴D（8，3）， 将点B（﹣4，0），点D（8，3）代入二次函数y＝x2+bx+c得，解得， ∴二次函数表达式y＝x2﹣x﹣3； （2）①∵A（0，3），C（4，0）， ∴AC＝＝5， ，当点P运动了t秒时，则AP＝t，CQ ②作QH⊥AD于H，如图， ∵∠HAQ＝∠OCA， ∴△AQH∽△CAO， ∴，即，解得QH＝（5﹣t）， ∴S四边形PDCQ＝S△ACD﹣S△AQP ＝•3•8﹣t•（5﹣t） ＝t2﹣t+12 ＝（t﹣）2+， ∴当t＝时，四边形PDCQ的面积最小，最小面积为． 【点睛】本题是一道关于二次函数的综合题目，涉及的知识点有平行四边形的性质、一次函数图象及其性质、解二元一次方程组、相似三角形的性质、二次函数的图象及其性质，掌握以上知识点是解此题的关键． 14．（1）；（2）①当是直角三角形时，P的坐标是或；②有，最小值为，． 【分析】（1）求出A、C坐标，再由△ABC是以BC为底边的等腰三角形和四边形ABCD能构成平行四边形求出B、D坐标即可求二次函数的表达式； （2）①△APQ是等腰直角三角形，分两种情况讨论； ②用t表示出四边形PDCQ的面积，再求最小值即可． 【详解】（1）∵A，C分别是一次函数的图象与y轴，x轴的交点， 在一次函数中，令得，令得， ∴A（0，3），C（3，0）， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴OC=OB=3，B（-3，0）， ∵四边形能构成平行四边形， ∴AD=BC=6，D（6，3）， ∵点B、D在二次函数的图象上， ∴，解得，c=-17， ∴二次函数的表达式为； （2）①设运动时间是t秒，则，AP=t， ∵A（0，3），C（3，0），∠AOC=90°， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 若是直角三角形，则是等腰直角三角形， 分两种情况： （一），如答图1： ∴， ∴，解得， ∴， （二），如答图2： ∴， ∴，解得， ∴， 综上所述，当是直角三角形时，P的坐标是或， （3）过Q作于M，如答图3： ∵A（0，3），B（-3，0），C（3，0），是平行四边形， ∴， 而， ∴， ∴， 当时，最小为， 此时． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，特殊角的三角函数值以及二次函数最值求法等知识，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键． 15．（1）x＝1；（2）y＝﹣x2+2x+2；（3）2＜k≤5或k＝1；（4）2≤k＜或k＜0 【分析】（1）根据二次函数y＝ax2﹣2ax+k（a、k为常数，a≠0）即可求此二次函数的对称轴； （2）当a＝﹣1时，把B（2，2）代入即可求此二次函数的关系式； （3）当a＝﹣1时，根据二次函数的图象与线段AB只有一个公共点，分三种情况说明：当抛物线顶点落在AB上时，k+1＝2，k＝1；当抛物线经过点B时，k＝2；当抛物线经过点A时，k＝5，即可求此k的取值范围； （4）当k＝a+3，根据题意画出图形，观察图形即可求此k的取值范围． 【详解】解：（1）二次函数y＝ax2﹣2ax+k（a、k为常数，a≠0）， 二次函数的图象的对称轴是直线x＝1． 故答案为x＝1； （2）当a＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+k 把B（2，2）代入，得 k＝2， ∴y＝﹣x2+2x+2 （3）当a＝﹣1时， y＝﹣x2+2x+k ＝﹣（x﹣1）2+k+1 ∵此二次函数的图象与线段AB只有一个公共点， 当抛物线顶点落在AB上时，k+1＝2，k＝1 当抛物线经过点B时，k＝2 当抛物线经过点A时， ﹣1﹣2+k＝2，k＝5 综上所述：2＜k≤5或k＝1； （4）当k＝a+3时， y＝ax2﹣2ax+a+3 ＝a（x﹣1）2+3 所以顶点坐标为（1，3） ∴a+3＜3 ∴a＜0． 如图， 过点A作x轴的垂线交x轴于点P，过点B作x轴的垂线交x轴于点Q， ∴P（﹣1，0），Q（2，0） 当﹣1＜x＜2，此二次函数图象与四边形APQB的边交点个数是大于0的偶数， 当抛物线过点P时， a+2a+a+3＝0，解得a＝﹣ ∴k＝a+3＝， 当抛物线经过点B时， 4a﹣4a+a+3＝2，解得a＝﹣1， ∴k＝2， 当抛物线经过点Q时， 4a﹣4a+a+3＝0，解得a＝﹣3， ∴k＝0 综上所述：2≤k＜或k＜0． 【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，解决本题的关键是综合运用一元一次不等式组的整数解、二次函数图象上的点的坐标特征、抛物线与xx轴的交点． 16．（1），；（2） ①当点运动到距离点个单位长度处，有；②当点运动到距离点个单位处时，四边形面积最小，最小值为. 【分析】（1）根据一次函数解析式求出A和C的坐标，再由△ABC是等腰三角形可求出点B的坐标，根据平行四边形的性质求出点D的坐标，利用待定系数法即可得出二次函数的表达式； （2）①设点P运动了t秒，PQ⊥AC，进而求出AP、CQ和AQ的值，再由△APQ∽△CAO，利用对应边成比例可求出t的值，即可得出答案； ②将问题化简为△APQ的面积的最大值，根据几何关系列出关于时间的二次函数，根据二次函数的性质，求出函数的最大值，即求出△APQ的面积的最大值，进而求出四边形PDCQ面积的最小值. 【详解】解：（1）由， 令，得，所以点； 令，得，所以点， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴点坐标为， 又∵四边形是平行四边形， ∴点坐标为， 将点、点代入二次函数，可得， 解得：， 故该二次函数解析式为：. （2）∵，， ∴. ①设点运动了秒时，，此时，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：. 即当点运动到距离点个单位长度处，有. ②∵，且， ∴当的面积最大时，四边形的面积最小， 当动点运动秒时，，，， 设底边上的高为，作于点， 由可得：， 解得：， ∴， ∴当时，达到最大值，此时， 故当点运动到距离点个单位处时，四边形面积最小，最小值为. 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，难度系数较大，解题关键是将四边形PDCQ面积的最小值转化为△APQ的面积的最大值并根据题意列出的函数关系式. 17．(1)， (2) (3) 【分析】（1）令，解一元二次方程即可求解； （2）用待定系数法即可求出两个函数的解析式，再根据的坐标求出四边形的面积； （3）过点作轴，交直线于点，设，写出面积的表达式，根据二次函数的最大值列出方程即可求解． 【详解】（1）解：由，令， 即， 解得：， ∴，， 故答案为：，； （2）如图，连接， ∵顶点M的坐标为，代入， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∵经过点A的直线与y轴交于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴一次函数解析式为：， ， 解得：或， ∴， ∴四边形的面积=； （3）如图，过点作轴，交直线于点， 设则， ∴， ， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积最大值为， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，求二次函数图象与坐标轴交点，面积问题，掌握二次函数图象与性质是解题的关键． 18．（1），y=x2-x-3．（2）当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为． 【详解】试题分析：（1）根据一次函数解析式求出点A、点C坐标，再由△ABC是等腰三角形可求出点B坐标，根据平行四边形的性性质求出点D坐标，利用待定系数法可求出b、c的值，继而得出二次函数表达式． （2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5-t，再由△APQ∽△CAO，利用对应边成比例可求出t的值，继而确定点P的位置； ②只需使△APQ的面积最大，就能满足四边形PDCQ的面积最小，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽△CAO，利用对应边成比例得出h的表达式，继而表示出△APQ的面积表达式，利用配方法求出最大值，即可得出四边形PDCQ的最小值，也可确定点P的位置． 试题解析：（1）由y=-x+3， 令x=0，得y=3，所以点A（0，3）； 令y=0，得x=4，所以点C（4，0）， ∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形， ∴B点坐标为（-4，0）， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴D点坐标为（8，3）， 将点B（-4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=x2+bx+c，可得 ，解得：， 故该二次函数解析式为：y=x2-x-3． （2）∵OA=3，OB=4， ∴AC=5． ①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5-t， ∵PQ⊥AC， ∴∠AQP=∠AOC=90°，∠PAQ=∠ACO， ∴△APQ∽△CAO， ∴，即， 解得：t=． 即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC． ②∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD，且S△ACD=×8×3=12， ∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小， 当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5-t， 设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H， 由△AQH∽△CAO可得：， 解得：h=（5-t）， ∴S△APQ=， ∴当t=时，S△APQ达到最大值，此时S四边形PDCQ=12-=， 故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为． 考点：二次函数综合题． 19．(1) (2)或 (3)或或或． 【分析】（1）设抛物线解析式为：，将代入待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意得出对称轴为直线，或，设抛物线解析式为：，将代入待定系数法求解析式即可求解； （3）直线的解析式为：，设，则，求得，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵顶点的坐标为； 设抛物线解析式为：， ∵抛物线与轴交于原点，将代入得， ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为 （2）解：∵抛物线过，两点， ∴对称轴为直线， 依题意，四边形为正方形 ∴或 ∴设抛物线解析式为： ∵抛物线与轴交于原点， ∴或 解得或， ∴抛物线的解析式为或 综上所述，解析式为：或 （3）解：∵，， 设直线的解析式为：， ， ∴直线的解析式为：， 设，则 ∴ ∵的面积为2， ∴ 即 解得：, 当时，，则 当时，，则 当时，，则 当时，，则 综上所述：或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，特殊四边形问题，面积问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 20．（1）；（2）或；（3）(1，0)或(-2，0) 【分析】（1）设二次函数，根据待定系数法，求出a的值，即可得到答案； （2）设二次函数解析式为：，先得出Q(2，2)或Q(2，-2)，进而即可求解； （3）先求出点G(1，3)，再分两种情况：①当GE为为正方形的对角线时，②当GE是正方形的边时，分别求解，即可． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象的顶点的坐标为， ∴设二次函数， 把(0，0)代入上式，得：，解得：a=-1， ∴二次函数的表达式为：； （2）∵抛物线过两点， ∴对称轴为：直线x=2，可设二次函数解析式为：， ∴OM=2， 又∵四边形OMQN是正方形， ∴QM=OM=2， ∴Q(2，2)或Q(2，-2)， ∴或，解得：或， ∴二次函数解析式为：或； （3）由（1）可知二次函数的解析式为：， ∴当x=1时，y=3，即：G(1，3)， 当GE为为正方形的对角线时，GR1=ER1=3， 此时，R1(1，0) ， 当GE是正方形的边时，GR2=GE=， ∴R2E=×=6， ∴R2(-2，0)， ∴R的坐标为(1，0)或(-2，0)． 【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何综合，熟练掌握二次函数的待定系数法，正方形的性质，是解题的关键． 21．(1) (2)四边形的面积有最大值18，此时 (3)或． 【分析】（1）用待定系数法即可求出函数解析式； （2）求出直线的解析式，再由平行线的性质求出直线的解析式从而确定点坐标，再由直线的解析式求出直线与轴的交点坐标，从而求出的面积，过点作轴交直线于点，设，则，可得，从而求出四边形面积的最大值及点的坐标； （3）求出，，设，则，则，，再由，求出（舍或或，即可求点坐标． 【详解】（1）解：将点，点代入， ， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：当时，， ， ∵点， ， 设的解析式为，代入，， 得，解得：， 直线的解析式为， ∵，，则设直线的解析式为， 代入，得，解得， 直线的解析式为， 当时，解得或， ， 设的直线解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 直线与轴的交点为， ， 过点作轴交直线于点， 设，则， ， ， 四边形的面积， ∵， 当时，四边形的面积有最大值18，此时； （3）解：∵， ∴， ∵轴，则当时，， ∴， 设，则， ，， ∵， ， 解得（舍去）或或， ∴或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，两点间距离公式，平行线的性质，铅锤法求面积是解题的关键． 22．(1)①菱形、正方形；②或； (2)； (3)的值为或． 【分析】（1）①由菱形、正方形的对角线互相垂直即可判断； ②矩形对角线相等且互相平分，再加上对角线夹角为，即出现等边三角形，所以得到矩形相邻两边的比等于．由于边不确定是较长还是较短的边，故需要分类讨论计算； （2）过点作垂直，连接，由可求得，在中勾股定理可求，再由垂径定理可得； （3）由与轴成角可知直线解析为，由二次函数图象与轴交点为、可设解析式为，把两解析式联立方程组，消去后得到关于的一元二次方程，解即为点、横坐标，所以用韦达定理得到和进而得到用表示的．又由四边形面积可求得，即得到关于的方程并解方程求得． 【详解】（1）解：①∵菱形、正方形的对角线互相垂直 ∴菱形、正方形不是“美丽四边形”． 故答案为：菱形、正方形； ②设矩形对角线相交于点 ∴，，，， ∴ ∵矩形是“美丽四边形” ∴、夹角为60°， 若为较短的边，则 ∴是等边三角形，, ∴ ∴中，， ∴， 若为较长的边，则 ∴是等边三角形 ∴ ∴中， ∴， 故答案为：或． （2）过点作垂直于点，连接， ∴，， ∵，， ∴直径 ∴ ∴ ∵四边形是“美丽四边形” ∴ ∴中，， ∴， ∴中，， ∴； （3）过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵四边形是“美丽四边形” ∴ ∴，即， ∴直线解析式为， ∵二次函数的图象过点、，即与轴交点为、， ∴用交点式设二次函数解析式为， ∵，整理得：， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ 解得：，， ∴的值为或． 【点睛】本题考查了新定义的理解和性质应用，菱形、正方形的性质，矩形的性质，特殊三角函数的应用，垂径定理，一次函数的性质，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．解题的关键是理解题意，学会利用方程思想解决问题． 23．（1）3或；（2）2；（3）或 【分析】（1）根据矩形ABCD对角线相等且互相平分，再加上对角线夹角为60°，即出现等边三角形，所以得到矩形相邻两边的比等于tan60°．由于AB边不确定是较长还是较短的边，故需要分类讨论计算． （2）过O点作OH垂直BD，连接OD，由∠DPC=60°可求得OH，在Rt△ODH中勾股定理可求DH，再由垂径定理可得BD=2DH． （3）由BD与x轴成60°角可知直线BD解析为y=x，由二次函数图象与x轴交点为A、C可设解析式为y=a（x+3）（x-2），把两解析式联立方程组，消去y后得到关于x的一元二次方程，解即为点B、D横坐标，所以用韦达定理得到xB+xD和xB•xD进而得到用a表示的（xB-xD）2．又由四边形面积可求得xB-xD=6，即得到关于a的方程并解方程求得a． 【详解】解：（1）设矩形ABCD对角线相交于点O ∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABC＝90° ∴AO＝BO＝CO＝DO     ∵矩形ABCD是“美丽四边形”∴AC、BD夹角为60° i）如图，若AB＝3为较短的边，则∠AOB＝60°    ∴△OAB是等边三角形 ∴∠OAB＝60°∴Rt△ABC中，tan∠OAB＝∴BC＝AB＝3 ii）如图，若AB＝3为较长的边，则∠BOC＝60°    ∴△OBC是等边三角形 ∴OCB＝60°∴Rt△ABC中，tan∠OCB＝ ∴BC＝ 故答案为：3或． （2）过点O作OH⊥BD于点H，连接OD    ∴∠OHP＝∠OHD＝90°，BH＝DH＝BD∵AP＝1，PC＝5 ∴⊙O直径AC＝AP+PC＝6∴OA＝OC＝OD＝3 ∴OP＝OA﹣AP＝3﹣1＝2 ∵四边形ABCD是“美丽四边形” ∴∠OPH＝60°∴Rt△OPH中，sin∠OPH＝∴OH＝OP＝∴Rt△ODH中，DH＝ ∴BD＝2DH＝2 （3）过点B作BM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N    ∴∠BMO＝∠DNO＝90° ∵四边形ABCD是“美丽四边形”∴∠BOM＝∠DON＝60° ∴tan∠DON＝，即 ∴直线BD解析式为y＝x ∵二次函数的图象过点A（﹣3，0）、C（2，0），即与x轴交点为A、C ∴用交点式设二次函数解析式为y＝a（x+3）（x﹣2） ∵整理得：ax2+（a﹣）x﹣6a＝0 ∴xB+xD＝﹣，xB•xD＝﹣6 ∴（xB﹣xD）2＝（xB+xD）2﹣4xB•xD＝（﹣）2+24 ∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AC•BM+AC•DN＝AC（BM+DN） ＝AC（yD﹣yB）＝AC（xD﹣xB）＝（xB﹣xD） ∴（xB﹣xD）＝15 ∴xB﹣xD＝6∴（﹣）2+24＝36 解得：a1＝，a2＝ ∴a的值为或． 【点睛】本题考查了新定义的理解和性质应用，菱形、正方形的性质，矩形的性质，特殊三角函数的应用，垂径定理，一次函数的性质，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程． 24．(1) (2)四边形面积的最大值为，此时点M的坐标为 (3)或 【分析】（1）将，代入得，，可求，进而可得二次函数的解析式； （2）当时，，即，由勾股定理得，，待定系数法求直线的解析式为，直线的解析式为，如图1，记直线与轴的交点为，过作于，当时，，即，，则，，如图1，作轴，交于，设，则，，，，由，可知当时，四边形面积最大，然后求解作答即可； （3）由题意知，，即，由轴，可得，设，则，则，，由，可得，计算求出满足要求的解，然后作答即可． 【详解】（1）解：将，代入得，， 解得，， ∴二次函数的解析式为； （2）解：当时，，即， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 如图1，记直线与轴的交点为，过作于， 当时，，即， ∴， ∴， ∴， 如图1，作轴，交于，设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值为，此时点M的坐标为； （3）解：由题意知，， ∴， ∵轴， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得，或（舍去）或， ∴或， 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，正弦，二次函数与面积综合，二次函数的最值，勾股定理等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，正弦，二次函数与面积综合，二次函数的最值，勾股定理是解题的关键． 25．(1)，，； (2)与相似，理由见解析； (3)F点的坐标为：、、、． 【分析】（1）分别求出时y的值，时x的值，即可得到点A、B、E的坐标； （2）根据坐标可得和的长，求出，，可得，然后根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得出结论； （3）只需要满足为等腰三角形，即可找到对应的菱形，所以构建等腰有四种情况：①当F与B重合时，②当时，③作的中垂线l，交直线于，则时，④以C为圆心，以为半径画圆交直线于，则时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，即， 解得：，， ∴，； （2）解：与相似， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴当F与B重合时，存在A、C、F、M为顶点的四边形为菱形，即； 当时，存在A、C、F、M为顶点的四边形为菱形， 此时与B关于点A对称， ∴； 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 如图2，作的中垂线l，交直线于，连接，分别过A、作x轴、y轴的平行线，交于H，交x轴于G，则，存在A、C、F、M为顶点的四边形为菱形， 设， 则， ∴， 解得：， 当时，， ∴； 如图3，以C为圆心，以为半径画圆交直线于，过作轴于P，则，存在A、C、F、M为顶点的四边形为菱形， 设， 则， 解得：，（舍）， 当时，， ∴， 综上所述，F点的坐标为：、、、． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与两坐标轴的交点、平行四边形的性质、菱形和等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定，勾股定理的应用，解一元二次方程等知识，在构建等腰三角形时，分三种情况进行讨论，根据腰长相等与勾股定理相结合列方程解决问题． 26．（1）P(1，)；（2）且；（3）①，理由见解析；②线段MN与线段AB的公共点的个数为0个，理由见解析． 【分析】（1）先求得对称轴为，再求得顶点坐标即可； （2）根据顶点P在线段BC的下方，与y轴的交点在点B的上方，列不等式求解即可； （3）① 由题意得 ，，，计算可比例大小； ②先求得，再求得，即可判断交点的个数． 【详解】解：（1）抛物线的对称轴为， 当时，， ∴P(1，)； （2）若抛物线与矩形AOBC有4个交点， 则顶点P在线段BC的下方，与y轴的交点在点B的上方， ∴且， 即且， 解得：且； （3）①  由已知x1 +x2 =且x1<x2，得，， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵C点坐标为（6，-3）， ∴A（6，0），B（0，-3）， ∴， 过M作直线MH⊥轴，过N作NH⊥轴交直线MH于H， 则MH=，NH=， ∴， ∴， ∴∠ABC=∠MNH， ∴MN∥AB， ∴线段MN与线段AB的公共点的个数为0个． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，三角函数的定义，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$