精品解析：广西壮族自治区南宁市第十四中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

广西壮族自治区南宁市第十四中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回 第I卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 下列标识图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 5. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 若一个正边形的每个外角为，则这个正边形的边数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，反比例函数的图象过矩形的顶点，，分别在轴，轴的正半轴上，若点，点，则的值为（　　） A. 8 B. 6 C. D. 8. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（） A. B. C. D. 9. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使美化后整个图形的面积恰好是原画面面积的2倍，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 11. 如图，四边形外切于，且，，则四边形的周长为 A. 60 B. 55 C. 45 D. 50 12. 定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如图，点按变换后得到点的坐标为，则点按变换后得到点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 第II卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 已知反比例函数的图象经过点，则的值为_______________． 14. 为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是___________（结果精确到0.1） 15. 如图，边长为1的正六边形内接于，则图中阴影部分的面积为_____________．（结果保留） 16. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c>0的解集是____________． 17. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，则此圆锥侧面展开图的圆心角是______． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，对任意的，称为到时的值的“极差”（即时的最大值与最小值的差），为到时的值的“极宽”（即与的差值），则当时，的取值范围是 ____________________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 20. 解方程：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 22. 克拉玛依市某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用表示，单位：）进行调查，经过整理，将数据分成四组（组：；组：；组：；组：），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请补全条形统计图； （2）扇形统计图中，的值为______，组对应的扇形圆心角的度数为______； （3）现从组甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名进行研学宣讲，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中甲、乙两名同学的概率． 23. 如图△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E． （1）求证：⊙D与AC相切； （2）若AC=5，BC=3，试求AE的长． 24. 推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售．在水果收获的季节，该合作社用元从农户处购进A，B两种水果共进行销售．其中A种水果收购单价10元，B种水果收购单价15元． （1）求A，B两种水果各购进多少千克． （2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失．若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价． 25. 根据以下素材，探索完成任务： 如何确定灌溉方案 素材1 图1是一种自动旋转农业灌溉摇臂喷枪，点P为喷水口，喷水的区域覆盖了整个圆面，图2喷出的水柱形成的图象是以水平方向为x轴，喷枪底座中心为原点建立平面直角坐标系，水柱喷出的外围路径可以近似抛物线和的一部分，量得 素材2 现有一块四边形农田，它的四个顶点C、D、E、F恰好都在上，如图3，，如果喷水口上升时，水柱喷出的形状与原来相同，现要求喷水的区域覆盖整块四边形农田． 问题解决 任务1 确定喷枪的高度 求的长 任务2 拟定方案1 一种高为的农作物，为了能灌溉到所有农作物的顶端，求该农作物种植的最大半径． 任务3 拟定方案2 要使喷水的区域覆盖整块四边形农田，喷水口应至少上升多少米． 26. 图形变化是解决问题的有效策略，请完成下列探究： 【操作实践】（1）如图1，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边形a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图④．请你结合整个变化过程，判断图2中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系： _____________（填“”或“”或“”）； 【探究应用】（2）如图3，在图1中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，当最大时，求的长： （3）如图4，在中，，点D、E分别在边和上，连接．若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西壮族自治区南宁市第十四中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回 第I卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 下列标识图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的定义，如果一个图形绕着某一点旋转能与本身重合，那么这个图形就是中心对称图形．根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、图形绕着某一点旋转能与本身重合，故是中心对称图形，符合题意； B、找不到一点，使图形绕着某一点旋转能与本身重合，不是中心对称图形，不符合题意； C、找不到一点，使图形绕着某一点旋转能与本身重合，不是中心对称图形，不符合题意； D、找不到一点，使图形绕着某一点旋转能与本身重合，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：两人同时出相同的手势，，这个事件是随机事件， 故选：A． 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答即可． 【详解】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，熟记关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数是解题的关键． 4. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 根据点到圆心的距离即可得出答案． 【详解】解：∵ 即的半径， ∴点P在内， 故选：A． 5. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，解题的关键是根据圆内接四边形，两对角互补，求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴． 故选：C． 6. 若一个正边形的每个外角为，则这个正边形的边数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和，由多边形的外角和为，结合每个外角的度数，即可求出的值，此题得解，熟记多边形的外角和为是解题的关键． 【详解】∵一个正边形的每一个外角都是， ∴， 故选：． 7. 如图，反比例函数的图象过矩形的顶点，，分别在轴，轴的正半轴上，若点，点，则的值为（　　） A. 8 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数的的几何意义，根据四边形是矩形，得出，再代入反比例函数进行作答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ ∵顶点在第一象限 ∴ 依题意，把代入 解得 故选：A 8. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂经定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握知识点．由垂径定理和勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接,可知三点共线， 由题意得：， 在中，根据勾股定理得， 即截面圆中弦AB的长为， 故选：C． 9. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义得出且，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 10. 如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使美化后整个图形的面积恰好是原画面面积的2倍，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据原画的长、宽及四周彩纸的宽，可得出原画四周镶上彩纸后的长为，宽为，再结合原画四周镶上彩纸后的面积等于原画面面积的2倍，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：原画面是长为，宽为的矩形，且彩纸的宽度为， 原画四周镶上彩纸后的长为，宽为． 根据题意得：， 即． 故选：D． 11. 如图，四边形外切于，且，，则四边形的周长为 A. 60 B. 55 C. 45 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】根据切线长定理得到，，，，进而求出，再根据四边形的周长公式计算，得到答案．本题考查了切线长定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：四边形外切于，切点分别为、、、， ，，，， ， 四边形的周长为：， 故选：D． 12. 定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如图，点按变换后得到点的坐标为，则点按变换后得到点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，旋转的性质，坐标与图形．根据题意，点向上平移2个单位，得到点，再根据题意将点绕原点按逆时针方向旋转，得到，，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，点向上平移2个单位，得到点， ∴，， ∴，， ∴， 根据题意，将点绕原点按逆时针方向旋转， ∴， 作轴于点， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 故选：A． 第II卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 已知反比例函数的图象经过点，则的值为_______________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，把代入，从而可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， 故答案为： 14. 为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是___________（结果精确到0.1） 【答案】0.9 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可． 【详解】解∶根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.9左右． 这种幼苗在此条件下移植成活的概率是0.9； 故答案为 ∶0.9． 15. 如图，边长为1的正六边形内接于，则图中阴影部分的面积为_____________．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，正六边形的性质等知识点，将阴影部分合并即可得到扇形的面积，利用扇形面积公式计算即可，熟练掌握扇形的面积公式是解决此题的关键． 【详解】∵是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c>0的解集是____________． 【答案】1<x<3 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c>0的解集． 【详解】解：由图象得：对称轴是直线x=1，其中一个点的坐标为（3，0） ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（1，0） 利用图象可知： ax2+bx+c>0的解集即是y>0的解集， ∴1＜x＜3； 故填：1＜x＜3． 【点睛】此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结合，题目非常典型． 17. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，则此圆锥侧面展开图的圆心角是______． 【答案】##180度 【解析】 【分析】考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，用到的知识点为：扇形的弧长等于圆锥底面周长． 得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的扇形的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角． 【详解】解：底面周长为， 解得． ∴此圆锥侧面展开图的圆心角是． 故答案为：． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，对任意的，称为到时的值的“极差”（即时的最大值与最小值的差），为到时的值的“极宽”（即与的差值），则当时，的取值范围是 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，求出的取值范围以及的最值是解题关键．先将抛物线化为顶点式，得到对称轴为，顶点坐标为，再根据，得到，进而得到，，求出时，的最大值和最小值，得到，然后根据二次函数的性质和的取值范围，求出的最大值和最小值即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：， ∴抛物线的对称轴，顶点坐标为， ∵，即与的差值为， ∴， ∵，即， ∴，则， ∴当时，随增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， ∴ 则对称轴， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为， 当时，有最大值，最大值为， 综上所述：； 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 【答案】5 【解析】 【分析】按照乘方，算术平方根，零指数幂，负整数指数幂的性质化简，进行计算即可解答 【详解】解：原式 【点睛】此题考查算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，解题关键在于掌握运算法则 20. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 可灵活选用配方法、公式法或因式分解法解方程即可． 【详解】解：因式分解，得， 于是，得或， ∴，． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 【答案】（1）A1B1C1即为所求； （2）A2B2C2即为所求；     （3）﹣2，0． 【解析】 【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1； （2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2； （3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）由图可得，A1B1C1与A2B2C2关于点成中心对称． 故答案为：﹣2，0． 【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的关键． 22. 克拉玛依市某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用表示，单位：）进行调查，经过整理，将数据分成四组（组：；组：；组：；组：），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请补全条形统计图； （2）扇形统计图中，的值为______，组对应的扇形圆心角的度数为______； （3）现从组甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名进行研学宣讲，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中甲、乙两名同学的概率． 【答案】（1） 补全统计图如下： （2）；； （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图的信息关联，列表法与树状图法求概率， （1）用组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后求出组的人数，从而补全统计图； （2）用组的人数除以总人数，求出，再用乘以组所占的百分比，从而得出组对应的扇形圆心角的度数； （3）画树状图展示所有种等可能的结果数，找出恰好选中甲、乙两名同学的结果数，然后利用概率公式求解； 解题的关键是掌握：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数，再从中选出符合事件的结果数目，然后利用根据“概率公式：”计算事件的概率． 【小问1详解】 解：抽取的总人数有：（人）， ∴组的人数有：（人）； 【小问2详解】 ∵， ∴， 组对应的扇形圆心角的度数为：， 故答案为：；； 【小问3详解】 画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果数为， ∴所选的两人恰好是甲、乙两名同学的概率为：， ∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 23. 如图△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E． （1）求证：⊙D与AC相切； （2）若AC=5，BC=3，试求AE的长． 【答案】（1） 证明：如下图所示，过作于， ， ， 平分交于点， ， 与相切； （2）． 【解析】 【分析】过作于，利用角平分线的性质定理可得即可证明：与相切； 在直角中由勾股定理可求出的长，设圆的半径为，利用切线长定理可求出，所以，，利用勾股定理建立方程求出，进而求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设圆的半径为， ，，， ， ，是的切线， ， ， ， ， 在中，， 解得：， ． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、角平分线的性质、切线长定理以及勾股定理的运用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理列方程． 24. 推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售．在水果收获的季节，该合作社用元从农户处购进A，B两种水果共进行销售．其中A种水果收购单价10元，B种水果收购单价15元． （1）求A，B两种水果各购进多少千克． （2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失．若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价． 【答案】（1）种水果购进1000千克，种水果购进500千克 （2）种水果的最低销售单价为15元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设A种水果购进千克，种水果购进千克，根据题意列出方程计算即可； （2）设A种水果的销售单价为元，根据题意列出不等式进行计算即可． 【小问1详解】 解：设A种水果购进千克，种水果购进千克， 根据题意有:， 解得:， 种水果购进1000千克，种水果购进500千克； 【小问2详解】 解：设A种水果的销售单价为元， 根据题意有：， 解得， 答: A种水果的最低销售单价为15元． 25. 根据以下素材，探索完成任务： 如何确定灌溉方案 素材1 图1是一种自动旋转农业灌溉摇臂喷枪，点P为喷水口，喷水的区域覆盖了整个圆面，图2喷出的水柱形成的图象是以水平方向为x轴，喷枪底座中心为原点建立平面直角坐标系，水柱喷出的外围路径可以近似抛物线和的一部分，量得 素材2 现有一块四边形农田，它的四个顶点C、D、E、F恰好都在上，如图3，，如果喷水口上升时，水柱喷出的形状与原来相同，现要求喷水的区域覆盖整块四边形农田． 问题解决 任务1 确定喷枪的高度 求的长 任务2 拟定方案1 一种高为的农作物，为了能灌溉到所有农作物的顶端，求该农作物种植的最大半径． 任务3 拟定方案2 要使喷水的区域覆盖整块四边形农田，喷水口应至少上升多少米． 【答案】任务1：；任务2：最大半径为；任务3：喷水口应至少上开米 【解析】 【分析】任务1：把点坐标代入求出值可得点坐标，即可得答案； 任务2：把代入求出的值即可得答案； 任务3：连接，，过作于，根据垂径定理及圆周角定理可得，设，则，利用勾股定理确定出半径为，把代入求出值，进而可得答案． 【详解】解：任务1：， ， 由题意可得：右侧抛物线为：， 将代入得：， ∴的长为； 任务2：当时， ∴， 解得∶（不合题意，舍去） 最大半径为； 任务3：连接，，过作于， 则， ， ， 又， ， 在中，设，则， 即， 解得（不合题意，舍去） 覆盖四边形农田的圆半径为， 把代入得： 解得：， ， 喷水口应至少上开米． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定，抛物线与轴的交点坐标，圆周角定理、勾股定理相关计算，熟练掌握二次函数的性质及垂径定理，理解题意，确定喷枪放置的位置是解题的关键． 26. 图形变化是解决问题的有效策略，请完成下列探究： 【操作实践】（1）如图1，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边形a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图④．请你结合整个变化过程，判断图2中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系： _____________（填“”或“”或“”）； 【探究应用】（2）如图3，在图1中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，当最大时，求的长： （3）如图4，在中，，点D、E分别在边和上，连接．若，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）如图1，过作于，交于，则四边形是矩形，则 ，，由勾股定理得，，，，，则，，得，，然后作答即可； （2）由旋转的性质可知，点在以为圆心，长为半径的上运动，如图2，由题意知，当与相切时，最大，即，由勾股定理得，，由（1）可知，，根据，求解作答即可； （3）如图3，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，则，，将沿的方向平移，使与重合，得，连接，则，，当三点共线时，最小，为，则，，由勾股定理得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：如图1，过作于，交于，则四边形是矩形， ∴，， 由勾股定理得，，， ，， ∴，， 得，， ∴， 故答案为：； （2）解：由旋转的性质可知，点在以为圆心，长为半径的上运动， 如图2， 由题意知，当与相切时，最大，即， 由勾股定理得，， 由（1）可知，， 由勾股定理得，，， ∴， ∴； （3）解：如图3，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接， ∴，， 将沿的方向平移，使与重合，得，连接，则， ∴， 当三点共线时，最小，为， ∵， ∴，， 由勾股定理得，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，切线的性质，平移的性质等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，切线的性质，平移的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $